روشي جديد در استنتاج صوري با كمترين قاعده

نويسنده: عسكري سليماني اميري

چكيده

در منطق قديم چه در استدلالهاي مباشر و چه در قياسها، هر كدام از قواعد استنتاج جداگانه معرفي مي شوند و شرايط آنها بازگو ميشود و استنتاج بر اساس آن سامان مي يابد و گاه براي تبيين برخي از اين قواعد آنها را به برخي ديگر ارجاع مي دهند. اما در روشي كه اين مقاله پيشنهاد مي دهد در استدلالهاي مباشر تنها دو قاعده نقض محمول و عكس مستوي معرفي مي شود و بقيه قواعد استنتاجي مانند عكس نقيض، نقض موضوع نقض تام و نقض عكس، بدون معرفي بر اساس اين دو قاعده استنتاج مي شوند. نيز با تبارشناسي حمليه و روش سورگذاري در محمولها به صورت مصنوعي، لميت عكس مستوي تبيين مي شود و بر همين اساس، در قياس اقتراني حمليب تنها خود قياس و نقش حد اوسط در آن معرفي مي شود. با اين روش نتايج همه اشكال بدون معرفي آنها استنتاج مي شود. در اين روش، نيازي به تحويل شكل دوم، سوم و چهارم به شكل اول نيست. ويژگي اين روش آساني و يكنواختي اعمال قياس است و به شرايط متفاوت نيازي نيست.
كليد واژه ها
استدلال مباشر، عكس مستوري، نقض محمول، عكس نقيض، نقض تام، نقض موضوع،‌نقض عكس، قياس اقتراني حملي، اشكال اربعه، حد وسط و سور.

مقدمه

منطق قديم به اجمال بر منطق تعريف و منطق استدلال مشتمل است. منطق استدلال خود به دو بخش منطق صورت استدلال و منطق ماده استدلال تقسيم مي شود. بحث ما در اينجا به منطق صورت استدلال ناظر است.
منطق صورت استدلال در يك تقسيم بندي كلي به منطق استدلال مباشر و منطق استدلال غير مباشر تقسيم مي شود. منطق دانان در منطق استدلال مباشر، بطور عمده سه بحث را مطرح كرده اند: (1) تناقض در قضايا و ملحقات آن؛ (2) عكس مستوي و (3) عكس نقيض. برخي از منطق دانان متاخر همچون علامه مظفر در المنطق مباحث نقض را نيز افزوده اند ومي توان بر آن نقض عكس را، افزود و در مجموع، شمار استدلال مباشر را به هشت نوع رساند:

1	تناقض در قضايا و ملحقات آن؛	5	نقض محمول؛
2	. عكس مستوي؛	6	. نقض موضوع؛
3	عكس نقيض مخالف	7	. نقض تام؛
4	عكس نقيض موافق	8	. نقض عکس؛

استدلال غير مباشر به تمثيل و استقراء و قياس تقسيم مي شود كه بيشتر مباحث در اين بخش به قياس ناظر است وقياس به اقتراني و استثنايي تقسيم مي شود. قياس اقتراني به حملي و شرطي و قياس استثنايي نيز به اتصالي و انفصالي تقسيم مي پذيرد. همچنين قياس اقتراني به شكل اول، دوم، سوم و چهارم تقسيم مي شود.
بحثي كه در ادامه خواهيم داشت به استدلالهاي مباشر و قياسهاي اقتراني حملي ناظر است. منطق دانان در معرفي قواعد استنتاج، اگر بديهي نباشند، به برهان نيازمندند و از اين روي، منطق دانان در اثبات به درستي مثلاً عكس مستوي، عكس نقيض موافق و مخالف، برهان اقامه مي كنند. همانطور كه شكل دوم، سوم و چهارم قياسهاي اقتراني را با قواعد منطقي به شكل اول برمي گردانند و درستي آنها را برهاني مي كنند. از اينرو، شكل دوم، سوم و چهارم از فروع شكل اول به شمار مي آيند و تنها شكل اول بديهي تلقي ميشود. بنابراين، يكي از وظايف علم منطق
طبقه بندي استدلال به اصول و فروع است. روشي كه در اين مقاله معرفي مي شود ضمن اينكه طبقه بندي استدلالها را در استدلالهاي مباشر نشان مي دهد كه روش آساني را براي استنتاج معرفي مي كند، ضامن برهاني شدن قواعد منطقي نيز خواهد بود و در ادامه با اعمال روشي جديد در قياس، احتياج به طبقه بندي اشكال به اصول و فروع نيست.

