تألیف و ترجمه: حمید وثیق زاده انصاری
منبع: راسخون
منبع: راسخون
اندازه‌گیری زاویه‌ها، به ویژه بر روی زمین، چندان آسان نبوده است. یک پاره خط به طول معلوم را می‌توان با دقت یک میلیمتر به آسانی رسم کرد، اما به آسانی نمی‌توان زاویه‌ی دقیقی را، حتی با استفاده از نقاله، ترسیم کرد. این موضوع، یک استاد دانشکده‌ی مهندسی را برانگیخت تا ترسیم زاویههای معلوم را به کمک خط کش میلیمتری عملی سازد.
بسیاری از ترسیم‌های هندسی نظیر مثلث‌ها، چهارضلعی‌ها، گونه‌هایی از چندضلعی‌ها، گل‌برگ‌های زینتی، و مانند این‌ها را می‌توان به کمک خط‌کش و پرگار انجام داد. اما ثابت شده است که بعضی از ترسیم‌های هندسی به کمک خط‌کش و پرگار انجام شدنی نیستند، مثل رسم مربعی که مساحتش با مساحت دایره‌ی معلوم برابر باشد (تربیع دایره)، و تقسیم یک زاویه به سه بخش برابر (تثلیث زاویه).
هرگاه باز هم به ترسیم با کمک خط‌کش و پرگار مقید باشیم، زاویه‌ی قائمه و زاویههای سی، چهل و پنج، و شصت درجه و زاویههای دیگری که از جمع، تفریق، یا چند برابر کردن این زاویه‌ها به دست می‌آیند نیز قابل ترسیم‌اند، مانند زاویههای هفتاد و پنج درجه و صد و سی و پنج درجه و نظایر آن ها. اما اگر زاویه‌ای مانند زاویه‌ی هفتاد و یک یا سی و هفت درجه متعلق به این مجموعه زاویه‌ها نباشد، ترسیم آن با کمک خط‌کش و پرگار ممکن نیست. (در حالت کلی، اگر یک نسبت مثلثاتی زاویه‌ای برابر با نسبت دو طول قابل ترسیم به کمک خط‌کش و پرگار باشد، آن زاویه نیز با خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است، مانند زاویه‌ای که سینوس آن برابر با نسبت چهار به پنج باشد، یا زاویه‌ای که تانژانت آن برابر با نسبت پنج به دو باشد.)
در کارهای عملی، مانند طراحی‌های صنعتی، زیاد پیش می‌آید که ترسیم زاویه‌ای به اندازه‌ی معلوم لازم می‌شود و دقتی که در ترسیم این زاویه کفایت می‌کند به اندازه‌ی همان دقتی است که یک طول را با خط‌کش میلیمتری بتوان رسم کرد. در چنین موردهایی بیشتر، نقاله را به کمک می‌گیرند که ابزاری است به شکل دایره یا نیم‌دایره‌ای که محیط آن درجه‌بندی شده است. درجه‌بندی نقاله‌های معمولی بر حسب درجه‌ی کمان است و نقاله‌هایی هم بر حسب گراد یا بر حسب میلیم (= هزارم) درجه‌بندی می‌شوند. (یکای میلیم که بیشتر در ارتش متداول است، برابر است با زاویه‌ی یک طول یک متری از فاصله‌ی یک کیلومتری.) هرچند که استفاده‌ی عملی از خط‌کش میلیمتری آسان است، اما استفاده‌ی عملی از نقاله به آن آسانی نیست. نقاله‌های معمولی تا یک درجه دقت دارند و نقاله‌هایی هم که قرار باشد تا یک دقیقه دقت داشته باشند آن‌چنان بزرگ خواهند بود که به‌کار بردن آن‌ها زحمت‌افزاست. وانگهی، اگر بر روی تخته رسمِ کاملاً مستوی به‌کارگیری نقاله مفید باشد، بر روی میز یک کارگاه نجاری، بر روی یک سینی پیچ و تاب‌دار، یا بر روی زمین، استفاده از نقاله با تقریب زیاد همراه خواهد بود. هرگاه اندازه‌گیری دقیق ضروری باشد، باید از ابزارهایی استفاده کرد که قرصی درجه‌بندی شده و یک ورنیه دارند. اما بین این ابزارها و نقاله تفاوت بارزی وجود دارد، همان تفاوتی که بین یک پالمر (کولیس) و یک متر نواری به چشم می‌خورد.
