نوابغی که فرزند راهزن بودند!

محمد، احمد و حسن، پسران موسی فرزند شاکر

سه برادر و فرزندان موسی شاکر، اهل خراسان، در سال های پایانی سده دوم و در نیمه اول سده سوم هجری قمری، در بغداد در دربار مأمون زندگی می کردند.
قفطی در تاریخ الحکما و برخی دیگر از مورخان، داستانی درباره پدر این سه برادر نقل می کنند که کمتر در جای دیگری تکرار شده است. به اعتقاد قفطی، موسی فرزند شاکر که در دوران جوانی در خراسان می زیسته، در این زمان خود را از راهزنی تأمین می کرده است. در ضمن، با دانش اخترشناسی هم آشنا بوده است. یک بار پس از آن که دستگیر می شود، توبه می کند و دست از راهزنی بر می دارد؛ به خدمت مأمون در می آید و کار اخترشناسی خود را دنبال می کند.
پس از مرگ موسی فرزند شاکر، سه فرزند او در دربار مأمون می مانند، به تحصیل دانش می پردازند و در ریاضیات، اخترشناسی و مکانیک شهرت پیدا می کنند. پسران موسی فرزند شاکر در تاریخ به «بنی موسی» یا «بنو موسی» معروفند. به سختی می توان نوشته های آن ها را از هم جدا کرد. با وجود این، می توان کم و بیش یقین داشت که برادر بزرگ تر ( یعنی محمد که به ابوجعفر مشهور است و در ژانویه سال 873 میلادی در گذشته) تنها به ریاضیات می پرداخت و مهمترین نوشته او کتابی است به نام معرفه مساحه الاشکال البسیطه و الکرویه یعنی شناسایی شکل های روی صفحه و شکل های کروی که به احتمالی دو برادر دیگر هم در تنظیم آن نقش داشته اند.
این کتاب شامل 18 قضیه است که در آن ها درباره مساحت و حجم شکل های مختلف هندسی بحث شده است. نصیرالدین طوسی، این کتاب را به عنوان یک کتاب درسی در آورده است (چهار سده بعد از پیدایش آن). لئوناردو داوینچی(1)(1442-1517م)، ریاضیدان ایتالیایی، در کتاب هندسه کاربردی خود، از قضیه های کتاب پسران موسی فرزند شاکر استفاده کرده است. کتاب مساحت شکل ها اول بار در سده دوازدهم میلادی به زبان لاتینی ترجمه و در سال 1885 میلادی منتشر شد. به جز مساحت ها و حجم ها، در این کتاب درباره تقسیم زاویه به سه بخش برابر و تعیین واسطه بین دو مقدار معین a و b، وقتی که داشته باشیم.
هم بحث شده است.
احمد فرزند موسی فرزند شاکر، بیشتر در زمینه مکانیک کار می کرد و کتاب الحیل او نمونه ای از آن است- مکانیک را در زبان عربی ،«حیل» (حیله ها) می نامند- در ضمن احمد و حسن تلاش کردند کتاب مقطع های مخروطی آپولونیوس را به زبان عربی ترجمه کنند، ولی ناموفق بودند.
پسران موسی فرزند شاکر، امکان های مالی بسیاری در اختیار داشتند که سخاوتمندانه از این امکانات در راه ترویج دانش استفاده می کردند.
آن ها هیئت هایی را به روم و یونان برای گردآوری کتاب می فرستادند و به مترجمان و پژوهشگران علمی کمک های فراوان می کردند.
در این جا به یکی از قضیه های پسران موسی فرزند شاکر درباره اثبات قضیه ای که به قضیه «هرون» (سده اول هجری) مشهور شده و مربوط به محاسبه مساحت مثلث از روی طول ضلع های آن می شود، اشاره می کنیم.
اروپایی ها، برای نخستین بار دستور محاسبه مثلث را به یاری طول سه ضلع آن، بین نوشته های هرون پیدا کردند؛ به همین مناسبت این دستور را به نام دستور هرون نامیدند، در حالی که ارشمیدس ( سده سوم پیش از میلاد)، این دستور را پیدا کرده بود.
