نویسنده: پرویز شهریاری
زندگی و آموزه های محمد فرزند موسی معروف به خوارزمی
جبر و مقابله، صنعتی است از صناعات حساب. این دانش وسیله نیکویی است برای به دست آوردن پاسخ صحیح برای مسئله های مشکل وصیت و ارث و معاملات و فرضیات. از آن جهت جبر گویند که کاهش ها در آن جبران می شود و از آن جهت مقابله گویند که مقدارها را در برابر هم قرار می دهد و مشابهات را حذف می کند.
کاتب خوارزمی در مفاتیح العلوم ( سده چهارم هجری)
جبر و مقابله یکی از فروع حساب است... نخستین کسی که در این زمینه کتاب نوشت، خوارزمی بود.
مقدمه ابن خلدون (سده هشتم هجری)
بزرگترین ریاضیدان عصر و اگر همه شرط ها را در نظر نگیریم، یکی از بزرگترین ریاضیدانان همه عصرها، خوارزمی بود.
جرج سارتون در مقدمه ای بر تاریخ علم (سده بیستم)
پس از آن که مکتب درخشان اسکندریه در سده چهارم میلادی در اثر تعصب نوکیشان مسیحی از بین رفت، میدان دانش و پژوهش به سختی تنگ و گستره بحث های بی سرانجام و دور از واقعیت کشیش ها فراخ شد. آتش زدن کتابخانه بزرگ اسکندریه و تعقیب و آزار دانشمندان آن، سرآغازی بود برای نابودی کامل دانش و دانشمندان در تمامی سرزمین های مسیحی نشین.
از این زمان به بعد، یعنی از آغاز سده های میانه که جهل و بی خبری به همراه داشت و در سراسر اروپا روش دادگاه های تفتیش عقاید حکمفرما بود، باید سراغ دانش را، به جای اروپای غربی و جنوبی، در جای دیگری از سیاره زمین گرفت؛ در آسیای میانه و خاور نزدیک و به ویژه در ایران. در ضمن، دانش ریاضی که با کارهای دانشمندان یونانی و اسکندرانی، با سمتگیری نظری پیش می رفت، با حفظ همه دستاوردهای گذشته، جنبه کاربردی به خود گرفت و دوره دوم تکامل ریاضیات با سمتگیری کاربردی ( و در واقع دوره سوم در مسیر تکاملی ریاضیات) آغاز شد.
در جریان سده های هفتم و هشتم میلادی، حکومت عربی که تا پیش از آن به شبه جزیره عربستان محدود می شد، به سرعت سرزمین های خود را گسترش داد و ممالک بسیاری را که از نظر فرهنگ و تمدن در سطح بالاتری بودند، زیر نفوذ خود گرفت و فلسطینی، سوریه، میان دورود، ایران، قفقاز، آسیای میانه، هند شمالی، مصر، آفریقای شمالی، شبه جزیره ای ایبری را به قلمرو حکومت خلیفه اضافه کرد. مرکز خلیفه، در آغاز شام (دمشق) و سپس در سده هشتم میلادی، بغداد (شهر تازه ای در نزدیکی مدائن باستانی) بود. بغداد، واژه ای فارسی و به معنی «خداداد» است (بغ، یعنی خدا). به تدریج بغداد به صورت مرکز بزرگ فرهنگی در آمد و وارث تمدن های بزرگ ایران، مصر، هند و یونان شد.
دانشمندان و صاحبان فرهنگ از هر قوم و ملت و با هر عقیده ای، اغلب در بغداد جمع می شدند و نوشته های خود را به زبان رسمی دربار خلیفه، یعنی زبان عربی می نوشتند و به همین مناسبت، بسیاری از تاریخ نویسان، نا آگاهانه (و در برخی حالت ها آگاهانه)، کارهای آن ها را، که در واقع متعلق به ملت های گوناگون و در درجه اول دانشمندان ایرانی بود، به نادرستی به نام دانشمندان عرب ثبت کردند. چقدر خنده دار است که هنوز، در برخی فرهنگ های چاپ غرب، محمد خوارزمی، ابوالوفای بوزجانی، خیام نیشابوری، جمشید کاشانی و... را با وجود پسوندهای خوارزمی، بوزجانی (بوزجان نزدیک تربت جام در سمت شرقی خراسان است)، نیشابوری و کاشانی به عنوان ریاضیدانان عرب نام برده اند.
محمد فرزند موسی خوارزمی، یکی از نخستین و بزرگ ترین ریاضیدانان و اخترشناسان ایران است که در بغداد کار می کرد. از زندگی و خانواده او هیچ آگاهی نداریم، جز این که در نیمه دوم سده دوم هجری قمری (نیمه دوم سده هشتم میلادی) به دنیا آمد و در حدود سال 232 هجری قمری در گذشت. همچنان که از شهرتش پیداست، اهل خوارزم بود و برخی از تاریخ نویسان، عنوان «مجوسی» را به دنبال نام او آورده اند؛ معلوم می شود در خانواده ای با فرهنگ، از زرتشتیان خوارزم زاده شد و به همین مناسبت، به احتمال قوی، به نوشته های علمی ایرانی پیش از یورش عرب، دسترسی داشته است.
