چشم بندی های ریاضی

در این جا فال بین گره ای از بخت شما باز نمی کند، ولی آنچه را که در ذهن شما دارید فاش می سازد.
این بازی از ابومنصور عبدالقاهر بن طاهر بغدادی به جا مانده است.

ب 1: بازی خواندن فکر (1)

شیخ ابو منصور به شاگرد جوانش گفت: کاغذ و قلمی بیاور و بنویس! مرد جوان کاغذ و قلمی را حاضر کرد و با آمادگی کامل نشست تا هر آنچه شیخ و معلم بزرگوارش بر وی می خواند، بنویسد. شیخ گفت: نمی خواهم چیزی را بر تو بخوانم، بلکه می خواهم ببینی چگونه فکر تو را بی آن که بدانی، می خوانم. هر عددی را که به ذهنت می رسد بنویس و آن را از من پوشیده بدار، اما این عدد باید عدد صحیحی باشد.
جوان عددی را، روی کاغذی که داشت، نوشت و آن را از استادش پنهان کرد. استاد در سمت راست کاغذی که داشت، عدد یک نوشت. سپس به جوان گفت نصف عددی که نوشتی را به دریا بریز و بگو: بگیر، ای دریای عرب!
جوان چنین کرد، و استاد در سمت راست کاغذش عدد 2 نوشت و بعد به جوان گفت: آیا نزد تو کسری ماند؟
جوان گفت: بلی.
استاد گفت: آن را به دریا بریز و بگو و این نیز از آن تو باد.
جوان همان کاری که شیخ به او گفت، انجام داد و استاد در سمت چپ کاغذش عدد 1 نوشت.
استاد گفت: همان کار قبلی خود را ادامه بده و نصف عددی را که داری به دریا بریز، و بعد آن را اعلام کن، و هر گاه کسری بماند، آن را نیز به دریا بریز، تا این که چیزی برایت نماند.
جوان طبق دستور استادش عمل کرد.
در این مدت هر گاه مرد جوان عددی را به دریا می ریخت، شیخ عددی را که در سمت راستش بود دو برابر می کرد، وهر گاه مرد جوان کسری را به دریا می انداخت، استاد نصف عدد سمت راست را در سمت چپ می نوشت.
وقتی جوان کارش را به پایان رساند، استادش اعدادی را که در سمت چپ خود بود، جمع کرد و حاصل جمع همان عددی بود که جوان در ذهنش داشت.
جدول زیر، مراحل متوالی یادداشت های جوان و استادش را بیان می کند:
اگر بازی را یاد گرفتید، آن را با دوستتان انجام دهید. ولی بیایید این بازی را مورد بررسی قرار دهیم تا راز آن را کشف کنیم، چرا که در پی هر ترفندی، رازی نهفته است. الف: نخستین مطلبی که به ذهن انسان خطور می کند، این است جوان عددش را به نصف تقسیم می کند، و استاد آنچه را که دارد دو برابر می کند.
بنابراین حاصل ضرب آنچه که دارند، همواره ثابت می ماند.
حال بیایید مراحل کار را بررسی کنیم.
که استاد آن را در ستون سمت چپ حفظ می کند. و برای جوان می ماند 96=48×2.
48×2=24×4
= 12×8
=6×16

=3×32
این عدد را استاد در ستون سمت چپ نگه می دارد. و آنچه برای جوان می ماند 1×64 است.
این عدد را استاد در سمت چپ نگه می دارد، و دیگر برای جوان چیزی نمی ماند:
بنابراین ستون سمت چپ، جایی است که در آن عدد پنهان و مورد نظر در چند مرحله سپرده شده بود، یعنی 1+32+64=97.
گویی جوان ندانسته و مرحله به مرحله از عددی که در ذهنش بود، دست می کشید و از آن پرده بر می داشت.
ب- هنگامی که این بازی را می کنیم، نکته ای هست که باید بدان توجه کنیم:
که عدد پنهان به صورت مجموع توانهای 2 درآمده است.
حالا شما را به خواندن این نکته تاریخی دعوت می کنم، که در آن بازی لطیفی نهفته است.
نکته ی تاریخی: بی گمان استاد در دو برابر کردن و نصف کردن اعداد برای یافتن عدد پنهان و نهفته، مهارت داشت، ولی او مبتکر این بازی نبود، چرا که مصریان قدیم این بازی را به صورت ضرب وتقسیم انجام می دادند، و اینک به شرح آن می پردازم.