درباره اثبات ارشمیدس، ریاضیدانان ایرانی از جمله ابوریحان بیرونی (947-998م) که خود دو اثبات دیگر از این دستور را داده است، از این مطلب یاد می کند. ابتدا استدلال ارشمیدس را می آوریم. این اثبات را ابوریحان بیرونی دانشمند ایرانی به عربی ترجمه کرده است.
قضیه. اگر نصف مجموع سه ضلع مثلثی را در اختلاف آن با هر کدام از سه ضلع ضرب کنیم و از سه ضلع ضرب کنیم و از حاصل ضرب ریشه دوم بگیریم، مساحت مثلث به دست می آید.
اگر a، b و c طول ضلع های مثلث و را نصف محیط مثلث بگیریم، مساحت مثلث (s)، به این صورت در می آید: اثبات. دایره محیطی مثلث ABC را رسم می کنیم (شکل 1). از نقطه وسط کمان ABC، نقطه D،عمودهای DE و DG را به ترتیب بر ضلع های AB و AC فرود می آوریم. به مرکز A و به شعاع AG، کمان GHF را رسم می کنیم.
از مثلث های قائم الزاویه DGA و EDA به دست می آید: از آن جا که
AD= DF + FA , AE= EH + HA
(شعاع کمان GA = HA = FA (GHF
بنابراین از برابری (1) به دست می آید:
و همچنین
و از برابری (2) به دست می آید:
و در نتیجه
از (3) و (4) به دست می آید:
نقطه D وسط کمان ADC است، یعنی
(دو زاویه محاطی روبه رو به کمان های برابر)
از این جا روشن می شود که مثلث های قائم الزاویه DGA و DEB متشابه هستند. از تشابه مثلث ها داریم:
DE: EB= DG:GA
سپس ارشمیدس، این تناسب را به این صورت می نویسد:

از برابری های (5) و HA= GA داریم:

سپس ارشمیدس، برابری مثلث های DCB و ADM را ثابت می کند. در ضمن، بر پیش قضیه خود، درباره خط شکسته ای که دایره محاط باشد، تکیه می کند:
«اگر خط شکسته ای که در کمانی از دایره محاط شده است، دو بخش نابرابر داشته باشد و از وسط این کمان عمودی بر آن رسم کنیم، خط شکسته به دو بخش برابر تقسیم می شود.»
در حالت 1، با خط شکسته ABC سروکار داریم ( که خط راست بزرگ تر آن، AB است). از نقطه D، وسط کمان ABC، عمود DE را بر آن فرود می آوریم. بنابر این پیش قضیه داریم:
AE= EB + BC
EM را برابر EB جدا می کنیم، پس AM= BC و DM= DB، به جز این AD= CD و در نتیجه دو مثلث ADM و DBC برابرند.
مساحت چهار ضلعی ADBC را می توان هم به صورت مجموع مساحت های مثلث های ABC و MDB و ADM نشان داد و هم به صورت مجموع مساحت های مثلث های ADC و DBC، از آن جا با توجه به برابری مثلث های ADM و DBC به دست می آید:
GK را برابر EB جدا می کنیم، بنابراین
GA=GK=KA
دو سمت این برابری را مجذور می کنیم:
و چون GK= EB، بنابراین
با توجه به یکی از ویژگی های تناسب، از برابری (6) و با در نظر داشتن برابری (8)، به دست می آید:
در این تناسب از (7) و (9) استفاده می کنیم:
چون بنابر پیش قضیه ای که پیشتر آوردیم:
بنابراین به دست می آید:
که
، نصف محیط مثلث ABC است و سپس
که از آن
(S، مساحت مثلث ABC و a،b و c طول ضلع های مثلث است).