در بیرون از کارگاه‌های طراحی نیز زیاد پیش می‌آید که بسیاری از پیشه‌وران نیاز دارند به ترسیم یا اندازه‌گیری زاویه‌هایی با دقت بسیار زیاد بپردازند. معمارها، قالب‌سازها، تراش‌کارها، دست اندرکاران کارهای زینتی، و ورق‌کاران، غالباً با وضعیتی روبه‌رو می‌شوند که اندازه‌گیری‌های دقیقی را لازم می‌بینند. اینان برای ترسیم زاویه‌ها «شگرد»هایی بلدند و به کار می‌برند. برخی چنان ورزیدگی دارند که با ترسیم طول به اندازه‌ی دقیق یک متر، و با استفاده از عمود منصف آن، مقدار تانژانت زاویه‌ی مورد نیاز را با یک میلیمتر تقریب به دست می‌آورند و پس از آن با استفاده از یک ماشین حساب جیبی، مقدارِ زاویه را معلوم می‌کنند. به فرض آن که ترسیم به دقت و روی سطح کاملاً مستوی انجام گیرد، روش به کار رفته همواره با بیشترین دقت همراه خواهد بود. با عملِ عکس و با معلوم بودن اندازه‌ی یک زاویه، طولی را که روی عمود منصف قطر جدا می‌شود می‌توان اندازه گرفت. از این رو می‌توان گفت که روش به کار رفته، عکس‌پذیر است. اما این روش، هم کُند است و هم استفاده از ماشین حساب را ایجاب می‌کند و هم این که در اختیار داشتنِ یک خط‌کشِ یک متری درجه‌بندی شده را لازم دارد که زیاد رایج نیست. این روش، و روش‌هایی همانند آن که مبتنی بر مثلثات‌اند، بیشتر در کارخانه‌ها به کار می‌روند، و هرگاه کاری بسیار دقیق‌تر در دست باشد که استفاده از ابزاری دقیق‌تر از نقاله را ایجاب کند، مانند ساختن چرخ‌های دندانه‌دار که در هم جفت شدن و از هم رد شدن دندانه‌ها در آن‌ها به دقت زاویه‌ای بسیار زیادی نیاز دارد، از ورنیه‌های زاویه‌سنج استفاده می‌شود.
در کارهای ساختمانی، که در آن‌ها همیشه به اندازه‌گیری‌های چندان دقیقی نیاز نمی‌شود، غالباً از روشی استفاده می‌شد که به آن «روش بنا»ها گفته می‌شود. این روش مبنایی بسیار ساده دارد: دایره‌ای به شعاع پنجاه و هفت و سه دهم سانتیمتر رسم می‌کنند که محیط آن، با تقریب یک چهارم میلیمتر، برابر با 360 سانتیمتر می‌شود. چون محیط دایره 360 درجه است، پس هر یک سانتیمتر روی محیط این دایره با یک درجه نظیر می‌شود – اگر شعاع دایره پنجاه و هفت (و سه دهم) میلیمتر انتخاب شود، هر یک میلیمتر روی محیط دایره با یک درجه نظیر خواهد شد. بنابراین، مسأله به این‌جا می‌انجامد که برای اندازه‌گیری زاویه، طول کمان روبه‌روی آن اندازه گرفته شود. برای این کار از مترهای نواری استفاده می‌کنند. این متر نواری می‌تواند از جنس نایلونی باشد که خیاط‌ها به کار می‌برند یا فلزی (فنری) باشد که در داخل محفظه‌ای کوچک پیچیده شده و پیشه‌ورانی از قبیل رنگ‌کاران و شیشه‌برها آن را با خود دارند. این شیوه‌ی اندازه‌گیری زاویه، هرچند که دقت زیادی ندارد، برای کارهای ساختمانی مناسب خواهد بود. تقریبِ حاصل از این روش تنها به عمل خم کردن و مطابق کردن نوار متر با محیط کمان بستگی دارد وگرنه خود روش از نظر علمی کاملاً صحیح است. درضمن، از راه به‌کار بردن همین روش می‌توان یک نقاله ساخت بدین ترتیب که می‌توان قرصی پلاستیکی یا چوبی یا فلزی به شعاع دقیقِ پنجاه و هفت و سه دهم میلیمتر تهیه کرد و با تا کردن متر نواریِ میلیمتری به دور آن به درجه‌بندی آن پرداخت. اگر قرص به شعاع پنجاه و هفت و سه دهم سانتیمتر انتخاب شود، نقاله‌ی بزرگ‌تری به دست می‌آید که هر درجه‌اش به طول یک سانتیمتر است، و اگر هر درجه با استفاده از متر نواری میلیمتری به ده قسمت تقسیم شود، نقاله‌ای به دست خواهد آمد که با آن می‌توان زاویه‌ها را با دقت شش دقیقه کمان اندازه گرفت.
