یافتن ارتفاع یک چند ضلعی منتظم

آیا به دنبال روشی ساده برای محاسبه ارتفاع چند ضلعی‌های منتظم می‌گردید؟ پاسخ سؤال شما در این جا است.

محاسبه ارتفاع _ نکته ی اول

ارتفاع یک چند ضلعی منتظم در واقع همان شعاع دایره محاط شده درون آن چند ضلعی است.
چند ضلعی به صورت کلی به یک شکل هندسی بسته گفته می شود که حد اقل سه ضلع داشته باشد. حال اگر یک چند ضلعی داشته باشیم که اندازه ی تمام زوایای داخلی و طول تمام اضلاعش با هم برابر باشند آن گاه به آن می گوییم چند ضلعی منتظم. ارتفاع یک چند ضلعی منتظم عبارت است از پاره خطی که مرکز چند ضلعی را به وسط هر کدام از اضلاع وصل کند. حالا، اگر نمی دانید چرا در این جا داریم در مورد چند ضلعی‌های منتظم توضیح می دهیم، باید بگوییم به این دلیل است که چند ضلعی های غیر منتظم اصلاً نمی توانند ارتفاع داشته باشند؛ پس اگر راجع به محاسبه ی ارتفاع در یک چند ضلعی صحبت می کنیم آن چند ضلعی حتماً منتظم است. در یک چند ضلعی منتظم طول تمام ارتفاع ها با هم برابر است. پس بیایید با هم ارتفاع چند ضلعی‌ها را محاسبه کنیم.

محاسبه ی ارتفاع یک چند ضلعی منتظم

به منظور استخراج فرمول مورد نیاز برای محاسبه ی ارتفاع چند ضلعی، بیایید در ابتدا شکل یک شش ضلعی را در نظر بگیریم.
می دانیم که 180 درجه برابر π رادیان است. از آن جا که زاویه دور تا دور یک دایره 360 درجه است پس ما آن را بر حسب رادیان می نویسیم از آن جا که شش ضلعی دارای شش ضلع می باشد پس زاویه رأس هر کدام از مثلث های متساوی الساقین درون شش ضلعی برابر می شود با . برای چند ضلعی با تعداد n ضلع، این رابطه به تعمیم پیدا می کند.

محاسبه ارتفاع _ نکته ی دوم

ارتفاع یک مربع برابر است با نصف طول یک ضلع آن.
حال بیایید مثلث کوچکتر را در نظر بگیریم. این مثلث قائم الزاویه بوده و طول زاویه ی قائمه اش برابر ارتفاع چند ضلعی است. طول قاعده‌اش برابر نصف هر یک از اضلاع چند ضلعی بوده و وترش شعاع دایره ی محیطی چند ضلعی می باشد.
برای یافتن رابطه ی بین ارتفاع a، قاعده b و شعاع دایره محیطی یعنی r باید ابتدا Sin، Cos وtan را برای زاویه π/n محاسبه کنیم.
بنا بر این
به نحوی مشابه می توانیم مقادیر Cos و tan را هم محاسبه کنیم که برابر می شوند با:
بنا بر این
بنا بر این

محاسبه ارتفاع _ نکته ی سوم

از آن جا که خط راست بین دو نقطه، کوتاهترین فاصله ی بین آن دو نقطه است، در نتیجه ارتفاع نیز کوتاه ترین فاصله ی بین مرکز چند ضلعی و هریک از اضلاع آن است.
پس ما برای محاسبه ی ارتفاع یک چند ضلعی منتظم دو فرمول داریم. بیایید ببینیم بهتر است از هر یک از این دو فرمول در کجاها استفاده کنیم.
زمانی که طول ضلع چند ضلعی یعنی s را داشته باشیم برای محاسبه ارتفاع a از فرمول زیر استفاده می کنیم:
2. زمانی که طول شعاع دایره ی محیطی چند ضلعی یعنی r را داشته باشیم برای محاسبه ارتفاع a از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:
از این دو فرمول می توان برای محاسبه ی ارتفاع تمام چند ضلعی های منتظم با هر تعداد ضلع دل خواه استفاده کرد.