پارادوكس‌هاي اصل عدم تفاوت

چكيده

در برخي تفاسير فلسفي از احتمال، مانند تفسير كلاسيك، تفسير منطقي و تفسير معرفت‌شناختي، رجوع به مجموعه‌اي به نام فضاي نمونه يا فضاي وصفي براي محاسبه ي احتمال لازم است. در اين محاسبات، براساس اصل عدم تفاوت، احتمال عناصر اوليه يكسان فرض مي‌شود، اما درباره ي خود اين اصل، كه اساس حساب احتمالات در تفاسير مزبور است، دو مسئله ي اساسي وجود دارد كه در مباحث فلسفي احتمال قابل طرح است. اول، اعتبار معرفت‌شناختي خود اين اصل، و دوم، پارادوكس‌هايي است كه از بكارگيري اين اصل ناشي مي‌شوند، اما تاكنون پاسخي درخور به هيچ‌يك از اين دو مسئله داده نشده است.
در اين مقاله، ابتدا با اشاره به تفاسير مختلف احتمال، نشان داده مي‌شود كه كدام تفاسير نيازمند اين اصل هستند. همچنين، اصل عدم تفاوت به طور كلّي و نيز در احتمال معرفت‌شناختي، براساس اصل عليّت و با ارجاع به علم حضوري توجيه مي‌شود. مهمترين بخش اين مقاله، طرح هشت پارادوكس همراه با پاسخ‌هايي است كه براي حلّ آنها ارائه شده و با ناتمام دانستن اين پاسخ‌ها، راه‌حلّ جديدي براساس تفسير احتمال معرفت‌شناختي ارائه مي‌شود.
كليد واژه‌ها: احتمال معرفت‌شناختي، اصل عدم تفاوت، پارادوكس‌هاي احتمال، پارادوكس‌هاي اصل عدم تفاوت

مقدمه

در بسياري از روش‌هاي محاسبه ي احتمال، بايد به مجموعه‌اي رجوع كنيم و با اين پيش‌فرض كه احتمال وقوع هر يك از اعضاء يا احتمال صدق هريك از گزاره‌هاي عضو اين مجموعه با بقيه مساوي است، به محاسبه احتمال وقوع پديده مورد نظر يا احتمال صدق گزاره‌اي خاص بپردازيم. اما در اينجا دو مسئله وجود دارد: اول آنكه خود اين اصل به چه دليل معتبر است؟ دوم آنكه مساوي دانستن احتمال اعضاي مجموعه ي مزبور، بسته به اينكه اعضاي اين مجموعه چگونه انتخاب شوند، گاه به نتايج متفاوتي مي‌انجامد كه از نقطه‌نظر حساب احتمالات غيرقابل قبول است، زيرا احتمال وقوع هر پديده يا احتمال صدق هر گزاره در هر شرايط ويژه، مقدار واحدي است. اين امر از ديرباز تفاسيري از احتمال را كه مبتني بر اصل عدم تفاوت هستند، با پارادوكس‌هايي مواجه ساخته است كه تاكنون پاسخي قاطع نيافته‌اند.
براي پاسخ به دو مسئله ي مزبور، ابتدا نظري اجمالي به تفاسير مختلف احتمال مي‌اندازيم، و تفسيرهايي را كه به اين اصل نياز دارند معرفي مي‌كنيم، سپس توضيحي اجمالي درباره اعتبار معرفت‌شناختي خود اين اصل مي‌آوريم. آنگاه اصول حساب احتمالات را به اجمال معرفي مي‌كنيم و سپس به طرح پارادوكس‌ها مي‌پردازيم، و راه‌حل‌هايي كه تاكنون براي آنها ارائه شده، از نظر مي‌گذرانيم و در پايان، ديدگاه خود را درباره حلّ اين پارادوكس‌ها بيان مي‌كنيم.

تفاسير ناظر به باور و ناظر به واقع درباره احتمال

فرض كنيد سكّه‌اي در اختيار داريم كه مي‌دانيم كاملاً همگن نيست و به يك طرف متمايل‌تر است؛ اما درباره ي اينكه سكّه به كدام طرف متمايل‌تر است، چيزي نمي‌دانيم. احتمال اينكه اين سكّه شير بيايد بيشتر است يا احتمال آنكه خط بيايد، يا احتمال هر دو مساوي است؟
نظريه‌هاي فلسفي احتمال كه براي تبيين مباني محاسبه ي احتمال پديد آمدند، درصدد آن بودند كه نشان دهند در محاسبات رياضي احتمال، دقيقاً چه چيزي را اندازه مي‌گيريم و اين اندازه‌گيري، چه اعتباري دارد. برخي، همچون لاپلاس (P.S.Laplace)، باتوجه به اين حقيقت كه جهان عيني، جهاني است كه روابط ضروري علّي- معلولي بر آن حاكم است و هر پديده‌اي با وجود تمام شرايط خود، ضرورتاً اتفاق مي‌افتد و بدون حتي يكي از آنها، ضرورتا اتفاق نمي‌افتد، احتمال را مربوط به باور و معرفت ما دانستند. برخي نيز، همچون ون ميزز (R.Von Mises)، بر اين اعتقاد بودند كه محاسبه ي احتمال، محاسبه ي امري عيني است، و بدين‌جهت به باورها و معرفت‌هاي ما وابسته نيست، و محاسبات احتمال درصددند ميزان وقوع عيني يك پديده را اندازه‌گيري كنند، نه صرفاً انتظارات ما را از وقوع پديده‌ها.
برخي ديگر از گروه نخست، همچون رمزي (F.P.Ramsey) و دفينتي (B.de Finetti)، باور را امري روان‌شناختي و شخصي، و برخي، مانند گيليس (D.Gillies)، بين‌الأذهاني و گروهي تلقّي كردند و برخي ديگر، نظير شهيد صدر، كينس (J.M.Keynes)، جانسون (W.F.Johnson) و جفريز (H.Jeffreys)، كوشيدند نشان دهند كه درجه باور به يك قضيه در صورتي معقول است كه آن درجه از باور، نتيجه ي منطقي باور به قضاياي ديگر باشد. به عقيده ما، تفسير ديگري از احتمال ناظر به باور براي توجيه درجه باور لازم است. بنابر اين تفسير، احتمال موجّه يك قضيه كه آن را «احتمال معرفت‌شناختي» آن قضيه مي‌ناميم، احتمالي است كه برپايه ي قضايايي كه فرد بدانها باور موجّه دارد و درجه باور موجّه به آنها نهايتاً براساس علم حضوري تعيين مي‌شود، محاسبه‌پذير است.(1)
برخي از گروه دوم، يعني برخي از كساني كه تفسيري ناظر به واقع را براي احتمال برگزيده بودند، همچون اليس (L.Ellis)، ون (J.Venn)، رايشنباخ (H.Reichenbach) و ون ميزز، فراواني نسبي وقوع يك پديده را از ميان پديده‌هاي بديل ممكن، ملاك احتمال وقوع عيني آن پديده قرار دادند و برخي، مانند پوپر (K.R.Popper)، ميلر (Miller) و فتزر (Fetzer)، به وجود نوعي ميل و گرايش دروني در پديده‌ها معتقد شدند كه شرايط توليد آن پديده را تأمين مي‌كنند.
بدين‌صورت، مي‌توان نظريه‌ها و تفاسير فلسفي در باب احتمال را به دو گروه ناظر به باور و ناظر به واقع تقسيم كرد؛ يعني تفسيرهايي كه احتمال را به باور نسبت مي‌دهند، و تفاسيري كه آن را به امري عيني و واقعي تفسير مي‌كنند، اما بايد توجه داشته باشيم كه ممكن است احتمال ناظر به باور نيز با واقع، و احتمال ناظر به واقع نيز با باور، ارتباط داشته باشند. براي مثال، كساني‌كه به تفسيري از احتمال كه ناظر به باور است معتقدند، ممكن است بپذيرند كه احتمال، گرچه نشان‌دهنده ي درجه باور ذهني فرد يا باور معقول و مانند آن است، منشأ اين درجه باور مي‌تواند خود دانش و معرفتي درباره ي امور عيني باشد. براي مثال، ممكن است بگوييم اين سخن كه احتمال شيرآمدن اين سكه 0/5 است، بدان معناست كه درجه باور ما نسبت به وقوع اين پديده عيني 0/5 است و با اين حال، بپذيريم كه ممكن است اين درجه باور ما خود ناشي از معرفت ما به اين حقيقت باشد كه در نيمي از موارد پرتاب قبلي همين سكّه، نتيجه شير آمده است. همچنين، كساني كه به تفسيري ناظر به واقع معتقدند ممكن است بپذيرند كه احتمال، گرچه نشان‌دهنده نسبت يا گرايشي واقعي در پديده‌هاست، مي‌تواند در درجه ي باور ما تأثير داشته باشد. براي مثال، ممكن است بگوييم اين سخن كه احتمال شير آمدن اين سكه 0/5 است بدان معناست كه در زنجيره‌‌اي طولاني از پرتاب اين سكّه، حدوداً در نيمي از موارد، نتيجه شير آمده، و با اين‌حال، بپذيريم كه به همين سبب است كه به همين سبب است كه درجه باور ما نسبت به وقوع اين حادثه 0/5 است. به هرحال، ممكن است در تفسير احتمال، رابطه ي باور و واقع را بپذيريم، اما آنچه وجه تمايز اين تفاسير است اين است كه اصالتاً احتمال را بر باور اطلاق مي‌كنيم يا واقع، و در هرصورت، آن را دقيقاً چگونه توصيف مي‌كنيم.
همچنين، تفاسير ناظر به باور، ممكن است احتمال را به صورت سابجكتيو و روان‌شناختي تفسير كنند، مانند تفسيرهاي ذهني و بين‌الأذهاني، و ممكن است آن را امري منطقي يا موجّه بدانند كه داراي ملاك‌هاي عيني است، مانند تفسير منطقي و نيز تفسير معرفت‌شناختي مورد قبول ما.
ممكن است با پذيرفتن ارتباط باور و واقع، اختلاف تفاسير ناظر به باور و ناظر به واقع، امري مهم به نظر نيايد، از آن روي كه گويا مقدار احتمال از هردو منظر يكسان است، اما بايد توجه داشت كه اين امر كليّت ندارد. مثال سكّه نامتعادل لاپلاس كه در ابتداي تقسيم‌بندي تفاسير بدان اشاره كرديم، روشن مي‌كند كه امر عيني مفروض و درجه باور، در يك مثال مي‌توانند متفاوت باشند، زيرا احتمال منطقي شيرآمدن سكّه ناهمگني كه گفتيم، همچون سكّه ي معمولي، 0/5 است، در حاليكه اگر براي آن، احتمالي واقعي را بپذيريم كه قابل اندازه‌گيري نيز باشد، اين احتمال، يقيناً عددي غير از 0/5 است. نيز درجه باورهاي ذهني افراد، ممكن است از هرطريق پديد آيد و با امور عيني مطابقت نداشته باشد.

فضاي نمونه يا وصفي

بنابر تفاسير فلسفي ناظر به باور از احتمال، به جز تفاسير ناظر به باوري كه احتمال را سابجکتيو تفسير مي‌كنند؛ يعني تفسير ذهني و بين‌الأذهاني، براي تعيين احتمال، رجوع به يك مجموعه خاص لازم است. اين مجموعه كه عموماً فضاي نمونه(2) يا فضاي وصفي(3) ناميده مي‌شود، متشكل از اعضايي است كه احتمال آنها برابر است و احتمال پديده يا قضيه ي مورد نظر را مي‌توان براساس آنها محاسبه كرد. مثال ساده براي فضاي نمونه يا فضاي وصفي، مجموعه ي دوعضوي شير و خط است كه شامل همه ي حالات ممكني است كه يك سكّه پس از يكبار پرتاب بدان حالت روي زمين قرار مي‌گيرد.
اگر بخواهيم مطابق نظريه ي كلاسيك احتمال، درباره ي احتمال شيرآمدن سكّه‌اي كه هنوز پرتاب نشده است قضاوت كنيم، مي‌گوييم احتمال حالت مطلوب برابر است با نيمي از احتمال وقوع يك حالت از همه ي حالات ممكن. وقوع يكي از دوحالت ممكن (شير و خط) يقيني است و مقدار آن را عدد «يك» قرارداد مي‌كنند. بدين‌ترتيب، احتمال شيرآمدن سكّه مزبور برابر با 0/5 است.
نظريه ي منطقي، احتمال را به قضايا نسبت مي‌دهد و بر آن است كه احتمال يك قضيه، درجه ي نسبي استلزام منطقي ميان آن قضيه با قضاياي ديگر است، يا به عبارت دقيق‌تر، احتمال منطقي يك قضيه، درجه ي خاصي از باور به آن قضيه است كه لازمه ي منطقي درجه ي خاصي از باور به مقدّمات است. اين درجه نيز برحسب تعداد اعضاي فضاي نمونه كه شامل همه ي قضاياي ممكن بديل است تعيين مي‌شود.(4) در مثال سكّه، فضاي نمونه عبارت است از مجموعه‌اي شامل دو قضيه «سكّه در پرتاب بعدي شير مي‌آيد» و «سكّه در پرتاب بعدي خط مي‌آيد» و بدين‌ترتيب، احتمال صدق قضيه نخست برابر با 0/5 است.
احتمال معرفت‌شناختي نيز احتمال را به قضايا نسبت مي‌دهد و آن را با مراجعه به مجموعه‌اي از قضاياي موجهي كه صاحب معرفت بدانها باور دارد، محاسبه مي‌كند. اين مجموعه، ممكن است يقين معرفت‌شناختي به قضيه «سكّه در پرتاب بعدي يا شير مي‌آيد يا خط»، و يقين معرفت‌شناختي به مجموعه همه قواعد منطقي و رياضي لازم براي استنتاج درجه احتمال قضيه «سكّه در پرتاب بعدي شير مي‌آيد» از قضيه ي مزبور باشد. چنانكه مي‌بينيم، قضيه ي نخست در اين مجموعه، قضيه‌اي از نوع منفصله حقيقيه و ناظر به همه ي حالات ممكن است.

