نمادگرایی منطقی در ریاضیّات

 

نیوتن و لایب نیتس را نمی توان نخستین کسانی به شمار آورد که در زمینه های مشتق گیری، انتگرال گیری و رابطه ی معکوس بین آن ها، و همچنین در زمینه ی سری های نامتناهی، روش هایی را به کار برده و درباره ی آن ها آگاهی هایی را به دست داده اند، کار مهم و هم راستای این دو نفر، فراهم آوردن و شناخت دستاوردهای دیگران، بررسی و سنجش کاراییِ کاربردی آن ها، روبه راه کردن دیدگاهی عمومی و سرانجام به دست دادن روشی جدید، فراگیر و با بهره دهی گسترده بوده است.
نیوتن و لایب نیتس، هر کدام بر آن شده بود تا برای خوب فهماندن روش جدیدی که نمایانده است و برای آن که اهمیت آن را به درستی نشان دهد، زبان، منطق، و نمادهایی ویژه را در آن به کار ببرد. هیچ یک از آن دو برای برپایی یک بنیاد منطقیِ از هر جهت کارآمد توانایی لازم را نداشت، اگرچه مسلم بود که در این باره شایستگی نیوتن بیش از لایب نیتس می بوده است. بیشترین کوششی هم که نیوتن در این زمینه از خود نشان داده بود در کتاب اصول آمده است، در آن جا که اندیشه و دیدگاه خود را درباره‌ی «نسبت‌ های آغازین و فرجامین» شرح و بسط داده بود.
باآن که به کار بردن نشانه های جدید در غیر از زمان آن ها ممکن است کاری اشتباه آمیز باشد، از این راه بهتر می توانیم فرمول هایی را که نیوتن به کار برده است توضیح دهیم. او نماد y را به جای نسبت دو مقدار بسیار کوچک و به کار برده است و درباره ی این نسبت یادآوری می کند که: «از نسبت فرجامینِ مقدارهای بسیار کوچک می‌ توان به نسبت آن مقدارها پی برد، اما نه پیش از آن که آن ها هیچ شوند [ یعنی هر چه بیشتر به صفر نزدیک شده باشند] و نه پس از آن، بلکه آن گاه که با هم هیچ می شوند.» نیوتن در این جا بسیار زیاد و ناخودآگاه به مفهوم حد نزدیک بوده است؛ اما به این مفهوم توجه نداشته و به درک کامل آن راه نبرده است. در واقع، همه ی فکر و تلاش او دستیابی به نسبت بین سرعت ها و توجیه آن بوده است، در صورتی که امروزه می دانیم چنین نسبتی چیزی مگر یک عدد حقیقی نیست. با این حال، در دیرگاهان سده ی نوزدهم بود که کار بزرگ تعریف دقیق عدد حقیقی انجام گرفت.
حسابان لایب نیتس را اگر از دیدگاه منطقی بسنجیم آن را در مرتبه ای پایین تر از حسابان نیوتن می یابیم؛ در آن به هیچ مورد بر نمی خوریم که نسبت به معنی خارج قسمت تغییرهای بی نهایت کوچک y و x پذیرفته شده باشد. چه خود لایب نیتس و چه پیروانش، تغییر بی نهایت کوچک را نه تنها به روشنی معنی نکرده اند بلکه به این نکته هم توجه نداشته اند که آن مقدارها را که نسبت به مقدارهای دیگر بی نهایت مرتبه کوچک ترند باید به کنار نهاد. از دیدگاه منطقی، حسابان لایب نیتس ناکارآمد شناخته می شود اما چون آن را خیلی خوب می شد فهمید و آموخت کامیاب به شمار آمد و همه پذیر شد.
بخشی از کامیابی حسابان لایب نیتس پیامد به کارگیری نظریه ی انتگرال در آن بود، مفهومی که به اندازه ی مفهوم مشتق (2) ابهام آمیز می نمود. فلوئنت های نیوتن هم، که نمودی از مفهوم امروزی «انتگرال نامعین» را داشته اند، تغیرهایی بودند که امروزه می توانیم آن ها را « پادمشتق های (3) [=تابع های اولیه ی (4)]» نسبت به متغیر زمان بنامیم. نیوتن برای نمودن فلوئنت ها، یعنی برای نمایش عملکرد انتگرال گیری، نخست نماد به شکل یک مربع کوچک را به کار برد ( شاید از آن رو که نشان دهد یک مساحت مورد نظر است)؛ سپس یک حرف (نمایش یک متغیر) را همراه با خط قائم کوچکی در بالای آن (مانند) y را برگزید، آنچه امروزه با نموده می شود.