سنگ‌تراش‌ها برای اندازه‌گیری زاویه‌ها روش دیگری را به کار می‌برند که خیلی قدیمی‌تر است. همین روش است که الهام‌بخش بولانژه شد تا روشی ابداع کند که در آن تنها از یک پرگار و یک خط‌کش میلیمتری استفاده می‌شود. بولانژه که در وین استاد رسم فنی دانشکده‌ی مهندسی ساختمان بود، با توجه به نارسایی‌های عملی استفاده از نقاله، ابزارها و روش‌هایی را ارائه داده بود که می‌توانستند جانشین نقاله شوند. روش سنگ‌تراش‌ها بر این پایه استوار است که بتوان یک قرص نیم‌دایره را به تعداد کمی قطاع‌های تقریباً برابر تقسیم کرد. این روش در نخستین سال‌های سده‌های میانه به طور تجربی کشف شده بود. هرگاه قطری از دایره به شعاع R به پاره‌هایی برابر تقسیم شود و از نقطه‌ای که روی عمود منصف قطر و به فاصله‌ی R ضرب در رادیکال سه از مرکز واقع است خط‌هایی به نقطه‌های تقسیم قطر وصل شوند و امتداد یابند تا نیم‌دایره را قطع کنند، نیم‌دایره را به کمان‌هایی تقریباً برابر تقسیم می‌کنند. این کمان‌ها در حقیقت با هم برابر نیستند اما تقریب‌ها به اندازه‌ای ناچیزند که برای کاملاً هلالی ساختن تاق می‌توان از آن‌ها چشم پوشید. بولانژه این روش را سرمشق قرار داد و آن را برای تقسیم یک کمان نود درجه به نود قسمت تقریباً برابر به کار برد. پس از این خواهیم دید که این «تقریباً» چه موقع یک دقت خوب خواهد بود.
هرگاه O رأس زاویه‌ای باشد که باید رسم یا اندازه‌گیری شود، دایره‌ای به مرکز O و به شعاع نود میلیمتر رسم می‌شود. قطر AB از دایره نیز رسم می‌شود که شعاع OA از آن یک ضلع زاویه‌ی مورد نظر باشد. دایره‌ای که به مرکز B و به شعاع صد و هشتاد میلیمتر رسم شود عمود منصف قطر AB را در C قطع می‌کند. اکنون اگر روی AB طول AD چنان جدا شود که طول آن بر حسب میلیمتر (یعنی تعداد میلیمترهای آن) همان تعداد درجه‌های زاویه‌ی مورد نظر باشد، خط CD که رسم شود با دایره در E برخورد می‌کند و زاویه‌ی AOE زاویه‌ی مطلوب خواهد بود.
هرگاه مقصود اندازه گرفتن یک زاویه باشد، مثلاً زاویه‌ی معلوم XOY، دایره به مرکز O و به شعاع نود میلیمتر که رسم شود، با OX در A و با OY در E برخورد می‌کند. چون نقطه‌ی B به دست آید و دایره‌ی به مرکز B و به شعاع صد و هشتاد میلیمتر رسم شود و نقطه‌ی C تعیین و خط EC رسم شود، با OA در D برخورد می‌کند. طول AD که با خط‌کش میلیمتری اندازه گرفته شود تعداد میلیمترهایش برابر تعداد درجه‌های زاویه‌ی XOY خواهد بود.
برای اطمینان یافتن از درستی روش بولانژه کافی است آن را آزمایش کنید و زاویه‌هایی را رسم و آن‌ها را با نقاله اندازه بگیرید تا دریابید که صرف نظر از خطاهای ترسیم، در هر مورد اندازه‌ی زاویه بر حسب درجه در حدود طول پاره خط نظیر بر حسب میلیمتر است. هر بار مداد با نوک کاملاً تیز و پرگار محکم و دقیق به کار برید و بکوشید که خطاهای حاصل از دید در حداقل باشند. درخواهید یافت که در حالت‌هایی که طول پاره خط AD در حدود پانزده میلیمتر باشد به نظر می‌رسد که تعداد درجه‌های زاویه با تعداد میلیمترهای پاره خط تطابق خوبی ندارند، یعنی اندازه‌ی زاویه از آنچه پیش‌بینی می‌شود در حدود نیم درجه بیشتر به چشم می‌آید. برخلاف آن، مشاهده می‌کنید که در مورد زاویه‌ی چهل و پنج درجه تطابق کاملی وجود دارد. این ناهماهنگی‌ها پژوهشگران را بر آن داشت تا آزمایش را دقیق‌تر انجام دهند و معادله‌های لازم را به میان آورند. با استفاده از رابطه‌های مثلثاتی بین زاویه‌ها و ضلع‌های یک مثلث، به سادگی می‌توان معادله‌ای را برحسب اندازه‌ی زاویه و طول پاره خط نظیر آن تشکیل داد. پژوهشگران با حل این معادله به کمک یک کامپیوتر کوچک به این واقعیت رسیدند که نظیر طول شانزده میلیمتر، اندازه‌ی زاویه برابر با شانزده و شصت و چهار صدم درجه می‌شود. پس از آن هر چه طول افزایش می‌یافت خطا کم‌تر می‌شد و آن‌گاه که طول، شصت میلیمتر گرفته می‌شد خطا صفر و اندازه‌ی زاویه دقیقاً شصت درجه می‌شد، و پس از آن خطا منفی می‌شد اما از پنج صدم درجه، یعنی از سه دقیقه کمان، تجاوز نمی‌کرد. چون بین تقسیم‌های روی خط و تقسیم‌های روی دایره نمی‌توان یک تناظر صحیح برقرار کرد وجود خطا در هر حال اجتناب‌ناپذیر است. اثبات ریاضی این موضوع بسیار ساده اما طولانی است و بیان آن در این‌جا بی‌مورد است.
