حسابان مسیحی

اشتراک مساعی قرون وسطایی

تمدن رومی روی هم رفته چندان با ریاضیات سازگار نبود. در سده های دوازدهم و سیزدهم، اروپای لاتین به فراگیری ریاضیات کلاسیک روی آورد که از یونانی، عربی، عبری، سوری و یا از زبان های دیگر ترجمه می شد. اما سطح ریاضیات اروپای قرون وسطا همچنان از سطح آن در یونان قدیم پایین تر باقی مانده بود.
با این همه، در سده ی چهاردهم نوآوری هایی راستین روی داد که پیشرفت هایی را در راستای در پی داشت که پیشینیان از آن غافل مانده بودند. بنیان و کارکرد ریاضیات و همچنین فیزیک ارشمیدسی بر پایه ی سکون و ایستایی بوده است؛ بررسی تغییرهای جنبشی و حرکتی، بیشتر از دیدگاه کیفی و در بحث های فلسفی مورد توجه بوده و به جنبه ی کمّی و فرمول بندی علمی آن ها توجهی نمی شده است. اما در سده ی چهاردهم، معمول شدن بحث های استدلالی و کلامی در دانشگاه های آکسفورد (1) و پادوآ (2)، پیچ و خم های ریاضی را در نظریه ی ارسطوییِ تغییر و تبدیل ها پیش آورد. دانشجویان (= طلبه ها) به طرح پرسش هایی از گونه های زیر روی آوردند: اگر جسمی با سرعت متغیر حرکت کند، در زمانی معین چه مسافتی را خواهد پیمود؟ اگر دمای بدنی از قسمتی تا قسمتی دیگر تغییر کند چه مقدار گرما در همه ی بدن وجود خواهد داشت؟ کسی که سابقه ی آشنایی با چنین مسئله هایی را داشته باشد به وضوح آن ها را وابسته به حوزه ی عمل حسابان می یابد، اما آنچه از گذشته ها به دست دانشجویان سده های میانه رسیده بود، تجزیه و تحلیل ریاضی متغیرها را در بر نداشت. نتیجه این بود که دانشگاهیان کلیساییِ انگلیس، فرانسه، و ایتالیا حساب انتگرال مقدماتی ای برای خودشان درست کرده بودند.
یکی از رهبران این جنبش نیکول اورِسم (3) (1323-1382) اسقف لیزیو (4) بود. او، برای آن که مسافت پیموده شده ی جسمی متحرک با سرعت متغیر را بررسی کند، در یک صفحه خطی افقی به نام خط طول ها (5) را رسم کرد و هر نقطه از آن را نظیر یک لحظه ی زمانی از حرکت جسم در نظر گرفت. آن گاه در هر نقطه از این خط طول ها، پاره خط هایی قائم به نام عرض ها (6) را نیز رسم کرد که هر کدام از آن ها نمایان گر سرعت جسم در لحظه ی زمانی نظیر آن نقطه بود. سپس با گذراندن خطی بر نوک های عرض ها، شکل را کامل کرد و نمودار تابع تغییرهای سرعت بر حسب زمان را به دست آورد. در تاریخ ریاضیات، این نمودار یکی از کهن ترین نمونه های «نمودار یک تابع» (7) به شمار می آید. اورسم نشان داد که در این نمودار، هر جزء از مسافت سطح محصور بین خط طول ها و خط گذرنده ی بر نوک های عرض ها و محدود به دو عرض متوالی، نمودار یک جزء از مسافت پیموده شده ی نظیر افزایشِ لحظه ای سرعت، و مساحت کل این سطح نمودار مسافت پیموده شده ی جسم متحرک است. در این جا خارج از انتظار نیست که خواننده همه ی دردسرهای فلسفی و منطقی ای را به یاد بیاورد که به طرح پارادوکس های زنون انجامید و سبب شد ریاضیدانان یونانی ذهن خود را از پرداختن به آن گونه تغییرها برکنار بدارند.
اورسم آن گونه تغییرها را که با آن ها سروکار داشت به دو دسته‌ ی یکنواخت (8) (= ثابت) و غیریکنواخت (9) (=غیرثابت)، و دسته ی اخیر را نیز بنابر آن که غیریکنواختی به صورت یکنواخت یا غیریکنواخت (10) باشد به دو زیر دسته تقسیم کرد. او دریافت که تنها در دو حالت یکنواخت یا غیر یکنواخت با نرخ تغییر یکنواخت می تواند انتگرال گیری به مفهوم ضمنی را انجام دهد؛ یعنی وقتی موضوع چنان ساده باشد که به محاسبه ی مساحت مستطیل، مثلث یا ذوزنقه ی روی نمودار منجر شود. مثلاً او جسمی را در نظر گرفت که در نقطه ی A (شکل 2) در حالت ایستایی است و از آن جا با سرعتی که به گونه ی یکنواخت، غیریکنواخت است آغاز به حرکت می کند و ضلع AC از مثلث ABC را می پیماید.