اصل عدم تفاوت

ديديم كه بنابر تفسير كلاسيك از احتمال و نيز تفسير منطقي و معرفت‌شناختي، براي محاسبه احتمال، رجوع به مجموعه‌اي به نام فضاي نمونه يا وصفي لازم است. محاسبه ي احتمال يك پديده يا قضيه، با ارجاع آن به چنين مجموعه‌اي، تنها درصورتي ممكن است كه براي همه ي عناصر اين مجموعه، ارزشي يكسان قائل باشيم. براي مثال، بايد از پيش پذيرفته باشيم كه در پرتاب سكّه، احتمال هر يك از شير و خط آمدن، دقيقاً مساوي ديگري است. اين را اصطلاحاً «اصل عدم تفاوت» مي‌نامند.
تعبير «اصل عدم تفاوت»(5) را ابتدا كينس در سال1921 در كتاب خود(6) بكار برد. البته پيش از وي و در سال1871، ون كريز (J.Von Kries) تعبير قديمي‌تري از همين اصل را با نام «اصل دليل ناكافي»(7) در كتاب احتمال خود بكار برده بود، و پيش از هر دو، لايب نيتز (1646-1716)، از اصل ديگري با نام «اصل دليل كافي» در متافيزيك خود زياد استفاده كرده بود.
كينس با اين ادعا كه همه ي احتمال‌گرايان(8) محاسبه عددي احتمال را در مواردي ممكن مي‌دانند كه تعدادي جايگزين (مجموعه‌اي از گزينه‌هاي جامع و مانع) با احتمال برابر در اختيار باشند،(9) معتقد است براي تعيين احتمال برابر اين گزينه‌ها، به اصلي پيشيني به نام اصل عدم تفاوت نياز است. وي اين اصل را ابتدائاً چنين بيان مي‌كند: «اصل عدم تفاوت مي‌گويد اگر دليل معلومي براي ترجيح حمل يكي از چند محمول جايگزين بر موضوع خاص وجود نداشته باشد، نسبت به چنين علم و معرفتي، بيان هريك از آن امور جايگزين،‌احتمالي برابر دارد.»(10)
البته، روشن است كه تعريف دقيق اين اصل بسته به رويكرد تفسيري ما از احتمال متفاوت خواهد بود. اما مي‌توان گفت در همه ي تفاسيري كه رجوع به مجموعه‌اي مانند فضاي نمونه را براي محاسبه احتمال لازم مي‌دانند، احتمال اعضاي خود اين مجموعه، يكسان تلقّي مي‌شود و اصل عدم تفاوت، بيان‌كننده يكسان بودن احتمال همين اعضاء است.
بدين‌ترتيب، مي‌توان اصل عدم تفاوت را اساس حساب احتمالات دانست. از نظر ما، بدون اعتبار اين اصل، هيچ درجه‌اي از معرفت به جز يقين، موجّه نيست.
يكي از مسائلي كه درباره اين اصل مطرح است، توجيه معرفت‌شناختي خود اين اصل است؛ يعني اين مسئله كه با چه توجيهي، احتمال اين اعضاء (عناصر اوليه) برابر دانسته مي‌شوند، آيا صدق اصل عدم تفاوت، يقيني است يا احتمالي، و اين يقين يا احتمال، صرفاً ذهني يا بين‌الأذهاني است، يا امري عيني و ناظر به واقع است، يا به لحاظ معرفت‌شناختي در درجه ي يقين، و موجّه است؟

اصل عدم تفاوت مطابق تفسير احتمال معرفت‌شناختي

ما اصطلاح «احتمال معرفت‌شناختي» را براي درجه‌اي از معرفت به P كه تنها ناشي از دسته‌اي از احتمال‌هاي معتبر باشد، بكار مي‌بريم. در اين تفسير از احتمال، اصل عدم تفاوت به صورت زير قابل بيان است:
اگر مجموعه احتمال‌هاي معتبري كه احتمال معرفت‌شناختي دو قضيه را نسبت به آنها مي‌سنجيم، به طور مساوي موجب احتمالي براي دو قضيه مزبور باشند، احتمال معرفت‌شناختي آن دو قضيه نسبت به آن احتمال‌هاي معتبر، مساوي است.

اعتبار معرفت‌شناختي اصل عدم تفاوت

در اين بخش، مي‌خواهيم نشان دهيم اصل عدم تفاوت به لحاظ معرفت‌شناختي كاملاً موجّه است. از نظر ما، معرفت كاملاً موجّه بايد مبتني بر علم حضوري باشد.(11) بنابراين، بايد نشان دهيم كه اين اصل مبتني بر علم حضوري است. براي اين كار، از اصل عليّت آغاز مي‌كنيم و نشان مي‌دهم اصل عليّت به تقريري كه مي‌آوريم، بديهي اولي و مبتني بر علم حضوري به رابطه ي مفاهيم است. سپس اعتبار اصل كلّي عدم تفاوت و پس از آن، اعتبار اصل عدم تفاوت در مبحث احتمال را مطابق تقريري كه از آن ارائه داديم، اثبات مي‌كنيم.

اصل عليّت

چيزي كه به خودي خود ويژگي خاصي را ندارد، براي داشتن آن ويژگي نيازمند غير خود (علّت) است.
توضيح: اصل علّيت به تقرير فوق، ازجمله قضاياي بديهي اولي است. هرگاه چيزي به خودي خود ويژگي خاصي مانند a را داشته باشد و به عبارت ديگر، a ذاتي يا مقتضاي ذات آن باشد، خود آن چيز براي آنكه آن ويژگي را داشته باشد، كافي است، اما چنانچه a ذاتي يا مقتضاي ذات آن چيز نباشد، بدين‌معناست كه خود آن چيز براي آنكه آن ويژگي را داشته باشد، كافي نيست. با توجه به معناي عدم كفايت خود، جمله ي مزبور دقيقاً بدان معناست كه آن چيز براي داشتن آن ويژگي، نيازمند غير خود است، كه آن را «علّت» مي‌نامند.
چنانكه ديده مي‌شود، علم حضوري به مفاهيم بكار رفته در اين اصل، براي تصديق به آن كافي است و بنابراين، اصل علّيت به تقرير فوق، بديهي اولي است.
مقصود از «علّت» در اين تقرير از علّيت، چيزي غير از خود شيء است كه براي آنكه آن شيء ويژگي مزبور را داشته باشد، لازم و كافي است. علّت به معناي مذكور را «علّت تامه» نيز مي‌نامند. معلول نيز عبارت است از «اينكه آن شيء ويژگي مزبور را داشته باشد.»

اصل كلّي عدم تفاوت

علّت‌هاي مشابه، معلول‌هاي مشابه دارند. اين قضيه را اصل كلّي عدم تفاوت مي‌ناميم.
توضيح: علّت (علّت تامه) بنابر تعريف، چيزي است كه براي تحقق معلول، لازم و كافي است. پس مشابه بودن علّت‌ها به معناي مشابه بودن تأثير آنها در تحقق معلول‌هايشان است. از سوي ديگر، چنانكه گفتيم، آنچه در تحقق معلول مؤثر است صرفاً علّت است. بدين‌ترتيب، مشابه بودن علّت‌ها مستلزم مشابه بودن معلول‌هاست. ممكن است فرض كنيم چند علّت از وجوهي مشابه يكديگر باشند و از وجوهي متفاوت. در اين‌صورت، اگر معلول‌هاي آنها مشابه باشند، در واقع تنها وجوه مشابهي از آنچه علّت ناميده‌ايم، در تحقق معلول‌ها مؤثر بوده است و در واقع، همان وجوه مشابه، علّت هستند نه ساير ويژگي‌ها. پس به طور كلّي، مشابه بودن علّت‌ها مستلزم مشابه بودن معلول‌ها است. بدين‌ترتيب، معرفت حضوري به استلزام ميان صدق مفهوم «مشابه بودن علّت‌ها» و صدق مفهوم مشابه بودن معلول‌هاي آنها»، نشان مي‌دهد كه اصل كلّي عدم تفاوت بديهي است.

اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‌شناختي

همان‌گونه كه گفتيم، اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‌شناختي به معناي آن است كه چنانچه مجموعه احتمال‌هاي معتبري كه احتمال معرفت‌شناختي دو قضيه را نسبت به آنها مي‌سنجيم، به طور مساوي موجب احتمالي براي دو قضيه مزبور باشند، احتمال معرفت‌شناختي آن دو قضيه نسبت به آن احتمال‌هاي معتبر، مساوي است.
با توجه به تعريف مزبور، احتمال‌هاي معتبري كه احتمال معرفت‌شناختي P را نسبت به آنها مي‌سنجيم، علّت احتمال معرفت‌شناختي P هستند. بنابراين، اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‌شناختي، نمونه‌اي است از اصل كلّي عدم تفاوت، و بداهت اين اصل نيز، به جهت معرفت حضوري است به استلزام صدق مفهوم تساوي ايجاب احتمال‌هاي معتبر، با صدق مفهوم تساوي احتمال‌هاي معرفت‌شناختي. به بيان ساده، از آنجا كه احتمال معرفت‌شناختي تنها ناشي از معرفت‌هاي معتبري است كه با آن سنجيده مي‌شود، هرگاه اين معرفت‌ها نسبت به دو قضيه مساوي باشند، احتمال معرفت شناختي آن دو قضيه مساوي است.
بدين‌ترتيب، اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‌شناختي با بازگشت به معرفت حضوري، داراي ارزش يقين معرفت‌شناختي و كاملاً موجّه است، اما پارادوكس‌هاي مطرح شده در برابر اين اصل، ناسازگاري ظاهري اين اصل را با اصول حساب احتمالات نشان مي‌دهند. براي اينكه اين پارادوكس‌ها را مطرح كنيم، ابتدا به معرفي اصول حساب احتمالات مي‌پردازيم.

اصول حساب احتمالات

چنانكه گفتيم، همه ي تفاسير احتمال، اصول مشتركي را براي محاسبه ي احتمال بكار مي‌برند و همه ي اين تفاسير، درستي و موجّه بودن اين اصول را مي‌پذيرند. از آنجا كه پارادوكس‌هاي اصل عدم تفاوت براساس ناسازگاري ظاهري اين اصل با اصول حساب احتمالات پديد مي‌آيند، در اينجا تنها اشاره‌اي اجمالي به اين اصول خواهيم داشت. البته اين اصول، در منابع متفاوت، با تعداد و تقريرهاي مختلف و در بسياري موارد به صورت پراكنده آمده است. ما براي رعايت اختصار، از بحث تفصيلي درباره اختلاف منابع در معرفي اين اصول خودداري مي‌كنيم و اين اصول را براساس آنچه گيليس آورده است(12) بيان مي‌كنيم.
فرض مي كنيم ...,A1 …,B ,Aفرامتغيرهاي قضيه‌اي هستند و به جاي آنها قضاياي دلخواه قرار مي‌گيرند كه هريك، مي‌توانند داراي درجه‌اي از احتمال باشند. احتمال معرفت‌شناختي يك قضيه را كه تابعي از آن قضيه است(13) با نماد عمومي P() نشان مي‌دهيم. در صورتي‌كه به جاي نماد قضيه، از فرامتغير قضيه‌اي استفاده كنيم، احتمال آن به معناي احتمال هر قضيه‌اي است كه به جاي فرامتغير قرار گيرد. سه اصل زير، اصول حساب احتمالات ناميده مي‌شوند:
اصل اول: 0≤P(A)≤1,P(t)=1
به بيان ديگر، اين اصل مي گويد هر قضيه، احتمال واحدي ميان 0 و1 دارد و احتمال قضيه يقيناً صادق، يك است.
اصل دوم (قانون ضرب): p(←^B)=P(A│B)P (B)
اين اصل، بدين معناست كه احتمال صدق هم‌زمان دوقضيه، برابر است با حاصل ضرب احتمال صدق يكي از آنها مشروط به صدق ديگري در احتمال صدق ديگري.
اصل سوم (قانون جمع): P(A1)+…+P (An)=1
اگر به جاي A1،...، An، قضيه‌هاي مانعهًْ‌الجمع و مانعهًْ‌الخلو قرار گيرند، آنگاه با استفاده از نمادهاي معروف، مي‌توان اصل سوم را اينگونه بيان كرد:

اين اصل، بدين معناست كه مجموع احتمال همه ي قضاياي مانعهًْ‌الجمع و مانعهًْ‌الخلو (كه بيانگر همه ي حالات ممكن هستند)، برابر با يك است.