این اثبات ارشمیدس بود که با نمادهای امروزی آن را شرح دادیم. همین قضیه را هرون هم در کتاب اول متریک خود ثابت کرده است. صورت مسئله همان است که پیش از این آوردیم:
«مثلث ABC داده شده است. طول ضلع های مثلث، یعنی AB، BC و CA را مفروض می گیریم. مساحت این مثلث را پیدا کنید.
در مثلث، دایره DEF را محاط می کنیم ( شکل)، مرکز دایره را H بگیرید و A و H، B و H، Cو ، D و H، Eو H، L و H را به هم وصل کنید. در این صورت BC x EH دو برابر مساحت مثلث BHC، CA x FH دو برابر مساحت مثلث ACH، AB x DH دو برابر مساحت مثلث ABH است؛ یعنی حاصل ضرب محیط مثلث ABC در EH، یعنی در شعاع دایره DEF، دو برابر مساحت مثلث ABC است.
CB را ادامه می دهیم و BG را به اندازه AD جدا می کنیم، یعنی CBG برابر نصف محیط مثلث ABC می شود؛ زیرا
AD= AF DB=BE FC=CE
یعنی CG x EH برابر مساحت مثلث ABC است.»
پس هرون نتیجه حاصل را به این صورت می نویسد:
(S، مساحت مثلث ABC است). HL را عمود بر CH و BL را عمود بر BC رسم می کنیم و دو نقطه C و L را به هم وصل می کنیم. از آن جا که زاویه های LBC و CHC، زاویه هایی قائمه اند، دایره به مرکز وسط LC از رأس های B و H می گذرد. در این صورت چهار ضلعی BLCH در این دایره محاط خواهد بود، یعنی
از آن جا که AH، BH و CH نیمسازهای زاویه های مثلث ABC هستند (زاویه های A،B،C)، نتیجه می گیریم:
به این ترتیب که از آن نتیجه می شود که مثلث های قائم الزاویه BLC و AHD متشابه هستند. از تشابه آن ها به دست می آید:
BC : AD = BL : DH
ولی AD = BG و DH = EH؛ در این صورت
(10) BC : BG = BL : EH
چون EH و BL متوازی هستند، پس مثلث های BLK و EHK هم متشابهند و از آن جا:
(11) BL : EH = BK : EK
از تناسب (10) و (11) به دست می آید:
(12) BC: BG=BK: EK
تناسب(12) را به این صورت می نویسیم: (13) CG/EG=BE/KE ⇒ (BK=KE)/KE= (BC+BG)/BGصورت و مخرج سمت چپ تناسب (13) را در CG و صورت و مخرج سمت راست آن را در EC ضرب می کنیم: (14) 〖CG〗^2/(BG.CG)=(BE.EC)/(KE.EC)
در مثلث قائم الزاویه HCK داریم: KE.EC= 〖EH〗^2
در این صورت، رابطه (14) را می توان به این صورت نوشت:
و این به معنای آن است که

که اگر طول ضلع های مثلث را a،b و c بگیریم، خواهیم داشت:
این رابطه را در کتاب هندسه هرون هم می توان دید. در این کتاب دستورها و قضیه های زیادی با کاربرد آن ها برای اثبات آمده است؛ وی در این کتاب می نویسد:«تو می توانی اندازه مثلث را این گونه حساب کنی. فرض کنید طول ضلع های مثلث، یکی برابر 13، دومی برابر 14 و سومی برابر 15 باشد. برا ی این که مساحت آن را پیدا کنیم، به این ترتیب عمل می کنیم. 13، 14 و 15 را با هم جمع می کنیم، 42 به دست می آید. این را نصف می کنیم، در آغاز 13 را کم می کنیم، 8 به دست می آید، بعد 14 را ، 7حاصل می شود و سرانجام 15 را که 6 نتیجه می دهد. اکنون 21 را در 8 ضرب می کنیم، 168 به دست می آید، این عدد را 7 برابر می کنیم، می شود 1176، و آن را 6 برابر می کنیم، به دست می آید 7056، که ریشه دوم آن 84 می شود. این مقدار مساحت را به ما می دهد.»