آنچه اهمیت بیش‌تری می‌تواند داشته باشد تحقیق درباره‌ی یافتن راهی برای بهینه کردن دقت متوسط است. در طرح بولانژه طول پاره خط OC برابر با نود ضرب در رادیکال سه یا تقریباً صد و پنجاه و شش میلیمتر اختیار شده است. می‌توان طول OC را متغیر در نظر گرفت و بر پایه‌ی نوشتن یک برنامه و اجرای آن روی کامپیوتر معلوم کرد که به ازای چه مقدار از OC عمل ترسیم، بهترین دقت را خواهد داشت.
در نمودارهایی که تغییرات انحراف بین تعداد درجه‌ها و تعداد میلیمترها را بر حسب طول OC به صورت یک منحنی نشان می‌دهند، این منحنی رفتاری به مانند یک موج دارد و هم‌چون یک لحافِ پر قو بالا و پایین می‌رود، در یک طرف که فرو رود در طرف دیگر بالا می‌آید. به عبارت دیگر، اگر خطا به ازای زاویههای کوچک ترقی کرده باشد، به ازای زاویههای بزرگ تنزل می‌کند و برعکس. می‌توان OC را چنان انتخاب کرد که به ازای زاویههای کوچک مقدار خطا تا کم‌تر از یک چهارم درجه پایین بیاید، اما آن وقت به ازای زاویههای بزرگ‌تر تا بیش از نیم درجه بالا می‌رود. طول OC که خیلی کوتاه و برابر با صد و چهل و سه میلیمتر انتخاب شود، خطا برای زاویههای نظیر طول‌های کم‌تر از پنج میلیمتر از مرتبه‌ی دقیقه و برای زاویههای نظیر طول‌های بیش از چهل و پنج میلیمتر از مرتبه‌ی درجه خواهد بود.
برای آن که خطا به ازای طول چهل و پنج میلیمتر صفر شود لازم است که OC به طول نود به اضافه‌ی چهل و پنج رادیکال دو، تقریباً برابر با 64ر153 میلیمتر، انتخاب شود. در عمل این طول را می‌توان با خط‌کش و پرگار رسم کرد. در این وضع، به ازای طول‌های بین صفر و چهل و پنج میلیمتر، خطا از نیم درجه تجاوز نمی‌کند، و به ازای طول‌های بین 45 و 90 میلیمتر، خطا کم‌تر از چهارده صدم درجه است و بهترین دقت وجود دارد.
هرگاه از به کار بردن پرگار برای ترسیم OC چشم بپوشیم و عمل را با خط‌کش میلیمتری انجام دهیم، می‌توانیم طول OC را به ترتیب برابر با مقدارهای 149 میلیمتر تا 154 میلیمتر اختیار کنیم و در هر مورد نمودار تغییرات خطا را نیز رسم کنیم. ملاحظه خواهیم کرد که خطا در هیچ حالت به بیش از نیم درجه نمی‌رسد که خود مقداری قابل توجه است. در حالتی که OC به طول 150 میلیمتر باشد برای زاویههای کوچک‌تر از سی درجه دقت خوبی وجود دارد. برعکس، برای زاویههای بالای چهل و پنج درجه، وقتی دقت خوب وجود دارد که OC به طول 153 یا 154 میلیمتر انتخاب شده باشد. اگر OC که 152 میلیمتر انتخاب کنیم خطا در فاصله‌ی به نسبت گسترده‌ی از سی و پنج تا نود میلیمتر کم‌تر از یک چهارم درجه است و در فاصله‌ی از صفر تا سی و پنج میلیمتر نیز زیر نیم درجه باقی می‌ماند. از این رو این حالت بهترین انتخاب خواهد بود.
