کرج یا کرخه؟

زندگی و آموزه های ریاضی
ریاضیدانان ایرانی، به دوره ای از تاریخ ریاضیات مربوطند که از سده سوم تا سده نهم هجری ادامه داشته است، که یک دوره کامل از تاریخ ریاضیات را تشکیل می دهد و بیشتر دوره کاربردی ریاضیات است.
بیشتر ریاضیدانان ایرانی، از محمد خوارزمی تا جمشید کاشانی، به ریاضیات محاسبه ای نظر داشتند تا بتوانند دشواری هایی را که در عمل پیش می آید، برطرف کنند. آن ها حساب و روش های محاسبه ای را پیش بردند، عددنویسی هندی را که در آن از ده رقم (به همان صورتی که امروز در عددنویسی به مبنای 10 نوشته می شود) و از اصل «موضعی بودن» رقم ها استفاده می شد ( یعنی رقم ها بسته به موضع و مکان خود ارزش داشتند)، قبول کردند. کتاب حساب هندی خوارزمی، در این زمینه نقشی اساسی داشت و توانست عددنویسی امروزی را در تمامی جهان رایج کند.
جبر در ایران به وسیله محمد خوارزمی به وجود آمد. هنوزهم در سراسر جهان، «جبر» به همان نامی شناخته می شود که خوارزمی بر آن گذاشت. در ضمن، خوارزمی نخستین الگوریتم ها را بر اساس جبر در رابطه با حل معادله های درجه دوم آورد.
ابوریحان بیرونی و ابوالوفای بوزجانی و دیگر ریاضیدانان ایرانی، دانش مثلثات را به دنبال قانون های نخستین آن ( که باز هم کار ایرانی ها بود)، یعنی رابطه های مثلثاتی را (چه روی صفحه و چه روی سطح کره) آوردند که بیشتر در اخترشناسی کاربرد داشت تا سرانجام، جمشید کاشانی با حل جبری یک معادله درجه سوم، سینوس یک درجه را به کمک سینوس سه درجه، با دقت تا هر میزان دلخواه محاسبه کرد و خواجه نصیر طوسی توانست بر اساس کارهای ریاضیدانان ایرانی پیش از خود، نخستین کتاب مثلثات را با نام کشف القناع بنویسد.
در واقع، ریاضیدانان ایرانی تحت تأثیر «انگیزه بیرونی» ریاضیات بودند؛ یعنی دشواری هایی را که از بیرون و از راه عمل، در برابر ریاضیات گذاشته می شد، حل می کردند. البته، این وضع را نباید به معنای آن گرفت که از «انگیزه درونی» ریاضیات پرهیز می کردند. از جمله، ابوالوفای بوزجانی، به صورتی نیمه آشکار، از مکعب هایی که بیش از سه بعد دارند، صحبت می کند، یا فضل نیریزی و خیام، اصول اقلیدس را به چالش می کشند. ریاضیدانان ایرانی، در بحث های نظری خود، عدد را به عنوان عدد حقیقی تعریف می کنند و زمینه را برای پیدایش «آنالیز ریاضی» مهیا می سازند. ریاضیات ایرانی، بعد از ریاضیات یونانی و با استفاده از همه دستاوردهای ریاضیات نظری یونانی در ریاضیات کاربردی پیش از آن پدید آمد و خود، در مجموع، جنبه کاربردی داشت، ولی بسی چیزها نیز به ریاضیات نظری افزود.
$ محمد کرجی نه «کرخه ای»
در این زمان به ریاضیدانی به نام محمد کرجی (با کنیه ابوبکر) بر می خوریم که به قول فرانتس وپکه، خاورشناس و ریاضیدان آلمانی سده نوزدهم، به راستی شگفت انگیز است. وپکه یکی از کتاب های کرجی را به نام الفخری فی الجبر و مقابله (کتاب فخری درباره جبر و مقابله) از روی نسخه ای خطی که در پاریس موجود بود، در سال 1853 در 265 صفحه با شرح آن منتشر کرد. به دنبال آن آدولف هوخهایم کتاب الکافی فی الحساب (بخشی درباره حساب) کرجی را در سه جلد، در سال های 1878 و 1880 به آلمانی ترجمه و منتشر کرد. این دو کتاب سرآغاز آشنایی اروپاییان با این دانشمند بزرگ ایرانی بود. کتاب الکافی فی الحساب دارای 75 بخش و درباره حساب، هندسه و جبر است.