طبقه بندي استدلالهاي مباشر

پيش تر، هشت قاعده از قواعد استدلالهاي مباشر نام برده شد. پرسش اين است كه آيا اين هشت قاعده از يكديگر مستقل اند يا برخي از آنها اصول و برخي ديگر فروع اند؟ در اين مقاله نشان خواهيم داد كه در استدلالهاي مباشر عكس مستوي و نقض محمول را مي توان اصل قرار داد و عكس نقيض موافق و مخالف و نقض موضوع و نقض تام و نقض عكس را فروع آن دو قرار داد:
يعني اين قواعد چيزي جز اعمال مكرر قاعده عكس مستوي و نقض محمول چيز ديگري نيستند. نقض محمول و منقوض معكوس را عكس مي كنيم تا آخر. يا اينكه نخست از عكس شروع مي كنيم و بعد نقض محمول مي كنيم و همين طور. يا بر اساس اين روش، نه تنها عكس نقيضها، نقض موضوع و نقض تام اثبات و برهاني مي شوند، بلكه با اعمال اين روش به قاعده استنتاجي جديدي مي رسيم كه در منطق نشاني از آن نبوده و آن نقض عكس است.
مزيت اين روش آن است كه اثبات عكس نقيض مخالف و موافق و نقض موضوع و نقض تام بسيار آسان است. در اين روش لازم نيست شرايط استنتاج اين قواعد را به خاطر بسپاريم بلكه تنها كافي است شرايط عكس مستوي و نقض محمول رابدانيم. خود اين روش نشان ميدهد كه عكس نقيضها، نقض موضوع، نقض تام و نقض عكس قاعده هاي فرعي در استدلال مباشر هستند و قاعده اصلي در استدلال مباشر قواعد مربع تقابل، عكس مستوي و نقض محمول است.
منطق دانان در روش قديم، همانگونه كه براي عكس مستوي تعريف مي آوردند وشرايط انتاج آن را بيان مي كردند و نيز نقض محمول را تعريف مي كردند و شرايط انتاج را توضيح مي دادند، همچنين لازم مي دانستند كه عكس نقيض مخالف و موافق را تعريف كنند و شرايط انتاج هركدام از
اين دو را بياورند. نيز نقض موضوع و نقض تام را تعريف كنند و شرايط انتاج آنها را توضيح دهند. اما در اين روش لازم نيست عكس نقيضها، نقض موضوع، نقض تام ونقض عكس را تعريف كنيم وشرايط آن را بيان داريم، بلكه با داشتن دو قاعده عكس مستوي و نقض محمول به آنها مي رسيم و تنها پس از رسيدن ميتوان نام آنها را معرفي كرد. از اين روي، ميتوان به عنوان تمرين از دانشجو خواست كه تعريف هركدام از اين قواعد فرعي را كه با اعمال قواعد عكس و نقض به دست آمده اند بيان كند وشرايط هركدام از آنها را توضيح دهد. نيز ميتوانيم با معرفي نام هر كدام از قواعد فرعي براساس دو قاعده عكس و نقض در مورد موجبه كليه، از دانشجو بخواهيم كه عكس مستوي، عكس نقيض موافق و مخالف و نقض محمول، نقض موضوع ونقض تام هر يك از موجبه جزئيه، سالبه كليه وسالبه جزئيه را استخراج كند؛ اگر همه يا برخي از آنها قابل استخراج باشند و بدين سان در اين تمرين معلوم ميشود كه چرا موجبه جزئيه مثلاً عكس نقيض مخالف و موافق ندارد.
دراين روش، نقض محمول و عكس مستوي به عنوان دو قاعده استنتاجي اصلي معرفي ميشوند و ديگر قواعد با به كارگيري دو قاعده اصلي استنتاج ميشوند. بنابراين در اين روش قواعد فرعي اثبات ميشوند.

نقض محمول

تعريف: استدلالي است كه با نقض كردن محمول و تغيير كيف حاصل ميشود؛ يعني قاعده نقض محمول قاعده اي است كه با اعمال دو تغيير در قضيه اصل، به نقض محمول آن مي رسيم و آن دو تغيير عبارتند از:
1. محمول قضيه اصل را نقض مي كنيم؛ يعني اگر ادات نفي ندارد، بر آن ادات نفي مي افزاييم و اگر دارد از آن حذف مي كنيم و يا نفي ديگري بر آن اضافه مي كنيم.
2. سلب يا ايجاب در قضيه را تغيير ميدهيم؛ يعني اگر قضيه اصل موجبه است، به سالبه تبديل كنيم و اگر سالبه است به موجبه تبديل كنيم. بنابراين، قواعد عكس نقيض اينگونه معرفي مي شوند:

(1) هر الف، ب است؛	اصل
(2) هيچ الفي، غير ب نيست.	از (1) نقض محمول
(1) بعض الف، ب است.	اصل
(2) بعض الف، غير نيست.	از(1) نقض محمول
(1) هيچ الفي، ب نيست؛	اصل
(2) هرالفي، غير است.	از(1) نقض محمول
(1) بعض الف، ب نيست؛	اصل
(2) بعض الف، غير ب است.	از(1) نقض محمول

