خیام ریاضیدان

نویسنده: پرویز شهریاری

در زمان خیام، یعنی در سده های پنجم و ششم هجری قمری، در ایران با وضعی دوگانه رو به رو هستیم. از یک سو سنت های علمی چنان پا گرفته و ریشه دوانده بود که به سادگی نمی شد ارثیه کسانی همچون خوارزمی، زکریای رازی، فارابی، ابوریحان بیرونی و پورسینا را نادیده گرفت و از سوی دیگر، بعد از سپری شدن دوران مأمون و برادرش معتصم که آزادی اعتقادهای مذهبی و همراه با آن، آزادی فعالیت های علمی، به طور نسبی تضمین شده بود و با آغاز حکومت متوکل، خلیفه عباسی، دوباره میدان به دست اشعریان و هواداران آموزش های حنبل افتاد که هرگونه حرکت فکری را محکوم می کردند و مطالعه نوشته های فیلسوفان و حتی دانشمندان را مخالف با ایمان به حساب می آوردند. در این مبارزه اندوهبار، تنها معتزله و باطنی و قرمطی نبودند که قربانی می شدند، بلکه بر مرد معتقد و پر نفوذی مانند محمد غزالی، که خود تهافت الفلاسفه در رد و مذمت نظر فیلسوفان نوشته بود، خرده گرفتند و به این دلیل که آموختن دانش و منطق را عیب نمی دانست، ملامت کردند. ابن جوزی و ابن تیمیه از این هم فراتر رفتند و او را مرتد دانستند (ابن تیمیه می گفت « تنها آنچه از پیامبر به ما رسیده است، شایسته عنوان دانش است») و در برخی جاها، کتاب های غزالی را به آتش کشیدند. تب متهم کردن دانشمندان، که در دوران غزنویان شدت گرفته بود، در زمان شاهان سلجوقی به اوج خود رسید.
در همین زمان بود که حسین منصور حلاج را به دار آویختند. عین القضات همدانی را با نفت آتش زده و شهاب الدین سهروردی را کشتند. گفتنی است که در همه این جریان ها، خلیفه بغداد و شاهان غزنوی و سلجوقی تابع او، همراه با ملاکان و ثروتمندان در یک سو، و مردم ساده و میان حال شهری و روستایی در سوی دیگر بودند. این مردم، همه جا پشتیبان نهضت های معارضی مانند شعوبی، اسماعیلی، تشیع و در معنا حامی خرد و دانش انسانی بودند.
خراسان که زمانی ( از سده سوم پیش از میلاد تا سده سوم پس از میلاد) سرزمین پارت ها بود، در سده دهم میلادی تحت سلطه سامانیان ( که مرکز حکومت آن ها در بخارا بود) در آمد و در پایان سده دهم میلادی به تصرف غزنویان، که مرکزشان در غزنین بود. سرانجام با شکست مسعود غزنوی از سلجوقیان (در نزدیکی مرو)، حاکمیت خراسان به مهاجمان سلجوقی رسید. سلجوقیان که به دنبال چراگاه بودند، در آغاز خراسان را گرفتند و سپس تا دریای سرخ و مدیترانه پیش رفتند؛ حتی بغداد، مرکز خلیفه عباسی، را تصرف کردند و به همین مناسبت طغرل بیگ، رکن الدین ابوطالب لقب گرفت.
قدرت سلجوقیان، به ویژه در زمان عضدالدین ابوشجاع الب ارسلان و پسرش جلال الدین ابوالفتح ملکشاه، بالا گرفت و قلمرو حکومت آن ها از مرز چین تا دریای مدیترانه و از قفقاز تا یمن گسترش یافت. مرکز حکومت سلجوقیان در زمان الب ارسلان مرو و در زمان ملکشاه، اصفهان بود.
از چهره های دوگانه دوران سلجوقیان، نظام الملک وزیر الب ارسلان و ملکشاه، از مردم طوس بود. نظام الملک که قدرتی بی اندازه داشت و تمام سیاست مملکت و از جمله رفتار شاه را تعیین می کرد، یک اشعری متعصب بود. به ویژه با فرقه اسماعیلی که در آن زمان از حسن صباح پیروی می کرد، کینه و دشمنی جدی داشت و سرانجام هم، قربانی یکی از فداییان حسن صباح شد. ولی همین نظام الملک، مردی فاضل بود، به دانشمندان ارج می گذاشت و مرکز علمی «نظامیه» را در بغداد و سپس نظامیه های دیگری را در نیشابور، بصره، اصفهان، بلخ و دیگر شهرها بنیان گذاشت. او برای نظام فئودالی حاکم، رسم ها و قانون هایی طرح ریخت و برای پرداخت سهم اربابی، مالیات دولتی و غیر آن، رسمی به طور نسبی معقول رواج داد.