قاعده ی AB از مثلث خط طول ها و ضلع قائم BC از مثلث آخرین عرض از نمودار است. از آن رو که مساحت این مثلث برابر با حاصل ضرب قاعده ی AB در نصف ارتفاع BC است و اگر D وسط AB و E وسط AC باشد، مساحت مثلث برابر است با حاصل ضرب AB در DE و برابر است با مساحت مستطیل ABGF. نتیجه می شود مسافتی که جسم یاد شده می پیماید برابر است با مسافتی که جسمی دیگر آن را در همان زمان اما با سرعت یکنواخت برابر با DE، یعنی برابر با سرعت جسم یکم در لحظه ی میانی مدت زمان حرکت آن، می پیماید. نتیجه ای که اورسم به آن دست یافت با نمادگذاری امروزی هم ارز است با دستور
که بیانی نمادی، فشرده، رسا و خالی از هر گونه ابهام است و گالیلئو گالیلئی (11) (=گالیله) در دو سده و نیم دیرتر ( با همان شیوه ی استدلال) آن را به دست آورد و به کار برد.
اورسم و گالیله، هر دو، عنصرهای هندسی را با همان انگاره ها و معنی های قدیمی آن ها به کار می برده اند؛ به این معنی که در پیمایش مثلث یا مستطیل، این شکل ها را ساختاری فراهم آمده از تعداد شماره ناپذیری خط های راست قائم می انگاشته اند. چنین دیدگاهی همان بود که ارشمیدس در روش خود به کار برده بود؛ و با این که رساله ی مربوط به آن تا آن زمان باقی نمانده بود، این اندیشه که مساحت ترکیبی است از تعداد شماره ناپذیری خط های هندسی، به دست دانشجویان (=طلبه های) قرون وسطا به نوشته های هر دو دسته از نویسندگان قدیم و جدید راه یافته بود.
وجه دیگر حساب انتگرال قدیمی، یعنی روش دقیق افناء، در همه ی دوره های قرون وسطا خیلی کم طرف توجه بود و بازشناسانده نشد؛ و حتی در دوره ی نوزایی ریاضیات هم، دقت منطقی دوره ی باستان بدون جانشینی برتر پابرجا ماند. در آستانه ی عصر جدید، روش هندسه دان ها استدلال نبود – نه استدلال برای رفع شک از چیزی که پذیرفتنی به نظر می رسید، بلکه روشی برای کشف که به نتیجه های جدید منجر می شد.
در ارتباط با آموزش هایی که در قرون وسطا در زمینه ی نمودار اورسم انجام می گرفته یادآوری این نکته شایان اهمیت است که سنجش عرضی نمودارها (12) [= نسبت دادن یک عرض به هر نقطه از آن ها]، مفهومی هم ارز با مشتق گیری (13) نبوده است. امروزه، دانشجویی که درس حسابان را می گذراند، با نگاهی به نمودار اورسم، به احتمال زیاد نخست این گمان را می برد که موضوع شکل نمایش این نکته است که شیب منحنی نمودارِ سرعت بر حسب زمان برابر است با شتاب، یعنی برابر است با نرخ تغییرهای سرعت بر حسب زمان و بعد ممکن است دانشجو به این فکر بیفتد که نمودار مقدار مسافت را برابر با مساحت ناحیه ی زیر منحنی نشان می دهد. سبب این است که امروزه در درس حسابان بنابر معمول، نخست مشتق (14) و مشتق گیری را می آموزند و پس از آن به آموزش [تابع اولیه] انتگرال می پردازند. آن کتاب های درسی که به نوعی به ترتیب عکس عمل می کنند و آموزش انتگرال را پیش از آموزش مشتق می آورند، بر تاریخ حسابان منطبق ترند زیرا در حدود دو هزار سال، انتگرال گیری مقدم بر مشتق گیری بوده است. به این حقیقت هم باید توجه داشت که در کارهایی از ارشمیدس در ارتباط با مماس بر منحنی حلزونی، نشانه هایی از حساب دیفرانسیل به چشم می خورد و دستنوشته هایی که نمودارهایی از اورسم را نشان می دهند نیز اشاره هایی انکارناپذیر به مثلث دیفرانسیلی (15) را در بردارند. در سنجش عرضی نمودارها، آن گاه که یک کمیت روندی به سرعت صعودی داشته بدیهی بوده است که روند به سرعت صعودی عرض ها نسبت به طول ها را در پی داشته باشد؛ تا آن زمان، چه در دوره ی باستان و چه در قرون وسطا، هیچ گونه اصطلاح یا روشی بسامان که گسترش و بهره ور کردن این گونه مفهومی را برساند به کار نرفته است.

پی نوشت ها :

1- Oxford.
2- Padua.
3- Nicole Oresme.
4- .Lisieux
5- Longitudes.
6- Latitude .
7- graph of the function .
8- uniform.
9- difform.
10- uniformly difform, difformly difform .
11- Galileo Galilei.
12- عنوانی که لاتینی آن را اورسم برای شیوه ی کار خود به کار برده است. – م.
13- differentiation.
14- devivative.
15- differential triangle.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..