بنا بر آنچه گذشت، روش بیان شده روشی کاملاً عمومی است که بر پایه‌ی آن می‌توان بدون به‌کار بردن نقاله و با دقتی قابل قبول، زاویه‌ای به اندازه‌ی معین را رسم، یا این که زاویه‌ای مفروض را اندازه‌گیری کرد. هرگاه زاویه‌ی مورد عمل دارای اندازه‌ای بین شصت درجه و نود درجه باشد، روش ترسیم بولانژه مناسب خواهد بود، که در آن نقطه‌ی C از برخورد دایره‌ی به مرکز B و به شعاع 180 میلیمتر با عمود منصف قطر AB به دست می‌آید. برای آن‌که در مورد زاویههای چهل و پنج درجه و نود درجه خطا از ده دقیقه کمان کم‌تر باشد، باید C را چنان انتخاب کرد که OC به طول 5ر153 میلیمتر باشد. و در حالت کلی در مورد هر زاویه‌ی حاده که خطای کم‌تر از یک چهارم درجه قبول باشد، می‌توان OC را به درازای 152 میلیمتر انتخاب کرد.
در پایان به این نکته باید اشاره شود که در زندگی روزانه و در شغل‌ها و پیشه‌ها، فاصله ها یا طول‌ها بیشتر رایج‌اند تا درجه‌ها. خیلی کم گفته می‌شود «پُل با زاویه‌ی شیب چهل درجه»، بلکه معمول‌تر است که بیان شود «پل با بلندی ...». در هنرها و صنایع نیز میلیمتر خیلی بیشتر از درجه متداول است. ناگفته هم نباید گذاشت که در کارگاه‌های طراحی و رسم فنی، هیچ‌گاه نقاله به کنار نهاده نمی‌شود. در مساحی‌ها و در پیشه‌هایی که به کار بردن نقاله با تقریب زیاد همراه است، روش بولانژه و روش‌های مبتنی بر آن مناسب‌تر خواهند بود. این روش‌ها به ویژه هنگامی کاربرد دارند که غیر از پرگار و خط‌کش میلیمتری ابزار دیگری برای ترسیم در دسترس نباشد.
بسیاری از ترسیم‌های هندسی نظیر مثلث‌ها، چهارضلعی‌ها، گونه‌هایی از چندضلعی‌ها، گل‌برگ‌های زینتی، و مانند این‌ها را می‌توان به کمک خط‌کش و پرگار انجام داد. اما ثابت شده است که بعضی از ترسیم‌های هندسی به کمک خط‌کش و پرگار انجام شدنی نیستند، مثل رسم مربعی که مساحتش با مساحت دایره‌ی معلوم برابر باشد (تربیع دایره)، و تقسیم یک زاویه به سه بخش برابر (تثلیث زاویه).
هرگاه باز هم به ترسیم با کمک خط‌کش و پرگار مقید باشیم، زاویه‌ی قائمه و زاویههای سی، چهل و پنج، و شصت درجه و زاویههای دیگری که از جمع، تفریق، یا چند برابر کردن این زاویه‌ها به دست می‌آیند نیز قابل ترسیم‌اند، مانند زاویههای هفتاد و پنج درجه و صد و سی و پنج درجه و نظایر آن ها. اما اگر زاویه‌ای مانند زاویه‌ی هفتاد و یک یا سی و هفت درجه متعلق به این مجموعه زاویه‌ها نباشد، ترسیم آن با کمک خط‌کش و پرگار ممکن نیست. (در حالت کلی، اگر یک نسبت مثلثاتی زاویه‌ای برابر با نسبت دو طول قابل ترسیم به کمک خط‌کش و پرگار باشد، آن زاویه نیز با خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است، مانند زاویه‌ای که سینوس آن برابر با نسبت چهار به پنج باشد، یا زاویه‌ای که تانژانت آن برابر با نسبت پنج به دو باشد.)
در بیرون از کارگاه‌های طراحی نیز زیاد پیش می‌آید که بسیاری از پیشه‌وران نیاز دارند به ترسیم یا اندازه‌گیری زاویه‌هایی با دقت بسیار زیاد بپردازند. معمارها، قالب‌سازها، تراش‌کارها، دست اندرکاران کارهای زینتی، و ورق‌کاران، غالباً با وضعیتی روبه‌رو می‌شوند که اندازه‌گیری‌های دقیقی را لازم می‌بینند. اینان برای ترسیم زاویه‌ها «شگرد»هایی بلدند و به کار می‌برند. برخی چنان ورزیدگی دارند که با ترسیم طول به اندازه‌ی دقیق یک متر، و با استفاده از عمود منصف آن، مقدار تانژانت زاویه‌ی مورد نیاز را با یک میلیمتر تقریب به دست می‌آورند و پس از آن با استفاده از یک ماشین حساب جیبی، مقدارِ زاویه را معلوم می‌کنند. به فرض آن که ترسیم به دقت و روی سطح کاملاً مستوی انجام گیرد، روش به کار رفته همواره با بیشترین دقت همراه خواهد بود. با عملِ عکس و با معلوم بودن اندازه‌ی یک زاویه، طولی را که روی عمود منصف قطر جدا می‌شود می‌توان اندازه گرفت. از این رو می‌توان گفت که روش به کار رفته، عکس‌پذیر است. اما این روش، هم کُند است و هم استفاده از ماشین حساب را ایجاب می‌کند و هم این که در اختیار داشتنِ یک خط‌کشِ یک متری درجه‌بندی شده را لازم دارد که زیاد رایج نیست. این روش، و روش‌هایی همانند آن که مبتنی بر مثلثات‌اند، بیشتر در کارخانه‌ها به کار می‌روند، و هرگاه کاری بسیار دقیق‌تر در دست باشد که استفاده از ابزاری دقیق‌تر از نقاله را ایجاب کند، مانند ساختن چرخ‌های دندانه‌دار که در هم جفت شدن و از هم رد شدن دندانه‌ها در آن‌ها به دقت زاویه‌ای بسیار زیادی نیاز دارد، از ورنیه‌های زاویه‌سنج استفاده می‌شود.
