مترجم: عبدالحسین مصحفی
این فلوکسیون ها چه هستند؟ سرعت های ناپدید شدن نموها. و این نموهای به تدریج و یکنواخت ناپدید شونده چه هستند؟ آن ها نه مقدارهای متناهی اند، نه مقدارهای بی نهایت کوچک، و نه هیچ چیز دیگر. آیا مجاز نیستیم آن ها را روح های مقدارهای مرده بنامیم؟
کتاب آنالیست از جهت مطلب ها و استدلال های به کار رفته در آن خوب فراهم آمده بود اما از جهت کارایی، پیامدش این بود که اثری ناخوشایند و اسفبار را روی ریاضیات بریتانیا بر جای گذاشت. مخالفان برکلی هم بی کفایتی از خود نشان داده و ایرادهای او را به گونه ای شایسته و اثر بخش پاسخ ندادند. شور و ذوقی که در بریتانیا برای آشنایی با آنالیز نو پدید آمده بود فروکش کرد و نسبت به اروپای کنتینانتال، پژوهش ها و کارهای ارزشمند در سطحی پایین تر انجام گرفت.
دو عامل دیگر هم تا اندازه ای می توانسته اند در پایین تر بودن سطح آنالیز بریتانیایی مؤثر بوده باشند. یکی این که کارِ روی آن با تکیه بر همان شیوه ی هندسی و ترکیبی ادامه یافت و دیگر این که عقب افتادگیِ خواهی نخواهی کشدار شده، به پذیرش نشانه گذاری های فلوکسیونی هم کشانده شده بود، در حالی که در پذیرش نمادهای خوش آیند حساب های دیفرانسیل و انتگرال تأخیری تا این اندازه در کار نبوده است. هر چه بوده باشد، آن گاه که بریتانیایی ها بر سر مفهوم « به تدریج ناپدید شونده» (3) بگومگوهای گاه تندی داشتند، اویلر اندیشه ی خود را به ویژه روی این موضوع متمرکز کرده بود تا از درون آنالیز نو مفهومی جدیدتر را بیرون بکشد، آنچه امروزه با آن آشنا هستیم – فرایندهای نامتناهی. (4)
ریاضیدانان اروپای کنتینانتال هم در موردهایی درباره ی اعتبار روش های حساب دیفرانسیل و انتگرال تردید داشته اند. از جمله، برنارد نیوونتایت (5) ایرادهایی را بر دیفرانسیل های مرتبه ی بالا وارد می دانست، و اعتراض میشل رول (6) بر حسابان نخست از این رو بود که به مغالطه کشانده می شود. انتقادهای بریتانیایی ها هر چند سر و صدای زیاد را به دنبال داشت اما از اروپایی ها با سکوت سپری می شد. دست اندرکار بودن برنولی و اویلر در روبه راه کردن روش ها و شیوه های الگوریتمیِ کارآمد چنان دستاوردها و پیامدهای تازه ای را به دنبال داشت که ریاضیدانان از هر گونه پرسش و تردید درباره ی آن ها پرهیز داشتند.
ژوزف لوئی لاگرانژ، (7) یکی از ریاضیدانان پر شور و شوق سده ی هجدهم، با بازنگری در تعبیر و تفسیرهای نیوتن و لایب نیتس درباره ی سری های نامتناهی، در 1772 با همه ی کوشش خود بر آن شد تا در این زمینه توضیحی دیگر و بدون هر گونه ابهام را ارائه دهد. بیشتر ریاضیدانان، آن گاه که می‌توانستند با هر روشی یک عبارت جبری را به یک سری نامتناهی بسط دهند، احساس خشنودی می کردند، به عنوان نمونه، آن گاه که در می یافتند بسط عبارت
به ترتیب صعودی توان ها عملی می شود و سری نامتناهی 
به دست می آید. لاگرانژ دریافت اگر ضریب جمله ی مرتبه ی
ام این بسط در !n ضرب شود حاصل برابر خواهد بود با مقدار مشتق مرتبه ی n ام تابع
را نیز می توان به این منظور به کار برد). بیست و پنج سال پس از آن (در 1797)، لاگرانژ بر پایه ی این اندیشه کتاب نظریه ی تابع های تحلیلی (9) را تألیف کرد که نظریه ی جدید تابع های با یک متغیر حقیقی، با دامنه ای گسترده، ساختار اصلی آن را تشکیل می داد. راهکاری که لاگرانژ نشان داد با انتقادهایی اندک روبرو شد و دیری نگذشت که نامناسب به نظر رسید، اما خود او آن را در تعریف مفهومی که تابع مشتق (10) نامید به کار برد. اصطلاحی بر گرفته از واژه ی جدید «مشتق» (11) که ما هم امروزه آن را با همین نام به کار می بریم و مرتبه های یکم، دوم، ...، و n ام آن را، با همان نمادهایی که لاگرانژ وضع کرده است، به ترتیب با