پارادوكس‌ها

گفتيم درباره اصل عدم تفاوت، دو مسئله مهم وجود دارد: اولين مسئله، توجيه معرفت‌شناختي خود اين اصل بود كه توضيح اجمالي آن گذشت. مسئله ي دوم، پارادوكس‌هايي است كه درباره اين اصل مطرح شده‌اند.
اين مسئله، عبارت است از اينكه بكارگيري اصل عدم تفاوت، گرچه ممكن است ابتدائاً موجّه به نظر برسد، ما را با تناقض‌هايي مواجه مي‌سازد. اين تناقض‌ها كه آنها را «پارادوكس‌هاي اصل عدم تفاوت» نام نهاده‌اند، در قالب مثال‌هاي مختلف عرضه شده‌اند تا بدين ‌وسيله، در برابر درستي يا كارآمدي اين اصل قرار گيرند.
از اين مثال‌ها، ممكن است چنين برداشت شود كه پذيرفتن اصل عدم تفاوت، منجر به پذيرفتن تناقض مي‌شود. اين تناقض، از پذيرفتن اين اصل همراه با اصول حساب احتمالات ناشي مي‌شود كه در هر تفسيري از احتمال پذيرفته شده است. بدين‌ترتيب، اين مثال‌ها درصددند نشان دهند كه يا اصل عدم تفاوت درست نيست، يا اصول حساب احتمالات، يا دست‌كم در اين مثال‌ها تناقض، درست و قابل قبول است، اما از آنجا كه دو شق اخير، قابل قبول نيستند، يعني نه مي‌توان از درستي اصول حساب احتمالات چشم پوشيد و نه مي‌توان تناقض را ـ هرچند در يك موردـ موجّه دانست، ناگزير بايد بپذيريم كه اصل عدم تفاوت نادرست است و اعتباري ندارد. از اين‌رو، اين مثال‌ها، به پارادوكس‌هاي اصل عدم تفاوت يا پارادوكس‌هاي نظريه ي احتمال معروف شده‌اند. البته اين مثال‌ها به آنچه بيان خواهيم كرد محدود نيستند و پارادوكس‌هاي بي‌شماري مشابه آنچه تاكنون مطرح شده نيز قابل طرح هستند. هدف ما آن است كه با اشاره به برخي از اين پارادوكس‌ها، راه‌حلّ كلّي آنها را بيابيم و نشان دهيم كه برخلاف آنچه اين پارادوكس‌ها القاء مي‌كنند، پذيرفتن اصل عدم تفاوت منجر به تناقض نمي‌شود. البته در برابر برخي از اين پارادوكس‌ها، پاسخ‌هايي نيز ارائه شده است كه هيچ‌كدام تمام به نظر نمي‌رسند. در اين مقاله، به طرح چند پارادوكس و راه‌حل‌هاي ارائه شده و نقد آنها مي‌پردازيم و سپس راه‌حل موردقبول خود را توضيح مي‌دهيم.
در ضمن، خاطرنشان مي‌كنيم كه اين پارادوكس‌ها براساس تفاسير مختلف احتمال، به صوري متفاوت قابل طرح هستند و ما در اينجا، اين پارادوكس‌ها را براساس تفسير معرفت‌شناختي احتمال به تقريري كه اشاره كرديم، طرح و بررسي مي‌كنيم.

الف: پارادوكس كتاب

فرض كنيد كتابي در جاي خاصي از كتابخانه است و ما هيچ نسخه‌اي از آن كتاب را تاكنون نديده‌ايم و بنابراين، هيچ‌چيز درباره رنگ جلد آن كتاب نمي دانيم. پس معرفت‌هاي موجّه ما درباره قرمز بودن رنگ جلد آن كتاب با معرفت‌هاي موجّه ما درباره قرمز نبودنش يكسان است و مطابق اصل عدم تفاوت، احتمال معرفت‌شناختي قرمز بودن رنگ جلد اين كتاب با احتمال معرفت‌شناختي قرمز نبودن آن برابر است و بر اين اساس، محاسبات احتمال نشان مي‌دهد كه احتمال قرمز بودن رنگ جلد كتاب مزبور، 0/5 است، اما همين امر درباره رنگ آبي، سبز و زرد و نيز ساير رنگ‌ها صادق است، يعني اگر اصل عدم تفاوت معتبر باشد، احتمال معرفت‌شناختي آبي بودن رنگ جلد اين كتاب نيز با احتمال آبي نبودنش برابر است و محاسبات احتمال، احتمال آبي بودن رنگ جلد كتاب مزبور را نيز مساوي 0/5 تعيين مي‌كند؛ و... . بنابراين، احتمال معرفت‌شناختي صدق هر يك از قضاياي ناسازگار «رنگ جلد كتاب مزبور، قرمز است»، «رنگ جلد كتاب مزبور، آبي است» «رنگ جلد كتاب مزبور، سبز است» و... برابر است با 0/5. فرض كنيم رنگ جلد كتاب مزبور هريك از n رنگ مي‌تواند باشد. از سوي ديگر، بنابر اصل سوم از اصول حساب احتمالات، مجموع همه ي احتمالات ناسازگار برابر است با 1، اما اگر n بزرگتر از 2 باشد، مجموع n تا 0/5 از 1 بيشتر است. بنابراين، اصل عدم تفاوت با اصل سوم از اصول حساب احتمالات كه مجموع احتمالات همه ي قضاياي ناسازگار را برابر با 1 مي‌داند، در تناقض خواهد بود.
همين پارادوكس را مي‌توان به گونه‌اي ديگر نيز تقرير كرد: براي تعيين احتمال صدق اين قضيه كه «رنگ جلد كتاب مزبور قرمز است»، دو راه‌حل مختلف وجود دارد: از يك سو، مي‌توان دو قضيه ي ناسازگار زير را درنظر گرفت كه معرفت ما درباره صدق آنها يكسان است: «جلد كتاب مزبور قرمز است»، «جلد كتاب مزبور قرمز نيست.» اصل عدم تفاوت مي‌گويد احتمال اين دو قضيه مساوي است و باتوجه به اصل سوم از اصول حساب احتمالات كه مجموع احتمال‌هاي دو قضيه مزبور را برابر با 1 مي‌داند، احتمال قضيه اول، برابر خواهد بود با 0/5. از سوي ديگر، مي‌توان n قضيه ناسازگار زير را درنظر گرفت كه معرفت ما درباره صدق آنها نيز يكسان است: «جلد كتاب مزبور قرمز است»، «جلد كتاب مزبور، آبي است»، و... . اصل عدم تفاوت احتمال n قضيه مزبور را نيز مساوي مي‌داند و بنابر اصل سوم حساب احتمالات، مجموع احتمالات اين قضايا نيز مساوي1 است، و بنابراين، احتمال صدق قضيه «جلد كتاب مزبور قرمز است» برابر است با 1/n. روشن است كه اگر n بزرگتر از 2 باشد، پاسخ مسئله از طريق راه‌حلّ دوم متفاوت با پاسخ از طريق راه‌حلّ اول خواهد بود، اما اصل اول از اصول حساب احتمالات مي‌گويد هر قضيه نسبت به معرفت‌هاي موجّه خاص، يك احتمال دارد. بنابراين، بكارگيري اصل عدم تفاوت در تعيين احتمال صدق قضيه ي مزبور با اصل اول از اصول حساب احتمالات، منافات دارد و منجر به تناقض مي‌شود.

ب: پارادوكس دسته‌بندي(14)

فرض كنيد صرفاً مي‌دانيم يكي و فقط يكي از سه نفر با نام‌هاي محمّد، حسن پسر علي، و حسين پسر علي مي‌آيند. احتمال آنكه محمّد بيايد چقدر است؟
اين مسئله نيز راه‌حل‌هاي مختلفي دارد: قضاياي ناسازگار را مي‌توان اين دو قضيه در نظر گرفت: «محمّد مي‌آيد»، «يكي از دو پسر علي مي‌آيد». بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال صدق اين دو قضيه با توجه به آنكه معرفت ما درباره صدق آنها يكسان است، مساوي است، و در نتيجه، احتمال آنكه محمّد بيايد برابر خواهد بود با 0/5. همچنين، مي‌توان قضاياي ناسازگار را چنين در نظر گرفت: «محمّد مي‌آيد»، «كسي كه ابتداي نامش "ح" است مي‌آيد.» بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال اين دو قضيه مساوي است و مطابق اين راه‌حل، باز هم احتمال آنكه محمّد بيايد برابر است با 0/5. ازسوي ديگر، قضاياي ناسازگار را مي‌توان سه قضيه زير در نظر گرفت: «محمّد مي‌آيد»، «حسن مي‌آيد»، «حسين مي آيد.» بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال اين سه قضيه نيز مساوي است و بنابراين، احتمال آنكه محمّد بيايد مطابق اين راه‌حل 1/3 است، اما پذيرفتن دو احتمال مختلف براي يك قضيه نسبت به معرفت‌هاي خاص، با اصل اول حساب احتمالات ناسازگار است.

ج: پارادوكس لباس

فرض كنيد مي‌دانيم محمّد دو لباس دارد، اما حسن و حسين، هر يك يك لباس دارند و نيز مي‌دانيم يا محمّد با يكي از دو لباسش مي‌آيد يا حسن با همان يك لباسش، يا حسين با همان يك لباسش؛ احتمال آنكه محمّد بيايد چقدر است؟
از يك سو، ممكن است قضاياي ناسازگار را اين سه قضيه درنظر بگيريم: «محمّد مي‌آيد»، «حسن مي‌آيد»، «حسين مي‌آيد». بدين‌ترتيب و بنابر اصل عدم تفاوت كه احتمال اين سه قضيه را مساوي مي‌داند، احتمال آنكه محمّد بيايد 1/3 است. از سوي ديگر، ممكن است قضاياي ناسازگار را اين چهار قضيه درنظر بگيريم: «محمّد با لباس اول مي‌آيد»، «محمّد با لباس دوم مي‌آيد»، «حسن مي‌آيد»، «حسين مي‌آيد». بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال اين چهار قضيه نيز مساوي است و احتمال آنكه محمّد بيايد با احتمال صدق دو قضيه از اين چهار قضيه مساوي است و بنابراين، مطابق اين راه‌حل، احتمال آنكه محمّد بيايد برابر است با 0/5.

د: پارادوكس پرتاب مكرر سكّه (15)

فرض كنيد آزمون خاصي، مانند پرتاب سكه را n بار تكرار مي‌كنيم. مي‌دانيم كه در هربار ممكن است حادثه M (مثلاً شيرآمدن سكّه) اتفاق بيفتد يا نيفتد. احتمال آنكه حادثه M در rبار از nبار آزمون اتفاق بيفتد چيست؟
از سويي، ما هيچ دليلي نداريم كه تكرار حادثه M از ميان اعداد 0 تا n كدام عدد را مي‌پذيرد و اصل عدم تفاوت مي‌گويد احتمال صدق اين قضيه كه اين عدد، عدد خاص r باشد، نسبت يك عدد به 1+n عدد، يعني n/1+1 است. مثلاً در دوبار پرتاب سكّه، سه قضيه ناسازگار داريم كه هريك ممكن است صادق باشد و معرفت ما درباره صدق آنها مساوي است: «هيچ‌بار شير نمي‌آيد»، «يك‌بار شير مي‌آيد»، «دوبار شير مي‌آيد». بنابراين، مطابق اين تفسير و با پذيرفتن اصل عدم تفاوت، احتمال آنكه يك‌بار شير بيايد، 1/3 است.
از سوي ديگر، همين مسئله را مي‌توان به گونه‌اي متفاوت تفسير كرد. مثلاً در دوبار پرتاب سكّه، قضاياي ناسازگار را مي‌ت,ان چنين در نظر گرفت: «هر دو شير مي‌آيد»، «هر دو خط مي‌آيد»، «اولي شير و دومي خط مي‌آيد»، «اولي خط و دومي شير مي‌آيد». بدين‌ترتيب، چهار قضيه ناسازگار داريم كه معرفت ما درباره صدق آنها مساوي است، اما احتمال صدق قضيه «يك‌بار شير مي‌آيد» با احتمال صدق دو قضيه از چهار قضيه مزبور برابر است. پس احتمال آنكه يك‌بار شير بيايد، مطابق اين تفسير و با پذيرفتن اصل عدم تفاوت، 0/5 است. چنانكه مي‌بينيم، بكارگيري اصل عدم تفاوت در تعيين احتمال معرفت‌شناختي در اين مسئله نيز، با اصل اول از اصول حساب احتمالات، ناسازگار است.