در کارهای ساختمانی، که در آن‌ها همیشه به اندازه‌گیری‌های چندان دقیقی نیاز نمی‌شود، غالباً از روشی استفاده می‌شد که به آن «روش بنا»ها گفته می‌شود. این روش مبنایی بسیار ساده دارد: دایره‌ای به شعاع پنجاه و هفت و سه دهم سانتیمتر رسم می‌کنند که محیط آن، با تقریب یک چهارم میلیمتر، برابر با 360 سانتیمتر می‌شود. چون محیط دایره 360 درجه است، پس هر یک سانتیمتر روی محیط این دایره با یک درجه نظیر می‌شود – اگر شعاع دایره پنجاه و هفت (و سه دهم) میلیمتر انتخاب شود، هر یک میلیمتر روی محیط دایره با یک درجه نظیر خواهد شد. بنابراین، مسأله به این‌جا می‌انجامد که برای اندازه‌گیری زاویه، طول کمان روبه‌روی آن اندازه گرفته شود. برای این کار از مترهای نواری استفاده می‌کنند. این متر نواری می‌تواند از جنس نایلونی باشد که خیاط‌ها به کار می‌برند یا فلزی (فنری) باشد که در داخل محفظه‌ای کوچک پیچیده شده و پیشه‌ورانی از قبیل رنگ‌کاران و شیشه‌برها آن را با خود دارند. این شیوه‌ی اندازه‌گیری زاویه، هرچند که دقت زیادی ندارد، برای کارهای ساختمانی مناسب خواهد بود. تقریبِ حاصل از این روش تنها به عمل خم کردن و مطابق کردن نوار متر با محیط کمان بستگی دارد وگرنه خود روش از نظر علمی کاملاً صحیح است. درضمن، از راه به‌کار بردن همین روش می‌توان یک نقاله ساخت بدین ترتیب که می‌توان قرصی پلاستیکی یا چوبی یا فلزی به شعاع دقیقِ پنجاه و هفت و سه دهم میلیمتر تهیه کرد و با تا کردن متر نواریِ میلیمتری به دور آن به درجه‌بندی آن پرداخت. اگر قرص به شعاع پنجاه و هفت و سه دهم سانتیمتر انتخاب شود، نقاله‌ی بزرگ‌تری به دست می‌آید که هر درجه‌اش به طول یک سانتیمتر است، و اگر هر درجه با استفاده از متر نواری میلیمتری به ده قسمت تقسیم شود، نقاله‌ای به دست خواهد آمد که با آن می‌توان زاویه‌ها را با دقت شش دقیقه کمان اندازه گرفت.
سنگ‌تراش‌ها برای اندازه‌گیری زاویه‌ها روش دیگری را به کار می‌برند که خیلی قدیمی‌تر است. همین روش است که الهام‌بخش بولانژه شد تا روشی ابداع کند که در آن تنها از یک پرگار و یک خط‌کش میلیمتری استفاده می‌شود. بولانژه که در وین استاد رسم فنی دانشکده‌ی مهندسی ساختمان بود، با توجه به نارسایی‌های عملی استفاده از نقاله، ابزارها و روش‌هایی را ارائه داده بود که می‌توانستند جانشین نقاله شوند. روش سنگ‌تراش‌ها بر این پایه استوار است که بتوان یک قرص نیم‌دایره را به تعداد کمی قطاع‌های تقریباً برابر تقسیم کرد. این روش در نخستین سال‌های سده‌های میانه به طور تجربی کشف شده بود. هرگاه قطری از دایره به شعاع R به پاره‌هایی برابر تقسیم شود و از نقطه‌ای که روی عمود منصف قطر و به فاصله‌ی R ضرب در رادیکال سه از مرکز واقع است خط‌هایی به نقطه‌های تقسیم قطر وصل شوند و امتداد یابند تا نیم‌دایره را قطع کنند، نیم‌دایره را به کمان‌هایی تقریباً برابر تقسیم می‌کنند. این کمان‌ها در حقیقت با هم برابر نیستند اما تقریب‌ها به اندازه‌ای ناچیزند که برای کاملاً هلالی ساختن تاق می‌توان از آن‌ها چشم پوشید. بولانژه این روش را سرمشق قرار داد و آن را برای تقسیم یک کمان نود درجه به نود قسمت تقریباً برابر به کار برد. پس از این خواهیم دید که این «تقریباً» چه موقع یک دقت خوب خواهد بود.