دوران بعد از ملکشاه ( که دیگر نظام الملک زنده نبود)، دوران هرج و مرج و بی اعتباری سلجوقیان است. مدتی ترکان خاتون، همسر ملکشاه ( و به نیابت پسر خردسالش، محمود) حکومت می کرد و پس از او حاکمیت سلجوقی در جنگ و جدال های درباری، این دست و آن دست می شد.
اروپای غربی در نیمه دوم سده یازدهم و نیمه اول سده دوازدهم میلادی، در تعصب جنگ های صلیبی می سوخت و گر چه در ترانه های حماسی رزمی، مانند ترانه های رولان، به دور از جمود فکری حاکم بر سده های میانه در میان شوالیه ها و حتی دهقانان، جای خود را باز می کرد و همچون جرقه ای در سیاهی و ظلمت آن دوران، راه خود را به سوی ادبیات تازه ای می گشود، هنوز بحث ها و جدل های متعصبان مسیحی، اراده و اندیشه مردم را در بند خود داشت و به مناسبت طرح ملایمی که قدیس آنسلم(1) (1033 تا 1109م) به منظور خردگرایی و عقلانی تر کردن باورها ریخته بود، مجادله ای سخت درباره کائنات و مرحله ها و مرتبه های موجودات در گرفت؛ چرا که «روسیلین» می گفت:«کائنات واقعیت عینی ندارند و هر چه هست در ذهن ما و در واژه هایی است که ساخته ایم». اروپای غربی و جنوبی، هنوز زمان درازی در پیش داشت تا بتواند تجربه و استدلال منطقی را به جای درک خالص ذهنی و تعبدی بشناسد و در راه پیشرفت خود به مشاهده و تجربه و خرد انسانی تکیه کند.
هنوز کتاب های تازه علمی، کتاب های عربی بود و برگردان آن ها به زبان های لاتینی و یونانی به تازگی آغاز شده بود ( به جز یهودیان که به عربی و عبری می نوشتند). در اروپای غربی چرتکه رواج داشت، ولی برای استفاده از عددنویسی رومی. از اسطرلاب هم کم و بیش استفاده می کردند و رساله هایی درباره بازی ها و معماهای ریاضی نوشته می شد. در همین زمان «پسلوس» رساله ای نه چندان معتبر درباره تاریخ ریاضیات نوشت. قرطبه در اسپانیا هم، آخرین جرقه های علمی را نمایان می کرد. ابن صاعد به یاری دیگران رصدهایی انجام داد که بعدها مورد استفاده «زرقالی» قرار گرفت (زیج زرقالی همراه با پیشگفتاری درباره مثلثات است).
چین و هند، جدا از دیگران و به آرامی، نهضت های علمی خود را ادامه می دادند، ولی هنوز به دوران شکوفایی خود نرسیده بودند. شرح اسین خوا درباره چاپ با حرف های متحرک و استفاده از عقربه های مغناطیسی مربوط به همین دوره است. نهضت علمی به تدریج و با کندی، راه خود را از طریق چین به ژاپن باز می کرد.
مدت ها بود که ایران، دوران ترجمه های علمی و فلسفی را از سرچشمه های هندی و یونانی و به احتمال زیاد و با یاری گرفتن از ترجمه های پهلوی و سریانی آن ها از سرگذرانده بود و دانشمندان ایرانی به بحث درباره این دانش ها، با تکیه بر ارثیه ای که از فرهنگ ایرانی در اختیار داشتند، می پرداختند.
ریاضیدانان ایرانی، ضمن بحث ها و تفسیرهای نظری خود، بیشتر به ریاضیات محاسبه ای رو آوردند و با توجه به نیازهای زندگی روز، در زمینه پر کردن رخنه ها و کمبودهای ریاضیات یونانی تلاش می کردند. خوارزمی جبر را آورد، ابونصر عراق، ابوالوفای بوزجانی، ابوریحان بیرونی و دیگران، رابطه ها و دستورهای مثلثاتی را کشف کردند.
در چنین دورانی بود که غیاث الدین ابوالفتح عمر فرزند ابراهیم مشهور به خیام یا خیامی در سال 429 هجری قمری (1048 میلادی) در نیشابور خراسان چشم به جهان گشود. غیاث الدین لقب و ابوالفتح عمر نام او و ابراهیم نام پدر او بود. عنوان خیام یا خیامی به این مناسبت است که پدر یا پدربزرگش خیمه دوز بوده است.
این که خیام، دوران کودکی و جوانی را چگونه گذراند، نزد چه کسانی تعلیم دید، چگونه امرار معاش می کرد و... نه چندان روشن است و نه آن قدرها مهم. می دانیم، بعد از سلطه سلجوقیان بر ایران، به قراخانیان در ماوراء النهر پناه برد و تحت حمایت قاضی القضات سمرقند قرار گرفت.
خیام سپس تحت حمایت نظام الملک و ملکشاه قرار گرفت و در سال 467 هجری قمری، برای اصلاح گاه شماری، به اصفهان رفت. دانشمندان دیگر هم، همچون ابوالمظفر اسفزاری، ابوالعباس لوکری، میمون فرزند نجیب واسطی و دیگران به اصفهان دعوت شده بودند.
