نویسنده: کارل بنجامین بویر
مترجم: عبدالحسین مصحفی
مترجم: عبدالحسین مصحفی
حسابان، به صورت رسمی، در سده ی هفدهم میلادی پا گرفته و به کار رفته است. اما مسئله هایی که خاستگاه و باعث رشد حسابان بوده اند به بیش از هفده سده ی پیش از میلاد متعلقند. کهن ترین مدرک ها مربوط به کشورهای باستانی مصر و بابل است. در دستنوشته های به خط هیروگلیف و در لوح های به خط میخی بر جای مانده از گذشته های این دو کشور، مسئله هایی در زمینه ی اندازه گیری مساحت و محیط شکل هایی مستقیم الخط و منحنی الخط به چشم می خورد که روش های به کار رفته در آن ها با حوزه ی عمل حسابان سازگاری دارد. اما از دیدگاه یونانیان باستان (= یش هلنی ها)، (1) این مسئله ها به دو دلیل عمده نمایانگر ریاضیاتی اند که به جوجه ای تازه سر از تخم درآورده می ماند و تا رسیدن به رشد کامل راهی دراز در پیش دارد: یکی این که وجه تمایز جواب های دقیق و جواب های تقریبی در آن ها مشخص نیست و دیگری این که بدون استنتاج های منطق قیاسی بیان شده اند.
پاپیروس ریند (2) در حدود 1650 سال پیش از میلاد به دست کاهنی به نام «احمس» (3) یا «احموس» (4) نگاشته شده است. بنابر آنچه در این پاپیروس آمده، مصری ها به درستی دریافته بودند که حجم هرم قائم با قاعده ی مربع برابر است با یک سوم حجم منشور قائمی که در قاعده و در ارتفاع با آن هرم برابر باشد. دراین باره هیچ گونه برهانی بیان نشده است، و بنابر آنچه در سده ی کنونی ثابت کرده اند، مقایسه ای است که مگر با بهره گیری از حساب بینهایت کوچک ها، یعنی بدون به کار بردن حسابان، اثبات کاملاً دقیق آن ممکن نیست. از پیش هلنی ها، که برای شکل های ساده ی مستقیم الخط چنین مقایسه ای را به علت نامستدل بودن نمی پذیرفته اند، نمی توان انتظار داشت برای شکل های منحنی الخط روشی غیر از این داشته باشند. برای نمونه، احمس مساحت دایره را برابر با مساحت مربعی می دانسته است که نسبت ضلع آن به قطر دایره برابر با نسبت 8 به 9 باشد. از این تناسب، مقدار تقریبی 16/3 برای عدد به دست می آید که برای محاسبه ها تقریب نامناسبی نیست. با این همه، عددی ده دهی که به یکی از رقم ها گرد شده و مقداری تقریبی از
را نشان دهد، حتی اگر سازه ی شایسته و کارآمدی برای به نتیجه رساندن محاسبه های عددی شناخته شود، در ریاضیات سطح بالای یک تمدن، اندازه ای معتبر و پذیرفتنی به شمار نمی آید. اگر مصری ها توانسته بودند ثابت کنند از دو روشی که برای محاسبه ی مساحت دایره و برای محاسبه ی حجم هرم به دست داده اند یکمی دقیق نیست و دومی کاملاً دقیق است یکی از مهم ترین کارها را انجام داده بودند. (5)
تمدن کهن دیگر، تمدن بابلی، در دره ی میان دورود (6) (= بین النهرین) پاگرفته و ریاضیات آن در سطحی عالی تر از ریاضیات مصری ها بوده است، اما دو ایراد پیش تر گفته شده ی وارد بر ریاضیات مصری ها بر ریاضیات بابلی ها هم وارد بود. در سده ی هفدهم پیش از میلاد، و زودتر از آن، بابلی ها برای حل مسئله های کاربردی در زمینه های گوناگون، از جمله در زمینه ی رابطه های اندازه ای شکل ها، جبری ویژه و برآورنده ی خواست های خود را به کار می برده اند. آنان قضیه ی فیثاغورس (7) را می دانسته اند و اندازه ی قطر مربع به ضلع یک را برابر با عددی به دست آورده بودند که عدد ده دهی معادل آن تا رقم ششم پس از ممیز دقیق بوده است. آن ها مساحت دایره را عموماً سه برابر توان دوم شعاع می پذیرفته اند، اما دست کم در یک مورد، مقدار تقریبی بهتر را به جای به کار برده اند. اما حتی بابلی ها هم برای بازشناسی جواب دقیق و جواب تقریبی از یکدیگر معیاری نداشته اند.