لاگرانژ استاد مدرسه ی پلی تکنیک (12) بود. بزرگان ریاضیدانان سده ی نوزدهم فرانسه عموماً از دانشجویان و از فرهیختگان این مدرسه ی [عالی و بسیار معروف] بوده اند. اگوستن لوئی کوشی (13) توان مندترین و با نفوذترین این ریاضیدانان شناخته شده است. از کارهای اساسی او، که تا امروزه ادامه یافته است، وارد کردن درسی جدید شاملِ مفهوم هایی از حسابان در برنامه ی ریاضی مدرسه های عالی و دانشکده ها بود. او در 1821، آن گاه که کرسی آنالیز را در پلی تکنیک به عهده داشت، تعریف حد را اصلاح و چنین بیان کرد: « هرگاه یک متغیر و یک مقدار ثابت معلوم داده شده باشند و مقدارهایی یکی پس از دیگری به آن متغیر نسبت داده شوند به گونه ای که هر بار مقدار جدید به آن مقدار ثابت نزدیک تر شود و این فرایند بارهای نامتناهی ادامه یابد و سرانجام مقداری نسبت داده شود که تفاوت بین آن و مقدار ثابت از هر مقدار کوچک دلخواه کوچک تر باشد، این آخرین مقدار نسبت داده شده حد همه ی مقدارهای دیگر تعریف می شود.»
در این تعریف، دو حالتی که متغیر می تواند مستقل یا وابسته باشد و نقشی متفاوت که هر کدام می توانند داشته باشند مشخص نشده است و از این رو، از دیدگاه ریاضیات معاصر، تعریفی ناپذیرفتنی است؛ اما همعصران کوشی آن را کارساز یافتند. [مفهوم «a حد متغیر x است» را به صورت « x میل می کند به سمت a» نیز بیان می کنند.]
کوشی پس از بیان تعریف حد، برای نمونه مشتق تابع یک متغیری را بر پایه ی مفهوم حد چنین تعریف کرد: حدِ نسبتِ 
را وقتی
به سمت صفر میل کند مشتق تابع
می نامیم. با آن که مفهوم دیفرانسیل پایه و اساس کارهای لایب نیتس بوده است، کوشی مفهوم مشتق را اساس کار قرار داد – دیفرانسیل تابع
به دست می آید. افزون بر این، از کارهای لایب نیتس (و بنابر دلیل های محکم از کارهای نیوتن) چندین بر می آید که آنان انتگرال تابع f(x) را عموماً همان پادمشتق این تابع می دانسته اند – به این معنی که انتگرال f(x) را تابع دیگری می دانسته اند که f(x) مشتق آن باشد. اما کوشی پیگیر این اندیشه بود که انتگرال f(x) مستقل از مشتق، و برابر با حدّ یک مجموع مشخص، تعریف شود. این دیدگاهِ کوشی راه را باز کرد تا مفهوم انتگرال در گستره ای پهناور، همه سویه تعمیم یابد و پیشرفت های چشمگیری داشته باشد.
شایسته نیست همه ی پیشرفت هایی را که نخستین سال های سده ی نوزدهم در جهت بنیان گذاری حسابان روی داد تنها در اثر اندیشه ها و کارهای کوشی بدانیم. در همان سال ها و در بوهیمیا، (14) کشیشی فیلسوف، منطق دان و ریاضیدان به نام برنارد بولتسانو (15) بسر می برد که اندیشه ی خود را روی حسابیدن آنالیز متمرکز کرده بود. او مشتق را به همان گونه ی کوشی تعریف کرده بود. افزون بر آن، آن دو مستقل از هم به تعریف جدید مفهوم پیوستگی (16) تابع دست یافته بودند. بنابر تعریف نموده شده از آن ها، یک تابع در یک بازه (17) (=فاصله) پیوسته است اگر به ازای هر مقدار x متعلق به آن بازه، تفاوت
از هر مقدار به اندازه ی کافی کوچک
کوچک تر شود و کوچک تر باقی بماند.