لایب نیتس هم، با این باور که انتگرال نمایان گر فرایند مجموع یابی است، بر آن شد، تا برای گزینش نمادی برای آن از همین واژه ی مجموع بهره بگیرد. اگرچه واژه ی مجموع حاصل جمع تعدادی متناهی از مقدارهایی معین را به ذهن ما می رساند، از دید لایب نیتس این واژه برای نمودن حاصل جمع مقدارهای بسیار کوچک (= حاصل جمع بی نهایت کوچک ها) نیز کارا بوده است. از این رو، او حرف S از واژه لاتینی "summa" (به معنی مجموع) را برگزید و شکل قلمی و کشیده ی آن، یعنی را، نماد نشان دهنده ی انتگرال پذیرفت و به کار برد – نمادی که ا مروزه هم به کار می رود.
چند سال پیش از آن که نوشته ها و فرمول بندی های لایب نیتس منتشر شود، نیوتن گزارش هایی را درباره ی روش هایش فراهم آورده بود اما آن گاه آن ها را منتشر کرد که روش های نموده شده از سوی لایب نیتس در دسترس ریاضی دوستان قرار گرفته و آسانی درک آن ها خوشایندشان واقع شده بود. از این رو، از همعصران نیوتن و لایب نیتس، عده ی آن ها که حسابان را از راه دیفرانسیل ها یاد گرفته بودند خیلی بیشتر از عده ی آن هایی بود که از راه فلوکسیون ها با آن آشنا شده بودند. در سال 1672 هم، آن گاه که نیوتن قصد انتشار کتاب آنالیز را داشت، به دنبال رویداد بحث و جدال هایی درباره ی نوآوری هایش در زمینه ی نور شناخت، انتشار کتاب را باز هم به تأخیر انداخت. در سال 1687 هم که اصول را منتشر کرد تنها دو صفحه از آن را به معرفی روش های خود از حسابان اختصاص داده بود که آن هم عکس العملی در برابر دو مقاله ای از لایب نیتس بود که در 1684 و 1686 در نشریه ی فرهیختگان چاپ شده بودند. مقاله ی نخست در شش صفحه نوشته شده و حساب دیفرانسیل را همراه با قاعده هایی (بدون اثبات) و کاربردهایی از آن معرفی کرده بود و در مقاله ی دوم حساب انتگرال تشریح و بیان شده بود. این مقاله ها خوب نموده نشده بودند و غلط های چاپی هم نارسایی آن ها را افزون ساخته بود، اما از این نظر که در معنی و محتوا بسیار غنی بودند توجه دو برادر ریاضیدان سویسی به نام های یاکوب برنولی (5) و یوهان برنولی (6) را به خود جلب کردند. اینان از مریدان پر حرارت لایب نیتس شدند و برادر جوان تر کتابی درسی را در زمینه ی حساب دیفرانسیل و انتگرال فراهم آورد. دولت مندی به نام مارکی دو لوپیتال (7) شاگرد خصوصی و از پیروان یوهان بود. به احتمال زیاد، به همت و با کمک مالی این شخص کتاب تألیفی یوهان چاپ و در 1696 منتشر شد. این کتاب با عنوان «آنالیز بینهایت کوچک های لوپیتال» (8) زبانزد شد و نخستین کتاب درسی واقعی حسابان شناخته می شود. از این زمان به بعد بود که انتشار روش های لایب نیتس با سرعتی چشمگیر رو به گسترش گذارد.
برخورداری لایب نیتس از وجود پیروان و شاگردانی مشتاق و الهام پذیر، و هم زمان با آن، کناره جویی های نیوتن و پرهیز او از پایه گذاری یک مکتب و از جمع آوری شاگردانی به دور خود، تا حد زیادی پاسخگوی این پرسش است که چرا در اروپای کنتینانتال (= اروپای بدون بریتانیا)، حساب دیفرانسیل با استقبال خوب و شایسته ای رو به رو شد. به علاوه، روش لایب نیتس پیوستگی استواری با حساب و جبر داشت و آنالیز در آن به شیوه ی حسابیدن به کار می رفت، در حالی که روش نیوتن بیشتر با تکیه بر هندسه ی ترکیبی انجام می گرفت. نکته ی دیگر این که مفهوم هایی که حسابان لایب نیتس به کار رفته بودند در سنجشِ با مفهوم های به کار رفته در حسابانِ نیوتن، هر چند از اعتبار منطقی خوبی برخوردار نبودند، برای به کار بردن الگوریتم هایی از حسابان در حل مسئله های هندسه و فیزیک، راهکارهای بیشتری در دسترس می گذاشتند. این دو شیوه ی برخورد با یافته ها نمونه ای پندآموز و هشداردهنده از تاریخ ریاضیات است؛ پافشاری وسواس گونه روی دقت منطقی یک موضوع و به امید دستیابی به یک استدلال موجه از نظر آن موضوع سرباز زدن، چه بسا آن گاه که پیشرفته بودن آن موضوع تحقق یابد و به مرحله ی بهره آوری برسد باعث بحرانی ناخوشایند شود. پس از این باز هم با این بحث رو به رو می شویم و آن را با تجزیه و تحلیلی کارشناسانه بررسی خواهیم کرد.