هرگاه مقصود اندازه گرفتن یک زاویه باشد، مثلاً زاویه‌ی معلوم XOY، دایره به مرکز O و به شعاع نود میلیمتر که رسم شود، با OX در A و با OY در E برخورد می‌کند. چون نقطه‌ی B به دست آید و دایره‌ی به مرکز B و به شعاع صد و هشتاد میلیمتر رسم شود و نقطه‌ی C تعیین و خط EC رسم شود، با OA در D برخورد می‌کند. طول AD که با خط‌کش میلیمتری اندازه گرفته شود تعداد میلیمترهایش برابر تعداد درجه‌های زاویه‌ی XOY خواهد بود.
برای اطمینان یافتن از درستی روش بولانژه کافی است آن را آزمایش کنید و زاویه‌هایی را رسم و آن‌ها را با نقاله اندازه بگیرید تا دریابید که صرف نظر از خطاهای ترسیم، در هر مورد اندازه‌ی زاویه بر حسب درجه در حدود طول پاره خط نظیر بر حسب میلیمتر است. هر بار مداد با نوک کاملاً تیز و پرگار محکم و دقیق به کار برید و بکوشید که خطاهای حاصل از دید در حداقل باشند. درخواهید یافت که در حالت‌هایی که طول پاره خط AD در حدود پانزده میلیمتر باشد به نظر می‌رسد که تعداد درجه‌های زاویه با تعداد میلیمترهای پاره خط تطابق خوبی ندارند، یعنی اندازه‌ی زاویه از آنچه پیش‌بینی می‌شود در حدود نیم درجه بیشتر به چشم می‌آید. برخلاف آن، مشاهده می‌کنید که در مورد زاویه‌ی چهل و پنج درجه تطابق کاملی وجود دارد. این ناهماهنگی‌ها پژوهشگران را بر آن داشت تا آزمایش را دقیق‌تر انجام دهند و معادله‌های لازم را به میان آورند. با استفاده از رابطه‌های مثلثاتی بین زاویه‌ها و ضلع‌های یک مثلث، به سادگی می‌توان معادله‌ای را برحسب اندازه‌ی زاویه و طول پاره خط نظیر آن تشکیل داد. پژوهشگران با حل این معادله به کمک یک کامپیوتر کوچک به این واقعیت رسیدند که نظیر طول شانزده میلیمتر، اندازه‌ی زاویه برابر با شانزده و شصت و چهار صدم درجه می‌شود. پس از آن هر چه طول افزایش می‌یافت خطا کم‌تر می‌شد و آن‌گاه که طول، شصت میلیمتر گرفته می‌شد خطا صفر و اندازه‌ی زاویه دقیقاً شصت درجه می‌شد، و پس از آن خطا منفی می‌شد اما از پنج صدم درجه، یعنی از سه دقیقه کمان، تجاوز نمی‌کرد. چون بین تقسیم‌های روی خط و تقسیم‌های روی دایره نمی‌توان یک تناظر صحیح برقرار کرد وجود خطا در هر حال اجتناب‌ناپذیر است. اثبات ریاضی این موضوع بسیار ساده اما طولانی است و بیان آن در این‌جا بی‌مورد است.
آنچه اهمیت بیش‌تری می‌تواند داشته باشد تحقیق درباره‌ی یافتن راهی برای بهینه کردن دقت متوسط است. در طرح بولانژه طول پاره خط OC برابر با نود ضرب در رادیکال سه یا تقریباً صد و پنجاه و شش میلیمتر اختیار شده است. می‌توان طول OC را متغیر در نظر گرفت و بر پایه‌ی نوشتن یک برنامه و اجرای آن روی کامپیوتر معلوم کرد که به ازای چه مقدار از OC عمل ترسیم، بهترین دقت را خواهد داشت.