زمان خوارزمی
روزگار خوارزمی، به روزگار زرین در دوران حکومت خلیفه های عربی معروف است. روزگاری که هارون (170-193 هجری قمری) بر سرزمین های خلافت شرقی فرمان می راند ( خلافت غربی که مرکز آن در اندلس (اسپانیا) قرار داشت، در دست خاندان بنی امیه بود). این روزگار، دوران شکفتن فرهنگی است که مرکز ثقل آن در ایران بوده است. تعصب که همراه جدا نشدنی نوکیشان است، جای خود را به نرمی و تفکر داده بود که لازمه زندگی و شرط شکوفایی دانش است. در بغداد کار پزشکی همه در دست ایرانیان و نصارا بود که اغلب از جندی شاپور آمده بودند و کار دفتر و دیوان در دست ایرانیان. دانشمندان از چهار گوشه جهان، کتاب های دانش و حکمت به «بیت الحکمه» (فرهنگستانی که در زمان هارون آغاز به کار کرد و در زمان پسرش مأمون گسترش بی اندازه یافت). می آوردند و در آن جا به ترجمه و رونویسی آن ها می پرداختند. زندگی خوارزمی با خلافت مأمون مقارن بود. مأمون به کوشش و همراهی طاهر فرزند حسین معروف به «ذوالیمینین» بر برادر خود، امین، پیروز شد. مادرش «مراجل» دختر «استاذسیس»، انقلابی و ایران خواه معروف سیستان و خراسان بود. تربیت مأمون به برمکیان سپرده شد که به دانش دوستی و ایران خواهی مشهور و در ضمن به «زندقه» متهم بودند. جوانی مأمون در خراسان گذشت. در آن زمان وزیرش، فضل فرزند سهل، و سپهسالارش طاهر ذوالیمینین بودند؛ دو تن از بزرگان خراسان که نخستین کوشید تا خلافت از عباسیان برافتد و دومین در هوای استقلال خراسان بود و هر دو سرانجام سر بر سر کار خویش نهادند. همسر مأمون، پوران، دختر حسن فرزند سهل، وزیر دیگر مأمون بود. عبدالله پسر طاهر ذوالیمینین هم شرطه بغداد بود.تربیت ایرانی مأمون و کارهایی که تحت تأثیر ایرانیان انجام داد، در آغاز کار، موفقیت او را در میان عرب ها و به ویژه در میان خاندان خود به مخاطره انداخت و قیامی را به رهبری ابراهیم فرزند مهدی در بغداد پدید آورد که مأمون به یاری ایرانیان بر آن پیروز شد و موقعیت خود را محکم کرد. گر چه پس از آن، مأمون وسعت دید و گشاده دلی و آزاداندیشی پیشین را تا حد زیادی از دست داد، ولی اثر نخستین تربیت او دیرپا بود.
نظری به سیاهه همعصران مأمون، گسترش دامنه فرهنگ و دانش را در آن روزگار نشان می دهد. این ها از جمله دانشمندان روزگار مأمون بودند. بخت یشوع پسر جورجیس، جبرئیل پسر بخت یشوع، عمر پسر طرخان طبری و پسرش ابوالحسن، علی فرزند زیاد، سهل فرزند ربن طبری و پسرش علی، یوحنا فرزند ماسویه، موسی فرزند شاکر و سه پسرش که به «بنو موسی» مشهورند، یحیی فرزند ابی منصور، خالد مرورودی، حبش حاسب، ابومعشر بلخی، ابن سرابیون سلمویه، حجاج فرزند یوسف فرزند مطر و بسیاری دیگر که بررسی شرح حال و کارهای هر یک می تواند نشان دهنده شکوفایی دانش و فرهنگ در آن زمان باشد.
گسترش دانش و فرهنگ و رواج اندیشه های علمی و خردگرایی و استدلال، حتی به مسئله های مذهبی هم راه یافت. مأمون اغلب رهبران دینی و مذهبی را به مباحثه دعوت می کرد و گاه در حضور خود. کتاب ماتیکان گجستک ابالیش که به زبان پهلوی و به وسیله «آذر فرنبغ» نوشته شده و شرح مباحثه او با دیگران در حضور مأمون است، از این نمونه است. همین روحیه علمی زمان موجب شد تا معتزله رونق گیرند و از حمایت مأمون برخوردار شوند ( معتزله برای اثبات اعتقادهای خود به فلسفه و استدلال عقلانی استناد می کردند). در ضمن، همین امر سبب شد که مأمون در میان عامه متعصب به «امیر الکافران» مشهور شود.
