نویسنده: کارل بنجامین بویر
مترجم: عبدالحسین مصحفی
مترجم: عبدالحسین مصحفی
نخستین ریاضیدانان را عموماً از یونانی ها می دانند – نخستین به معنی مهم آن و گویای آن که آنان در بنیان گذاری و گسترش ریاضیات بر پایه ی اصل هایی اولیه (1) پیشگام بوده اند. هیپیاس (2) ( حدود 425 پیش از میلاد) یا کسی دیگر از همان سال ها، نشان داد که در هر یک از شکل های مربع، پنچ ضلعی منتظم، مکعب و شش ضلعی منتظم و در واقع در بسیاری از دیگر شکل های آشنای هندسی، نمی توان اندازه ی قطر را بر حسب اندازه ی ضلع به صورت عدد صحیح [ و به صورت عدد گویا] به دست آورد [ این حکم درباره ی قطر اصلی شش ضلعی منتظم صادق نیست]. کشف این حقیقت برای جامعه‌ی ریاضی یونان تکان دهنده و به آن معنی بود که آنچه می آموزند، داشته هایی از گونه ی پاره خط های سنجش ناپذیر (3) را در بردارد و رو به رویی با چنین موردهایی، اگر هم پیش پا افتاده باشد، نگران کننده است. از گفت و گوهای افلاطون (4) هم بر می آید که این کشف، ریاضیدانان آن زمان را عموماً دل آزرده ساخته بوده است – در حسابان هم در موردهایی کاملاً مقدماتی، مفهوم هایی از این گونه پیش می آید.
پی بردن به موضوع سنجش ناپذیری، رو به رویی مستقیم ریاضیدانان یونانی را با فرایندهای نامتناهی به دنبال داشت. الگوریتم اقلیدس (5) که در حساب و برای یافتن بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح مثبت به کار می رود فرایندی متناهی است، زیرا مجموعه ی عددهای صحیح مثبت یک کوچک ترین عضو دارد که همان عدد یک است و از این رو، فرایند پس از پشت سر گذاشتن مرحله هایی به تعداد محدود سرانجام پایان می یابد. اما اگر همین الگوریتم در بافه ای هندسی و برای به دست آوردن بزرگ ترین اندازه ی مشترک اندازه های دو پاره خط سنجش ناپذیر به کار رود فرایندی خواهد بود که یکسره ادامه می یابد و ایستایی ندارد؛ پاره خطی هر قدر کوچک وجود نخواهد داشت که در هر پاره خط داده شده [سنجش ناپذیر] مضرب صحیحی از آن بگنجد – نه بنابر باور عمومی ریاضیدانان یونان و نه بنابر مفهوم های قراردادی جدید.
فرایندهای نامتناهی چشم اندازی دلهره آور را برای ریاضیدانان آن زمان به همراه داشت و بحران تازه را برای آنان به ارمغان آورد. تقریباً همزمان با کشف بنیان برانداز مفهوم سنجش ناپذیری، زنون ایلیایی (6) پارادوکس هایی زیرکانه را [ در زمینه ی فرایندهای نامتناهی] طرح و بیان کرده بود و ریاضیدانان آن زمان از پاسخ گویی به آن ها عاجز مانده بودند. ارسطو (7) و دیگر فیلسوفان یونانی بر آن شدند که به پارادوکس های زنون پاسخ بدهند. اما ریاضیدانان آن دوران این پاسخ ها را به کلی پرت و ناپذیرفتنی یافتند و در جستجوی راه گریز، سرانجام به این نتیجه رسیدند که بهتر است از خیر فرایندهای نامتناهی بگذرند و آن ها را یکسره نادیده بگیرند.
این بینش می توانست ریاضیات یونانی را از حسابان و از هر چه که هم ارز آن باشد برکنار بدارد. در این بین،ائودوکسوس (8) راهکاری را در دسترس گذارد که از دیدگاه ریاضیدانان نمی شد آن را نادیده گرفت و در اصل، همان مفهوم فرایند نامتناهی را می رساند. این راهکار با این اصل موضوع آغاز می شود که بیشتر با عنوان «لم ارشمیدس» (9) شناخته می شود و در مقدمات (=اصول) اقلیدس (10) در مقاله ی پنجم زیر عنوان تعریف 4 چنین بیان شده است:
مقدارها [ازیک کمیت] را دارای نسبت می نامند هرگاه برای هر دو مقدار، مضربی از هر کدام وجود داشته باشد که از دیگری پیشی بگیرد. [اگر A و B دو مقدار دلخواه از یک کمیت باشند، برای A عدد طبیعی m و برای B عدد طبیعی n وجود داشته باشد که nB>A , mA>B.]