بابلی ها برای به دست آوردن ریشه ی دوم یک عدد (گویا و مثبت) گونه ای الگوریتم از سرگیری (8) (= روش تکرار) را به کار می برده اند و می توان گفت که در این شیوه ی عمل سروکار بسیار نزدیکی با حسابان داشته اند. بنابر روش آن ها، برای آن که ریشه ی دوم عدد داده شده ی a به دست آید، عدد که توان دومش کوچک تر از a باشد نخستین مقدار تقریبی نقصانی پذیرفته می شود و عدد برابر با حاصل تقسیم a بر به دست می آید که نخستین مقدار تقریبی اضافی خواهد بود. اکنون اگر به ترتیب برابر با میانگین حسابی (9) (= نصف مجموع) و میانگین همساز (10) (= معکوس نصف مجموع معکوس‌های) دو عدد و باشند، حاصل ضرب برابر با a، تقریب اضافی ای بهتر از تقریب نقصانی ای بهتر از است.[ در واقع عدد برابر با میانگین حسابی دو عدد و عدد برابر با حاصل تقسیم a بر حساب می شود]. عددهای به روش مشابه از عددهای به دست می آیند و با تکرار این فرایند، عددهای به دست می آیند که به ترتیب میانگین حسابی و میانگین همساز دو عدد هستند. هر یک از ها تقریبی اضافی و هر یک از ها تقریبی نقصانی برای ریشه ی دوم a است و هر چه i بزرگ تر شود، به ریشه ی دوم a نزدیک تر و تقریب بهتری خواهند بود. از این رو، با این فرایند می توان مقدار تقریبی ریشه ی دوم a را با هر تقریب دلخواه به دست آورد. [ در حالتی که ریشه ی دوم a عدد گویا باشد برای i مقداری وجود دارد که با هم و با ریشه ی دوم a برابر می شوند و در حالت گنگ بودن ریشه ی دوم a، دنباله ی عددهای نامتناهی اما دارای حدی برابر با ریشه ی دوم a خواهند بود]. بابلی ها، اگر به طریقی دانسته بودند یا نشان داده بودند که فرایند بالا پایان ندارد، شایسته ی این افتخار بودند که ارائه دهنده ی مفهوم دنباله های نامتناهی (11) شناخته شوند، مفهومی که بخشی بنیادی از حسابان جدید را تشکیل می دهد. اما مهارت بابلی ها در جبر، تنها جنبه ی کاربردی داشت و از جور کردن منطقی رابطه ها بر کنار بود. از این رو، زمینه فراهم آمده بود تا افتخار طرح ریزی حسابان به آن ملت از دوران کهن تعلق گیرد که منطقی کردن بحث در هر زمینه ای برایشان شور و شوقی واقعی در پی داشت.
پاپیروس ریند (2) در حدود 1650 سال پیش از میلاد به دست کاهنی به نام «احمس» (3) یا «احموس» (4) نگاشته شده است. بنابر آنچه در این پاپیروس آمده، مصری ها به درستی دریافته بودند که حجم هرم قائم با قاعده ی مربع برابر است با یک سوم حجم منشور قائمی که در قاعده و در ارتفاع با آن هرم برابر باشد. دراین باره هیچ گونه برهانی بیان نشده است، و بنابر آنچه در سده ی کنونی ثابت کرده اند، مقایسه ای است که مگر با بهره گیری از حساب بینهایت کوچک ها، یعنی بدون به کار بردن حسابان، اثبات کاملاً دقیق آن ممکن نیست. از پیش هلنی ها، که برای شکل های ساده ی مستقیم الخط چنین مقایسه ای را به علت نامستدل بودن نمی پذیرفته اند، نمی توان انتظار داشت برای شکل های منحنی الخط روشی غیر از این داشته باشند. برای نمونه، احمس مساحت دایره را برابر با مساحت مربعی می دانسته است که نسبت ضلع آن به قطر دایره برابر با نسبت 8 به 9 باشد. از این تناسب، مقدار تقریبی 16/3 برای عدد به دست می آید که برای محاسبه ها تقریب نامناسبی نیست. با این همه، عددی ده دهی که به یکی از رقم ها گرد شده و مقداری تقریبی از