پس از مأمون، معتصم بر سر کار آمد ( از 218 تا 227 هجری قمری) و کارها را به گردش دیگری انداخت. ترکان لشکری صاحب مقام شدند. به جای پسران برمک و سهل، فضل فرزند مروان و احمد فرزند عماد به وزارت رسیدند که «تحصیل و دانش نکرده بودند، سیرت بد داشتند و برون شدن کارها نمی دانستند». خلیفه هم از بیم شورش مردم، بغداد را ترک گفت و در میان غلامان ترک پناه گرفت. واثق ( از 227 تا 232 هجری قمری) نیز که می خواست به دنبال راه مأمون برود، دولتی مستعجل داشت.
کارهای خوارزمی در زمینه اخترشناسی و جغرافی
نخستین اثری که خوارزمی در بغداد نوشت، تنظیم جدول سینوس ها بود خوارزمی این اثر خود را با توجه به کارهای بطلمیوس و جدول های دانشمندان هندی (در کتاب مشهور به سیدهانتا) تنظیم کرد. ولی خود آن ها را مورد تحقیق قرار داد و در نتیجه جدول او به مراتب دقیق تر از جدول های یونانی و هندی است.در واقع، سه اثر خوارزمی ( کتاب زیج الاول، کتاب زیج الثانی، السند هندالصغیر) به رصدهایی که در زمان مأمون صورت گرفت، به سیدهانتا(1)مربوط می شود؛ زیرا سند هند همان سیدهانتای هندی است. سیدهانتا به چند کتاب اخترشناسی و ریاضی گفته می شود که در هند تنظیم شده است و کهن ترین آن ها مربوط به نیمه نخست سده پنجم میلادی است. یکی از این کتاب ها در زمان منصور خلیفه دوم عباسی، به بغداد آورده شد. ابراهیم فرزند حبیب فزاری به یاری مانکا (و به روایتی لانکا)، سفیر هند در بغداد، آن را به عربی ترجمه کرد و اخترشناسان و ریاضیدانان حوزه خلافت بغداد، برای نخستین بار با دانش ریاضی و اخترشناسی هند آشنا شدند و برخی از آنان کارها و محاسبه های اخترشناسی خود را بر مبنای روش های هندی قرار دادند. ترجمه فزاری تا روزگار خوارزمی، مبنای کار اخترشناسان بود، ولی پس از آن که خوارزمی دو زیج خود را ارائه کرد، مرجع مطمئن تری برای اخترشناسان پدید آمد. خوارزمی در تنظیم این دو زیج، به احتمال قوی، روش تلفیقی خود را با استناد به دانش های یونانی، هندی و ایرانی به کار برده است.
هندی ها در آغاز، تمام وتر و بعدها نیم وتر را ( که طول آن، برابر سینوس کمان تمام وتر است) «جیا» می نامیدند. در ترجمه فزاری، برای مفهوم سینوس واژه «جیب» به کار رفته است. دو دیدگاه در این باره وجود دارد. دیدگاه اول می گوید فزاری در ترجمه خود واژه جیا را به واژه جیب تبدیل کرد. این کار دو دلیل داشت. یکی این که جیا به معنی وتر بود و به کار بردن آن برای سینوس (یعنی نیم وتر) جایز نبود و دوم این که فزاری می خواست واژه های عربی به کار برد و در ضمن، پاس نامگذاری هندی ها را نگه داشته باشد.
دیدگاه دوم می گوید از روی «جیپ» پهلوی ( به معنی دیرک و شاخص) برای مفهوم سینوس استفاده کرده است که در طول زمان و به وسیله کاتبان ( که حرف «پ» فارسی، برایشان نامأنوس بود) به جیب تبدیل شد.
در هر حال «جیب» که از لحاظ معنای خود در زبان عربی، هیچ ربطی با معنای سینوس ( یا نیم وتر) نداشت، از راه ترجمه کتاب های عربی در اروپای غربی، سینوس نامیده شد که همان معنای واژه عربی جیب را در زبان فرانسوی دارد. جیب در زبان عربی به معنای «گریبان» است. در سده چهاردهم میلادی، جرارد کرمونایی، مترجم ایتالیایی، واژه لاتینی سینوس را برای نخستین بار به جای جیب به کار برد.
خوارزمی از راه ترجمه سیدهانتا با مکتب ریاضی و اخترشناسی هند و از راه ترجمه مجسطی، کتاب بطلمیوس ( این ترجمه، اول بار به وسیله سهل طبری و سپس دوباره به وسیله حجاج فرزند یوسف انجام گرفت) و دیگران پرداخت و با مکتب های یونانی آشنا شد. به جز آن به خاطر بستگی هایی که با پاسداران فرهنگ ایرانی داشت، کم و بیش از دانش نیاکان خود با خبر بود. رساله های زیج اول و زیج دوم خوارزمی، به احتمال زیاد، بر اساس دو رصدی که اولی در بغداد (214هجری قمری) و دومی در دمشق (217هجری قمری) انجام گرفت، نوشته شده است.