ه‍ : پارادوكس برتراند

دايره ي كاملي فرض كرده، وتري از اين دايره را به طور تصادفي در نظر مي‌گيريم. مطلوب است محاسبه احتمال آنكه طول اين وتر بيش از طول ضلع مثلث متساوي‌الأضلاع محاط در آن دايره باشد.
اين قضيه را که طول وتر مزبور از طول ضلع مثلث متساوي الاضلاع محاط در دايره بيشتر است، M مي‌ناميم. با استفاده از اصل عدم تفاوت، سه مقدار مختلف براي (P(M مي‌توان يافت كه اين امر چنانكه گفتيم با اصل اول از اصول حساب احتمالات در تنافي است.
ابتدا شكل(1) را درنظر مي‌گيريم:

مثلث ZXY متساوي‌الأضلاع و محاط در دايره‌اي است به مركز O و شعاع R. خط YO را امتداد مي‌دهيم تا XZ را در W قطع كند. زاويه OWZ قائمه است و XW=WZ و OW=Rsin=R/2
در شكل2، AB وتر تصادفي ما و OW خط قائم بر آن است كه دايره را در C قطع مي‌كند. AB در صورتي بزرگتر از ضلع مثلث متساوي‌الأضلاع محاط در دايره است كه OW<R/2 باشد. از آنجا كه هيچ دليلي نداريم كه W كدام نقطه OC باشد، اصل عدم تفاوت مي‌گويد به ازاي همه ي نقاط X1، X2، و... روي OC، احتمال صدق قضاياي W=X2,W=X1و... با يكديگر مساوي است؛ و در نتيجه، به ازاي همه ي اعداد Y2,Y1، و... در فاصله 0 و R، احتمال صدق قضاياي OW=Y2,OW=Y1 و... با يكديگر مساوي است و در نتيجه، فشردگي احتمال صدق قضيه OW=Y در دامنه [0,R] يكسان است. پس P(M)=P(OW<R/2)=1/2

اما در شكل3، مثلث "AA’A متساوي‌الأضلاع محاط در دايره و AB وتر تصادفي است. خطي را در A بر دايره مماس كرده زاويه ميان آن و AB را θ مي‌ناميم. AB درصورتي از ضلع مثلث محاط بزرگتر است كه θ بين 60 و 120 درجه باشد. از آنجا كه هيچ دليلي نداريم كه θ كدام مقدار بين 0 و 180 درجه باشد، اصل عدم تفاوت مي‌گويد به ازاي همه ي زاويه‌هاي ω2,ω1، و... بين 0 و 180 درجه، احتمال صدق قضاياي θ=ω2,θ=ω1 و.. با يكديگر مساوي است؛ و در نتيجه فشردگي، احتمال صدق قضيه در فاصله ي 0 و180 درجه يكسان است. پس:
P(M)=P(120>θ>60)=1/3

ما در شكل4، دايره‌اي به شعاع نصف دايره اصلي و به همان مركز رسم مي‌كنيم. وتر تصادفي AB در صورتي بزرگتر از ضلع مثلث متساوي‌الأضلاع محاط است كه وسط آن وتر (W) درون دايره كوچك قرار بگيرد. اما چون هيچ دليلي نداريم كه W از ميان نقاط دايره بزرگ، كدام نقطه خواهد بود، اصل عدم تفاوت مي‌گويد به ازاي همه ي نقاط X1، X2، و... از دايره اصلي، احتمال صدق قضاياي W=X1، W=X2، و... با يكديگر مساوي است؛ و در نتيجه، فشردگي احتمال صدق قضيه W=X در دامنه مساحت دايره بزرگ يكسان است. پس:
=1/4 (πR2/4)/π^2 = (مساحت دايره بزرگ/ مساحت دايره كوچك) P(M)=P

بدين‌ترتيب، اصل عدم تفاوت احتمال مذكور را با سه مقدار مختلف 2/1، 3/1 و 4/1 ارزيابي مي‌كند.

و: پارادوكس سركه و آب (16)

فرض كنيد مخلوطي از سركه و آب در اختيار داريم و تنها مي‌دانيم كه حداكثر نسبت يكي به ديگري 3 است. مي‌خواهيم بدانيم احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» (سركه به آب) كمتر يا مساوي2 باشد چقدر است. چنانچه براي حلّ اين مسئله، به اصل عدم تفاوت متوسل شويم، ممكن است پاسخ‌هاي مختلفي بيابيم كه به تناقض مي‌انجامد.
با توجه به آنچه درباره نسبت اجزاي مخلوط مي‌دانيم،
3 ≥ «آب/سركه» 3/1 و درنتيجه، به ازاي همه ي اعداد X1، X2، و... در دامنة [3 و 1/3] احتمال صدق قضايايX1"= «آب/سركه»"، X2"= «آب/سركه»"، و... با يكديگر مساوي است. بدين‌ترتيب، بنابر اصل عدم تفاوت، فشردگي احتمال صدق قضيه X"= «آب/سركه»" در فاصله ی مزبور يكسان است. بدين‌ترتيب، احتمال آنكه اين نسبت، از كلّ اين فاصله به فاصله كمتر از 2 محدود باشد، از تقسيم اين محدوده به كلّ فاصلة مزبور بدست مي‌آيد:
8/5= (3/1-3)(3/1-2)=(2≥ «آب/سركه»)P
ازسوي ديگر، مي‌دانيم مطلوب مسئله، يعني تعيين احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» كمتر يا مساوي2 باشد، دقيقاً به معناي تعيين اين احتال است كه نسبت «سركه/آب» بيشتر يا مساوي 2/1 باشد. باتوجه به معرفت‌هايي كه درباره همين مخلوط داريم مي‌دانيم كه
16/15= (3/1-3)(2/1-3)=(2/1≤ «آب/سركه»)P
از آنجا كه مي‌دانيم مفاد جملات "2 ≥ «آب/سركه»" و 2/1≤ «سركه/آب»" يكي است، و به عبارت ديگر، آنها يك قضيه هستند، نتيجه مي‌گيريم كه اصل عدم تفاوت موجب مي‌شود كه يك قضيه نسبت به معرفت‌هاي موجّه واحد داراي احتمال‌هاي معرفت‌شناختي مختلف باشد و اين امر با اصل اول از اصول حساب احتمالات كه هر قضيه را با توجه به معرفت‌هاي موجّه خاص، تنها داراي يك احتمال در فاصله ی 0 و1 مي‌داند، منافات دارد.
چنان‌ كه گفتيم، پارادوكس‌هاي مربوط به اصل عدم تفاوت، بي‌شمارند و پارادوكس‌هاي بي‌شماري مشابه آنها مي‌توان ايجاد كرد. به دو نمونه ديگر از اين پارادوكس‌ها كه آنها را براساس پارادوكس سركه و آب ساخته‌ايم، توجه كنيد.

ز: پارادوكس تعيين عدد

عددي حقيقي بين2 و5 انتخاب شده است. احتمال آنكه اين عدد بين3 و4 باشد، چقدر است؟
از آنجا كه معرفت ما درباره ي وقوع اين عدد كه آن را I مي‌ناميم، در هيچ محدوده‌اي در فاصله مزبو بر معرفت ما درباره ی وقوع آن در محدوده‌اي ديگر ترجيح ندارد، به موجب اصل عدم تفاوت، به ازاي همه ي اعداد حقيقي X1، X2، و... بين2 و5 احتمال صدق قضاياي I=X1، I=X2، و... با يكديگر مساوي است؛ يعني قضيه I=X در فاصله مزبور فشردگي احتمال يكساني دارد. بنابراين، احتمال وقوع عدد مورد نظر در محدوده اعداد3 و4، برابر خواهد بود با تقسيم اين محدوده بر كلّ فاصله اعداد2و 5 كه عبارت است از 3/1.
از سوي ديگر، مي‌توان همين مسئله را چنين تفسير كرد كه عكس عدد مزبور در فاصله 1/5 و 1/2 است و مطلوب است احتمال آنكه عكس اين عدد در فاصله 1/4 و 1/3 باشد. اما به دليل آنكه معرفت ما درباره وقوع عكس عدد مزبور در هر محدوده‌اي در فاصله 1/5 و1/2 نيز يكسان است، اصل عدم تفاوت، فشردگي يكساني را براي احتمال صدق قضيه X/1=I/1 در همان دامنه تعيين مي‌كند و در نتيجه، احتمال مزبور برابر خواهد بود با 15/18 كه با پاسخ نخست، متفاوت و در نتيجه با اصل اول از اصول حساب احتمالات، در تناقض است.

ح: پارادوكس نسبت سرعت

سرعت متحرك اول بين1 تا3 m/s است سرعت متحرك دوم بين2 تا4 m/s. احتمال آنكه نسبت سرعت متحرك دوم به سرعت متحرك اول، بين1 و2 باشد، چقدر است؟
در اين مسئله، نسبت مزبور مي‌تواند از 2/3 تغيير كند، اما با توجه به معرفت ما و با پذيرفتن اصل عدم تفاوت، فشردگي احتمال صدق قضيه‌اي كه اين نسبت را عدد معيني مي‌داند، در دامن اعداد بين2/3 تا 4 يكسان است، و در نتيجه، احتمال مزبور برابر است با 0/3.
از سوي ديگر، مي‌توان همين مسئله را چنين تفسير كرد كه نسبت سرعت متحرك اول به سرعت متحرك دوم در فاصله 1/4 و 1/5 تغيير مي‌كند و مطلوب است احتمال اينكه اين نسبت ميان0/5 و1 باشد، اما اصل عدم تفاوت، با تعيين فشردگي احتمال يكسان براي صدق قضيه‌اي كه عكس اين نسبت را عدد معيني در اين فاصله مي‌داند، اين احتمال را برابر با 0/4 تعيين مي‌كند، و اين يعني تعيين دو مقدار متفاوت براي احتمال يك قضيه نسبت به معرفت‌هاي يكسان، كه با اصل اول حساب احتمالات ناسازگار است.

پاسخ مدافعان به پارادوكس‌ها

برخي مدافعان اصل عدم تفاوت، و كساني‌كه از نظريه كلاسيك يا منطقي احتمال دفاع مي‌كنند، كوشيده‌اند به برخي از اين پارادوكس‌ها پاسخ گويند. گرچه در اينجا درصدد نقل و نقد همه ي اين پاسخ‌ها نيستيم، تنها براي نمونه به برخي از آنها اشاره مي‌كنيم. قابل ذكر است كه هيچ‌يك از اين پاسخ‌ها به فرض درست بودن، نمي‌تواند همه ي اين پارادوكس‌ها را حل كند. همچنين، بايد متذكر شويم كه اصل عدم تفاوت در ديدگاه ديگران گرچه معنايي نزديك به آنچه گفتيم دارد، دقيقاً با آن يكسان نيست و بنابراين، در پاسخ‌هاي ارائه شده، عموماً اين اصل بر روي قضايا اعمال نشده است.