تعریف 4 در واقع اصل موضوعی است که پیش تر ائودوکسوس به کار برده بود. این اصل موضوع را اقلیدس با دستکاری هایی در شماره ی 1 مقاله ی دهم ( و پس از آن ارشمیدس) به کار برده بودند تا «روش (=قاعده ی) افناء» (11) را به اثبات برسانند – روشی هندسی که هم ارز یونانی حسابان شناخته می شود:
بنابر آن که دو مقدار نابرابر نموده شده باشند، اگر از مقدار بزرگ تر مقداری بیش از نصف آن کم شود و از آنچه برجای می ماند باز مقداری بیش از نصف آن کم شود، و این فرایند پشت سر هم تکرار شود، سرانجام مقداری بر جای می ماند که کم تر از مقدار کوچک تر نموده شده خواهد بود.
این حکم را می توان تعمیم داد و هر بار به جای «بیش از نصف»، « ناکم تر از نصف» و یا بیش از یک سوم و یا بیش از هر کسر سره ی دیگر را به کار برد.
حکم اقلیدس، با آن که در شکل هندسی و ناپیراسته بیان شده، یکی از کهن ترین قضیه ها در زمینه ی حد است و به زبان امروزی چنین بیان می شود: بنابر آن که A و a دو مقدار (مثبت) و نابرابر نموده شده باشند و A مقدار بزرگ تر باشد و از A نصف آن و از نصف نصف آن نیز نصف آن کم شود و این فرایند تا n بار تکرار شود، سرانجام آنچه می ماند برابر است با:
و اگر n بسیار بزرگ شود: که نماد امروزی نشانگر بینهایت هم در آن به کار رفته است. در آن دوران از به کار بردن هر نشانه ای عمومی که فرایندی نامتناهی را برساند به دقت و برای احتیاط پرهیز می کرده اند. با این همه، دو گونه بیان که اقلیدس به کار برده و امروزه به کار می رود در معنی زیاد از هم متفاوت نیستند، زیرا امروزه هم برای آن که ثابت شود باید ثابت کرد که اگر عددی مثبت و کاملاً کوچک باشد ( هم ارز مقدار کوچک a در صورت قضیه ی اقلیدس)، عددی طبیعی مثل N ( هم ارز جمله ی « اگر فرایند پشت سر هم تکرار شود») وجود دارد که به ازای هر عدد طبعی مثل n، از n>N نتیجه می شود که ****
حسابان اقلیدس ( که به احتمال زیاد برگرفته از ائودوکسوس است) بایستی کارایی کم تری از حسابانی داشته باشد که دو هزار سال پس از آن از سوی نیوتن (12) و لایب نیتس (13) نموده شده است. اما در بیان اندیشه ی بنیانی مفهوم حد، بین آن و آنچه نیوتن به گونه ی ناپخته به کار برده و در سده ی نوزدهم بازنگری و عیب زدایی شده است، تفاوت چندانی وجود ندارد. دانشجویی مبتدی که به آسانی و طوطی
وار بیان می کند که انتگرال**** می شود ، شاید خیلی بیشتر از اقلیدس آمادگی بیابد تا در فن حسابان همیشه موفق باشد، اما این احتمال هم هست که با فرمولی یاد گرفتن مفهوم حد، در روبه رویی با قانون های منطقی و دقیقی که مولفِ مقدمات به دست داده است لنگ بماند. [ و مهم ترین ابزارِ خوب فهمیدنِ ریاضیات و درست اندیشیدن را نتواند به درستی به کار ببرد].
سنجش و مقایسه ی شکل های مستقیم الخط و منحنی الخط از مسئله های دشوار و سرسخت بر جای مانده از دوره های کهن بوده است. اقلیدس روش افناء را (در شماره ی 1 مقاله ی دهم) از آن رو به کار برد که زمینه را برای حل این مسئله آماده کرده باشد. او بنابر برهان شماره ی 2 از مقاله ی دوازدهم و بر همین پایه ثابت کرد که نسبت مساحت های دایره ها برابر است با نسبت مساحت های مربع های محیطی آن ها و برابر است با نسبت توان های دوم قطرهای آن ها.
بنابر آنچه گذشت، ناگزیریم شباهت بین روش قدیمی افناء و روش فرمول بندی دقیق و امروزی حسابان را بپذیریم، اما باز هم تفاوت هایی اساسی بین آن ها وجود دارد. نمایان ترین ناهمگونی دو روش در انگیزه ی روی کار آمدن آن ها است. روش افناء برای آن فراهم آمد که برای قضیه ای که درستیش از راه هایی کلاً غیررسمی به دست آمده بود اثباتی خالی از هر گونه لغزش را فراهم آورد؛ چنان که ماده ی اصلی مفهوم نموده شده در شماره ی 2 از مقاله ی دوازدهم مقدمات هم بر گرفته از پنداشتی بود که در دوران پیش هلنی ها و بیش از یک هزاره ی پیش از زمان اقلیدس، از تمدن های کناره ی نیل و میان دو رود دجله و فرات بر جای مانده بود. روش امروزی حسابان، اگرچه بر اثباتی نه زیاد استوار و توان مند تکیه دارد، اما ارزش و برتری آن از آن روست که کارایی شگفت انگیزی دارد و از آن روست که ابزاری برای پیشرفت و دستیابی به نوآوری های کمّی جدید است.