نوشته های خوارزمی در زمینه اخترشناسی و جغرافیای ریاضی، اثر زیادی در کارهای دانشمندان بعدی داشته است (چه در شرق و چه در غرب). در واقع «مسلمه مجریطی» ( در حدود 358هجری قمری) صورت تازه ای از جدول های فلکی را بر اساس کارهای خوارزمی تنظیم کرد و همین جدول های مجریطی است که اساس کار اخترشناسان اروپای غربی قرار گرفت.
کتاب صورت الارض خوارزمی را باید نخستین اثر علمی در دوران تازه شکوفایی دانش در زمینه جغرافیا دانست. خوارزمی واژه «صورت الارض» را به همان معنایی به کار برده است که ما امروز آن را «جغرافی» می نامیم. گر چه این کتاب بر اساس جغرافیای بطلمیوس تنظیم شده است، ولی به هیچ وجه نمی توان آن را ترجمه ای از جغرافیای وی دانست. خوارزمی در این کتاب، تقسیم بندی مطالب را به صورتی غیر از جغرافیای بطلمیوس انجام داده است و تحت تأثیر فرهنگ و باورهای ایرانی، به تقسیم بندی «اقلیم های هفت گانه» گرایش دارد؛ در حالی که بطلمیوس از بیست یک ناحیه نام می برد. با وجود همه این ها، باید گفت که خوارزمی، برای نوشتن کتاب صورت الارض، کتاب جغرافیای بطلمیوس را پیش روی خود داشته است.
کارهای خوارزمی در زمینه حساب و جبر
کارهای ریاضی خوارزمی در زمینه حساب و جبر، در تاریخ ریاضیات و از دیدگاه مسیر تکاملی ریاضیات، اهمیت بسیار زیادی دارد.تألیف خوارزمی درباره حساب به نام حساب الهند است که تنها از راه ترجمه لاتینی آن به ما رسیده است و نسخه منحصر به فرد این ترجمه، به زبان لاتینی و با عنوان«Algoritmide numero indorum» در کتابخانه دانشگاه کمبریج نگهداری می شود.
این کتاب در پیشرفت بعدی ریاضیات در اروپای غربی و جنوبی نقشی اساسی داشته است؛ زیرا اروپایی ها به وسیله آن، با «روش هندی عددنویسی» یعنی نمادهای ده گانه هندی با به کار بردن صفر و استفاده از نظام موضعی بودن رقم ها آشنا شدند.
از آن جا که در اروپای غربی و جنوبی، این شکل را از عددنویسی را از کتابی یاد گرفتند که به زبان عربی نوشته شده بود و نویسنده آن نیز در کشورهای عربی زبان زندگی می کرد، رقم های هندی دستگاه عددنویسی دهدهی را به اشتباه «رقم های عربی» نامیدند. حتی امروز هم این نامگذاری نادرست در برخی از کتاب ها و فرهنگ ها به کار می رود.
خوارزمی مسئله هایی را که به معادله درجه اول منجر می شود، از راه حسابی و با روش های «یک فرضی» و «دوفرضی» حل می کند.
روش یک فرضی همان روشی است که امروز هم با نام «راه حل فرضی» مورد استفاده قرار می گیرد و خوارزمی آن را از هندی ها گرفته است.
روش دوم، یعنی روش دو فرضی، به این ترتیب بود که با فرض دو عدد دلخواه برای مجهول، هر بار میزان اشتباه نتیجه را به دست می آورد و به کمک آن ها، مقدار واقعی مجهول را محاسبه می کرد. اگر به زبان نمادهای امروزی جبر صحبت کنیم، روش دو فرضی را می توان به این ترتیب شرح داد:[فرض کنید
f(x)= که در آن(f(x تابعی خطی نسبت به x، و 
مقداری ثابت باشد. در آغاز x=a و سپس x=b می گیریم و به دست می آوریم:f(b) = B و f(a)= A
با K نشان می دهیم. در این صورت داریم:
البته به گمان خوارزمی، رابطه ای که در این جا به دست می آید و به یاری آن می توان مقدار مجهول را پیدا کرد، تصادفی است.کتاب جبر خوارزمی(2)، نقشی بسیار اساسی در تاریخ ریاضیات داشته و نمونه مشخصی است از پژوهش های ریاضیدانان ایرانی، در دوره ای از تکامل ریاضیات که سمتگیری کاربردی داشته است. این کتاب بعدها به زبان لاتینی ترجمه شد و برای مدتی طولانی، تنها کتاب درسی ریاضی در اروپای غربی بود.