درایران پیش از اسلام، از ماه و سال های خورشیدی استفاده می کردند، ولی با سقوط حکومت ساسانی، مانند تمام قلمرو اسلامی، در ایران هم سال و ماه قمری معمول شد. تنها در متن ها و برخی سندها و نوشته هایی که به زمان دقیق نیاز داشتند، در کنار سال قمری، روز، ماه و سال یزدگری یا اسکندری را هم می آوردند.
کنار گذاشتن سال های خورشیدی، موجب دشواری های زیادی شده بود. به ویژه اقتصاد کشاورزی مستلزم آگاهی از فصل های سال است. کشاورز باید از زمان کشت، آبیاری و برداشت مطلع باشد که جز با استفاده از گاه شماری خورشیدی ممکن نیست. دولت هم در زمینه وصول مالیات از دهقانان و مالکان به دشواری بر می خورد؛ چرا که راهی برای تشخیص زمان مالیات وجود نداشت. البته مردم به تقریب حساب زمان را داشتند و از جمله جشن های نوروز و مهرگان را برگزار می کردند. درباره ابوریحان بیرونی نوشته اند که «هرگز قلم و کتاب را کنار نمی گذاشت، جز در روز نوروز و مهرگان». ذهن هوشمند نظام الملک که به ویژه در جهت تحکیم حاکمیت فئودالی و نظم بخشیدن و به قانون در آوردن کارهای دولتی و از آن جمله وصول به موقع مالیات ها کار می کرد، موجب شد تا با حمایت از خیام و دیگر دانشمندان، رصدخانه های اصفهان را برپا کند و سال های خورشیدی را به جای قمری معمول دارد.
نتیجه کار خیام و همکارانش، منجر به اصلاح و تنظیم گاه شماری جلالی (گاه شماری ملکی) شد. آغازگاه شماری ملکی، اول فروردین سال 458 هجری خورشیدی بود. در گاه شماری تنظیمی خیام، در هر ده هزار سال، دو روز اشتباه می شود؛ بنابراین از گاه شماری گریگوری، که بیش از 500 سال بعد تنظیم شد و هر ده هزار سال، سه روز اشتباه دارد، دقیق تر است.
نظام الملک را ترور کردند و یک ماه بعد، ملکشاه هم در گذشت. برکیارق، پسر ارشد ملکشاه 14 سال داشت و محمد و سنجر، دو پسر دیگر او 10 ساله و 6 ساله بودند. کوچک تر از همه، محمود بود که 5 سال داشت. «ترکان خاتون»، زن جوان ملکشاه و مادر محمود، به یاری غلامان ترک، سلطنت محمود را اعلام کرد و در واقع، خود به حکومت رسید. ترکان خاتون با نظام الملک دشمنی داشت؛ زیرا نظام الملک با نظر او مبنی بر ولیعهد شدن محمود خردسال مخالفت می کرد. به همین سبب، وقتی ترکان خاتون به حکومت رسید، کمک مالی به رصدخانه را قطع کرد. محمود بعد از دو سال آبله گرفت و مرد. برکیارق به جای او نشست. بعد از مدت کوتاهی او هم مرد و پسر چهارساله اش (ملکشاه دوم) سلطان شد. یک سال بعد، محمد پسر دوم ملکشاه، سلطنت را از آن خود کرد.بعد از مرگ محمد، پسر سوم ملکشاه (سنجر)، قدرت را در دست گرفت و طبیعی است که در این سال های پر آشوب کسی در اندیشه رصدخانه نبود. روایت می کنند، زمانی سنجر آبله گرفته بود و خیام از وضع و آینده او ابراز نگرانی می کرد. سنجر بهبودی یافت، اما از آن جا که خیام، سلامتی آینده او را به درستی پیش بینی نکرده بود، کینه وی را به دل گرفت.
خیام 18 سال در اصفهان بود. در همان جا بود که کتاب شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس را نوشت. او دوباره به نیشاپور برگشت و در سال 526 هجری (1131 میلادی)، در سن 83 سالگی درگذشت.
کارهای خیام در زمینه ریاضیات، بکر و شگفت انگیز است. او برای نخستین بار در تاریخ ریاضیات، اعلام کرد معادله های درجه سوم را نمی توان در هندسه به یاری پرگار و خط کش حل کرد. خیام می گوید:«برهان های این شش صنف، جز به یاری ویژگی های مقطع های مخروطی، ممکن نیست».
خیام با تقسیم بندی معادله های درجه سوم، اغلب آن ها را به یاری مقطع های مخروطی حل کرد و امکان وجود دو جواب را برای معادله درجه سوم، بررسی کرد. ولی درباره حل معادله