پی بردن به موضوع سنجش ناپذیری، رو به رویی مستقیم ریاضیدانان یونانی را با فرایندهای نامتناهی به دنبال داشت. الگوریتم اقلیدس (5) که در حساب و برای یافتن بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح مثبت به کار می رود فرایندی متناهی است، زیرا مجموعه ی عددهای صحیح مثبت یک کوچک ترین عضو دارد که همان عدد یک است و از این رو، فرایند پس از پشت سر گذاشتن مرحله هایی به تعداد محدود سرانجام پایان می یابد. اما اگر همین الگوریتم در بافه ای هندسی و برای به دست آوردن بزرگ ترین اندازه ی مشترک اندازه های دو پاره خط سنجش ناپذیر به کار رود فرایندی خواهد بود که یکسره ادامه می یابد و ایستایی ندارد؛ پاره خطی هر قدر کوچک وجود نخواهد داشت که در هر پاره خط داده شده [سنجش ناپذیر] مضرب صحیحی از آن بگنجد – نه بنابر باور عمومی ریاضیدانان یونان و نه بنابر مفهوم های قراردادی جدید.
فرایندهای نامتناهی چشم اندازی دلهره آور را برای ریاضیدانان آن زمان به همراه داشت و بحران تازه را برای آنان به ارمغان آورد. تقریباً همزمان با کشف بنیان برانداز مفهوم سنجش ناپذیری، زنون ایلیایی (6) پارادوکس هایی زیرکانه را [ در زمینه ی فرایندهای نامتناهی] طرح و بیان کرده بود و ریاضیدانان آن زمان از پاسخ گویی به آن ها عاجز مانده بودند. ارسطو (7) و دیگر فیلسوفان یونانی بر آن شدند که به پارادوکس های زنون پاسخ بدهند. اما ریاضیدانان آن دوران این پاسخ ها را به کلی پرت و ناپذیرفتنی یافتند و در جستجوی راه گریز، سرانجام به این نتیجه رسیدند که بهتر است از خیر فرایندهای نامتناهی بگذرند و آن ها را یکسره نادیده بگیرند.
این بینش می توانست ریاضیات یونانی را از حسابان و از هر چه که هم ارز آن باشد برکنار بدارد. در این بین،ائودوکسوس (8) راهکاری را در دسترس گذارد که از دیدگاه ریاضیدانان نمی شد آن را نادیده گرفت و در اصل، همان مفهوم فرایند نامتناهی را می رساند. این راهکار با این اصل موضوع آغاز می شود که بیشتر با عنوان «لم ارشمیدس» (9) شناخته می شود و در مقدمات (=اصول) اقلیدس (10) در مقاله ی پنجم زیر عنوان تعریف 4 چنین بیان شده است:
مقدارها [ازیک کمیت] را دارای نسبت می نامند هرگاه برای هر دو مقدار، مضربی از هر کدام وجود داشته باشد که از دیگری پیشی بگیرد. [اگر A و B دو مقدار دلخواه از یک کمیت باشند، برای A عدد طبیعی m و برای B عدد طبیعی n وجود داشته باشد که nB>A , mA>B.]
تعریف 4 در واقع اصل موضوعی است که پیش تر ائودوکسوس به کار برده بود. این اصل موضوع را اقلیدس با دستکاری هایی در شماره ی 1 مقاله ی دهم ( و پس از آن ارشمیدس) به کار برده بودند تا «روش (=قاعده ی) افناء» (11) را به اثبات برسانند – روشی هندسی که هم ارز یونانی حسابان شناخته می شود:
بنابر آن که دو مقدار نابرابر نموده شده باشند، اگر از مقدار بزرگ تر مقداری بیش از نصف آن کم شود و از آنچه برجای می ماند باز مقداری بیش از نصف آن کم شود، و این فرایند پشت سر هم تکرار شود، سرانجام مقداری بر جای می ماند که کم تر از مقدار کوچک تر نموده شده خواهد بود.
این حکم را می توان تعمیم داد و هر بار به جای «بیش از نصف»، « ناکم تر از نصف» و یا بیش از یک سوم و یا بیش از هر کسر سره ی دیگر را به کار برد.