برخی از مطالب این کتاب، کارهای دیوفانت و دانشمندان هندی را به یاد می آورد و به همین مناسبت برخی گمان می بردند که خوارزمی از این سرچشمه ها استفاده می کرده است. درست است، برخی از روش هایی که خوارزمی برای حل معادله ها به کار می برد، ما را به یاد دیوفانت می اندازد، ولی خوارزمی به هیچ وجه از کوتاه نویسی که خاص جبر دیوفانت است، استفاده نمی کند و اصطلاح های او را به کار نمی برد. به جز این، بررسی های تاریخی نشان داده است که آشنایی دانشمندان دربار خلیفه عربی با کارهای دیوفانت، بعد از تنظیم کتاب خوارزمی بوده است. به همین ترتیب، به دلیل اختلاف هایی که بین روش های خوارزمی با روش های دانشمندان هندی در حل معادله ها وجود دارد، می توان نتیجه گرفت که او در کتاب جبر و مقابله خود از روش های هندی هم پیروی نکرده است.
خوارزمی به جز این که در پیشگفتار کتاب جبر و مقابله می گوید:«... من بر سر شوق آمدم، برای روشن ساختن مسئله های مبهم و آسان کردن دشواری های علمی به پا خاستم و کتابی در تعریف حساب جبر و مقابله تألیف کردم...»، در آغاز کتاب می نویسد:« چون بر دشواری ها و نیازمندی های مردم و علم حساب نگریستم، دریافتم...». این واژه «دریافتم» در بسیاری از جاهای کتاب تکرار شده است و این را می رساند که بیشتر مطالب کتاب جبر و مقابله از خود خوارزمی است.
جبر خوارزمی، حتی از نظر دیدگاهی که دنبال می کند، ارتباطی با جبر یونانی ندارد. یونانی ها در بخش عمده ای از کارهای خود، هیچ ضرورتی نمی دیدند که به کاربرد مفهوم های عملی توجه کنند (یونانی ها در بحث های ریاضی خود، سمتگیری نظری داشتند)، در حالی که خوارزمی، درست بر عکس عمل می کرد و تلاش او در این جهت بود که علم را به خدمت زندگی بگمارد، هدف های عملی آن را بشناسد و بشناساند. جبر خوارزمی، بخش های ویژه ای درباره تجارت، تقسیم ارث و عمل کردن به وصیت ها دارد و برخلاف یونانی ها که همه چیز را به هندسه منجر می کردند، خوارزمی برخی از مسئله های هندسی را به یاری معادله حل می کند ( مانند محاسبه طول ارتفاع مثلث بر حسب ضلع های آن).
ارزش عملی کار خوارزمی در این است که کتاب او تنها رساله ای درباره حل مسئله نیست ( آن گونه که در نوشته های ریاضیدانان هندی دیده می شود)، بلکه خوارزمی الگوریتم حل معادله ها را مطرح می کند، کاربرد آن را توضیح می دهد و هر جا لازم می بیند، از روش های هندسی هم سود می جوید.
کتاب خوارزمی در اساس مربوط به روش حل معادله هاست و به این ترتیب مسیر اصلی شاخه ای تازه از ریاضیات، یعنی جبر را مشخص می کند و می دانیم که مضمون اصلی جبر مقدماتی، دست کم تا سده نوزدهم میلادی، عبارت از حل همین معادله هاست:«تعمیم و تکمیل این علم (یعنی علم حساب) با این همه شرف و تمیز، موقوف است به معرفت علم جبر و مقابله و استخراج مجهولات از روی حل معادله ها، به طریقی که مورد مقرر است.»(3)
خود واژه «جبر» که خوارزمی برای نامیدن این شاخه از دانش ریاضی انتخاب کرده است، معرف درستی این اندیشه است. خوارزمی جبر را به معنای «جبران کردن» می گرفت [«که جبر خاطر مسکین بلا بگرداند»]: سعدی، که به زبان امروزی به معنای انتقال یک عدد یا یک جمله منفی از یک سمت به سمت دیگر معادله است، که آن را به عدد یا جمله ای با ضریب مثبت تبدیل می کند.
در کنار واژه جبر به واژه «مقابله» بر می خوریم که معرف عمل دیگری در معادله است: مقابل قرار دادن دو عبارت برابر در دو سمت معادله.
بهاء الدین عاملی، معروف به شیخ بهایی، ریاضیدان آغاز سده شانزدهم میلادی ( آغاز سده یازدهم هجری قمری) خیلی خوب دو واژه جبر و مقابله را تعریف کرده است. شیخ بهایی می گوید:« قسمتی از معادله را که شامل مقداری منفی است، می توان حذف کرد و به طرف دیگر معادله افزود. این عمل را جبر گویند. جمله های مشابه را می توان از دو طرف معادله حذف کرد. این عمل را مقابله گویند.»