الف: پارادوكس‌هاي اول تا چهارم

كينس، معتقد است اصل عدم تفاوت در صورتي جاري است كه بديل‌هاي ممكن، تعدادشان محدود بوده، خودشان تقسيم‌ناپذير باشند.(17) بنابر ديدگاه كينس، در پارادوكس كتاب، از آنجا كه «غير قرمز»، به رنگ‌هاي ديگري نظير آبي، سبز، زرد و... قابل تقسيم است، اصل عدم تفاوت در «قرمز و غيرقرمز» جاري نيست، و همين‌طور در «آبي و غيرآبي»، و... . اگر تعداد رنگ‌هاي جلد كتاب محدود باشد، بايد «غير قرمز» يا «غير آبي» به بقيه رنگ‌ها تقسيم شود و سپس اصل مزبور ميان همه آن رنگ‌ها جاري شود. در نتيجه، پاسخ درست برابر خواهد بود با عدد يك تقسيم بر تعداد رنگ‌هاي حاصل پس از تقسيم مزبور.
بر اين اساس، بايد گفت در پارادوكس دسته‌بندي نيز از آنجا كه «پسر علي» و نيز «اسمي كه با "ح" شروع مي‌شود» به «حسن» و «حسين» قابل تقسيم هستند، بايد اين تقسيم صورت گيرد و سپس اصل عدم تفاوت درباره سه بديل حاصل، جاري گردد. در نتيجه، پاسخ درست مسئله، تنها 1/3خواهد بود.
با پذيرفتن شرط كينس براي اجراي اصل عدم تفاوت، به نظر مي‌رسد پاسخ مسئله لباس، 1/4 خواهد بود؛ زيرا «آمدن محمّد» به دو صورت «آمدن وي با لباس اول» و «آمدن وي با لباس دوم» قابل تقسيم است؛ پاسخي كه به نظر نادرست مي‌آيد.
همچنين، در پارادوكس پرتاب مكرر سكّه، از طرفي ممكن است بگوييم «يك شير»، به دو حالت مختلف «اولي شير، دومي خط» و «اولي خط، دومي شير» قابل تقسيم است، و بنابراين، اصل عدم تفاوت تنها پس از اين تقسيم قابل اجراست و در نتيجه در اين مسئله، پاسخ 0/5 درست است؛ اما ازسوي ديگر، ممكن است بگوييم تعداد شير آمدن يا صفر است، يا يك، يا دو، و اين تعداد به چيز ديگري قابل تقسيم نيست، و بنابراين، پاسخ درست 1/3 است. بدين‌ترتيب، معلوم نيست تقسيم‌پذيري و تقسيم‌ناپذيري در اين مثال چگونه بايد تشخيص داده شود و با وجود اين ابهام، پارادوكس در اين مسئله حل نخواهد شد.
به علاوه، كينس خود كوشيده است از اصل عدم تفاوت در مقادير پيوسته كه تعداد حالت‌هايشان نامحدود است نيز استفاده كند، در حاليكه شرط اجراي اين اصل را محدود بودن تعداد حالت‌ها قرار داده است. همچنين، اين پاسخ به فرض درستي، نمي‌تواند ساير پارادوكس‌ها را حل كند؛ علاوه بر آنكه وي دليلي براي اثبات درستي شرط تقسيم‌ناپذيري در اجراي اصل عدم تفاوت نيز ارائه نكرده است.
شهيد صدر نيز در يكي از دوپاسخ خود به اين نوع پارادوكس‌ها، شبيه اين راه‌حل را ارائه نموده، اما درباره مواردي كه در آنها بايد تقسيم صورت گيرد، تفصيل داده است.(18) وي در اين راه‌حل پيشنهاد مي‌كند كه:
1. اگر يك طرف قابل تقسيم است و تقسيم مشابه را مي‌توان در ساير اطراف اجرا كرد، يا بايد آن را در اطراف ديگر نيز اجرا كرد يا در هيچ طرف اجرا نكرد.
2. اگر يكي از اطراف قابل تقسيم است و تقسيم مشابه در ساير اطراف ممكن نيست، بايد تقسيم را در طرفي كه قابل تقسيم است اجرا كرد.
براساس ديدگاه وي، پارادوكس كتاب را بدين ‌صورت مي‌توان حل كرد: از آنجا كه «غير قرمز» به رنگ‌هاي ديگر به جز قرمز قابل تقسيم است و نيز «غيرآبي» به رنگ‌هاي ديگر به جز آبي، و...، ابتدا بايد تقسيم‌هاي مزبور صورت گيرد و در نتيجه، مسئله يك پاسخ درست دارد و آن عبارت است از تقسيم يك بر مجموع تعداد رنگ‌هاي حاصل پس از تقسيم‌هاي مزبور.
شهيد صدر بر همين اساس، پارادوكس دسته‌بندي را پاسخ مي‌گويد. در اين پارادوكس، براساس شرط دوم در راه‌حلّي كه بيان شد، «پسر علي» قابل تقسيم به «حسن» و «حسين» است و نيز «اسمي كه با "ح" شروع مي‌شود» قابل تقسيم است به «حسن» و «حسين». پس اين مسئله نيز يك راه‌حلّ درست دارد و آن 1/3 است.
همچنين، ايشان براساس همين راه‌حل، پارادوكس لباس را پاسخ مي‌دهد. همان‌گونه كه «آمدن بالفعل محمّد» به دو صورت قابل تقسيم است، «آمدن بالقوّه او» نيز به دوصورت قابل تقسيم است و در نتيجه، هريك از آمدن حسن و حسين نيز به تقسيم مشابه، قابل تقسيم‌اند و بنابر شرط اول راه‌حل، يا بايد همه ي اطراف را تقسيم كرد يا هيچ‌يك را: (آمدن محمّد با لباس اول، آمدن محمّد با لباس دوم، آمدن حسن با اين قضيه شرطيه كه اگر محمّد مي‌آمد با لباس اول مي‌آمد، آمدن حسين با اين قضيه شرطيه كه اگر محمّد مي‌آمد با لباس اول مي‌آمد، آمدن حسن با اين قضيه شرطيه كه اگر محمّد مي‌آمد با لباس دوم مي‌آمد، آمدن حسين با اين قضيه شرطيه كه اگر محمّد مي‌آمد با لباس دوم مي‌آمد) يا (آمدن محمّد، آمدن حسن، آمدن حسين). بنابراين، پاسخ درست اين مسئله نيز تنها 1/3 است.
اما اولاً در پارادوكس لباس، تقسيم «آمدن حسن» و «آمدن حسين» درست به نظر نمي‌رسد؛ چه اگر اينگونه تقسيم را بپذيريم، در پارادوكس كتاب نيز ممكن است «قرمز» را بدين‌صورت تقسيم كنيم: «قرمز با اين قضيه شرطيه كه اگر غيرقرمز بود، آبي بود»، «قرمز با اين قضيه شرطيه كه اگر غيرقرمز بود، سبز بود»، و... . روشن است كه نتيجه اين تقسيمات فرضي اين است كه احتمال قرمز بودن 0/5 باشد كه با پاسخ اول متفاوت است. ثانياً، چنانكه گفتيم، براين اساس، پارادوكس پرتاب مكرر سكّه، پاسخ روشني نمي‌يابد؛ و مهمتر آنكه دليلي بر درستي اين شرايط ذكر نشده است.
شهيد صدر براي حلّ اينگونه پارادوكس‌ها، راه‌حلّ ديگري نيز ارائه كرده است.(19) وي مي‌گويد: اگر تقسيم يكي از اطراف ممكن باشد و اطراف ديگر قابل تقسيم مشابه نباشند، چنانچه اين اقسام اصلي باشند، هر قسم عضوي از مجموعه اطراف است، و اگر فرعي باشند، تقسيم معتبر نيست، و كلّ آن طرف يك عضو از مجموعه اطراف است. اما تقسيم اصلي، از ديدگاه ايشان، تقسيمي است كه اقسام، حالت‌هايي هستند كه در تقرير وجود و تحقق يافتن آن طرفي كه تقسيم مي‌شود، تأثير دارند و تقسيم فرعي، تقسيمي است كه اقسام، حالت‌هايي هستند كه متفرع بر وجود آن طرف هستند و در وجود و تحقق يافتن آن، تأثيري ندارند.
با تطبيق اين شرايط در پارادوكس كتاب، بايد گفت تقسيم «غير قرمز» به رنگ‌هاي ديگر اصلي است، چون كتاب بدان رنگ‌ها تحقق مي‌يابد از آنجا كه «قرمز» به آنها تقسيم نمي‌شود، بايد تقسيم مزبور صورت گيرد. بنابراين، تنها پاسخ درست همان است كه از تقسيم عدد يك بر تعداد رنگ‌هاي حاصل پس از تقسيم بدست مي‌آيد. در پارادوكس دسته‌بندي نيز، هريك از حسن و حسين، انگيزه خاص خود را براي آمدن دارند و هر يك در تحقق آمدن «پسر علي»، تأثير دارند. پس اين تقسيم اصلي است و چون اين تقسيم در طرف ديگر مشابه ندارد، لزوماً بايد تقسيم صورت گيرد و بنابراين، تنها پاسخ 1/3 درست است. اما در پارادوكس لباس، لباس‌هاي محمّد در تحقق آمدن وي تأثيري ندارند. پس اين تقسيم فرعي است و محمّد يكي از اطراف است و تنها پاسخ 1/3 درست است. بر همين اساس، ممكن است در پارادوكس پرتاب مكرر سكّه بگوييم چون «يك شير» قابل تقسيم است، به «اولي شير، دومي خط» و «اولي خط، دومي شير» و اين تقسيم در تحقق اينكه كدام وجه سكّه رو مي‌آيد مؤثر است، اين تقسيم اصلي است و بايد صورت گيرد و بنابراين، تنها پاسخ 0/5 براي اين مسئله درست است. شهيد صدر شرط مذكور در اين راه‌حل را بديهي در نظر گرفته است.
اما اين پاسخ نيز قابل قبول نيست؛ زيرا، علاوه برآنكه نمي‌توان بدون ارجاع اين شرط به علم حضوري، بداهت معرفت‌شناختي آن را پذيرفت، با مثال‌هايي مي‌توان نشان داد كه اين شرط درست نيست: به دو مثال زير توجه كنيد:
مثال اول: فرض كنيد مي‌دانيم آنچه از دور مي‌بينيم يا انسان است يا اسب يا درخت و هيچ چيزي كه موجب ترجيح يكي از آنها بر ديگري باشد نمي‌دانيم؛ اما مي‌دانيم اگر آنچه مي‌بينيم انسان باشد، يا محمّد است يا علي، روشن است كه احتمال آنچه مي‌بينيم انسان باشد، 1/3 است، با اينكه محمّد يا علي بودن در تحقق و وجود انسان مؤثرند و مطابق شرط مزبور، بايد اين تقسيم صورت گيرد، و در اين ‌صورت، احتمال آنكه آنچه مي‌بينيم انسان باشد، 0/5 خواهد بود.
مثال دوم: در حاليكه مي‌دانيم قاتل «الف»، يكي از دو فرد «ب» و «ج» است، هيچ‌چيز در اين‌باره نمي‌دانيم جز اينكه دونفري از سه‌نفري كه مدعي حضور در صحنه قتل هستند و معرفت ما درباره ي صادق بودن آنها كاملاً مساوي است، «ب» را و يك نفر «ج» را قاتل معرفي مي‌كند. با اينكه شهادت اين سه نفر در قاتل بودن «ب» يا «ج» و تحقق قتل بدست آنها تأثيري ندارد، روشن است كه بايد «قاتل بودن "ب" را به قاتل بودن "ب" به شهادت نفر اول» و «قاتل بودن "ب" به شهادت نفر دوم» تقسيم كرد، و براين اساس، احتمال قاتل بودن «ب» به واسطه ي شهادت دو نفر از سه نفر، برابر است با2/3.

ب: پارادوكس برتراند

جينس درباره پارادكس برتراند، مقاله‌اي نگاشت(20) و گفت تنها راه‌حل اول و پاسخ 1/2 براي آن درست است. دليل وي اين بود كه راه‌حلّ مسئله بايد اصول يكنواختي(21) را تأمين كند، و يكنواختي از جهات مختلف، مقتضي آن است كه تنها راه‌حلّ اول را معتبر بدانيم. وي بر اين اساس، توزيع احتمال مطلق طول‌هاي وتر دايره را محاسبه كرد، سپس وي و دكتر چارلز تاير (Charles E. Tyler)، آزموني ترتيب دادند كه در آن پوشال‌هاي جارو از جايگاه خاصي روي دايره‌اي به قطر 5 اينچ كه در كف ترسيم شده بود، پرتاب مي‌شدند. نتايج 129 پرتاب، محاسبه توزيع وي را تا حدود زيادي تأييد كرد.
اما آيا اصل يكنواختي اگر قابل قبول باشد، مي‌تواند همه ي پارادوكس‌ها را حل كند؟ خود جينس معتقد است(22) در پارادوكس سركه و آب، اين اصل ترجيحي براي هيچ‌يك از دو نسبت «آب/سركه» و «سركه/آب» قائل نمي‌شود و بنابراين، اين پارادوكس را نمي‌توان از اين راه، حل كرد.

