نویسنده: کارل بنجامین بویر
مترجم: عبدالحسین مصحفی
مترجم: عبدالحسین مصحفی
از به هم آمیختن برایندهای کنش و واکنش های قرون وسطا با تازه ترین و کهن ترین اندیشه ها، ترکیبی شکل گرفت که با عنوان نوزایی ریاضیات (1) شناخته می شود و بیشترین گسترش آن در سده ی هفدهم بوده است. در این دوره، به ویژه بهره گیری های گسترده از کارهای ارشمیدس از سر گرفته شد و به آن جا انجامید که راهی میانبر بیابند ک بتواند حساب انتگرال را ساده تر کند. در این زمینه، مفهوم فریبنده ی تقسیم ناپذیری (2) در هندسه نقشی مهم را بازی کرد.
گالیله با توجه به کارهایی که در سده های میانه در زمینه ی دینامیک انجام گرفته بود با این مفهوم آشنایی داشته است. یوهان کپلر (3) (1571-1630) نیز در کتابی که در زمینه ی اندازه گیری حجم بشکه های شراب تألیف و منتشر کرد روش ارشمیدس را به گونه ی کارآمد شده ی آن پذیرفت و به کار برد. بوناونتورا کاوالیزی (4)، شاگرد گالیله، با پیگیری کارهای گالیله و کپلر در زمینه ی انتگرال گیری، کتاب هندسه ی پیوستارهای تقسیم ناپذیر را به سال 1635 منتشر کرد. در این کتاب، تقسیم ناپذیر یا بی نهایت کوچک ثابت، در مسئله های مربوط به اندازه گیری سطح ها و حجم ها با چنان کارایی و کامیابی ای به کار رفته بود که اصل موضوع (4) بنیادی پذیرفته شده در آن که بیشتر با نام قضیه ی کاوالیری شناخته می شود، تا به امروز با همین نام و به شرحی که می آید در کتاب های درسی مقدماتی به یادگار مانده است. «اگر دو جسم (یا دو ناحیه از یک صفحه) ارتفاع های برابر داشته باشند و اگر هر دو مقطع موازی با قاعده ها و به یک فاصله از آن ها همواره به یک نسبت معین باشند، آن گاه حجم های آن دو جسم (یا مساحت های آن دو ناحیه) نیز به همان نسبت خواهند بود.» بنابراین اصل،کاوالیری توانست نتیجه بگیرد که «اگر بخش ناپذیرهایی با بخش ناپذیرهای دیگر نظیر به نظیر بر یک نسبت معین باشند آن گاه کلّ آن ها ( یعنی شکل های با بُعدهای بالا و پدید آمده از آن ها) نیز بر همان نسبت معین هستند.» اندیشه ای که اصل کاوالیری بر آن استوار است نوآوری تازه ی سال 1635 به شمار نمی آید، بلکه روش مکانیکی ارشمیدس و انتگرال گیری های اورسم و گالیله الهام بخش های آن بوده اند. کپلر آن گاه که دریافت ناحیه هایی از صفحه که با بیضی و با دایره ی
نموده می شوند پدید آمده از نقطه هایی هستند که نظیر به نظیر مختصاتشان بر نسبت ثابت b به a هستند، از اصل کاوالیری نتیجه گرفت که مساحت بیضی با مساحت دایره نیز بر نسبت ثابت b به a است و چون مساحت دایره برابر با است، مساحت بیضی برابر است با: کاوالیری هنرمندانه و ماهرانه توانست اندیشه ی تقسیم ناپذیری را برای حل بسیاری از مسئله های گوناگون جدید به کار ببرد. درست در همان زمان که هندسه ی تقسیم ناپذیرهای او گسترش می یافت، ریاضیدانان با مسئله ای جدید از پیر فرما (6) روبرو بودند که موضوع آن سهمی های از مرتبه ی بالا به معادله ی بود. کاوالیری در کار جدیدش بر آن شد که انتگرال گیری اورسم از kt را به انتگرال گیری از تعمیم دهد و به فرمول آشنای زیر دست یافت: به نظر می رسد کاوالیری نخستین کسی باشد که این رابطه را به این مفهوم منتشر کرده است. اما ( به غیر از فرما) ریاضیدانانی دیگر از جمله ژیل پرسن دو ربروال (6) و اوانجلیستا توریچلی (7) نیز مستقل از کاوالیری به این نتیجه رسیده بودند. روش تقسیم ناپذیرها دیگر اختصاص به کاوالیری نداشت. مردانی که در جریان اندیشه های ریاضی روز قرار داشتند آن را در موردهای بسیار زیاد به کار می بردند.