اگر نشانه ها و نمادهای امروزی را در نظر بگیریم، عمل جبر و مقابله را می توان روی این نمونه روشن کرد. این معادله را در نظر می گیریم:
5x-12=3x-9
و اگر به دو سمت معادله 12 و 9 را اضافه کنیم، عمل جبر انجام داده ایم؛ زیرا عددهای منفی را به صورت مثبت در آورده ایم:
5x+9=3x+12
و اگر از دو طرف برابری x3 و 9 را حذف کنیم، عمل مقابله انجام داده ایم، که در نتیجه به دست می آید:
3= x2
اکنون کافی است، دو مقدار دو سمت معادله را نصف کنیم تا x به دست آید:
به این ترتیب، عمل های جبر و مقابله، به زبان امروزی، عبارتند از انتقال جمله ای از یک سمت به سمت دیگر معادله ( باتغییر علامت) و جمع جبری جمله های متشابه.در کتاب جبر خوارزمی، راه حل معادله های درجه اول و دوم شرح داده شده است. درست است که خوارزمی برای حل معادله های درجه دوم، به ظاهر راه حل کلی نمی دهد و با تقسیم معادله های درجه دوم به پنج گونه مختلف و برای هرگونه راه حلی جداگانه ارائه می کند، ولی ضمن حل نمونه های عددی، اغلب همان دستوری را دنبال می کند که امروز برای حل معادله درجه دوم می شناسیم.
برای نمونه مسئله 28 از باب هفتم ( باب مسئله های گوناگون) و راه حل خوارزمی را، از ترجمه زنده یاد حسین خدیوجم می آوریم و آن را با دستور امروزی حل معادله درجه دوم مقایسه می کنیم.
در آغاز یادآوری می کنیم که خوارزمی، جمله درجه دوم را «مال» می نامد و همه جا ضریب آن را واحد می گیرد. بنابراین معادله کلی درجه دوم، از دیدگاه خوارزمی چنین می شود:
که دستور محاسبه ریشه های آن، با نمادهای امروزی، به این صورت است:
که می توان آن را این طور نوشت: 
در ضمن خوارزمی به ریشه منفی معادله توجهی ندارد و تنها یک ریشه را در نظر می گیرد و برای محاسبه ریشه مثبت، از این دستور استفاده می کند:
اکنون مسئله مورد نظر را، همراه با راه حل خوارزمی، ضمن مقایسه با دستور (2) می آوریم.
مسئله 28 از باب هفتم کتاب جبر و مقابله خوارزمی
اگر کسی بگوید یک درهم را بر چند مرد تقسیم کردم، به هر یک چیزی رسید. سپس یک مرد به گروه آنان افزودم و بار دیگر، یک درهم را میان آنان تقسیم کردم، سهم هر یک در مرتبه دوم، به اندازه یک ششم درهم از قسمت اول کمتر شد. (خوارزمی می خواهد تعداد مردان را در نوبت اول به دست آورد).(4)در راه حل خوارزمی که می آوریم، «شیء» به معنای مجهول ( یعنی x و در این مسئله، تعداد مردان در نوبت اول)، «جذر» به معنای توان اول مجهول (یعنی x) و «مال» به معنای دوم مجهول ( یعنی
است. ضمن راه حل خوارزمی، جا به جا و در داخل کروشه، توضیح لازم را با زبان ساده جبر امروزی آورده ایم.راه حل خوارزمی
تعداد مردان نوبت اول را که عبارت است از شیء [x]، در نقصانی که میان آنان ایجاد شده
ضرب می کنی، آن گاه حاصل ضرب را در تعداد مردان نوبت دوم [x+1] ضرب می کنی
دارایی تقسیم شده (یک درهم) به دست می آید: 
پس از آن، تعداد مردان نوبت اول را که عبارت است از شیء [x] در یک ششم، که میان آنان اختلاف بود، ضرب می کنی، می شود یک ششم جذر
، سپس آن را به تعداد مردان نوبت دوم، یعنی شیء به اضافه یک [x+1] ضرب می کنی، در نتیجه چنین می شود: یک ششم مال به اضافه یک ششم جذر: 
که برابر است با یک درهم. 
دارایی را که در اختیار داری تکمیل می کنی، یعنی آن را در شش ضرب می کنی، می شود مال به اضافه جذر
پس یک درهم را در شش ضرب می کنی، می شود شش درهم و حاصل آن یک مال و یک جذر است که برابر است با شش درهم
آن گاه، تعداد جذرها (یعنی ضریب x) را پس از نصف کردن، در مانند خودش ضرب کن، می شود
آن را بر شش بیفزا 
و جذر حاصل جمع را بگیر
و نصف تعداد جذری را که در مانند حاصل خودش ضرب کرده بودی و عبارت بود از
از آن کم کن
باقیمانده عبارت است از تعداد مردان نوبت اول که در این مسئله دو مرد است.