اگر نیوتن در همان سال 1672 که تألیف کتاب آنالیز را به پایان رساند آن را منتشر هم کرده بود، از آن رو که لایب نیتس در آن موقع هنوز به مفهوم آنالیز نو پی نبرده بود، دیگر بحث درباره ی حق تقدم مورد نداشت و روی نمی داد؛ اما ترس از انتقادهای احتمالی نیوتن را بر آن داشت تا انتشار آنالیز تألیف خود را به عقب بیندازد و لایب نیتس با انتشار اندیشه هایش پیشگام شناخته شود. این فرایند چنان بحث و گفت و گویی را درباره ی حق تقدم پیش آورد که در حوزه ی ریاضیات آن روز شاید ناگوارتر از هر چیز دیگر شناخته شده باشد. بحث و جدل های شخصی با دلبستگی های ملی در هم آمیخت و به گفتگوهای خارج از موضوع و به مشاجره های تند و زننده کشانده شد، تا این که در دور و برهای 1700 گروهی به این نتیجه رسیدند که باید معلوم کنند برای آن که یک نوآوری و نه یک روش مربوط به مماس ها یا یک الگوریتم تازه، شاخه ای نو و عمومی از ریاضیات پذیرفته شود چه شرط یا شرط های معتبر را باید دارا باشد. نیوتن و لایب نیتس هر دو دریافته بودند که سری هایی از گونه ی را می توان به همان شیوه ی کار با تابع های جبری برای تابع های متعالی به کار برد – برای تابع مثلثاتی tanx یا برای تابع لگاریتمی ln(1+x)، به همان گونه که برای تابع جبری و گویای
. این دو پدید آورنده ی آنالیز نو، که مستقل از هم به این دستاورد رسیده بودند، اگر در موردهایی دیدی یکسان داشته اند خارج از انتظار نبوده که در موردهایی هم دیدهایی ناهمگون داشته باشند. نیوتن در تعریف تابع دو مفهوم متغیرهای مستقل و متغیرهای وابسته را به میان آورده است. لایب نیتس تابع را نسبت دادن چیزی به چیز دیگر می دانسته است. نیوتن با اشراف بر ایده ی کلی، به دقت منطقی و به این که حسابان او خالی از ابهام باشد توجه داشته اما لایب نیتس، تحت تأثیر جوّ علمی سده ی هجدهم، توجه عمده اش به کیفیت آموزشیِ کار بوده است تا به کیفیت منطقی آن.
ریاضیدانان اروپای کنتینانتال، با دستیابی به حسابان لایب نیتس، با شور و شوق و بی پروا از خرده گیری ها، به بررسی های همه سویه و موشکافانه ی سری های توانی نامتناهی روی آوردند و بر آن شدند که به توان مندی های ذاتیِ این سری ها پی ببرند و از آن ها بهره برداری کنند. ریاضیدان سویسی لئونارد اویلر (9) قطب این جنبش به شمار می آمد. این هوشمند فرزانه، که با واسطه ی یوهان برنولی شاگرد نسل سوم لایب نیتس بود، با چنان دلبستگی روی فرایندهای نامتناهی کار می کرد که بجا و بمورد، از او با نام «آنالیز مجسّم» یاد می کردند. او در صفحه های آغازین کتاب مقدم ای بر آنالیز بینهایت ها، (10) چاپ 1748، تابع یک متغیری را چنین تعریف کرده است: « هر عبارت تحلیلیِ به هر گونه فراهم آمده از آن مقدار متغیر و از عددها و مقدارهای ثابت.» اویلر در ابتدا مشخص نمی کند که مقصودش از «عبارت تحلیلی» چیست؛ اما کمی بعد چنین توضیح می دهد که با در نظر گرفتن یک متغیر، شک نیست که هر تابع از این متغیر را می توان به عبارتی نامتناهی و به صورت تبدیل کرد.» در این جا اویلر به طور کامل به این دیدگاه جدید نرسیده که این سری یک تابع را معین می کند، اما این موضوع را روشن ساخته است که در بررسی تابع ها، سری های نامتناهی نیز نقشی کلیدی بازی می کنند.

پی نوشت ها :

1- Language, Logic, Symbolism
2- defferential quotient
3- antiderivative
4- primitive function
5- Jakob Bernoulli
6- Johann Bernouli
7- Marquis de L'Hospital
8- L'Hopital's Analyse des infinimen petits
9- Leonhard Euler
10- Introductio in analysin infinitorum.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..