ج: پارادوكس سركه و آب

اشلسينگر، از جانب لاپلاسي‌ها كه مدافع اصل عدم تفاوت‌اند، پاسخ‌هاي متفاوت مسئله سركه و آب را نشانه آن مي‌گيرد كه اطلاعات ما در فاصل نسبت‌هاي قابل فرض براي «آب/سركه» و نيز «سركه/آب» يكسان نيست و نتيجه مي‌گيرد كه براي پاسخ به اين مسئله، به اطلاعات بيشتري نياز است.(23)
ممكن است سخن وي را بدين ‌معنا بگيريم كه صورت مسئله، گوياي آن نيست كه اطلاعات ما در فاصله تغييرات كدام نسبت يكسان است و براي اجراي اصل عدم تفاوت، به اطلاعاتي در اين‌ باره نيازمنديم، اما اين پرسش در سخن وي بي‌پاسخ مي‌ماند كه آيا با اطلاعات موجود، نمي‌توان هيچ مقداري براي احتمال مورد سؤال يافت؟ به عبارت ديگر، آيا قضيه «نسبت "آب/سركه" كمتر يا مساوي 2 است»، باتوجه به معرفت‌هاي موجود، هيچ مقداري از احتمال صدق ندارد؟
ميكلسون، اخيراً در مقاله‌اي كوشيده است به اين پارادوكس پاسخ گويد.(24) وي پيشنهاد مي‌كند به جاي آنكه نسبت سركه و آب به يكديگر را بسنجيم، مقدار آنها را در مخلوط در نظر بگيريم. با توجه به اينكه مقدار هركدام از سركه و آب در مخلوط بين 1/4 و 3/4 مخلوط است، مطلوب مسئله برابر است با تعيين احتمال آنكه نسبت سركه به مخلوط كمتر يا مساوي با 2/3 باشد يا نسبت آب به مخلوط بيشتر يا مساوي با 1/3 باشد كه در نتيجه، احتمال مزبور برابر خواهد بود با5/6.
وي اين راه‌حل را «روش تقارن» مي‌نامد و معتقد است در اين روش، اصل عدم تفاوت به جاي نسب بر روي مقادير اجرا مي‌شود و دلايل زير را براي دفاع از اين پاسخ ذكر مي‌كند:
1. پاسخي كه از اين راه‌حل بدست مي‌آيد، به نحوه ي طرح سؤال بستگي ندارد، در حاليكه پاسخ‌هاي دو راه‌حلي كه منجر به پارادوكس مي‌شوند، بستگي به نحوه طرح سؤال دارند.
2. دو راه‌حلّي كه منجر به پارادوكس مي‌شوند، برخلاف راه‌حلّ روش تقارن، نيازمند پيش‌فرض‌هايي غيرموجّه هستند. براي مثال، راه‌حل اول مبتني بر اين پيش‌فرض است كه احتمال آنكه سركه از آب بيشتر باشد، بيشتر است، و راه‌حل دوم بر اين پيش‌فرض مبتني است كه احتمال آنكه آب از سركه بيشتر باشد، بيشتر است. نيز اگر محدوده نسبت سركه به آب (يا برعكس) را به جاي3 و 1/3 به صفر و بي‌نهايت افزايش دهيم به اين نتيجه نامعقول مي‌رسيم كه مخلوط تنها حاوي سركه (يا تنها حاوي آب) است! (زيرا، در اين فرض كه بدانيم نسبت يكي به ديگري از صفر تا بي‌نهايت است، دامنه ي تغيير نسبت‌ها از عدد صفر تا بي‌نهايت است و بنابر اصل عدم تفاوت در نسبت سركه به آب، كه احتمال وقوع هريك از اين نسبت‌ها را مساوي مي‌داند، احتمال آنكه اين نسبت، عدد بسيار بزرگي باشد، بسيار بيشتر است و بنابراين، بايد بپذيريم كه مخلوط تنها حاوي سركه است، و چنانچه اين اصل را در نسبت آب به سركه جاري كنيم، بايد نتيجه بگيريم كه مخلوط تنها حاوي آب است).
3. به جاي اين راه‌حل، راه‌حلّ ديگري نيز مي‌توان درنظر گرفت و آن استفاده مجدد از اصل عدم تفاوت در نتايج حاصل از دو راه ‌حل منجر به پارادوكس است، اما بايد توجه داشت كه اگر بخواهيم اين راه‌حل را بكار ببريم، بايد مقدار انحراف‌هاي توزيع احتمال را هم متعادل كنيم و از آنجا كه تعداد و نوع انحراف‌هاي قابل فرض، بي‌نهايت است، بايد معدل همه ي آنها را محاسبه كنيم كه اگر چنين كاري انجام شود، پاسخ همان خواهد بود كه با روش تقارن بدست مي‌آيد، اما روش تقارن عملي‌تر است.
4. علاوه بر دلايل «سطحي» فوق، دليل «عميقي» كه موجب ترجيح روش تقارن مي‌شود، اين است كه در اين روش، بر «واقعيت‌هاي اوليه» براي اجراي اصل عدم تفاوت تكيه شده است، نه بر «واقعيت‌هاي استنتاجي»؛ زيرا، آنچه مستقيماً از واقعيت بدست مي‌آيد، مقدار خاص سركه و‌ آب در تركيب است؛ اما نسبت خاص ميان اين دو مقدار، واقعيتي استنتاجي است كه برحسب آن مقادير تعيين مي‌شود. بدين‌ترتيب، اين راه‌حل، شكلي عادي و متعادل از واقع‌گرايي است.
اما در پاسخ ميكلسون، مواردي قابل مناقشه به نظر مي‌رسد:
1. در روش وي (روش تقارن) نيز اصل عدم تفاوت بر روي نسب جاري شده است، نه مقادير. اين نسب يا نسبت «مخلوط/سركه» است يا نسب «مخلوط/آب».
2. پاسخ وي به ظاهر صورت مسئله ناسازگار است؛ زيرا ظاهر صورت مسئله اين است كه معرفت ما درباره نحوه تغييرات نسب «آب/سركه» يا بالعكس يكسان است. اما وي اين تغييرات را در نسب ديگري يكسان انگاشته است كه لازمه ي آن، هم يكسان نبودن تغييرات نسب «آب/سركه» است، هم يكسان نبودن تغييرات «سركه/آب»، و چنانكه در پاسخ خود به اين پارادوكس نشان خواهيم داد، پاسخ وي با پاسخ مبتني بر يكسان كردن تغييرات نسبت‌هاي مزبور نسبت به هم (يعني اجراي اصل عدم تفاوت بر روي تغييرات هم‌زمان دو نسبت مزبور) نيز هماهنگ نيست. بنابراين، نه تنها پاسخ وي نيز به نحوه طرح سؤال بستگي دارد، بلكه با ظاهر سؤال نيز ناسازگار است. به علاوه، به فرض آنكه اين پاسخ به نحوه طرح سؤال بستگي نداشته باشد، آيا ممكن نيست پاسخ يا پاسخ‌هاي ديگري براي مسئله يافت كه آنها نيز به نحوه طرح سؤال بستگي نداشته باشند؟
3. گرچه دو راه‌حلي كه منجر به پارادوكس مي‌شوند مبتني بر برخي پيش‌فرض‌هايي هستند كه ممكن است بنابر ظاهر، صورت مسئله درصدد بيان آنها نباشد، و بنابراين، اين پيش‌فرض‌ها غيرموجّه باشند، روش تقارن نيز مبتني بر اين پيش‌فرض به ظاهر غيرموجّه است كه درباره نسبت هريك از سركه و آب به مخلوط در تمام فاصله بين 1/4 و 3/4 معرفت ما كاملاً يكسان است.
4. در صورتي‌كه مفروضات مسئله اين امكان را بدهد كه از اصل عدم تفاوت در نسبت «آب/سركه» استفاده كنيم، حتي با توسعه ي دامنه تغييرات اين نسبت به صفر و بي‌نهايت، نتيجه‌اي نامعقول بدست نمي‌آيد. فرض كنيد ابتدا عددي از بين اعداد صفر تا بي‌نهايت را به طور تصادفي انتخاب مي‌كنيم و عدد مزبور را n مي‌ناميم، آنگاه به نسبت n و1، سركه را با آب مخلوط مي‌كنيم. در اين‌صورت، مي‌پذيريم كه احتمال آنكه n عدد بسيار بزرگي باشد، بيشتر است و بنابراين، احتمال آنكه تقريباً تمامي مخلوط حاوي سركه باشد، بيشتر است.
5. چنانكه در پاسخ خود به اين پارادوكس توضيح خواهيم داد، با فرض آنكه صورت مسئله به گونه‌اي باشد كه از آن بتوان يكسان بودن تغييرات هم‌زمان نسبت‌هاي «آب/سركه» و برعكس را فهميد، متعادل كردن نحوه توزيع اين تغييرات، نيازمند فرض گرفتن بي‌نهايت نحوه توزيع تغييرات براي هريك نيست، و پاسخ حاصل نيز با پاسخ ميكلسون متفاوت است.
6. اشكال ديگري كه در اين پاسخ وجود دارد، مربوط به دليل عميقي است كه وي بر درستي اين راه‌حل ارائه كرده است. در اين راه‌حل، مقصود از واقعيت‌هاي اوليه روشن نيست. ميكلسون در ابتداي مقاله خود تأكيد مي‌كند كه احتمال مورد بحث در اين مسئله، احتمال معرفتي است، نه احتمال عيني. بدين‌ترتيب، مناسب بود خود وي از اين نكته نتيجه بگيرد كه واقعيت‌هاي اوليه‌اي كه احتمال بايد بر مبناي آنها محاسبه شود، بستگي به معرفت‌هاي مستقيمي دارند كه از صورت مسئله برداشت مي‌شوند؛ زيرا آنچه ما در اين مسئله با آن مواجه هستيم، معرفت‌هايي مفروض است، نه واقعيتي عيني. تعبيرهاي «واقعيت اوليه» و «واقعيت استنتاجي» در راه‌حلّ ميكلسون، شبيه به تعابير «تقسيم اصلي» و «تقسيم فرعي» در راه‌حلّ شهيد صدر است كه بررسي آن گذشت.

حلّ پارادوكس‌ها

الف: راه‌حلّ پارادوكس كتاب

در پارادوكس كتاب، ظاهراً حالتي فرض شده است كه ما هيچ معرفت ديگري درباره رنگ جلد كتاب و نوع انتخاب آن نداريم و نيز گويا فرض شده است كه مي‌دانيم جلد كتاب تنها به يك رنگ است، و مثلاً چنين نيست كه بخشي به رنگ آبي و بخشي به رنگ قرمز باشد. در اين‌صورت، ممكن است پرسش مسئله، پرسشي باشد كه هركس از خود مي‌پرسد. براي مثال، من با توجه به مفاهيمي كه از رنگ‌ها در ذهن دارم و انواع رنگي كه براي استفاده در جلد كتاب ممكن مي‌دانم، از خود مي‌پرسم: «احتمال آنكه رنگ جلد اين كتاب قرمز باشد چقدر است.» در اين حالت، به تعداد افرادي كه پرسش برايشان مطرح است، سؤال وجود دارد و ممكن است به همان تعداد نيز جواب‌هاي متفاوت داشته باشيم. راه‌ يافتن پاسخ در هرمورد اين است كه پرسش‌كننده به مفاهيمي كه از رنگ‌ها مدّنظر دارد و انواع رنگي كه براي استفاده در جلد كتاب ممكن مي‌داند، مراجعه مي‌كند و براساس آن، مسئله خود را حل كند. براي مثال، ممكن است مقصود من از «قرمز»، طيف پيوسته‌اي از رنگ‌ها باشد كه در طيف همه رنگ‌ها، پس از صورتي پررنگ و پيش از قهوه‌اي كم‌رنگ قرار مي‌گيرد. نيز تعداد انواع رنگ‌هايي را كه ممكن است براي جلد كتاب استفاده شوند، با توجه به مفاهيمي كه از رنگ‌ها مدّنظر دارم، 10نوع بدانم. در اين ‌حالت، احتمال آنكه رنگ جلد كتاب به يكي از اين انواع باشد، برابر است با 0/1؛ زيرا اصل عدم تفاوت، تنها درباره ي قضايايي جاري است كه رنگ جلد كتاب را به يكي از انواع 10 گانه ي مزبور مي‌دانند، اما اگر مقصود من از هر رنگ، دقيقاً يك مقطع از طيف پيوسته رنگ‌ها باشد، احتمال آنكه رنگ جلد كتاب مزبور يكي از اين رنگ‌ها باشد، عبارت است از 1/00 كه بي‌نهايت به صفر نزديك است، و البته دقيقاً مساوي صفر نيست؛ زيرا در طيف پيوسته رنگ‌ها، بي‌نهايت مقطع مي‌توان فرض كرد كه رنگ جلد كتاب، دقيقاً يكي از آنهاست و معرفت من درباره ي اينكه رنگ جلد كتاب مزبور كدام‌يك از آنهاست، كاملاً مساوي است.
اما چنانچه مقصود از پرسش مسئله، پرسشي باشد كه طراح مسئله از ما مي‌پرسد، در اين‌صورت، بايد با استفاده از استظهارات كلامي، مقصود از «قرمز» و تعداد انواع رنگ را براساس تلقّي عرفي از انواع رنگ تعيين كرد و سپس به مسئله پاسخ داد. اين كار، گرچه واقعاً بسيار دشوار است، نه اصولاً به لحاظ عقلي غيرممكن است، و نه منجر به پارادوكس مي‌شود.
چنانكه گفتيم، پاسخ‌هاي مزبور، مطابق ظاهر صورت مسئله، بر اين اساس است كه درباره ي نحوه انتخاب رنگ براي جلد كتاب، هيچ معرفت ديگري نداريم، اما اگر مفروضات ديگري به اين مسئله بيافزاييم، پاسخ متفاوت خواهد بود. براي مثال، فرض كنيد مي‌دانيم رنگ جلد كتاب، بدين‌ وسيله تعيين مي‌شود كه با پرتاب يك سكّه، چنانچه شير بيايد رنگ آن را قرمز و در صورتي‌كه خط بيايد رنگ آن را رنگي غير از قرمز انتخاب مي‌كنند. روشن است كه در صورت اخير، احتمال آنكه رنگ جلد كتاب مزبور قرمز باشد، برابر است با آنكه رنگ آن غيرقرمز باشد و هريك برابر است با 0/5؛ زيرا در اين‌صورت، معرفت‌هاي ما درباره صدق هريك از اين دو قضيه، كاملاً با ديگري مساوي است. نيز مي‌توان براي نحوه ی انتخاب رنگ جلد كتاب يا مقصود از «رنگ» يا تعداد انواع رنگ، مفروضات ديگري در نظر گرفت، اما بايد توجه داشت كه مفروضاتي مانند آنچه گفتيم با يكديگر ناسازگارند و ممكن نيست با هم صادق باشند و بنابراين، ممكن نيست اصل عدم تفاوت هم درباره 10قضيه جاري شود، هم درباره بي‌نهايت قضيه، و هم دوقضيه، به طوري‌كه در هرحال، يكي از قضايا اين باشد كه «رنگ جلد كتاب مزبور قرمز است». بنابراين، مسئله در هر فرض تنها يك پاسخ درست دارد.
از حلّ اين پارادوكس، نتيجه مي‌گيريم كه يك مسئله، در صورتي يك مسئله است، كه سؤال آن كاملاً روشن باشد؛ زيرا ابهام در سؤال، موجب ترديد ميان چند سؤال مي‌شود، اما آيا براي آنكه يك مسئله، يك مسئله باشد، لازم است معرفت‌هاي ما درباره آن سؤال نيز كاملاً روشن باشد؟ در اين‌باره، در حلّ پارادوكس‌هاي بعد نكاتي خواهيم يافت.

ب: راه‌حلّ پارادوكس دسته‌بندي

در پارادوكس دسته‌بندي، چنانكه از صورت مسئله ظاهر است، معرفت ما درباره آمدن هر يک از سه نفر با معرفت‌هاي ما درباره آمدن هريك از دو نفر ديگر، مساوي است، و بنابراين، اصل عدم تفاوت تنها درباره سه قضيه كه هريك، از آمدن يكي از اين سه نفر خبر مي‌دهند جاري است. البته، ممكن است معرفت‌هاي ديگري در اين‌باره داشته باشيم كه به تبع، پاسخ مسئله را تغيير دهند. براي مثال، فرض كنيد با معرفت معتبري مي‌دانيم كه يا محمّد مي‌آيد يا علي و نيز با معرفت معتبري مي‌دانيم كه اگر علي بيايد يكي از دو پسر خود ـ حسين و حسين ـ را با خود مي‌آورد. در اين‌صورت نيز، ما نمي‌دانيم كدام‌يك از محمّد، حسن و حسين مي‌آيند؛ اما معرفت ما درباره آمدن اين سه نفر مساوي نيست، و باتوجه به معرفت‌هاي مفروض، تنها پاسخ درست براي احتمال آمدن محمّد، 0/5 است. نيز ممكن است بدانيم كه اين سه نفر براي آمدن به اين صورت عمل مي‌كنند: با پرتاب سكّه، اگر شير بيايد كسي مي‌آيد كه حرف اول نامش «م» باشد، و اگر خط بيايد كسي مي‌آيد كه حرف اول نامش «ح» باشد. اما درباره اينكه اگر خط بيايد چگونه تعيين مي‌كنند كه حسن بيايد يا حسين، هيچ نمي‌دانيم، يا مي‌دانيم كه بار ديگر با پرتاب سكّه اگر شير بيايد، حسن مي‌آيد و اگر خط بيايد، حسين. در اين‌صورت نيز پاسخ مسئله، 0/5 است.

ج: راه‌حلّ پارادوكس لباس

پاسخ پارادوكس لباس نيز شبيه به پاسخ پارادوكس دسته‌بندي است. ظاهر صورت مسئله اين است كه معرفت ما درباره آمدن هريك از محمّد، حسن و حسين با معرفت‌هاي ما درباره آمدن دو نفر ديگر، مساوي است. در اين ‌صورت، اصل عدم تفاوت تنها درباره سه قضيه‌اي كه از آمدن يكي از آنها خبر مي‌دهد، جاري است و احتمال1/3 براي آمدن محمّد درست است. قابل تقسيم بودن «آمدن محمّد» به «آمدن وي با لباس اول» و «آمدن وي با لباس دوم» ارتباطي با حلّ مسئله ندارد؛ زيرا پس از تقسيم، معرفت ما درباره قضاياي حاصل مساوي نيست تا اصل عدم تفاوت درباره آنها جاري شود.
اما در همين مسئله، اگر بدانيم ابتدا يكي از لباس‌هاي چهارگانه ی اين سه نفر را انتخاب مي‌كنندـ به گونه‌اي كه معرفت ما درباره ی اينكه كداميك از اين چهار لباس ابتدائاً انتخاب مي‌شوند، دقيقاً با آنچه درباره انتخاب ساير لباس‌ها مي‌دانيم مساوي باشدـ و سپس صاحب لباس با پوشيدن لباس خود مي‌آيد، تنها پاسخ 0/5 درست است.

