ضرب و تقسیم

نویسنده: هارولد دیویس
ترجمه: مهران اخباریفر

از آن جا که چنین روش هایی ذاتاً وابسته به دستگاه شمارِ به کار گرفته شده هستند، دریافتن این که روال های اولیه کاملاً با روش های امروزی فرق داشته اند چندان تعجب برانگیز نیست.
چندین مسئله از پاپیروس رایند نشان می دهند که مصریان قبل از سال 1650 پیش از میلاد برای ضرب کردن از روشی استفاده می کردند که در آن اعداد به طور متوالی دو برابر می شدند و سپس مضرب های مناسب با هم جمع می شدند. چون برای «دو برابر کردن» عددی که به هیروگلیف نوشته شده باشد، کافی است نمادهای عدد مورد نظر بازنویسی شوند (و در صورت لزوم، واحد بزرگ تر بعدی جایگزین شود)، برای انجام این عمل ضرب، فقط نیاز به توانایی جمع کردن بوده است.
ردِّ گونه ای از این روش را می توان تا قرون وسطی در عمل «تضعیف و تنصیف» (دو برابر کردن و نصف کردن) دنبال کرد. ساده ترین توجیه این روال بر حسب نمایش دودویی عددهاست، گرچه مصریان با این نمایش آشنا نبوده اند.
بابلی ها (بیش از 2000 سال پیش از میلاد) ضرب را با رجوع به جدول های ضرب انجام می دادند که بی شک با استفاده از عمل جمع ساخته می شدند. جدول های معکوس ها (مقادیر 1/N به ازای عددهای مفروض N، که هر دو به شکل شصتگانی بیان می شدند) عمل تقسیم را به عمل ضرب تبدیل می کرد. جدول معکوس ها همچنین امکان کار با کسرها را، چنان که خواهیم دید، به شیوه ای بهتر از آنچه مصریان به کار می بردند فراهم می کرد.
مثال هایی از شیوه ی ضرب یونانیان توسط یکی از ریاضیدانان قرن پنجم میلادی، ائوتوسیوس آسکالونی (1)، در شرحی که بر اثر ارشمیدس، اندازه گیری دایره، نوشته به دست داده شده است. چون اعداد به شکل حرفی بیان می شدند، هر رقم مضروب، با شروع از بزرگ ترین رقم، به ترتیب در هر رقم مضروب علیه، باز هم با شروع از بزرگ ترین، ضرب می شد. آخرین مرحله، جمع کردن این مقادیر بود. بنابراین، پایه ی روش ضرب یونانیان کاملاً شبیه روش امروزی ما بوده است.
اگر درست باشد که یونانیان برای محاسبه نیازی به چرتکه نداشته اند، می بایست حسابگران متبحری بوده باشند که جدول های جمع و ضرب را به خوبی به خاطر می سپرده اند (این جدول ها، به دلیل استفاده از تعداد زیادی نماد برای نوشتن عددها، بسیار بزرگ تر از جدول های امروزی بوده اند). البته باید به خاطر داشت که شهروندان عادی یا حتی کاسبکارها توانایی انجام چنین عملیاتی را نداشتند.
دستگاه عددنویسی هندی – عربی، با اصل ارزش مکانی و با صفر، حدود اواخر قرن سیزدهم میلادی شروع به تسخیر اروپا کرد. حسابدانان اولیه که سادگی این دستگاه را دریافته بودند، به ابداع روش هایی برای ضرب و تقسیم عددها پرداختند. هندیان هم تجربیاتی در مورد این مسئله داشتند، ولی عرفان رازآلود آن ها و شیوه ی ثبت نامفهوم نتایج به شعر، درک و پذیرش عمومی روش های آن ها را به تأخیر انداخت.
در واقع، اواخر قرن پانزدهم بود که حساب به آرامی شکلی نوین به خود گرفت. کتاب نیکوماخوس گراسایی (2) به نام حساب مقدماتی (3) (حدود سال 100 پس از میلاد) جدول ضربی به دست داد که تا 10×10 پیش می رفت، ولی قاعده ای برای ضرب و تقسیم در بر نداشت. کتاب حساب (4) فیبوناتچی (5) (1202) از لحاظ استفاده از عددهای هندی – عربی قابل توجه بود، ولی چیزی به هنر محاسبه نیفزود.