کتاب فخری به نام «فخرالملک»(محمد فرزند علی فرزند خلف) وزیر بهاء الدوله دیلمی (که از 401 تا 407 هجری قمری بر عراق حکومت می کرد و پسر عضد الدوله دیلمی بود و در سال 407 هجری قمری کشته شد) نوشته شده است. کتاب وپکه به دلیل ارزش خود مورد توجه خاورشناسان قرار گرفت، ولی در نسخه ای که مورد استفاده وپکه بود، نسخه نویسی، نام «کرجی» را «کرخی» آورده بود و وپکه هم کرجی را اهل کرخ (یکی از محله های بغداد) دانسته است. این انتساب کرجی به عراق کنونی، نزدیک پنجاه سال در میان مورخان ریاضیات رواج داشت تا این که در سال 1934 میلادی لوی دلاویدا، خاورشناس ایتالیایی، ثابت کرد که کرخی اشتباه نسخه نویس بوده و در واقع، کرجی اهل ایران و از ناحیه «کرج» نزدیک شهر ری ( و تهران کنونی) است نه عراق.
لوی دلاویدا به کتاب های خطی البدیع فی الحساب (در کتابخانه واتیکان) و کتابی از کرجی درباره جبر در کتابخانه آکسفورد و غیر آن استناد می کند که همه جا نام کرجی با «ج» نوشته شده است. به جز این، سموئل فرزند یحیی مغربی، که 70 سال بعد از مرگ کرجی می زیسته و کتاب الباهر فی الجبر را نوشته است و در کتاب خود بارها به نام کرجی اشاره می کند، همه جا او را کرجی می نامد نه کرخی.
خود کرجی در پیشگفتار کتاب خود به نام استخراج آب های پنهانی با ترجمه زنده یاد حسین خدیوجم می گوید:«هنگامی که به عراق وارد شدم و دیدم که مردم آن جا از کوچک و بزرگ دانش دوست و قدرشناس علم هستند و دانشمندان را گرامی می دارند، کتاب هایی در حساب و هندسه تألیف کردم...»(1) یعنی از جای دیگری به عراق آمده بوده است.
خود دلاویدا کتاب های البدیع و علل حساب الجبر و المقابله را معرفی و به ایتالیایی ترجمه کرده است.
$ زندگی کرجی
آنچه از زندگی کرجی می دانیم چندان زیاد نیست. باید در زادگاه خود، کرج، مقدمه های دانش را فرا گرفته باشد و سپس در جست و جوی کتاب های مورد علاقه اش به شهر ری، که در آن زمان مرکز دانشمندان بود و کتابخانه های مجهز داشت، رفته باشد. بعد به بغداد رفته است و به خدمت به فخر الملک (محمد فرزند علی فرزند خلف واسطی) وزیر بهاء الدوله و پسرش سلطان الدوله در آمده باشد ( بهاء الدوله، پسر عضد الدوله بویه دیلمی از 379 تا 403 هجری و سلطان الدوله معروف به «ابوالشجاع» از 403 تا 412 حکومت می کردند.)
کرجی بعد از کشته شدن بهاء الدوله، عراق را ترک کرد و به زادگاه خود برگشت. در بازگشت، به دستور ابو غائم معروف به محمد، کاتب و وزیر منوچهر قابوس که در طبرستان از 403 تا 420 هجری قمری حاکم بود، کتاب استخراج آب های پنهانی را نوشت. کرجی در حدود سال 420 هجری قمری (1029میلادی) از دنیا رفت.
$ کتاب های کرجی
از نوشته های او (که تا 80 اثر شمرده اند)، تعداد اندکی باقی مانده است، ولی از همین کتاب های باقی مانده، می توان درباره کرجی و نوآوری های او داوری کرد. کرجی یکی از بزرگ ترین ریاضیدانان ایرانی است و تا آنجا که آگاهی داریم، بسیاری از دیدگاه های او تازه است و به تکامل ریاضیات، به ویژه در زمینه جبر، یاری فراوان رسانده است.