را نشان دهد، حتی اگر سازه ی شایسته و کارآمدی برای به نتیجه رساندن محاسبه های عددی شناخته شود، در ریاضیات سطح بالای یک تمدن، اندازه ای معتبر و پذیرفتنی به شمار نمی آید. اگر مصری ها توانسته بودند ثابت کنند از دو روشی که برای محاسبه ی مساحت دایره و برای محاسبه ی حجم هرم به دست داده اند یکمی دقیق نیست و دومی کاملاً دقیق است یکی از مهم ترین کارها را انجام داده بودند. (5)تمدن کهن دیگر، تمدن بابلی، در دره ی میان دورود (6) (= بین النهرین) پاگرفته و ریاضیات آن در سطحی عالی تر از ریاضیات مصری ها بوده است، اما دو ایراد پیش تر گفته شده ی وارد بر ریاضیات مصری ها بر ریاضیات بابلی ها هم وارد بود. در سده ی هفدهم پیش از میلاد، و زودتر از آن، بابلی ها برای حل مسئله های کاربردی در زمینه های گوناگون، از جمله در زمینه ی رابطه های اندازه ای شکل ها، جبری ویژه و برآورنده ی خواست های خود را به کار می برده اند. آنان قضیه ی فیثاغورس (7) را می دانسته اند و اندازه ی قطر مربع به ضلع یک را برابر با عددی به دست آورده بودند که عدد ده دهی معادل آن تا رقم ششم پس از ممیز دقیق بوده است. آن ها مساحت دایره را عموماً سه برابر توان دوم شعاع می پذیرفته اند، اما دست کم در یک مورد، مقدار تقریبی بهتر
را به جای به کار برده اند. اما حتی بابلی ها هم برای بازشناسی جواب دقیق و جواب تقریبی از یکدیگر معیاری نداشته اند.بابلی ها برای به دست آوردن ریشه ی دوم یک عدد (گویا و مثبت) گونه ای الگوریتم از سرگیری (8) (= روش تکرار) را به کار می برده اند و می توان گفت که در این شیوه ی عمل سروکار بسیار نزدیکی با حسابان داشته اند. بنابر روش آن ها، برای آن که ریشه ی دوم عدد داده شده ی a به دست آید، عدد
که توان دومش کوچک تر از a باشد نخستین مقدار تقریبی نقصانی پذیرفته می شود و عدد 
برابر با حاصل تقسیم a بر به دست می آید که نخستین مقدار تقریبی اضافی خواهد بود. اکنون اگر 
به ترتیب برابر با میانگین حسابی (9) (= نصف مجموع) و میانگین همساز (10) (= معکوس نصف مجموع معکوس‌های) دو عدد و باشند، حاصل ضرب 
برابر با a، تقریب اضافی ای بهتر از 
تقریب نقصانی ای بهتر از است.[ در واقع عدد برابر با میانگین حسابی دو عدد 
و عدد 
برابر با حاصل تقسیم a بر حساب می شود]. عددهای 
به روش مشابه از عددهای 
به دست می آیند و با تکرار این فرایند، عددهای 
به دست می آیند که به ترتیب میانگین حسابی و میانگین همساز دو عدد 
هستند. هر یک از ها تقریبی اضافی و هر یک از 
ها تقریبی نقصانی برای ریشه ی دوم a است و هر چه i بزرگ تر شود، 
به ریشه ی دوم a نزدیک تر و تقریب بهتری خواهند بود. از این رو، با این فرایند می توان مقدار تقریبی ریشه ی دوم a را با هر تقریب دلخواه به دست آورد. [ در حالتی که ریشه ی دوم a عدد گویا باشد برای i مقداری وجود دارد که 
با هم و با ریشه ی دوم a برابر می شوند و در حالت گنگ بودن ریشه ی دوم a، دنباله ی عددهای 
نامتناهی اما دارای حدی برابر با ریشه ی دوم a خواهند بود]. بابلی ها، اگر به طریقی دانسته بودند یا نشان داده بودند که فرایند بالا پایان ندارد، شایسته ی این افتخار بودند که ارائه دهنده ی مفهوم دنباله های نامتناهی (11) شناخته شوند، مفهومی که بخشی بنیادی از حسابان جدید را تشکیل می دهد. اما مهارت بابلی ها در جبر، تنها جنبه ی کاربردی داشت و از جور کردن منطقی رابطه ها بر کنار بود. از این رو، زمینه فراهم آمده بود تا افتخار طرح ریزی حسابان به آن ملت از دوران کهن تعلق گیرد که منطقی کردن بحث در هر زمینه ای برایشان شور و شوقی واقعی در پی داشت.پی نوشت ها :
1- .pre-Hellenic
2- .Rhind Papyrus
3- Ahmes.
4- Ahmose.
5- در 1767 میلادی گنگ بودن عدد و در 1882 میلادی متعالی بودن آن ثابت شد. – م.
6- .Mesopotamian
7- .Pythagorean Theorem
8- .iterative algorithm
9- arithmetic mean.
10- harmonic mean.
11- infinite sequence.