د: راه‌حلّ پارادوكس پرتاب مكرر سكّه

با توجه به آنچه گفتيم، پارادوكس پرتاب مكرر سكّه نيز راه‌حلّ درست خود را مي‌يابد. با توجه به آنچه ظاهر صورت مسئله نشان مي‌دهد، مقصود آن است كه ما هيچ معرفتي درباره شير يا خط آمدن سكّه در هيچ پرتابي نداريم، جز آنكه مي‌دانيم در هر پرتاب، يا شير مي‌آيد يا خط، در اين‌صورت، تنها پاسخ 0/5 درست است.

ه‍ : راه‌حلّ پارادوكس برتراند

در پارادوكس برتراند، پارادوكس ناشي از اين است كه سه نحوه مختلف براي انتخاب تصادفي وتر، يكسان انگاشته شده‌اند. پاسخ اول، مبتني بر اين است كه از نقاط شعاع مفروضي از دايره، نقطه‌اي به طور تصادفي انتخاب شده، وتر عمود بر آن را در نظر مي‌گيريم، يا از ميان خطوطي از صفحه كه از دايره مي‌گذرند، يكي از آنها را به طور تصادفي انتخاب كرده، قسمتي از آن را كه محدود به دايره است، در نظر مي‌گيريم، يا نقطه‌اي در درون يا روي محيط دايره و نقطه‌اي بيرون دايره به طور تصادفي انتخاب كرده با وصل كردن آنها، خطي را تشكيل مي‌دهيم و قسمتي از آن را كه محدود به دايره است، در نظر مي‌گيريم. راه‌حلّ دوم، مبتني بر اين است كه با تعيين تصادفي يك نقطه از محيط دايره، يكي از خطوطي را كه از آن مي‌گذرد به طور تصادفي انتخاب مي‌كنيم. راه‌حلّ سوم، مبتني بر اين است كه از نقاط سطح دايره، نقطه‌اي را به طور تصادفي در نظر گرفته وتري را كه اين نقطه وسط آن است در نظر مي‌گيريم. طبيعي است كه در اين ‌صورت، مسائل مختلف با پاسخ‌هاي احياناً متفاوت داريم؛ زيرا معرفت‌هاي ما در همه ی اين فرض‌ها يكسان نيست. اين اختلاف، ناشي از اين است كه تغييرات فاصله روي خط مستقيم شعاع و خط منحني محيط دايره، نمي‌توانند يكسان باشند.
براي روشن شدن اين مطلب، فرض كنيد متحركي با سرعت ثابت روي شعاع دايره حركت كند و سايه ی آن روي دايره بيفتد. با اينكه سرعت خود متحرك، ثابت است، سرعت حركت سايه متحرك مفروض روي دايره متغير است، چون شعاع خط مستقيم است و دايره منحني است.
بنابراين، اگر نحوه انتخاب وتر به صورت انتخاب نقطه‌اي روي شعاعي دلخواه از دايره و در نظر گرفتن خط عمود بر آن باشد، قضاياي مزبور در دامنه ی شعاع دايره، فشردگي احتمال صدق يكساني دارند، اما فشردگي صدق آنها، در دامنه ی نقاط محيط دايره يكسان نيست. بنابراين، ممكن نيست اصل عدم تفاوت را درباره اين دو دسته قضيه با هم جاري كنيم.
بدين‌ترتيب، اگر مفروضات مسئله، نحوه انتخاب تصادفي وتر را نشان دهند، پاسخ معين مسئله معلوم مي‌شود، در غير اين ‌صورت، يعني چنانچه همه ی احتمالات مذكور درباره نحوه انتخاب تصادفي وتر وجود داشته باشد، بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال مزبور برابر با ميانگين احتمال‌هاي حاصل از راه‌هاي مختلف ممكن براي انتخاب وتر خواهد بود. مثلاً اگر سه راه منجر به احتمال1/2، و يك راه منجر به احتمال1/3، و يك راه منجر به احتمال1/4 مي‌شوند، و درباره اينكه انتخاب وتر به كدام‌يك از اين پنج‌ راه انجام مي‌شود، هيچ نمي‌دانيم، اصل عدم تفاوت مي‌گويد احتمال آنكه وتر به هريك از اين پنج‌ راه انتخاب شود، مساوي است، و درنتيجه، احتمال انتخاب وتري با ويژگي مزبور برابر خواهد بود با 5/12=5/(1/4+1/3+3/2).
اما به نظر مي‌رسد ظاهر صورت مسئله با برخي از اين نحوه‌هاي انتخاب وتر، سازگار نيست. آنچه از ظاهر صورت مسئله استفاده مي‌شود آن است كه مستقيماً انتخاب خود وتر تصادفي است، نه آنكه انتخاب نقطه‌اي از محيط دايره تصادفي است و به تبع آن، وتري از ميان وترهايي كه از آن نقطه مي‌گذرند به طور تصادفي انتخاب مي‌شود، يا انتخاب نقطه وسط وتر تصادفي است، و انتخاب وتر به تبع آن صورت مي‌گيرد. به علاو، پارادوكس اصلي در اين مسئله مربوط به احتمال نيست، بلكه مربوط به نحوه دسته‌بندي بي‌نهايت‌هاست. براي آنكه مطلب روشن‌تر شود، ممكن است مسئله را به گونه‌اي ديگر طرح كنيم: فرض مي‌كنيم همه ی وترهاي بي‌شمار يك دايره را به طور كاملاً تصادفي، و نه به ترتيبي خاص، شماره‌گذاري كرده‌ايم. يك شماره را به طور تصادفي انتخاب مي‌كنيم. احتمال آنكه طول وتري كه شماره آن به طور تصادفي انتخاب شده است، بيش از طول ضلع مثلث محاط در آن دايره باشد، چقدر است؟ روشن است كه نسبت مذكور، نسبت دو بي‌نهايت است و با دسته بندی این دو بی نهایت می توان مقدار نسبت را محاسبه کرد. اما دسته بندی این دو بی نهایت به صور مختلفي ممكن است كه پاسخ آنها مي‌تواند متفاوت باشد. بنابراين، پارادوكس اصلي مربوط به اين است كه نحوه دسته‌بندي‌هاي متفاوت اين دو بي‌نهايت، منجر به پاسخ‌هاي متفاوت براي نسبت آنها مي‌شود. به عبارت ديگر، پارادوكس اين است كه تعيين نسبت وترهايي از يك دايره كه طول آنها بيش از طول ضلع مثلث متساوي‌الأضلاع محاط در آن است به كلّ وترهاي آن دايره به شيوه‌هاي مختلف، پاسخ‌هاي متفاوت دارد. براي پاسخ به اين مسئله، كافي است به تعريف دقيق وتر مراجعه كنيم و براساس آن، آنها را به طور كاملاً يكسان دسته‌بندي كنيم. اگر اين تعريف را براي وتر بپذيريم كه «وتر، پاره‌خطي از صفحه دايره است كه دو سر آن، دو نقطه روي محيط دايره است»، بنابر آنچه در نحوه انتخاب تصادفي وتر گفتيم، نيمي از خطوطي كه از صفحه ی دايره مي‌گذرند، داراي اين ويژگي هستند. در نتيجه، با اين تعريف از وتر، نسبت وترهايي از يك دايره كه طول آنها بيش از طول ضلع مثلث متساوي‌الأضلاع محاط در آن است به كلّ وترهاي آن دايره، برابر است با 1/2. شايد بتوان پاسخ جينس را نيز ناظر به مسئله ی اخير دانست.

و: راه‌حلّ پارادوكس سركه و آب

در پارادوكس سركه و آب نيز مشابه همان خطايي كه در پارادوكس برتراند اتفاق افتاده، رخ داده است. خطاي اساسي، اين است كه اصل عدم تفاوت در يك مسئله براي دو دسته قضيه متفاوت بكار برده شده است كه تغييرات احتمال صدقشان نمي‌تواند يكسان باشد. براي مثال، ما مي‌دانيم اگر تغييرات X يكسان باشد، تغييرات 1/x نمي‌تواند يكسان باشد؛ يعني تغييرات يك نسبت و تغييرات عكس آن نسبت، ممكن نيست يكسان باشند. اين امر به سادگي از روي نمودار تابع y=1/x كه تابعي منحني است، معلوم مي‌شود.

بنابراين، مطابق فرض مسئله كه مي‌دانيم 3 ≥ «آب/سركه» ≥1/3 و 3 ≥ «آب/سركه» 1/3، نمي‌توانيم معرفتمان را درباره تغييرات نسبت «آب/سركه» و «سركه/آب» از 3/1 تا 3، هم‌زمان يكسان فرض كنيم؛ زيرا، يكسان فرض كردن معرفت ما درباره تغييرات يكي، مستلزم آن است كه بدانيم معرفت ما درباره تغييرات نسبت عكس يكسان نيست.
اكنون درباره مسئله ی سركه و آب، چند فرض قابل تصور است:
1. درباره اينكه تغييرات يكي از دو نسبت معين «آب/سركه» و «سركه/آب» در فاصله ی 3 و 1/3 يكسان است، به طور معين، معرفتي موجّه داريم. براي مثال، ممكن است اين معرفت موجّه ناشي از آن باشد كه بدانيم ابتدا عددي را به طور تصادفي در فاصله ی اعداد 3 و 1/3 انتخاب كرده‌اند، و سپس، به نسبت همان عدد و يك، سركه را با آب مخلوط كرده‌اند. در اين‌ صورت، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضاياي همان ‌دسته معين جاري است؛ يعني در اين مثال، اصل عدم تفاوت، تنها درباره قضاياي مربوط به نسبت «آب/سركه» جاري است، و به دليلي كه گفتيم، در نسبت «سركه/آب» جاري نيست و تنها پاسخ نخست درست است. همچنين، اگر با معرفتي موجّه بدانيم كه تغييرات نسبت «سركه/آب» يكسان است، اصل عدم تفاوت، تنها درباره قضاياي مربوط به اين نسبت جاري است و نه درباره قضاياي مربوط به نسبت «آب/سركه». پس در هرصورت، مسئله تنها يك پاسخ معين درست دارد.
2. فرض دوم آن است كه بدانيم تغييرات يكي از دو نسبت معين فوق، يكسان است؛ اما به طور معين ندانيم تغييرات كدام نسبت. دانستن اين امر، ممكن است ناشي از آن باشد كه مي‌دانيم ابتدا عددي را در فاصله ی اعداد3 و 1/3 انتخاب كرده‌اند و سپس، به نسبت همان عدد و يك، يكي از دو مايع را با ديگري مخلوط كرده‌اند، اما ندانيم سركه را با آب به اين نسبت مخلوط كرده‌اند، يا آب را با سركه. در اين ‌صورت، اصل عدم تفاوت جداگانه درباره هريك جاري مي‌شود و آنگاه با استفاده مجدد از اصل عدم تفاوت در ترجيح پاسخ‌ها، معدل پاسخ‌ها را محاسبه مي‌كنيم. پاسخ درست در اين فرض، عبارت است از 25/32.
3. فرض سوم اين است كه درباره تغييرات هيچ‌يك از دو نسبت مزبور، هيچ معرفتي بيش از ديگري نداشته باشيم. به عبارت ديگر، آنچه درباره تغييرات نسبت «آب/سركه» مي‌دانيم، با آنچه درباره تغييرات نسبت «سركه/آب» مي‌دانيم، مساوي باشد و هيچ معرفت ديگري نيز به جز آنچه در صورت مسئله آمده است، درباره اين مخلوط نداشته باشيم. در اين ‌صورت، اصل عدم تفاوت مي‌گويد، هر احتمالي درباره يكي از دونسبت، دقيقاً براي ديگري نيز وجود دارد. اگر يكي از دو نسبت مذكور را X بناميم، نسبت ديگر x/1، خواهد بود. بدين‌جهت، صرف‌نظر از اينكه هريك از دو نسبت چگونه تغيير مي‌كنند، بايد نحوه تغييرات اين دو نسبت را يكسان فرض كنيم. براي اين كار، كافي است به ازاي هر نقطه از نقاط فاصله ی اعداد3 و1/3، به جاي آنكه عدد خاصي را براي يكي از دو نسبت مزبور به طور معين، فرض كنيم، معدل دو نسبت مزبور را به ازاي آن نقطه محاسبه كنيم و تغييرات را در فاصله ی اين نقاط يكسان فرض كنيم. براي مثال،‌اگر نسبت «آب/سركه» برابر با 3 باشد، نسبت «سركه/آب» برابر با 1/3 است و معدل اين دو نسبت برابر است با 5/3=2(1/3+3). پس به جاي آنكه تغييرات يكي از دو نسبت را به طور معين با X و تغييرات ديگري را با x/1 نشان دهيم، بايد ميانگين اين دو، يعني 2(x+1/x) را براي تغييرات هردو بكار ببريم. هنگامي‌كه هر يک از دو نسبت مزبور در فاصله ی اعداد3 و 1/3 تغيير مي‌كنند، معدل اين دو نسبت در فاصله ی اعداد 5/3 و1 دوبار تغيير مي‌كند. اگر تغييرات معدل دو نسبت را كه برحسب تغييرات دو نسب مزبور تغيير مي‌كند، با (f(x نشان دهيم، مي‌توانيم تغييرات (f(x را متناظر با تغييرات X (يا 1/x) به صورت زير نشان دهيم:

اكنون مي‌توانيم احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» كمتر يا مساوي2 باشد، را برحسب تابع جديد كه تغييرات يكسان دارد، محاسبه كنيم. از آنجا كه به ازاي f(x)=5/4, x=2 اين احتمال برحسب تابع جديد برابر است با
11/16=(4/3)/ [(1-5/4)+(1-5/3)].
اين احتمال را مي‌توان از اين طريق نيز بدست آورد: احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» بيشتر يا مساوي2 باشد، برحسب تابع جديد برابر است با 5/16=(4/3)/(5/4-5/3). در نتيجه، احتمال آنكه اين نسبت كمتر يا مساوي با 2 باشد، برابر است با 11/16=5/16-1.
همچنين، مي‌توان از همين راه، احتمال آنكه نسبت «سركه/آب» بيشتر يا مساوي1/2 باشد را نيز محاسبه كرد كه پاسخ همين مقدار خواهد بود.
4. فرض ديگر اين است كه بدانيم تغييرات نسبت «مخلوط/ سركه» يا «مخلوط/آب» يكسان است. در اين ‌صورت، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضاياي مربوط به اين نسبت‌ها جاري است. اين همان فرضي است كه ميكلسون پاسخ مسئله را بر آن مبتني ساخته است و پاسخ وي در اين فرض درست است.
5. فرض ديگري كه مي‌توان در نظر گرفت اين است كه اين احتمال، خود ناشي از احتمال ديگري درباره مقدار آب و سركه باشد. مثلاً مي‌دانيم مقداري آب و مقداري سركه، هريك بين1 تا 3 ليتر داشته‌ايم. مي‌خواهيم بدانيم پس از مخلوط كردن آنها، احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» كمتر يا مساوي2 باشد، چقدر است. فرض اخير با تمام فرض‌هاي پيشين متفاوت است؛ زيرا در اين ‌صورت، اصل عدم تفاوت در مقادير سركه و آب جاري است و تغيير احتمال، درباره نسبت «آب/سركه»، «سركه/آب»، «مخلوط/سركه» و «مخلوط/آب» در اين فرض، تابع تغييرات يكسان احتمال درباره دو متغير ديگر است.

چنان‌كه مشاهده مي‌شود، هريك از نقاط سطح مربع، نشان‌دهنده يكي از فرض‌هاي محتملي است كه تابع تغييرات يكسان مقدار آب روي يك خط مستقيم، و تغييرات يكسان مقدار سركه روي خط مستقيم ديگر است. مجموعه همه اين فرض‌ها كه به طور مساوي محتمل هستند، مساحت مربع را تشكيل مي‌دهند. اما مجموعه ی همه ی فرض‌هايي كه در آنها نسبت «آب/سركه» كمتر يا مساوي با 2 است، مساحت قسمت هاشور خورده را تشكيل مي‌دهند. در نتيجه، احتمال مزبور برابر است با نسبت مساحت قسمت هاشور خورده به مساحت كلّ مربع و برابر است با 15/16. (25)
اما از ميان پنج فرضي كه بيان كرديم، به نظر مي‌رسد فرض سوم با ظاهر صورت مسئله سازگارتر است. به عبارت ديگر، ممكن است از نحوه طرح سؤال چنين استظهار شود كه مفروضات مسئله، همان است كه در فرض سوم آورديم و بنابراين، پاسخ صحيح مسئله مزبور به صورتي كه طرح كرديم، 11/16 است، اما چنانچه درباره اينكه صورت مسئله كدام فرض را بيان مي‌كند، معرفت ما ميان چند فرض يكسان باشد، بنابر اصل عدم تفاوت بايد معدل پاسخ آن فرض‌ها را محاسبه و به عنوان پاسخ مسئله در نظر بگيريم.

ز: راه‌حلّ پارادوكس تعيين عدد

در اين پارادوكس، ظاهر صورت مسئله اين است كه معرفت‌هاي ما درباره اينكه خود عدد مزبور، به كدام عدد در فاصله ی مزبور نزديك‌تر است، يكسان است و بنابراين، تغيير احتمال قضايا درباره فاصله ی اعداد2 تا 5 يكسان است، در اين ‌صورت، تنها پاسخ 1/3 درست است؛ هرچند از آن به گونه‌اي ديگر تعبير كنيم، اما پاسخ ديگر مربوط به مسئله ی ديگري است كه مفروض آن يكساني تغيير احتمال قضايا درباره فاصله ی 1/5 و 1/2 است، و همان‌گونه كه گفتيم، تغيير در هر دو فاصله، نمي‌تواند هم‌زمان يكسان باشد و بنابراين، مقدار اين دو احتمال مساوي نيستند.

ح: راه‌حلّ پارادوكس نسبت سرعت

ظاهر صورت مسئله در اين پارادوكس، مشابه فرض پنجم در پارادوكس سركه و آب است و براساس نمودار، مقدار احتمال آنكه نسبت سرعت متحرك دوم به سرعت متحرك اول، بين1 و 2 باشد، برابر است با5/8.

نتيجه‌گيري

چنان‌كه ديديم، در همه ی پارادوكس‌هاي مزبور، مسائلي طرح شده‌اند كه در حلّ هريك، بايد پاسخ را نسبت به مفروضات مسئله بدست آوريم. بدين‌ترتيب، بنابر تفسير منطقي احتمال، حلّ هريك از اين مسائل، عبارت است از بدست آوردن يك احتمال منطقي نسبت به مفروضات خاص آن مسئله به عنوان قضايايي كه معرفت بدانها يقيني فرض شده است. و بنابر احتمال معرفت‌شناختي، حلّ هريك از اين مسائل عبارت است از بدست آوردن يك احتمال معرفت‌شناختي نسبت به مفروضات خاص آن مسئله به عنوان معرفت‌هايي كه به صورت معرفت يقيني معتبر فرض شده‌اند و نسبت به معرفت‌هاي معتبر لازم ديگر. در نتيجه، براي حلّ اين مسائل، تحليل مفروضات مسئله و يافتن اينكه بنابراين مفروضات، معرفت‌هاي ما درباره كدام قضايا دقيقاً با يكديگر مساوي فرض شده‌اند، بخش مهمي از كار محاسبه‌گر است.
اما اگر مفروضات خاص مسئله، نتوانند نشان دهند كه معرفت‌هاي ما درباره ی كدام قضايا با يكديگر مساوي فرض شده‌اند، با فرض‌هاي مختلف مي‌توان به پاسخ‌هاي مختلف دست يافت. اين دقيقاً مانند آن است كه در ساير مسائل، مفروضات مسئله براي تعيين يك پاسخ يقيني كافي نباشند. به مثال زير توجه كنيد: فرض كنيد، متحركي در هر ثانيه يك متر راه مي‌پيمايد، مطلوب است تعيين مسافت پيموده شده توسط اين متحرك.
روشن است كه به اين مسئله نمي‌توان يك پاسخ معين داد. ممكن است كسي در پاسخ اين مسئله بگويد فرض مي‌كنيم متحرك مزبور يك ثانيه راه رفته است و بنابراين، نتيجه بگيرد كه مسافت پيموده شده توسط او يك متر است؛ بار ديگر فرض بگيرد كه او دو ثانيه راه پيموده و نتيجه بگيرد كه مسافت پيموده شده توسط او دو متر است و... . اما نمي‌توان نتيجه گرفت كه بكارگيري اصول رياضي براي حلّ مسئله، با اين اصل كه هر مسئله يك پاسخ درست دارد، منافات دارد و بنابراين، اصول رياضي نادرست و غيرقابل قبول‌اند.
به همين‌صورت هستند، پارادوكس‌هايي كه به ظاهر يك مسئله هستند، اما مفروضات كاملي براي حلّ آن ارائه نمي‌دهند و با افزودن مفروضات مختلف، مي‌توان پاسخ‌هاي متفاوتي براي مسئله يافت. با يافتن پاسخ‌هاي متفاوت براساس افزودن مفروضات مختلف و غيرقابل جمع، نمي‌توان نتيجه گرفت كه اصل عدم تفاوت منجر به تناقض مي‌شود. بنابراين، پارادوكس‌هاي مزبور، نمي‌توانند در اعتبار اصل عدم تفاوت خللي وارد كنند، و اين اصل، همچنان داراي اعتبار يقين معرفت‌شناختي است.
اما نكته ی مهمي كه در حلّ اين پارادوكس‌ها به آن اشاره شد، اين است كه چنانچه فرض‌هاي مختلفي براساس داده‌هاي مسئله به طور يكسان قابل‌قبول باشند، از اصل عدم تفاوت در اين معرفت‌ها نيز بايد استفاده شود. بنابراين، اگر معرفت‌هايي كه صورت مسئله ارائه مي‌دهد، به طوري مبهم باشد كه بتوان چند قضيه ی معين را به طور موجّه داراي احتمال يكسان دانست، مسئله قابل حل است، البته با اين شرط واضح كه بايد قضيه‌اي كه محاسبه ی احتمال معرفت‌شناختي آن مطلوب است، كاملاً معين باشد.

پي‌نوشت‌ها:

1. ر.ك. مجتبي مصباح، «درآمدي بر احتمال معرفت‌شناختي»، معرفت فلسفي15 (بهار1386)، ص127-166.
2. Sample Space.
3. Attribute Space.
4. كارناپ، ازجمله كساني است كه علاوه بر تفسير فراواني نسبي از احتمال، به تفسير منطقي از احتمال نيز معتقد است. وي با گمان اينكه اصل عدم تفاوت منجر به تناقض مي‌شود، بر اين گمان است كه در تفسير منطقي از احتمال، احتمال فرضيه يا نتيجه صرفاً از شواهد و بدون مراجعه به فضاي نمونه، استنتاج مي‌شود. اما استنتاج وقوع يك پديده از معرفت، به قضيه‌اي كه وقوع يكي از حالات را با احتمالي برابر ممكن مي‌داند، احتمالي منطقي است و بنابراين، با پذيرفتن تفسير منطقي احتمال، چاره‌اي از پذيرفتن دست‌كم امكان مراجعه به فضاي نمونه و استفاده از اصل عدم تفاوت نيست. علاوه بر اينكه، پذيرفتن اصل امتناع ارتفاع نقيضين كه مبناي هر نوع يقين منطقي به هر قضيه‌اي است، خود بيانگر معرفت به مجموعه‌اي متشكل از دو عنصر با احتمال برابر است و بنابراين، پذيرفتن تفسير منطقي احتمال بدون پذيرفتن هرگونه فضاي نمونه و بدون رجوع به اصل عدم تفاوت، اساساً نامعقول است.
See. Rudolf Carnap, Logical Foundations of Probability (Chicago, The University of Chicago Press, 1967), p. 343.
5. The Principle of Indifference.
6. John Maynard Keynes, A Treatise on Probability (London, Macmillan & Co., 1943).
7. The Principle of Indifference.
8. Hohn Maynard Keynes, A Treatise on Probability, p. 65.
9. Ibid, p. 41.
10. Ibid, p. 42.
11. براي مطالعه توضيح بيشتر در اين‌باره، ر.ك. محمّدتقي مصباح، آموزش فلسفه (تهران، شركت چاپ و نشر بين‌الملل، 1379)، چ دوم، ج1، ص249-252.
12. See. Donald Gillies, Philosophical Theories of Probability (London & New York, Routledge, 2003), p. 59.
13. البته، برخي نظريات در باب احتمال، احتمال را تابعي از قضيه نمي‌دانند، اما اصولي مشابه اصول مزبور را براي محاسبه احتمال بكار مي‌گيرند.
14. اين پارادوكس و پارادوكس بعدي (پارادوكس لباس)، از مثال‌هاي شهيد صدر گرفته شده‌اند، ر.ك. سيد محمّدباقر صدر، الأسس المنطقيه للإستقراء (بيروت، دارالفكر، 1391ق)، ص200-202.
15. اين پارادوكس از بيز اقتباس شده است.
16. اصل اين پارادوكس از ون ميزز است و به پارادوكس شراب و آب (wine-water paradox) معروف است.
17. J. M. Keynes, A Treatise on Probability, p. 60.
18. سيد محمّدباقر صدر، الأسس المنطقيهًْ للاستقراء (بيروت، دارالفكر، 1391ق)، ص202-205.
19. ر.ك. همان، ص205-207.
20. E. T. Jaynes, "The Well-Posed Problem", Foundations of Physics 4 (1973), pp. 477-92, quoted in Donald Gillies, Philosophical Theories of Probability, p. 46-7.
21. (اصول توزيع يكنواخت يا عدم واريانس) invariance principles
22. Ibid. p. 490.
23. See. George N. Schlesinger, The Sweep of Probability (University of Notre Dame Press, 1991), p. 191.
24. See: Jeffery M. Mikkelson, "Dissloving Wine/Water Paradox", British Journal for the Philosophy of Science 55(2004), pp. 137-145.
25- برابر بودن احتمال در اين فرض، با پاسخ راه‌حلّ دومي كه در پارادوكس مطرح شده است و حاصل يكسان دانستن تغييرات نسبت «سركه/آب» است، تنها به جهت مقادير خاص مسئله است. با تغيير دادن اين مقادير، مي‌توان مشاهده كرد كه پاسخ در اين حالت، ممكن است با همه پاسخ‌هاي گذشته متفاوت باشد.

منبع:معرفت فلسفی – ش 21
/خ