ابعاد فراکتالی

شاید این نکته را بتوان بدیهی دانست که بعد هر شکل باید به شکل عددی صحیح باشد. اما این جمله که ممکن است برای مشخص کردن یک نقطه به 2 و نیم مختصه نیاز داشته باشیم. حتی از نظر ریاضی، چه معنی می تواند داشته باشد؟ شاید به نظر برسد که چنین استدلالی و چنین کاری با دشواری زیادی همراه است اما ما قبلاً هم با شرایط بسیار مشابهی مواجه شده ایم و آن زمانی بود که عددی مانند را تعریف کردیم و دشواری ظاهری آن را با استفاده از رویکرد مجرد به مسأله، آسان نمودیم. آیا می توان از همان روش برای مسأله بعد هم استفاده کرد؟ اگر بخواهیم چنین کاری را انجام دهیم ناگزیر هستیم خاصیتی مرتبط با بعد را پیدا کنیم که به طور مستقیم و بی واسطه ربطی به ماهیت عددی و شمردن یک ویژگی آن نداشته باشد. از آنجا که تا الان ما هنگام مواجه با مسأله بعد با مسأله مختصات ها و مؤلفه های یک چندتایی مرتب مواجه بودیم شاید در نگاه اول ویژگی های دیگر از نظرمان پنهان بماند. با وجود این ویژگی دیگری درباره بعد وجود دارد که در ابتدای این فصل به آن استناد کردیم و دقیقاً همان چیزی است که به آن نیاز داریم.
یک ویژگی بسیار مهم هندسی که با مسأله بعد در ارتباطات قانونی است که به شما می گوید اگر یک شکل را در یک فضا با ضریب t برابر در همه جهات بزرگ کنید چه اتفاقی برای اندازه یک شکل می افتد. منظور من از اندازه کل شکل طول، سطح یا حجم آن جسم است. در فضای دو بعدی اندازه ( مساحت ) با پارامتر t2 تغییر می کنند و در فضای سه بعدی اندازه جسم ( حجم ) با پارامتر تغییر می کنند. بنابراین توان t عدد بعد فضا را نشان می دهد.
با وجود این شاید، بیان کردن این مشخصات بدون در نظر گرفتن شکل های هندسی مشابه چندان قابل درک نباشد. چرا که زمانی که از نماهای 2 و 3 صحبت می کنیم بلافاصله یاد مفاهیم آشنای مساحت و حجم می افتیم در حالی که می توان مسأله را بدون نیاز به این لغت ها بیان کرد برای این کار به سؤال های زیر دقت کنید:
چرا مساحت مربعی با طول ضلع 3، 9 برابر مساحت مربعی با طول ضلع 1 است؟ به این دلیل که می توان مربع بزرگتر را به 9 مربع کوچکتر ( با طول ضلع واحد ) تقسیم کرد. به طور مشابه یک مکعب 3×3×3 را می توان به 27 مکعب 1×1×1 تبدیل نمود و به همین دلیل حجم آن 27 برابر حجم مکعب واحد ( 1×1×1 ) خواهد بود. حال می توان گفت مکعب یک شکل سه بعدی است چرا که اگر طول هر یک از اضلاع آن در t ضرب کنیم ( که t عددی صحیح و بزرگتر از 1 ) باشد، مکعب جدیدی به وجود می آید که می توان مکعب با ابعاد اولیه را درون آن جای داد. همان طور که می بینید در این عبارت از کلمه حجم استفاده نشده است.
حال ممکن است این پرسش مطرح شود که آیا شکلی وجود دارد که اگر مطابق روش بالا با آن برخورد کنیم و اضلاع آن را در عددی مانند t ضرب کنیم، عدد حاصله برای شکل جدید، عددی صحیح نباشد ( یعنی در شکل جدید که، مقدار آن مشخص tn برابر می شود، n عددی غیر صحیح باشد؟ ) پاسخ این سؤال مثبت است.