دچار اشتباه شد. البته خیام، به جواب های منفی معادله ها توجه نکرد و در ضمن، به سادگی از کنار وجود سه جواب برای معادله درجه سوم، رد شد.
خیام با موفقیت، تعریف عدد را به عنوان عدد پیوسته به دست داد و در مقاله های دوم و سوم شرح ما اشکل، ضمن جست و جوی مقیاس مشترک برای مقدارهای گنگ، در واقع برای نخستین بار، عدد حقیقی را تعریف کرد و از این بابت باید کار خیام را سرآغازی برای پیدایش و تکامل آنالیز ریاضی دانست. خیام سرانجام به این حکم رسید که هیچ مقداری مرکب از اجزای غیرقابل تقسیم نیست و از نظر ریاضی، می توان هر مقداری را به بی نهایت بخش تقسیم کرد.
خیام در مقاله اول شرح ما اشکل، ضمن جست و جوی راهی برای اصل پنجم اقلیدس درباره دو خط راست موازی، مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. او پاره خط راستی را در نظر گرفت و از دو انتهای آن، دو پاره خط راست برابر، عمود بر پاره خط راست اول رسم کرد. اگر دو انتهای پاره خط های عمود را به هم وصل کنیم، یک چهار ضلعی به دست می آید یا دو زاویه قائمه مجاور هم و دو ضلع روبه روی برابر ( که پیوسته به زاویه قائمه اند). خیام این چهار ضلعی را، چهار ضلعی دو قائمه متساوی الساقین نامید. اگر بتوان ثابت کرد، دو زاویه ای که در بالا پیدا می شوند قائمه اند، مانند این است که اصل اقلیدس، یعنی اصل توازی را ثابت کرده ایم. خیام با استفاده از برهان خلف، برابری این دو زاویه را ثابت کرد. بنابراین سه حالت ممکن پیش آمد: یا این دو زاویه حاده اند یا منفرجه و یا قائمه. او در واقع با استفاده از اصلی هم ارز توازی ثابت کرد که این دو زاویه، نمی توانند حاده یا منفرجه باشند و در نتیجه قائمه اند.
ولی اهمیت کار خیام در جایی دیگر است. در واقع سه حالتی که برای چهار ضلعی دو قائمه متساوی الساقین در نظر گرفته است، متناظر با سه هندسه متفاوتند. حالت زاویه قائمه، متناظر با هندسه اقلیدسی، حالت زاویه حاده متناظر با هندسه لوباچفسکی و حالت زاویه منفرجه، متناظر با هندسه ریمانی است.
کار خیام به واسطه نوشته خواجه نصیر طوسی به نام تحریر اقلیدس به لاتینی و برخی زبان های اروپایی ترجمه شد و «ساکری» ریاضیدان ایتالیایی ( جووانی جیرولامو، 1667-1733م)، با طرح همین چهارضلعی تلاش کرد تا حالت های زاویه حاده و منفرجه را به تناقض بکشاند که البته موفق نشد. کار ساکری آغازی شد برای کارهای بعدی کسانی مانند گاوس، یانوش، بایای و لوباچفسکی که نتیجه آن پیدایش هندسه نااقلیدسی بود. امروز در بیشتر کتاب های تاریخ ریاضیات، از این چهارضلعی به نام چهارضلعی ساکری نام می برند، در حالی که به حق نام چهارضلعی خیام، برازنده آن است. از این بابت، باید کار خیام را سرآغازی برای کشف هندسه های نااقلیدسی دانست.
هستند نویسندگانی که «مثلث حسابی پاسکال» را «مثلث حسابی خیام» یا «مثلث حسابی خیام- پاسکال» می نامند. برخی پا را از این فراتر گذاشته اند و معتقدند بسط دو جمله ای نیوتن را باید «بسط دو جمله ای خیام» نامید. اندکی در این باره بیشتر توضیح می دهیم.
همه کسانی که با جبر دبیرستانی آشنایی دارند، «دستور نیوتن» را درباره بسط دو جمله ای