ب 2: بازی ضرب اعداد

مصریان قدیم برای ضرب کردن اعداد، مثلاً 97 در 53، یکی از دو عدد را نصف و دیگری را دوبرابر می کردند. آنان این کار را بدین نحو انجام می دادند:
(علامتی بالای 97 می گذاشتند چون پس از تقسیم آن بر دو، 1 باقی می ماند.)
(علامتی را بالای عدد 3 می گذاشتند، چون پس از تقسیم بر دو، عدد 1 می ماند.)
بنابراین حاصل ضرب 53×97 برابر است با:
53+1696+3392=5141
پسرم، فکر می کنم می خواهی بگویی: صبر کنید: چون
این بازی لطیفی است، آن را در ضرب کردن هر دو عدد در یکدیگر، مثلاً 81 در 73، آزمایش کنید.

ب 3: بازی تقسیم کردن

مصریان برای تقسیم کردن 5141 بر 53 ضرایب عدد 53 را در جدولی همانند جدول زیر به کار می بردند:
روی مضربهایی که مجموع آن ها عدد 5141 را تشکیل می دهند، علامت " گذاشته شده است:
بنابراین خارج قسمت 5141 بر 53 همان 97 است.
این بازی را در تقسیم کردن 5913 بر 73 آزمایش کنید.

ب 4: بازی پلکان ها

الف- عدد دلخواهی را در پایه ی هفتگانی بنویسید، و ارزش آن را در پایه دهدهی (اعشاری) محاسبه کنید.
ب- عدد 1234 در پایه ی پنجگانی، چه ارزشی در پایه دهدهی دارد؟
ج- عدد 10 در پایه ی دهدهی، چه ارزشی در پایه ی هشتگانی و نیز در پایه ی پنجگانی، دارد؟
د- جداول زیر را با نوشتن اعداد از 1 تا 15 در پایه های مختلف، کامل کنید:
اگر عادت کنیم هر بازی با اعداد را به شیوه ی استقرایی، برای کشف چیزهای نو و یا ابتکار بازی جدیدی، نگاه کنیم، خواهیم دید با مطالعه ی جدول پیشین، زمینه ی پهناوری برای کشف تازه ها می یابیم.
خواننده عزیز، فکر می کنم متوجه شدید که پایه ی دودویی فقط شامل دو رقم صفر و یک است. حالا اجازه دهید یک بار دیگر با آن، اعداد را از 1 تا 15 را بنویسیم.
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
توجه داشته باشید: اعدادی که رقم اولین مرتبه ی آن ها 1 است، هشت عدد هستند که در ردیف های 15،13،11،9،7،5،3،1 قرار داردند. و اعدادی که رقم دومین مرتبه ی آنها 1 است، نیز هشت عدد می باشند، که در ردیف های 15،14،13،12،7،6،3،2 قرار دارند. اعدادی که رقم سومین مرتبه ی آنها 1 است، هم هشت عدد می باشند که در ردیف های 15،14،13،12،7،6،5،4 قرار دارند، و اعدادی که رقم مرتبه ی چهارم آنها 1 است، نیز هشت عدد می باشند که در ردیف های 15،14،13،12،11،10،9،8 قرار دارند.
اگر این نتایج را در جدولی قرار دهیم، منتج به مطالب زیر می شود:

1 3 5 7 9 11 13 15

2 3 6 7 10 11 14 15

4 5 6 7 12 13 14 15

8 9 10 11 12 13 14 15

این نتایج ما را به بازی بعدی می کشاند:

ب 4: بازی پلکان دودویی

این جدول را روی کاغذی بنویسید، و آن گاه از دوستان خود بخواهید تا هر کدام عددی دلخواه، از 1 تا 15، را در ذهن خود برگزینند. سپس به هر کدام بگویید که عدد دلخواه وی در کدام یک از ستون های چهارگانه جدول قرار دارد. اگر مثلاً یکی از دوستان گفت: در ستون دوم و چهارم هست، می بینیم در رأس ستون دوم عدد 2 و در رأس ستون چهارم عدد 8 قرار دارند، که مجموع آن ها 10 می باشد، و این همان عددی است که آن شخص در ذهن دارد.
و اگر دیگری گفت که عدد دلخواه وی در ستون های اول و سوم و چهارم قرار دارد، در این صورت عدد پنهان وی 1+4+8=13 می باشد.
ضمناً برای گمراهی بیشتر دوستان، ترتیب اعداد را در هر ستون تغییر دهید.
برای سردرگم کردن بیشتر، ممکن است جدول زیر را به کار گیرید که در ستون نخست آن اعدادی که رقم مرتبه ی اول آن ها صفر، و در ستون دوم اعدادی که رقم مرتبه ی آنها صفر، و در ستون سوم اعدادی که رقم مرتبه ی سوم آنها صفر، و در ستون چهارم اعدادی که رقم مرتبه ی چهارم آنها صفر است قرار دارد. ( توجه داشته باشید که ارقام پایه ی دودویی تنها 1 یا صفر است و هرگاه 1 نباشد صفر است و بعکس ).

2 4 6 8 10 12 14

1 4 5 8 9 12 13

1 2 3 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7

اگر کسی بگوید عددش در ستون اول و سوم هست، بنابراین این عدد وی در ستون های دوم و چهارم نیست، پس عدد پنهان وی (10=8+2) می باشد.
و اگر کسی بگوید که عدد دلخواهش تنها در ستون سوم قرار دارد، بنابراین عدد وی در ستون های اول و دوم و چهارم نیست، عدد او 11(8+2+1) است.
در این جدول هم ممکن است برای گمراهی بیشتر، ترتیب اعداد در هر ستون را تغییر دهید.

ب 5: بازی کارت های سوراخ شده

اینک بازی بعدی:
کارت ضخیم را بردارید، و آن ها را از 1 تا 15، به صورت دودویی، شماره گذاری کنید، ولی صفر را به شکل سوراخی گرد به قطر نیم سانتیمتر، و عدد یک را به شکل شکافی به عرض نیم سانتیمتر دربیاورید که تا بالای کارت برسد. سعی شود فاصله میان مرتبه ها در کارت ها منظم باشد، به نحوی که فاصله ی مرتبه ی اول از سمت راست کارت 1 سانتیمتر، و فاصله ی میان هر دو مرتبه 1 سانتیمتر، و فاصله ی هر مرتبه از بالای کارت 1 سانتیمتر باشد.
اینک کارت ها را با هم مخلوط کیند. حالا اگر میله ی باریکی را در هر مرتبه اول وارد کنید و با آن کارت ها را بالا بکشید، تنها کارت هایی را که مرتبه ی اول آن ها صفر است برمی دارد، چون عدد 1 به شکل شکافی است که میله از آن خارج می شود. دراین جا کارت هایی که با میله برداشته شد، روی کارت هایی که از آن افتاده، بگذارید؛ بعد کارت هایی راکه مرتبه ی دوم آنها صفر است با میله بردارید و بالای همه ی کارت ها بگذارید؛ سپس کارت هایی را که مرتبه ی سوم آن ها صفر است بردارید و بالای دیگر کارت ها بگذارید؛ و در آخر نیز کارت هایی را که مرتبه ی چهارم آنها صفر است بردارید و بالای همه بگذارید.
حالا به کارت هایی که در هم مخلوط کرده اید و نظم آنها را به هم زده اید، نگاه کنید. می بینید که میله ترتیب آنها را مجدداً به همان صورت 1 تا 15 درآورده است.
پیش از ان که بازی را با دوستان خود در میان بگذارید، بهتر است آن را به تنهایی بازی کنید تا سوراخ کردن کارت ها به یک شکل را یاد بگیرید.