می بینیم خوارزمی مسئله را منجر به حل معادله درجه دوم
یعنی معادله ای به صورت معادله (1) می کند و سپس برای پیدا کردن ریشه مثبت آن، گام به گام از دستور (2) استفاده می کند. خوارزمی همه مسئله های خود را طوری انتخاب می کند که جواب مثبت آن عددی درست باشد، در ضمن، در کارهایی که می کند، شرح نمی دهد و استدلال نمی کند. خوارزمی می خواهد راه حل را نشان دهد، چون در دوره کاربردی ریاضیات به سر می برد و باید راه حل ها را مشخص کند. امروز هم وقتی یک مهندس برای محاسبه به جدول، یا به یک دستور برای حل مسئله ای مراجعه می کند، دنبال استدلال نمی رود و به راه حلی که برای او شرح داده اند، اطمینان می کند. ولی به هر حال می بینیم، خوارزمی دستور حل معادله درجه دوم را در نظر داشته است و مطابق آن عمل می کند.
خوارزمی شش نوع معادله درجه دوم را بررسی می کند و برای هر کدام راه حل خاصی ارائه می دهد. این شش گونه معادله را به زبان نمادهای امروزی، می توان این طور نوشت:
در واقع، در حالت سوم با معادله درجه اول سرو کار داریم، ولی خوارزمی در تقسیم کلی خود بر این اساس عمل می کند: در معادله درجه دوم، سه جمله وجود دارد ( جمله درجه دوم، جمله درجه اول و مقدار ثابت). در ترکیب معادله ممکن است یکی از جمله ها وجود نداشته باشد و تنها با دو جمله سرو کار داشته باشیم ( حالت های 1 و 2 و 3) و یا با هر سه جمله (حالت های 4 و 5 و 6). در ضمن، وقتی ضریب هیچ کدام جمله ها برابر صفر نیست، ممکن است جمله هایی که شامل درجه اول و دوم هستند در یک طرف و جمله ثابت در طرف دیگر باشد ( حالت 4)، یا جمله ای شامل درجه دوم و مقدار ثابت در یک طرف و جمله درجه اول در طرف دیگر باشد ( حالت5)، سرانجام جمله درجه اول و مقدار ثابت در یک طرف و جمله درجه دوم در طرف دیگر باشد (حالت6).
همان گونه که ضمن راه حل مسئله نمونه دیدیم، خوارزمی برای حل معادله، نه از دستور و نماد، بلکه از زبان توصیفی استفاده می کند. در ضمن، در حالت هایی که هر دو ریشه معادله مثبت است، هر دو ریشه را به دست می آورد و از این بابت بر جبر دیوفانتی برتری دارد. به یاد داشته باشیم، دستورها و نمادها (حتی نمادهایی برای برابری، جمع و غیره) تنها از سال های سده شانزدهم به بعد معمول شده است.
خوارزمی برای حل معادله ها، از روش هندسی هم ( شبیه یونانی ها) استفاده کرده است. برای نمونه در باب دوم کتاب خود ( باب جذر و مال عدد) زیر عنوان «استدلال درباره یک مال و ده جذر برابر با سی و نه درهم می شود»، یعنی برای حل معادله
در آغاز راه حل جبری و سپس دو راه حل هندسی می آورد که در این جا، یکی از راه های هندسی او را می آوریم.
مربعی به ضلع x می سازیم. سپس روی ضلع های آن، مستطیل هایی با ضلع های x و
اضافه می کنیم. بعد تمام شکل را به صورت یک مربع کامل در می آوریم.
روی شکل دیده می شود: مساحت مربع بزرگ برابر است با مساحت مربع به ضلع برابر x به اضافه مساحت چهار مستطیل با ضلع های به طول x و
سرانجام مساحت چهار مربع با ضلع برابر
و بنابراین، مساحت مربع بزرگ برابر است با
و چون
بود، بنابراین مساحت مربع بزرگ، برابر 25 + 39، یعنی 64 می شود. به این ترتیب، ضلع این مربع برابر 8 و در نتیجه، ضلع مربع کوچک تر، یعنی مقدار مجهول x، برابر «5-8»، یعنی 3 می شود.
پایان بحث
خوارزمی در پیشگفتار کتاب جبر و مقابله خود می نویسد:«دانشمندان روزگاران گذشته و خردمندان ملت های پیشین، پیوسته سرگرم نگارش و تصنیف بوده اند. آنان به اندازه توانایی و بینش خود، برای مردم پس از خود در انواع دانش و گزیده های حکمت و فلسفه، کتاب ها تألیف و تصنیف کرده اند، به آن امید که در دیگر سرای پاداشی یابند و در این جهان از آنان نام نیک در جای بماند، نام نیکی که همه ثروت ها و پیرایه های مادی، که با رنج بسیار به دست می آید، در برابرش ناچیز است و به شرق رسیدن به آن، رنج کشف رازهای دانش و زحمت حل دشواری های علمی آسان می نماید.
[دانشور به سه گونه است]
یا مردی است که برای نخستین بار، دانشی ناشناخته را می شناسد و می شناساند و آیندگان را میراث خوار علمی خود می سازد.