کاوالیری، همچون همعصرانش، روش تقسیم ناپذیرها را جزئی از هندسه می انگاشت؛ اما همان وقت که او اندیشه هایش را می نوشت هندسه در آستانه ی تحلیلی شدن بود و انقلابی را در ریاضیات سرتاسر اروپا با خود به ارمغان می آورد.
گالیله با توجه به کارهایی که در سده های میانه در زمینه ی دینامیک انجام گرفته بود با این مفهوم آشنایی داشته است. یوهان کپلر (3) (1571-1630) نیز در کتابی که در زمینه ی اندازه گیری حجم بشکه های شراب تألیف و منتشر کرد روش ارشمیدس را به گونه ی کارآمد شده ی آن پذیرفت و به کار برد. بوناونتورا کاوالیزی (4)، شاگرد گالیله، با پیگیری کارهای گالیله و کپلر در زمینه ی انتگرال گیری، کتاب هندسه ی پیوستارهای تقسیم ناپذیر را به سال 1635 منتشر کرد. در این کتاب، تقسیم ناپذیر یا بی نهایت کوچک ثابت، در مسئله های مربوط به اندازه گیری سطح ها و حجم ها با چنان کارایی و کامیابی ای به کار رفته بود که اصل موضوع (4) بنیادی پذیرفته شده در آن که بیشتر با نام قضیه ی کاوالیری شناخته می شود، تا به امروز با همین نام و به شرحی که می آید در کتاب های درسی مقدماتی به یادگار مانده است. «اگر دو جسم (یا دو ناحیه از یک صفحه) ارتفاع های برابر داشته باشند و اگر هر دو مقطع موازی با قاعده ها و به یک فاصله از آن ها همواره به یک نسبت معین باشند، آن گاه حجم های آن دو جسم (یا مساحت های آن دو ناحیه) نیز به همان نسبت خواهند بود.» بنابراین اصل،کاوالیری توانست نتیجه بگیرد که «اگر بخش ناپذیرهایی با بخش ناپذیرهای دیگر نظیر به نظیر بر یک نسبت معین باشند آن گاه کلّ آن ها ( یعنی شکل های با بُعدهای بالا و پدید آمده از آن ها) نیز بر همان نسبت معین هستند.» اندیشه ای که اصل کاوالیری بر آن استوار است نوآوری تازه ی سال 1635 به شمار نمی آید، بلکه روش مکانیکی ارشمیدس و انتگرال گیری های اورسم و گالیله الهام بخش های آن بوده اند. کپلر آن گاه که دریافت ناحیه هایی از صفحه که با بیضی و با دایره ی
نموده می شوند پدید آمده از نقطه هایی هستند که نظیر به نظیر مختصاتشان بر نسبت ثابت b به a هستند، از اصل کاوالیری نتیجه گرفت که مساحت بیضی با مساحت دایره نیز بر نسبت ثابت b به a است و چون مساحت دایره برابر با
است، مساحت بیضی برابر است با: 
کاوالیری هنرمندانه و ماهرانه توانست اندیشه ی تقسیم ناپذیری را برای حل بسیاری از مسئله های گوناگون جدید به کار ببرد. درست در همان زمان که هندسه ی تقسیم ناپذیرهای او گسترش می یافت، ریاضیدانان با مسئله ای جدید از پیر فرما (6) روبرو بودند که موضوع آن سهمی های از مرتبه ی بالا به معادله ی 
بود. کاوالیری در کار جدیدش بر آن شد که انتگرال گیری اورسم از kt را به انتگرال گیری از 
تعمیم دهد و به فرمول آشنای زیر دست یافت: 
به نظر می رسد کاوالیری نخستین کسی باشد که این رابطه را به این مفهوم منتشر کرده است. اما ( به غیر از فرما) ریاضیدانانی دیگر از جمله ژیل پرسن دو ربروال (6) و اوانجلیستا توریچلی (7) نیز مستقل از کاوالیری به این نتیجه رسیده بودند. روش تقسیم ناپذیرها دیگر اختصاص به کاوالیری نداشت. مردانی که در جریان اندیشه های ریاضی روز قرار داشتند آن را در موردهای بسیار زیاد به کار می بردند.کاوالیری، همچون همعصرانش، روش تقسیم ناپذیرها را جزئی از هندسه می انگاشت؛ اما همان وقت که او اندیشه هایش را می نوشت هندسه در آستانه ی تحلیلی شدن بود و انقلابی را در ریاضیات سرتاسر اروپا با خود به ارمغان می آورد.
پی نوشت ها :
1- .renaissance in mathematics
2- indivisible.
3- Johann Kepler.
4- Bonaventura Cavalieri.
5- postulate.
6- Peirre de Fermat .
7- Gilles Persone de Roberval.
8- Evangelista Torricelli.