ب 6: بازی ذهنی (2)

استاد ابومنصور به شاگرد جوانش گفت: عددی را در ذهن خود انتخاب کن.م
جوان گفت: انتخاب کردم.
استاد گفت: نیم آن عدد را به خودش اضافه کن.
جوان گفت: انجام دادم.
استاد گفت: آیا کسری به وجود آمد؟
جوان گفت: خیر.
استاد گفت: نیم آنچه که به دست آورده ای را به آن اضافه کن.
جوان گفت: انجام دادم، و اینک کسری هم دارم.
استاد رو به روی خود عدد 2 را نوشت ، و به جوان گفت: نیمی را از من بگیر و به آن کسری که داری اضافه کن تا عدد کامل شود.
جوان گفت: انجام دادم.
استاد گفت: نُه تا، نُه تا، از عددی که داری به دریا بریز و بگو: بگیر دریا، این یک، دو، سه، تا این که دیگر نُه تایی را نداشته باشی.
جوان گفت: می توانم 12 دسته نُه تایی را دور بریزیم.
استاد گفت: دست نگه دار پسرم! تو عدد 50 را در نظر گرفته بود و با تو، پس از ریختن دسته های نُه تایی، عدد 5 می ماند.
جوان گفت: استاد درست گفتید! ولی چگونه آن را محاسبه کردید؟
استاد گفت: در مقابل هر دسته ی 9 تایی که به دریا می ریزی، نزد خودت عدد 4 را ثبت می کنم. تو 12 دسته 9 تایی را ریختی و من 4×12 یعنی 48 را ثبت کردم. و بعد من در بار دوم، به تو نیمی را دادم که پیش خودم ثبت کرده بودم، بدین ترتیب نزد من عدد 50 ثبت گردید و آن همان عددی است که تو در ذهن خود داشتی.
جوان گفت: خوب، از کجا فهمیدید که عدد 5 باقی مانده است؟
استاد گفت: این دیگر ساده و آسان است، اگر تنها در همان اضافه ی اول دارای عدد کسری می شدی، من عدد 1 را ثبت می کنم، و باقیمانده پس از ریختن (کم کردن) دسته های 9 تایی، 3 خواهد بود؛ و اگر عدد کسری تنها در افزایش دوم صورت گیرد، من عدد 2 را ثبت می کنم، و باقی مانده نزد تو، پس از ریختن (کم کردن) دسته های 9 تایی، عدد 5 خواهد بود؛ و اگر در هر دو بار عدد کسری نزد تو پیش آید، من در نزد خود عدد 3 را ثبت می کنم، و باقی مانده در نزد تو، پس از ریختن (کم کردن) دسته های 9 تایی، عدد 8 خواهد بود.
راوی می گوید: عدد مورد نظر جوان نمی تواند از چهار حالت زیر خارج باشد:
که پس از افزایش نخست، این اعداد به ترتیب، به صورت زیر در می آیند:
و پس از کامل کردن کسرها به صورت زیر در می آیند:
و پس از افزایش دوم می شوند:
پس تعداد دسته های 9 تایی کجا ریخته شد (کم شد)، به استاد ارزش (x) را روشن ساخت، و در نتیجه ارزش (4x) را نیز روشن کرد، و بقیه دیگر معلوم است.
پسرم، آیا می توانی مسئله ای براساس این اصل بسازی که عدد ذهنی در نظر گرفته شده نمی تواند جز (2x) یا (2x+1) باشد امتحان کن.
اگر خواستید، ابتکار به خرج دهید و مسائل دیگری از این قبیل را بسازید.
منبع مقاله :
سعيدان، احمد سليم؛ (1383)، لذت انديشه ي رياضي: پرسش ها، معماها و بازي هاي رياضي براي کودکان و بزرگسالان، ترجمه ستار عودي، تهران: شرکت انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ دوم