کتاب هایی که از کرجی به ما رسیده است، نشان می دهد وی درباره حساب، جبر، معادله های سیال، مساحی، اخترشناسی و آب های زیرزمینی کار می کرده است.
کرجی، مجهول x را شیء، مربع آن را مال، آن را مکعب، توان چهارم را مال مال، توان پنجم را کعب مال و غیره می نامد. برای هر ، عکس آن را جست و جو می کند؛ به نحوی که حاصل ضرب آن ها برابر واحد شود. کرجی خود را از قید سطح و حجم ( که یونانی ها و به تبعیت آن ها، ایرانی ها، برای به کار می بردند) آزاد می کند و عبارت های جبری را مانند «مال مال و 3 کعب به اضافه 6،
را مورد بحث قرار می دهد. از این راه از قاعده های حساب برای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم چند جمله ای ها استفاده می کند. او عدد منفی را «عدد ناقص» و عدد مثبت را «عدد زیادتی» یا «عدد اضافی» می نامد و از جمله از رابطه
a-(-b)= a + b
آگاهی داشته است. ولی جبر چند جمله ای ها را نتوانست پیدا کند؛ زیرا به آگاهی هایی از عمل های مانند
a-(-b)= -(a-b) -
نیاز داشت. او نمی توانست یک مقدار منفی را از مقدار منفی دیگری کم کند.
وقتی کرجی خود را از قید سطح و حجم برای بیان آزاد کرد، توانست به سادگی عبارت هایی که شامل توان چهارم یا پنجم مجهول باشد، به کار برد؛ زیرا مجذورx، یعنی مربعی به ضلع x و مکعبx، یعنی مکعبی به ضلع x بود و فضای ما فضای سه بعدی است و برای نمونه معنایی ندارد.
می بینیم محمد کرجی هم در زمینه ریاضیات کاربردی کار کرده است (همچون مساحی، اخترشناسی، استخراج آب های پنهانی) و هم در زمینه ریاضیات نظری. کرجی با دید تازه ای به چند جمله ای ها، به توان های بالای مجهول و به عددهای منفی نگاه می کرد، درست همان گونه که ما امروز می اندیشیم.
$ کرجی و ضریب های بسط دو جمله ای
در سال 1948 پاولی لوکی،(2) مورخ ریاضی آلمانی، وجود دستور نیوتن را برای توان های درست و مثبت، در مفتاح الحساب جمشید کاشانی، مشهورترین ریاضیدان سده نهم هجری کشف کرد. سپس احمداف، مورخ ریاضی اهل تاشکند، قانون تشکیل ضریب های دو جمله ای را در یکی از رساله های نصیر الدین طوسی، به نام جوامع الحساب بالتخت و التراب، کشف کرد ( این رساله درباره محاسبه به یاری تخته و شن بحث می کند). چه جمشید کاشانی و چه طوسی، این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه عددها آورده اند.
همچنین بر اساس آگاهی هایی که داریم، خیام، ریاضیدان، فیلسوف و شاعر ایرانی در سده های پنجم و ششم هجری، در کتاب خود از رساله ای به نام «درستی روش هندی در جذر و کعب» اشاره می کند ( این رساله هنوز پیدا نشده است) که در آن از تعمیم قانون های هندی درباره جذر و کعب صحبت شده است. بر همین اساس می توان معتقد بود که خیام هم در نیمه دوم سده پنجم هجری از دستور نیوتن برای توان های درست و مثبت دو جمله ای آگاه بوده است.
در سال 1972 صلاح احمد و رشدی راشد، مورخان ریاضی، رساله ابونصر سموئیل فرزند یحیی مغربی، ریاضیدان و اخترشناس سده ششم هجری را به نام الباهر فی الجبر در دمشق چاپ کردند. مغربی موضوع هایی از رساله کرجی را، به ویژه بخشی را که مربوط به ضریب های بسط دو جمله ای است، نقل کرده است. این رساله کرجی تاکنون پیدا نشده است، مغربی هم نام آن را نمی آورد، ولی به ظاهر باید همان کتاب فی حساب اللهند باشد که خود کرجی در کتاب البدیع فی الحساب خود از آن یاد کرده است.