می شناسند. پاسکال که اندکی پیش از نیوتن می زیست، مثلثی عددی ساخت که هر سطر آن معرف ضریب های بسط این دو جمله ای برای مقدار درست و مثبت n است:

در این مثلث عددی، از سطر سوم به بعد، هر عدد برابر است با دو عددی که در سطر پیش، در بالا و سمت چپ آن واقع است و بنابراین،
سطرهای این مثلث را می توان تا هر جا که لازم باشد، ادامه داد، سطر اول نماینده ضریب در بسط

، سطر دوم معرف ضریب ها در بسط

، سطر سوم معرف ضریب ها در بسط

،...، سطر هفتم نماینده ضریب در بسط

سطر nام نماینده ضریب های بسط

است.
ولی حقیقت این است که ضریب های بسط دو جمله ای ( برای توان های درست و مثبت)، حتی در سده دوم پیش از میلاد، البته به صورتی کم و بیش ناروشن، برای دانشمندان هندی معلوم بوده است. با وجود این، حق این است که قانون بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد؛ زیرا نیوتن حالت کلی این بسط را، وقتی توان بتواند کسری یا منفی باشد، بررسی کرد؛ حالتی که برای بسط، رشته ای بی پایان به دست می آید. اما درباره مثلث حسابی و ضریب های بسط دو جمله ای، در حالتی که توان مثبت و درست باشد، اندکی تاریخ را بررسی می کنیم.
برای نمونه، دستور بسط دو جمله ای را می توان پیش از نیوتن و پاسکال، در کتاب حساب مخفی نوشته میخائیل اشتیفل(2) جبردان آلمانی، پیدا کرد. اشتیفل کتاب خود را در سال 1544 میلادی چاپ کرد.
ضریب های بسط دو جمله ای را، برای حالت درست و مثبت بودن توان، در کتاب مفتاح الحساب جمشید کاشانی هم می توان دید که در سال 1427 میلادی نوشته شده است. بعدها، همین دستور بسط دو جمله ای در رساله ای از خواجه نصیرطوسی نیز که درباره محاسبه بحث می کند، کشف شد. طوسی در سده سیزدهم میلادی می زیست. چه جمشید کاشانی و چه طوسی، این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.
همچنین بر اساس آگاهی هایی که داریم، حکیم عمر خیام رساله ای نوشته است ( خود رساله تاکنون پیدا نشده است ولی از نام آن، درستی روش های هندسی در جذر و کعب، آگاهیم) که در آن، به تعمیم قانون های هندی درباره جذر و کعب و برای هر ریشگی دلخواه پرداخته است. بر همین اساس می توان اطمینان داشت که خیام هم در نیمه دوم سده یازدهم میلادی از «دستور نیوتن» و ضریب های بسط دو جمله ای ( برای توان های مثبت و درست) آگاه بوده است.
در سال 1972 میلادی دو مورخ عرب، صلاح احمد و رشدی راشد، رساله ای از ابونصر سموأل فرزند یحیی مغربی، ریاضیدان و اخترشناس سده دوازدهم میلادی را به نام الباهر فی البحر در دمشق چاپ کردند. مغربی مطالبی از رساله کرجی ( ابوبکر محمد فرزند حسن حاسب کرجی)، ریاضیدان ایرانی پایان سده دهم و آغاز سده یازدهم میلادی و به ویژه آن بخش را که به دستور بسط دو جمله ای مربوط می شود نقل کرده است. این رساله کرجی تاکنون پیدا نشده است و مغربی هم نام آن را نیاورده است، ولی به ظاهر باید همان کتاب فی الحساب الهند باشد که خود کرجی در کتاب البدیع فی الحساب خود، از آن نام برده است.
به این ترتیب، قانون تعیین ضریب های بسط دو جمله ای ( و طرح «مثلث حسابی پاسکال») با بررسی هایی که تاکنون انجام شده است، تا سده دهم میلادی (سده چهارم هجری) عقب می رود و به کرجی ختم می شود. بنابراین حتی «مثلث حسابی پاسکال» را هم، از نظر تقدم تاریخی نمی توان «مثلث حسابی خیام» نامید.
وقتی می توانیم بزرگی خیام را بشناسیم و به اندیشه های سترگ او در همه زمینه ها پی ببریم که تمام نوشته های او را با موشکافی بررسی کرده باشیم. باید رساله مختصری که خیام در «طبیعیات» نوشته است، همه رساله های فلسفی، رساله مربوط به موسیقی، نوروز نامه و دیگر نوشته های خیام را با دقت و با توجه به روحیه وی و زمانی که در آن می زیسته است، تجزیه و تحلیل کرد تا مقام واقعی خیام شناخته شود؛ کاری که تنها بخش بسیار کوچکی از آن در مقاله به انجام رسیده است، در حالی که این تجزیه و تحلیل، یک کتاب بزرگ می طلبد و بی تردید در یک مقاله کوتاه نمی توان از عهده آن بر آمد.
نظامی عروضی، صاحب چهارمقاله، که در سال 506 هجری قمری در بلخ با خیام و محمد اسفزاری ملاقات کرده، از قول خیام نقل کرده است:«می خواهم گور من در موضعی باشد که هر بهار، شمال بر من گل افشانی کند.» و این سفارش خیام تا چه اندازه با زندگی و روحیه او سازگار است(3):
چون ابر به نوروز رخ لاله بشست
برخیز و به جام باده کن عهد درست