یکی از ساده ترین مثال های شناخته شده در این زمینه شکل معروف به برف دانه کخ (1) است. این شکل را نمی توان به صورت مستقیم شرح داد و توصیف کرد و باید به جای آن، از روش زیر استفاده کرد و شکل را به صورت حد فرایند زیر بیان تعریف کرد: کار را با پاره خطی به طول 1 آغاز می کنیم. این پاره خط را به 3 قسمت مساوی تقسیم می کنیم و قطعه میانی را حذف کرده و از دو رأس آن مثلث متساوی الاضلاعی با قاعده قطعه حذف شده میانی می سازیم. شکل حاصل از 4 پاره خط مساوی تشکیل شده است که طول هر یک از آنها یک سوم طول پاره خط اولیه است. حال هر یک از این 4 خط را به همین شیوه دوباره تقسیم می کنیم، یعنی هر یک از آنها را به 3 قسمت تقسیم کرده و با حذف قطعه میانی مثلثی جدید در آن محل بنا می کنیم در این مرحله شکل ما از 16 قطعه خط تشکیل شده است که طول هر یک 1/9 قطعه خط اولیه است.
این فرآیند را می توان به همین شکل ادامه داد. در شکل 25 چند مرحله اولیه این کار مشخص شده است. بر اساس مباحثی که قبلاً داشتیم متوجه خواهیم شد که این شکل به سمت یک شکل نهایی میل می کند که آن را به برف دانه کخ می نامند ( اگر می خواهید شکل برف دانه کامل شود، باید این کار را با 3 خط انجام دهید و در نهایت آنها را به هم بچسبانید ).
برف دانه کخ چندین ویژگی جالب توجه دارد. یکی از این ویژگی ها این است که این شکل را می توان از چسباندن کپی های کوچک تری از شکل نهایی به هم به دست آورد. همان طور که از شکل هم مشخص است، شکل نهایی از 4 قطعه ای تشکیل شده است که هر یک شبیه شکل نهایی است با این تفاوت که هر یک از آنها 1/3 کوچکتر از شکل نهایی برف دانه کخ است. حال باید دید چنین خصوصیتی، چه کمکی به ما در زمینه تعریف بعد این شکل می کند؟
اگر یک شکل d بعدی باشد آنگاه اگر ما اضلاع آن را به نسبت 1/3 کوچک کنیم اندازه تصویر نهایی باید به نسبت 3d کاهش یابد ( ما این موضوع را پیشتر برای حال , 2,31 =d بررسی کردیم ). بنابراین باید بتوانیم شکل نهایی را با کنار هم نهادن 3d کپی کوچک شده شکل نهایی بسازیم در مورد برف دانه کخ دیدیم که 4 نمونه کوچکتر برای ساخت شکل مرحله بعدی لازم است یعنی اگر d بعد شکل مورد نظر باشد آنگاه . حال با توجه به اینکه و پس d بین 1 و 2 قرار دارد و عدد کاملی نیست در حقیقت كه تقریباً برابر است با 2618595/1 این محاسبات به این نکته وابسته بود که در مورد برف دانه کخ می شد آن را با کمک نمونه های کوچکتر خود ساخت و این ویژگی مهم وغیر عادی است که حتی شکلی مانند دایره هم از آن برخوردار نیست. البته می توان ایده بالا را توسعه داد و به تعریفی از ابعاد رسید که بسیار عملی تر است.
همانند بقیه مواردی که از تعاریف و ایده های مجرد استفاده می کردیم در این مورد نیز کار ما به این معنی نیست که ابعاد واقعی به شکل برف دانه کخ و دیگر اشکال جذاب این گونه را کشف کرده ایم، بلکه تنها تعریفی ممکن را یافته ایم که خواص مشخص را بیان می کند. در حقیقت راه های دیگری برای تعریف بعد نیز وجود دارد که به پاسخ های متفاوتی منجر می شود. برای مثال برف دانه دارای بعد توپولوژیکی 1 است. چرا که به زبانی غیر دقیق می توان آن را همانند یک خط به چند قسمت تبدیل کرد و بخش میانی آنها را حذف نمود.
این موضوع باعث می شود که فرایند همزمان مجردسازی و عمودسازی تا حدی روشن شود. برای عمومی کردن و بسط دادن یک مفهوم ما باید خواص و خصوصیاتی را که وابسته به آن شکل هستند پیدا کرده و بر مبنای آنها مفهوم خود را توسعه دهیم. اغلب تنها یک راه طبیعی برای چنین توسعه ای وجود دارد اما گاهی اوقات مجموعه هایی از این خواص به انواع مختلفی از توسعه ختم می شوند و گاهی پیش از یک روش توسعه مفهوم مثمر ثمر است.

پي‌نوشت‌ها:

Koch snowflake

منبع مقاله : گاورز، تیموتی؛ ( 1391 )، ریاضیات، پوریا ناظمی، تهران: بصيرت، چاپ دوم.