مفهوم هایی از حسابان که کوشی و بولتسانو آن ها را شناساندند خیلی زیاد مانند همان هایی هستند که امروزه در دوره های مقدماتی آموزش حسابان آموخته می شوند. اما خود آنان در بیان بعضی از مفهوم ها اصطلاح هایی را به کار برده بودند که معنی دقیق را نمی رساندند. «مقدارهای پیاپی» چه مفهومی را به درستی مشخص می کند؟ « میل کردن به طور نامعین» چه معنی دارد؟ مقصود از « شدن و باقی ماندن» چیست؟ و مقدار « به اندازه ی کافی کوچک» چه می تواند باشد؟ پیشرفت های ریاضیات در سده ی نوزدهم بیش از پیش با حسابیدن ریاضیات همراه بود و همگام با آن، این گونه اصطلاح های بیانی ابهام آمیز جای خود را به نمادهایی خوشایند و دقیق دادند که کارل وایرشتراس (18) آن ها را در نوشته های خود به کار برده بود؛ شیوه ی بیانیِ تعریف ها رها می شد و زبان نمادیِ ناب رو می نمود.
وایرشتراس در تعریف حدّ اصطلاح «میل کردن» را به کنار نهاد و به جای آن «اپسیلون – دلتا» را به کار برده بود:
می گوییم تابع f(x) به ازای x=a دارای حد L است هرگاه به ازای هر عدد مثبت مثل ، عددی مثبت مثل
وجود داشته باشد که به ازای هر مقدار x که
گوشزد می شود که در این جا حد تابع تعریف می شود و نه حد چیز مبهمی به نام متغیر.
در سده ی چهاردهم در کارهای اورسم این مفهوم کلی به چشم می خورد که یک کمیت می تواند وابسته به کمیت دیگر باشد ( یا همراه با آن تغییر کند). لایب نیتس واژه ی «تابع» را تا اندازه ای با همان معنی امروزی آن به کار برد. به دنبال کارهای نیوتن هم مفهوم هایی خیلی مشخص در زمینه ی کمیت هایی بیان می شدند که بر حسب زمان تغییر می کردند و از این رو وابسته به یکدیگر بودند. اویلر در اثر پر نفوذش، مقدمه، (19) در تعریف تابع تأکیدش بر « عبارت های تحلیلی» (20) بوده است، اگرچه در جاهای دیگر بر این باور بوده است که هر خمِ با دست بدون ابزار رسم شده یک رابطه ی تابعی را تعیین می کند.
در طول سده ی نوزدهم گرایش ها همچنان به حسابیدن ریاضیات بود و همراه با آن، مفهوم «تناظر» (21) هم فراگیر آنالیز شد. بر این پایه، پ، گ، لوژون دیریکله (یا دیریشله) (22) تابع را چنین تعریف کرد: y را تابع x می نامیم اگر هر مقدار از x با یک یا با چند مقدار از y در تناظر باشد (امروزه بنابر قرارداد، هر مقدار از x تنها با یک مقدار از y نظیر می شود). این تعریف حسابی شده ی تابع چنان پایدار و پا برجا شد که غالباً آن را «نظریه ی ایستایی وایرشتراسی متغیر» می نامند. در این تعریف، x متغیر مستقل پذیرفته می شود. مستقل به این معنی است که یک مقدار بدون وابستگی به هر مقدار از متغیر دیگر می تواند جانشین x شود، و متغیر نه به معنی معمولی کلمه بلکه به آن معنی است که x عضوی از مجموعه ای معین از عددهاست – این مجموعه را امروزه دامنه (23) یا حوزه ی تابع [= حوزه ی تعریف تابع] می نامند و در آنالیز معمولاً همان مجموعه ای عددهای حقیقی است. تابع f(x) [ که معمولاً با y یا با حرف دیگر نموده می شود] مجموعه ی دیگری از عددهاست که امروزه آن را بُرد (24) تابع می نامند و عضوهای آن از تناظر با عضوهای دامنه به دست می آیند به گونه ای که هر عضو از دامنه تنها با یک عضو از برد نظیر می شود و هر عضو از برد ممکن است با بیش از یک عضو از دامنه در تناظر باشد.