در نمودارهایی که تغییرات انحراف بین تعداد درجه‌ها و تعداد میلیمترها را بر حسب طول OC به صورت یک منحنی نشان می‌دهند، این منحنی رفتاری به مانند یک موج دارد و هم‌چون یک لحافِ پر قو بالا و پایین می‌رود، در یک طرف که فرو رود در طرف دیگر بالا می‌آید. به عبارت دیگر، اگر خطا به ازای زاویههای کوچک ترقی کرده باشد، به ازای زاویههای بزرگ تنزل می‌کند و برعکس. می‌توان OC را چنان انتخاب کرد که به ازای زاویههای کوچک مقدار خطا تا کم‌تر از یک چهارم درجه پایین بیاید، اما آن وقت به ازای زاویههای بزرگ‌تر تا بیش از نیم درجه بالا می‌رود. طول OC که خیلی کوتاه و برابر با صد و چهل و سه میلیمتر انتخاب شود، خطا برای زاویههای نظیر طول‌های کم‌تر از پنج میلیمتر از مرتبه‌ی دقیقه و برای زاویههای نظیر طول‌های بیش از چهل و پنج میلیمتر از مرتبه‌ی درجه خواهد بود.
برای آن که خطا به ازای طول چهل و پنج میلیمتر صفر شود لازم است که OC به طول نود به اضافه‌ی چهل و پنج رادیکال دو، تقریباً برابر با 64ر153 میلیمتر، انتخاب شود. در عمل این طول را می‌توان با خط‌کش و پرگار رسم کرد. در این وضع، به ازای طول‌های بین صفر و چهل و پنج میلیمتر، خطا از نیم درجه تجاوز نمی‌کند، و به ازای طول‌های بین 45 و 90 میلیمتر، خطا کم‌تر از چهارده صدم درجه است و بهترین دقت وجود دارد.
هرگاه از به کار بردن پرگار برای ترسیم OC چشم بپوشیم و عمل را با خط‌کش میلیمتری انجام دهیم، می‌توانیم طول OC را به ترتیب برابر با مقدارهای 149 میلیمتر تا 154 میلیمتر اختیار کنیم و در هر مورد نمودار تغییرات خطا را نیز رسم کنیم. ملاحظه خواهیم کرد که خطا در هیچ حالت به بیش از نیم درجه نمی‌رسد که خود مقداری قابل توجه است. در حالتی که OC به طول 150 میلیمتر باشد برای زاویههای کوچک‌تر از سی درجه دقت خوبی وجود دارد. برعکس، برای زاویههای بالای چهل و پنج درجه، وقتی دقت خوب وجود دارد که OC به طول 153 یا 154 میلیمتر انتخاب شده باشد. اگر OC که 152 میلیمتر انتخاب کنیم خطا در فاصله‌ی به نسبت گسترده‌ی از سی و پنج تا نود میلیمتر کم‌تر از یک چهارم درجه است و در فاصله‌ی از صفر تا سی و پنج میلیمتر نیز زیر نیم درجه باقی می‌ماند. از این رو این حالت بهترین انتخاب خواهد بود.
بنا بر آنچه گذشت، روش بیان شده روشی کاملاً عمومی است که بر پایه‌ی آن می‌توان بدون به‌کار بردن نقاله و با دقتی قابل قبول، زاویه‌ای به اندازه‌ی معین را رسم، یا این که زاویه‌ای مفروض را اندازه‌گیری کرد. هرگاه زاویه‌ی مورد عمل دارای اندازه‌ای بین شصت درجه و نود درجه باشد، روش ترسیم بولانژه مناسب خواهد بود، که در آن نقطه‌ی C از برخورد دایره‌ی به مرکز B و به شعاع 180 میلیمتر با عمود منصف قطر AB به دست می‌آید. برای آن‌که در مورد زاویههای چهل و پنج درجه و نود درجه خطا از ده دقیقه کمان کم‌تر باشد، باید C را چنان انتخاب کرد که OC به طول 5ر153 میلیمتر باشد. و در حالت کلی در مورد هر زاویه‌ی حاده که خطای کم‌تر از یک چهارم درجه قبول باشد، می‌توان OC را به درازای 152 میلیمتر انتخاب کرد.
در پایان به این نکته باید اشاره شود که در زندگی روزانه و در شغل‌ها و پیشه‌ها، فاصله ها یا طول‌ها بیشتر رایج‌اند تا درجه‌ها. خیلی کم گفته می‌شود «پُل با زاویه‌ی شیب چهل درجه»، بلکه معمول‌تر است که بیان شود «پل با بلندی ...». در هنرها و صنایع نیز میلیمتر خیلی بیشتر از درجه متداول است. ناگفته هم نباید گذاشت که در کارگاه‌های طراحی و رسم فنی، هیچ‌گاه نقاله به کنار نهاده نمی‌شود. در مساحی‌ها و در پیشه‌هایی که به کار بردن نقاله با تقریب زیاد همراه است، روش بولانژه و روش‌های مبتنی بر آن مناسب‌تر خواهند بود. این روش‌ها به ویژه هنگامی کاربرد دارند که غیر از پرگار و خط‌کش میلیمتری ابزار دیگری برای ترسیم در دسترس نباشد.