سموئیل فرزند یحیی مغربی در فصل چهارم از بخش دوم الباهر فی الجبر قاعده بسط را برای حالت هایی که n برابر 2، 3، 4 و 5 باشد، شرح می دهد که ما برگردان آن را از کتاب صلاح احمد و رشدی راشد می آوریم:
«اکنون قاعده هایی را می آوریم که به یاری آن ها می توان تعداد جمله ها را در ضرب در جمله های دیگر، وقتی که یک عدد به دو بخش تقسیم شده باشد، پیدا کرد. کرجی می گوید: اگر تو این را می خواهی، به عنوان پایه کار، واحد را زیر واحد بگذار، سپس واحد را به ستون بعد ببر و واحدی را که زیر واحد اول قرار دارد، به آن اضافه کن، می شود 2، این 2 را زیر واحد بگذار و بعد دوباره یک واحد زیر آن قرار بده، به دست می آوری: واحد، دو، واحد. این به تو نشان می دهد که مربع هر عدد، وقتی از مجموع دو عدد تشکیل شده باشد، چنین است که هر کدام از عددها را باید یک بار در خودش ضرب کنی؛ زیرا در هر دو طرف واحد و واحد داری و هر عدد را در عدد دیگر باید دوبار ضرب کنی؛ زیرا در وسط، 2 داری؛ در مجموع مربع این عدد را به دست می آوری.
بعد دوباره واحد را به ستون بعد ببر، واحد به 2 بیفزا، 3 به دست می آوری، آن را زیر واحد بنویس؛ دو را به واحد که زیر آن است اضافه کن، 3 به دست می آوری، آن را زیر واحد بنویس. در ستون سوم به دست می آوری: واحد 3،3 واحد. از این جا تو می دانی مکعب هر عدد وقتی خود از دو عدد تشکیل شده باشد، چنین است: هر کدام از عددها را مکعب کن و هر عدد را در مربع دیگر سه بار اضافه کن.
واحد ستون سوم را به ستون چهارم ببر، سپس واحد به سه کن زیر آن است، اضافه کن، 4 به دست می آوری، آن را زیر واحد بنویس؛ 3 را به 3 بیفزا، 6 به دست می آوری، آن را زیر 4 بنویس، بعد دومین سه را به واحد اضافه کن، 4 به دست می آوری، آن را زیر 6 بنویس. در ستون چهارم به دست می آوری: واحد، چهار، شش، چهار، واحد. از این می دانی که مربع مربع عدد، وقتی از مجموع دو عدد تشکیل شده باشد، چنین است: هر کدام از عددها را مربع مربع می کنی؛ زیرا در آن ها واحد داری، سپس هر عدد را در مکعب دیگری چهار مرتبه ضرب می کنی؛ زیرا به دو انتها یعنی واحد، چهار چسبیده است، سپس مربع یکی را در مربع دیگری شش بار ضرب می کنی؛ زیرا در وسط شش داری.»
به همین ترتیب داده می شود و نویسنده نتیجه می گیرد:
«از این راه می توان مربع و مکعب و هر توان دیگری را که بخواهیم، معلوم کنیم.»
در پایان هم جدول ضریب های دو جمله ای را برای n=1 تا n=12 می دهد (جدول را ببینید).
شیء

 

مکعب- مکعب- مکعب- مکعب	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1
مربع- مکعب- مکعب- مکعب	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
مربع- مربع- مکعب- مکعب	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
مکعب- مکعب- مکعب	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
مربع- مکعب- مکعب	1	8	28	56	70	56	28	8	1
مربع- مربع- مکعب	1	7	21	35	35	21	7	1
مکعب- مکعب	1	6	15	20	15	6	1
مربع- مکعب	1	5	10	10	5	1
مربع- مربع	1	4	6	4	1
مکعب	1	3	3	1
مربع	1	2	1
شیی ء	1	1

به این ترتیب، با سندهایی که در اختیار داریم، محمد کرجی نخستین ریاضیدانی است که برای تعیین ضریب های بسط دو جمله ای راهی قانونمند پیدا کرد و جدولی در این باره تشکیل داد.