همین دستور را در سده نهم میلادی، محمد، احمد و حسین، پسران موسی فرزند شاکر هم حل کردند. این دستور را می توان در کتاب اندازه گیری مساحت شکل های روی صفحه و شکل های کروی ( معرفه مساحه الاشکال البسیطه و الکرویه) دید.
این کتاب در سده دوازدهم میلادی به وسیله جرارد کرمونایی به زبان لاتینی ترجمه شد ( این ترجمه ، در «بازل» با نام کتاب کتاب سه برادر درباره هندسه نگهداری می شود.)
نصیرالدین طوسی هم این کتاب را تحریر کرده است. در ضمن برای مساحت مثلث وقتی طول ضلع های آن معلوم باشد، یعنی قضیه هفتم، استدلال تازه ای آورده است که نسخه هایی از آن در کتابخانه مرکزی دانشگاه تهران، کتابخانه مجلس و کتابخانه سپهسالار وجود دارد.
اثبات پسران موسی فرزند شاکر را درباره قضیه هرون می آوریم.
دایره DGF را محاط در مثلث ABC رسم می کنیم. مرکز این دایره را E می گیریم. نقاط تماس و دو رأس A و B را به این مرکز، یعنی E، وصل می کنیم. در این صورت
, CG = CF, BG = BD, AF =AD

روشن است که داریم:
AB را به اندازه BH=CG، و AC را به اندازه CK=BD امتداد می دهیم. در این صورت
=AH= AB +BH =AB +CG
از نقطه K، عمودی بر CK و از نقطه Hعمودی بر BH رسم می کنیم. چون AK= AH، نقطه برخورد این عمودها، که I می نامیم، روی نیمساز زاویه KAH قرار می گیرد و داریم IK= IH. نقطه I را به نقطه های B و C وصل می کنیم و روی BC پاره خط راست BL= BH را جدا می کنیم و I و L را به هم می پیوندیم؛ ثابت می کنیم، IL بر BC عمود است.
در مثلث های قائم الزاویه BHI و CKI داریم:
برابری دوم را از برابری اول کم می کنیم، با توجه به IK=IH، به دست می آید،
ولی BH= BL و CK=CL است، بنابراین
و یا با جابه جایی جمله ها:
از این جا مؤلف نتیجه می گیرد که IL بر BCعمود است.
مثلث های قائم الزاویه BHI و BLI برابرند؛ زیرا ضلع های BH و BL برابر وتر BI، در هر دو مشترک است. در این صورت IL=IH و
و همچنین داریم:
از این جا نتیجه می شود:DBE
، یعنی نصف آن ها هم با یکدیگر برابرند:
. از برابری این زاویه تشابه مثلث های قائم الزاویه DBE و BIH نتیجه می شود. از تشابه این دو مثلث نتیجه می شود:
دو طرف رابطه
را بر برابری (15) تقسیم می کنیم، به دست می آید:
از تشابه مثلث های ADE و AHI داریم:
ED: HI = AD : AH
که با استفاده از (16)به دست می آید:
دو سمت این برابری را در AH ضرب می کنیم:
ولی مساحت مثلث ABC برابر است با ED.AH، در نتیجه
پیش از این به دست آوردیم .
و این چیزی است که می خواستیم ثابت کنیم.
آنچه در این جا آمد، استدلال ریاضیدانان قدیمی درباره محاسبه مساحت مثلث بر حسب طول ضلع های آن بود که بیشتر از نظر تاریخ ریاضیات اهمیت دارد. به ویژه راه حل پسران موسی فرزند شاکر، بعد از روش های حل ارشمیدس و هرون جالب بود. در سال های بعد و به ویژه در سده های اخیر، راه حل های ساده تری برای این قضیه پیشنهاد شده است، که ما از آن ها می گذریم.
منبع: شهریاری، پرویز، (1385)، نگاهی به تاریخ ریاضیات در ایران، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ دوم 1390.