نخستین اثر چاپ شده ی حساب در سال 1478 در ترویزو (6)، ایتالیا، منتشر شد. ایتالیایی ها که الگوی هندی ها را پیشِ رو داشتند، به ابداع طرح هایی برای ضرب و تقسیم علاقه مند شدند. لوکا پاچولی (7) برخی از این روش ها را در کتابش به نام رساله ی جامع در حساب، هندسه، نسبت ها و تناسب (8) که معمولاً با عنوان رساله (9) به آن اشاره می شود و در سال 1494 منتشر شد، شرح داده است. او هشت شکل مختلف ضرب را معرفی می کند که بعضی از آن ها نام هایی عجیب دارند، مثل کاستلوچو (10) («به روش قلعه ی کوچک») و گراتیکولا (11) یا جلوشا (12) («ضرب مشبک»). نام «ضرب مشبک» از نرده هایی گرفته شده است که در پنجره های خانه های ونیز کار می گذاشتند تا ساکنان خانه از نگاه کنجکاو مردم در امان باشند.
به همین ترتیب، طرح هایی برای تقسیم ابداع شد و چهار تا از این طرح ها را پاچولی پیشنهاد کرد. دستگاهی که بیشتر مورد توجه قرار گرفت، روش «گالی» (13) نامیده می شد، هم به این دلیل که در شکل نهایی اش، شبیه این کشتی بود و هم به این دلیل که این روش را سریع ترین روش می دانستند و گالی هم سریع ترین قایق بود. در این روش تقسیم، از روش «چرکنویس» (14) برای نوشتن کار استفاده می شد.
شیوه‌ ای که امروزه در تقسیم طولانی به کار می بریم به تدریج بعد از روی کار آمدن اعداد هندی - عربی بسط پیدا کرد. در پایان قرن هفدهم، روش جدید به خوبی بسط یافته بود و روش گالی روشی قدیمی محسوب می شد.
عجیب به نظر می رسد که سال های متمادی، جز در مورد بابلی ها که قبلاً ذکر شد، ظاهراً از جداول ضرب به عنوان وسیله ای کمکی در محاسبات استفاده نمی شده است. بوئتیوس (15) (480-524م)، در کتابش به نام بنیادهای حساب (16) جدول کوچک نیکوماخوس را سر زبان ها انداخت، ولی آن را بسط نداد.
در آثار اولیه ی حساب تجاری ایتالیا، اغلب جداولی شامل حاصل ضرب اعداد اول تا 47×47 و گاهی تا 97×97 داده می شد. ظاهراً اولین جدول بزرگ ضرب در مونیخ در سال 1610 توسط هروارت فون هوهنبرگ (17) منتشر شد. ولی بعد از آن دیگر چیزی در مورد جداول ضرب شنیده نمی شود، تا سال 1820 که آ.ل.کرِل (18) کتاب جداول حساب (19) را در برلن منتشر کرد و مقادیر حاصل ضرب همه ی جفت عددهای صحیح بین 1 و 999 را داد. چندین ویرایش از این کتاب منتشر شد و تا روی کار آمدن ماشین های حساب جدید، یکی از ارزشمندترین وسایل کمکی در محاسبات بود. جداول تقسیم که مقادیر x/y را به ازای x<y به دست می دادند کمتر متداول بودند و در بزرگ ترین جداول از این نوع، مقادیر x و y چندان بزرگ تر از 100 نبودند. البته جداول گسترده ای برای معکوس ها وجود داشت.

پی نوشت ها :

1.Eutocius of Ascalon
2. Nicomachus of Gerasa
3. Introductio arithmatica
4. Liber abaci
5. Fibonacci
6. Treviso
7. Luca Pacioli
8. Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita
9. Suma
10. castcllucio
11. graticola
12. gelosia
13. galley، نوعی کشتی کوتاه بادبانی و پارویی
14. scratch
15. Boethius
16. Institutis arithmetica
17. Herwart von Hohenberg
18. A. L. Crelle
19. Rechentaflen