البته ریاضیدانان هندی هم در سده دوم پیش از میلاد، به صورتی کم و بیش مبهم، از ضریب های بسط دو جمله ای (با توان درست و مثبت) آگاه بودند، ولی نتوانستند اندیشه های خود را منظم ارائه دهند.
بعد از جمشید کاشانی و در اروپای پیش از نیوتن، ضریب های بسط دو جمله ای را بسیاری از ریاضیدانان کشف کرده بودند (و به احتمالی بدون آگاهی از کارهای ریاضیدانان ایرانی). از جمله در کتاب حساب مخفی میخائیل اشتیفل که در سده شانزدهم میلادی می زیست و ریاضیدانانی آلمانی و برجسته بود، می توان ردپای این دستور را پیدا کرد(کتاب شتیفل در سال 1544 چاپ شد).
سرانجام باید از بلز پاسکال (که کم و بیش با نیوتن همعصر بود) نام برد که جدولی تشکیل داد و ضرب های بسط دو جمله ای را در آن منظم کرد. این جدول که به صورت مثلثی تنظیم شده است، امروز به نام «مثلث پاسکال» معروف است که ویژگی های بسیار دارد و می توان مورد استفاده هر پژوهشگر علاقه مندی قرار گیرد تا ویژگی های دیگری از آن را کشف کند.
بسط دو جمله ای، امروز به نام «دو جمله ای نیوتن» مشهور است؛ زیرا او قانون دو جمله ای را برای توان های کسری و منفی هم به کار برد.
$ جذر تقریبی
کرجی در کتاب خود به نام الکافی فی الحساب، طرح «نه نه» و «یازده یازده» را برای عمل های حسابی می دهد و روش گرفتن جذر عددها را می آورد که به زبان جبر امروزی آن ها را می توان با این دستورهای تقریبی مشخص کرد $ محاسبه های عددی
کرجی در کتاب الفخری کارهای دیوفانت را ادامه می دهد و در همه زمینه ها به نتیجه های تازه ای می رسد. حل معادله های درجه سوم با اثبات هندسی، تبدیل معادله های به صورت به معادله های درجه دوم. کرجی ریشه های منفی معادله ها را نمی پذیرد و ریشه صفر را هم کنار می گذارد، ولی جواب های گویا را پیدا می کند. درباره
بحث و مزدوج آن ها را پیدا می کند. در فخری در مورد معادله های دو مجهولی بحث می کند و از جمله، این معادله را حل کرده است:

باید توجه داشت که در زمان کرجی، هنوز نمادها و دستورهای ریاضی معمول نبوده است و کرجی همه این موضوع ها را با شرح تفصیلی نوشته است. کرجی از جمع و تفریق رادیکال هایی به گونه
آگاهی داشته است. کرجی برای اثبات اتحاد

استدلالی هندسی آورده است که آن را در این جا می آوریم:
مربع ABCD را با ضلعی برابر
1+2+3+ …+n
در نظر می گیریم. مساحت این مربع برابر است با
اکنون اگر را برابر nبگیریم، مساحت حاشیه ای می شود؛ زیرا این مساحت برابر است با
و چون داریم: اگر به جای AB مقدارش را قرار دهیم، به نتیجه ای که گفتیم، می رسیم. سپس اگر
را برابر (n-1) بگیریم، با همین استدلال مساحت حاشیه ای برابر می شود. به این ترتیب اگر استدلال را به همین گونه ادامه دهیم، معلوم می شود که مساحت مربع ABCD برابر است با

و در نتیجه این اتحاد به دست می آید:
کرجی تعداد بسیاری از مجموع دنباله های عددی را، با همین روش هندسی، محاسبه کرده است.