حکم اقلیدس، با آن که در شکل هندسی و ناپیراسته بیان شده، یکی از کهن ترین قضیه ها در زمینه ی حد است و به زبان امروزی چنین بیان می شود: بنابر آن که A و a دو مقدار (مثبت) و نابرابر نموده شده باشند و A مقدار بزرگ تر باشد و از A نصف آن و از نصف نصف آن نیز نصف آن کم شود و این فرایند تا n بار تکرار شود، سرانجام آنچه می ماند برابر است با:
و اگر n بسیار بزرگ شود: 
که نماد امروزی نشانگر بینهایت هم در آن به کار رفته است. در آن دوران از به کار بردن هر نشانه ای عمومی که فرایندی نامتناهی را برساند به دقت و برای احتیاط پرهیز می کرده اند. با این همه، دو گونه بیان که اقلیدس به کار برده و امروزه به کار می رود در معنی زیاد از هم متفاوت نیستند، زیرا امروزه هم برای آن که ثابت شود
باید ثابت کرد که اگر عددی مثبت و کاملاً کوچک باشد ( هم ارز مقدار کوچک a در صورت قضیه ی اقلیدس)، عددی طبیعی مثل N ( هم ارز جمله ی « اگر فرایند پشت سر هم تکرار شود») وجود دارد که به ازای هر عدد طبعی مثل n، از n>N نتیجه می شود که ****حسابان اقلیدس ( که به احتمال زیاد برگرفته از ائودوکسوس است) بایستی کارایی کم تری از حسابانی داشته باشد که دو هزار سال پس از آن از سوی نیوتن (12) و لایب نیتس (13) نموده شده است. اما در بیان اندیشه ی بنیانی مفهوم حد، بین آن و آنچه نیوتن به گونه ی ناپخته به کار برده و در سده ی نوزدهم بازنگری و عیب زدایی شده است، تفاوت چندانی وجود ندارد. دانشجویی مبتدی که به آسانی و طوطی
وار بیان می کند که انتگرال****
می شود
، شاید خیلی بیشتر از اقلیدس آمادگی بیابد تا در فن حسابان همیشه موفق باشد، اما این احتمال هم هست که با فرمولی یاد گرفتن مفهوم حد، در روبه رویی با قانون های منطقی و دقیقی که مولفِ مقدمات به دست داده است لنگ بماند. [ و مهم ترین ابزارِ خوب فهمیدنِ ریاضیات و درست اندیشیدن را نتواند به درستی به کار ببرد].سنجش و مقایسه ی شکل های مستقیم الخط و منحنی الخط از مسئله های دشوار و سرسخت بر جای مانده از دوره های کهن بوده است. اقلیدس روش افناء را (در شماره ی 1 مقاله ی دهم) از آن رو به کار برد که زمینه را برای حل این مسئله آماده کرده باشد. او بنابر برهان شماره ی 2 از مقاله ی دوازدهم و بر همین پایه ثابت کرد که نسبت مساحت های دایره ها برابر است با نسبت مساحت های مربع های محیطی آن ها و برابر است با نسبت توان های دوم قطرهای آن ها.
بنابر آنچه گذشت، ناگزیریم شباهت بین روش قدیمی افناء و روش فرمول بندی دقیق و امروزی حسابان را بپذیریم، اما باز هم تفاوت هایی اساسی بین آن ها وجود دارد. نمایان ترین ناهمگونی دو روش در انگیزه ی روی کار آمدن آن ها است. روش افناء برای آن فراهم آمد که برای قضیه ای که درستیش از راه هایی کلاً غیررسمی به دست آمده بود اثباتی خالی از هر گونه لغزش را فراهم آورد؛ چنان که ماده ی اصلی مفهوم نموده شده در شماره ی 2 از مقاله ی دوازدهم مقدمات هم بر گرفته از پنداشتی بود که در دوران پیش هلنی ها و بیش از یک هزاره ی پیش از زمان اقلیدس، از تمدن های کناره ی نیل و میان دو رود دجله و فرات بر جای مانده بود. روش امروزی حسابان، اگرچه بر اثباتی نه زیاد استوار و توان مند تکیه دارد، اما ارزش و برتری آن از آن روست که کارایی شگفت انگیزی دارد و از آن روست که ابزاری برای پیشرفت و دستیابی به نوآوری های کمّی جدید است.
پی نوشت ها :
1- first principle = primitive axiom.
2- Hippias.
3- incommensurable.
4- Plato .
5- Euclidean algorithm.
6- Zeno of Elea.
7- Aristotle.
8- Eudoxus.
9- the lemma of Archimedes.
10- Euclid's Elements.
11- method of exhaustion.
12- Newton.
13- Leibniz.