کاین سبزه که امروز تماشاگه توست
فردا همه از خاک تو بر خواهد رست

سخن را بازهم با نظر جرج سارتون، یکی از با انصاف ترین مورخان دانش، به پایان می بریم:
«... اصیل ترین خلاقیت های این عصر، در زمینه ریاضیات صورت گرفت و از اصیل ترین نابغه هایی که این خلاقیت ها را به او مدیونیم، عمر خیام ایرانی بود؛ از این رو، در واقع شایسته است که این دوران را، دوران خیام بنامیم...»

نمونه ای از حل معادله درجه سوم به وسیله خیام

از راه حل هایی که خیام برای معادله های درجه سوم داده است، این طور استنباط می شود که وی به نوعی محورهای مختصات را در نظر داشته است. همچنین بدون این که معادله های مقطع های مخروطی را بداند، نمی توانسته است از عهده حل مسئله بر آید. مسئله ای را که در این جا آورده ایم، به جز این که با نمادها و نشانه های امروزی جبر است، تنها به یک ریشه آن اکتفا کرده ایم. به طور کلی خیام به سه جواب معادله درجه سوم توجه نداشت و وقتی یک جواب را پیدا می کرد، مسئله را حل شده می دانست. البته گاهی جواب دوم را هم پیدا می کرد. معادله را طوری انتخاب می کرد که جواب منفی نداشته باشد. طبیعی است به جواب های موهومی هم بی توجه بوده است. این مسئله از کتاب جبر و مقابله، نوشته خیام برداشته شده است. خیام بیشتر معادله ها را به کمک مقطع های مخروطی و گاهی به طریق جبری حل کرده است.

مسئله: با فرض مثبت بودن ضریب های

مطلوب است حل این معادله درجه سوم:

حل: اگر

بگیریم، به این معادله می رسیم:

مستطیل ABCE را با ضلعهای AB= b و AC= c می سازیم و پاره خط راست CA را به اندازه a از طرف A امتداد می دهیم. شاخه ای از هذلولی متساوی الساقین را رسم می کنیم که از نقطه C بگذرد و خط های راست AB و BE مجانب های آن باشند. اگر این هذلولی، نیم دایره ای به قطر CD را در M قطع کند، آن وقت طول پاره خط راست AN (N پای عمودی است که از M بر CD فرود آید) برابر X است.
اثبات: دو مستطیل MPBF و ABEC مساحت هایی برابر دارند.
بنابراین دو مستطیل MPAM و NFEC هم مساحت های برابر دارند، یعنی