$ جست و جو دوروبر قضیه فرما
کرجی وقتی معادله های درجه اول را حل می کند، از معادله هایی شبیه که ریشه منفی دارند، می گذرد و آن ها را طوری تغییر می دهد که ریشه مثبت داشته باشند.
در معادله های سیالی که کرجی در فخری مطرح می کند، به جواب های مثبت (درست یا گویا) توجه دارد و تنها یک جواب را می آورد. در معادله های سیال به گونه ای مختلف می پردازد و در کنار معادله هایی مانند

به نظر می رسد، دوروبر معادله ای می گشته است که در سده هفدهم مطرح و به قضیه فرما (1608-1665م) مشهور شد و به مدت بیش از 350سال بزرگترین ریاضیدانان را به خود مشغول کرد. تا در سال 1995 به وسیله آندرو وایلز، آن هم با روشی طولانی و غیر مستقیم، حل شد.
هیچ بعید نیست که کرجی به دنبال جواب معادله برای عدد درست2 n> بوده است و به این دلیل، این معادله های سیال را مطرح کرده است. گر چه خود کرجی هیچ اشاره ای درباره معادله ای که فرما بعد از نزدیک هفت سده آورده، نمی کند، ولی به نظر من بعید است که ریاضیدانی این همه در اطراف این معادله بچرخد و به آن نیندیشند. کرجی معادله را حل می کند و جواب x=3,y=4, z=5 را به دست می آورد. سپس در بین معادله های سیالی که کرجی مطرح می کند، به این گونه معادله ها بر می خوریم:
و غیره.
$ فیبوناچی و کتاب فخری
در کتاب فخری 254 مسئله داده شده است. لئوناردو فیبوناچی(3)(1170-1250م) متولد پیزا از شهرهای ایتالیاست و به همین دلیل به لئوناردوی پیزایی معروف شده است. او به مصر، یونان، سیسیل و بغداد سفر کرد و از نخستین کسانی است که عددنویسی موضعی هندی را به اروپا برد. دنباله فیبوناچی مشهور است:
...، 55،34،21،13،8،5،3،2،1،1
که از جمله سوم به بعد، هر جمله دنباله برابر است با مجموع دو عدد قبلی آن.
فیبوناچی کتابی در حساب و جبر دارد که بخش عمده آن، به ویژه معادله های سیال، از کتاب فخری کرجی برداشته شده است. برخی معادله هایی که از کتاب فخری نقل کرده است، همراه راه حل هایی با اندک تفاوتی نسبت به کتاب فخری آمده است. به هر حال فیبوناچی تحت تأثیر کتاب فخری، کتاب خود را نوشته است. در این جا نمونه ای از 254 مسئله ای که کرجی در فخری آورده است، یا ترجمه زنده یاد قربانی از کتاب ریاضیدانان ایرانی آمده است:
«اگر گفته شود چهار مرد هستند که اگر اولی یک درهم از دومی بگیرد، دو برابر آنچه برای دومی باقی می ماند، خواهد داشت و اگر دومی دو درهم از سومی بگیرد، سه برابر آنچه برای سومی باقی می ماند، خواهد داشت و اگر سومی سه درهم از چهار بگیرد، چهار برابر آنچه برای چهارمی باقی می ماند، خواهد داشت و اگر چهارمی، چهار درهم از اولی بگیرد، پنج برابر آنچه برای اولی باقی می ماند، خواهد داشت. هر کدام چه مبلغ دارند؟»
بدون این که راه حل کرجی را بیاوریم، راه حل مسئله را با نمادهای امروزی جبر می آوریم. مسئله منجر به چهار معادله چهار مجهولی می شود: که با حل آن به دست می آید: کرجی به درستی مسئله را حل می کند و با این که نماد یا علامتی در اختیار نداشته است، این کار را تا پایان با شرح و توصیف انجام می دهد.

پی نوشت ها :

1-ابوبکر محمد بن حسن الحاسب الکرجی، استخراج آب های پنهانی، ترجمه حسین خدیوجم، تهران، پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی، 1373،ص21
2-paul luckey
3-leonardo fibonacci
منبع: شهریاری، پرویز، (1385)، نگاهی به تاریخ ریاضیات در ایران، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ دوم 1390.