یا مردی است که آثار برجای مانده پیشینیان را شرح و تفسیر می کند و مطالب مهم و پیچیده کتاب ها را روشن می سازد؛ برای بیان مطلب، راه ساده تری نشان می دهد و نتیجه گیری را آسان می کند.
یا مردی است که در برخی از کتاب ها به نادرستی و آشفتگی بر می خورد و نادرستی را اصلاح می کند و آشفتگی بر می خورد و نادرستی را اصلاح می کند و آشفتگی را سامان می بخشد. با خوش بینی به کار مؤلف می نگرد، بر او خرده نمی گیرد و از این که متوجه خطا و اشتباه دیگران شده است، برخود نمی بالد...»(6)
نام خوارزمی، در آغاز با ترجمه کتاب حساب الهند او به اروپا رفت و «الخوارزمی» به صورت لاتینی شده آن، «الگوریتموس» تبدیل شد. به تدریج در تمامی اروپای غربی و جنوبی، با نام الگوریتموس و بعدها الگوریتم از راه عددنویسی هندی (یعنی عدد نویسی به همین صورت امروزی) آشنا شدند. ولی به تدریج این اصطلاح به هر دستگاه یا دنباله ای از محاسبه داده شد (مثل الگوریتم ضرب که روش ضرب عددهای چند رقمی در یکدیگر را به صورت ستونی توضیح می دهد؛ الگوریتم اقلیدس برای پیدا کردن بزرگ ترین بخش یاب مشترک دو یا چند عدد؛ الگوریتم حل معادله درجه دوم و...)
به این مطلب توجه کنیم که واژه «الگوریتم» هیچ ربطی با واژه الگوریتم ندارد. در ضمن الگوریتموس در آغاز در اروپای غربی به معنای محاسبه شمرده می شد و بعدها به شاخه ای از منطق ریاضی شمرده شد.
به جز این، نامی که خوارزمی بر کتاب جبر خود گذاشته است، امروز در همه زبان های زنده دنیا باقی مانده است: در زبان فرانسوی Algebre، در زبان انگلیسی Algebra، در زبان روسی «آلگبر» و غیره. می بینیم حتی حرف تعریف «ال» هم از ابتدای آن حذف نشده است: «الجبر». تا بیش از نیم سده پیش، در ایران کتاب های درسی و غیر درسی، جبر را با عنوان «جبر و مقابله» می نوشتند.
یکی از کارهای پر ارزش خوارزمی، قبل از پیدایش نمادها و واژه های تازه، پیدا کردن واژه ها و اصطلاح های مناسب در قلمرو جبر بود؛ برای نمونه، برای «مجهول» از واژه «شیء» استفاده می کرد و آن را درست به همان مفهومی که امروز از نماد «r» استفاده می کنیم، به کار می برد. انتقال این واژه به اروپا و نوشتن آن به صورت x، در آغاز نماد x و سپس سایر نمادها را برای بیان مقدارهای مجهول به وجود آورد.
از کتاب ها و نوشته های خوارزمی، تنها کتاب جبر او با همت زنده یاد حسین خدیوجم به فارسی برگردانده شده است.
کتاب جبر و مقابله خوارزمی دو بخش دارد. در بخش اول به حل مسئله هایی درباره شش نوع معادله ای صحبت می کند که پیش از این آوردیم. این راه حل ها همه جبری و گاه هندسی اند. در بخش دوم از کاربردها بحث می کند و نمونه هایی از مسئله هایی می آورد که بیشتر مربوط به تقسیم ارث و عمل کردن به وصیت هاست.
کتاب خوارزمی ابتدا در اروپا در سده دوازدهم میلادی، به وسیله جرارد کرمونایی (7) ترجمه شد. در همین سده دوازدهم میلادی ترجمه دیگری از رابرت چستری(8) باز هم به زبان لاتین انجام گرفت. از این به بعد و با آغاز سده های شانزدهم میلادی، ابتدا آدریان رومانوس (1561-1615میلادی) و سپس دیگران، کتاب را به زبان های مختلف اروپای ترجمه کردند.
پی نوشت ها :
1-sidhanta
2-کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابله
3-اصول علم جبر و مقابله، تألیف خان مهندس، چاپ 1305 هجری.
4-محمد بن موسی خوارزمی، جبر و مقابله، ترجمه حسین خدیوجم، تهران، انتشارات اطلاعات، 1363، ص 97-100.
5-این معادله از این راه نیز به دست می آید: اگر تعداد مردان نوبت اول برابر x و در نتیجه تعداد مردان نوبت دوم 1+ x باشد، سهم هر مرد نوبت اول برابر
و در نوبت دوم برابر
خواهد شد و بنابر صورت مسئله باید داشته باشیم
که به سادگی به همان معادله متن منجر می شود: 
6-ص 36.
7- Gerard of Cremona .
8-Robert of Chester.
.jpg "5 ابزار ضروری برای زنده ماندن در صعودهای زمستانی")