سال های پایانی سده ی نوزدهم جلوه گاه نظریه ی مجموعه ها (25) بود که گئورگ کانتور (26) آن را بیان کرده، رویانده و گسترش داده بود. این نظریه شالوده ی ساختار آنالیز را در بر گرفت و ویژگی شناساگر ریاضیات سده ی بیشتم شد. در پی این فرایند برای تابع هم تعریفی نو، به زبان مجموعه ها و بر کنار از هر گونه ابهام، به شرح زیر بیان شد:
« با این فرض که A و B دو مجموعه ی ناتهی باشند، هرگاه به هر عضو از A یک عضو از B نظیر شود و هیچ دو عضو متمایز از B هر دو با یک عضو از A نظیر نشوند، می گوییم B تابع A است و یا، A در B نگاشته شده است، و می نویسیم
تعریف دقیق تر و واضح تر تابع بر پایه ی دو مفهوم «جفت مرتب» (27) و «رابطه ی بین دو مجموعه» بیان می شود. [ مجموعه ای دو عضوی که معلوم شده باشد از دو عضو آن کدام یکم و کدام دوم است دوتایی مرتب یا جفت مرتب نام دارد. جفت مرتبی که عضو یکم آن a و عضو دوم آن b باشد با (a,b) نموده می شود. مجموعه یی از جفت های مرتب که عضوهای یکم همه ی آن ها به مجموعه ی A و عضوهای دوم همه ی آن ها به مجموعه ی B تعلق داشته باشند. رابطه ی از A در B تعریف می شود.] رابطه ی تابعی [=تابع] از A در B مجموعه ی جفت های مرتب (a,b) است که a عضوی از A و b عضوی از B باشد به گونه ای که دو جفت مرتب (r,p) و (r,q) تنها وقتی با هم برابرند که p=q. [تابع از A در B رابطه‌ای از A در B است که هیچ دو جفت مرتب از آن در عضوهای یکم با هم برابر نباشند. یک رابطه، و یک تابع، ممکن است از یک مجموعه در خود آن مجموعه تعریف شود.]
همراه با آرایش و پیرایش هایی که روی مفهوم تابع انجام می گرفت حسابان هم به ناچار دستخوش تغییرهایی می شد. از جمله، مفهوم انتگرال به اندازه ای اصلاح و به گونه های زیاد تقسیم شده است که دیگر از آن به تنهایی نام نمی برند بلکه گونه ی آن را هم مشخص می کنند. هر یک از گونه های انتگرال با فرمول یا با قاعده ای ویژه نموده می شود و نظیر آن روی گونه ی وسیعی از تابع ها می تواند به کار رود.
بپنداریم ائودوکسوس [ با همان عقل و هوش و اندیشه ها و دانش هایی که داشته] در سده ی بیستم سر از خاک در بیاورد. بدون شک، او به دشواری خواهد توانست شکل امروزی روش افناء را بازشناسد و از فهم و درک آنچه تا به امروز از آن ریشه گرفته است در می ماند؛ اما او دست کم یک جنبه از ریاضیات امروز را آشنا خواهد یافت. سخت‌گیری در به کار بردن دقت روی اندیشه ای که به رویش حسابان دوره ی کهن انجامید هماورد با سخت گیری های قابل توجهی است که امروزه روی آنالیز انجام می گیرد. ائودوکسوس از این که راهکاری که نمایانده به یشرفت و به مداوم شدن کارایی فرایند با عنوان «حسابان» انجامیده است احساس فخر خواهد کرد – عنوانی که موضوعی جدا از حساب معمولی را مشخص می کند، اما بسیار زیاد پیش می آید که کسانی ناآگاه از موضوع، آن ها را با هم اشتباه کنند و گونه ای اشتغال ذهنی ریاضیدانان بپندارند.
پی نوشت ها :
1- George Berkeley .
2- Analyst (تحلیل=).
3- evanescent .
4- infinite processes.
5- .Bernard Nieuwentijt
6- .Michel Rolle
7- .Joseph Louis Lagrange
8- Taylor.
9- Theorie des fonctions analytiques.
10- function derive.
11- .derivative
12- Ecole Polytechnique.
13- .Augustin Louis Cauchy
14- Bohemia.
15- Bernhard Bolzano.
16- continuity.
17- interval.
18- .Karl Weierstrass
19- Interoductio (in analysin infinitorum).
20- analytic expression.
21- correspondence.
22- P.G. Lejeun Dirichlet.
23- .domain
24- range.
25- set theory.
26- Georg Cantor.
27- ordered pair.