هر چند ممكن است براي اثبات هر يك از محصوره هاي چهارگانه نقض محمول، برهان اقامه كرد؛ چنانكه علامه مظفر به استناد عكس نقض برخي از آنها را اثبات كرده است، ولي از نظر ما به اينكار نيازي نيست؛ زيرا قاعده نقض محمول به پشتوانه اصل امتناع تناقض، از بديهي ترين قواعد استنتاجي است، زيرا براي نمونه اگر«هر الف، ب است» ديگر ممكن نيست كه هر يك از آنها غير ب باشند؛ زيرا اجتماع دو نقيض ب و غير ب بر شيء واحد محال است، بنابراين،«هيچ الفي غير ب نيست». پس قاعده نقض محمول در محصوره هاي اربعه، نيازي به اثبات ندارد؛ هر چند اثبات آن ممكن و بسيار آسان است.

عكس مستوي

تعريف عكس مستوي در حملي: استدلالي است كه با جابه جا كردن موضوع و محمول، بشرط بقاي در صدق حاصل ميشود. بنابراين، قضيه اصل مفروض الصدق است وبا فرض صدق اصل نبايد با جابه جا كردن موضوع و محمول صدقش تغيير كند. از اينرو، گاهي در عكس مستوي سور قضيه تغيير ميكند تا صدق آن باقي بماند و گرنه صدق باقي نمي ماند. نيزبه اين نتيجه مي رسيم كه سالبه جزئيه، عكس لازم الصدق نخواهد داشت. براين اساس، قواعد عكس معرفي مي شوند:

(1) هرالف، ب است؛	اصل
(2) بعض ب، الف است	از (1) عكس مستوي

بنابراين قاعده، موجبه كليه به موجبه جزئيه عكس ميشود و سور قضيه تغيير ميكند؛ زيرا ممكن است محمول اعم از موضوع باشد و با فرض صدق اصل عكس مستوي آن بصورت كلي كاذب باشد؛ مانند«هرانسان حيوان است» كه عكس كلي آن، يعني«هر حيواني انسان است» كاذب است.

(1) بعض الف، ب است؛	اصل
(2) بعض ب، الف است.	از(1) عكس مستوي
(1) هيچ الفي،ب نيست؛	اصل
(2) هيچ ب، الف نيست.	از(1) عكس مستوي
(1) بعض الف، ب نيست؛(عقيم)	اصل
(2)..........	عكس مستوي لازم الصدق ندارد.

زيرا در سالبه جزئيه ممكن است موضوع اعم از محمول باشد. از اين روي، با فرض صدق اصل، چه بسا عكس مستوي آن نادرست باشد؛ مانند گزاره«بعض حيوانها انسان نيستند» صادق است، ولي عكس مستوي آن يعني«بعضي انسانها حيوان نيستند» كاذب است.
در اينجا، اين پرسش مطرح ميشود كه چرا قاعده در عكس مستوي، برخلاف نقض محمول يكنواخت اعمال نميشود. در موجبه كليه، سور كلي به سور جزئي تبديل ميشود و در سالبه كليه و موجبه جزئيه، سور به حال خود محفوظ ميماند و در سالبه جزئيه گفته ميشود اساساً عكس مستوي ندارد؟ به تعبير ديگر، هرچند پاسخ اين پرسش را در معرفي عكس مستوي بيان كرده ايم، ولي ريشه اين تفاوت در كجاست؟ و به بيان ديگر قضيه حمليه و از جمله محصوره هاي اربعه در حمليه، اتحاد بين موضوع و محمول است و اتحاد نوعي نسبت بين دو شئ است واين نسبت از نوع نسبتهاي متقارن ميباشد و ميدانيم كه در نسبتهاي متقارن، هريك از دو طرف هر نسبتي را با طرف ديگر داشته باشد، طرف ديگر نيز همان نسبت را با طرف اول دارد؛ مانند نسبت برادري بين دو مرد؛ براي مثال، اگر حسن برادر حسين است، حسين نيز برادر حسن است. بنابراين چگونه ممكن است در سالبه جزئيه موضوع، نسبت اتحاد سلبي با محمول داشته باشد و محمول، اين
اتحاد سلبي را با موضوع نداشته باشد؟ يا چگونه ممكن است در موجبه كليه، موضوع به نحو كلي با محمول اتحاد داشته باشد، ولي محمول تنها به نحو جزئي با موضوع اتحاد داشته باشد، بي آنكه اتحاد نسبت متقارن است؟
براي پاسخ به اين پرسش و يافتن ريشه تفاوت لازم است ساختار حملي در محصوره ها روشن شود. صرف نظر از آنكه ما حملي را عكس بكنيم يا نكنيم و صرف نظر از آنكه آيا عكس لازم الصدق دارد يا ندارد. البته پس از روشن شدن ساختار حملي خواهيم ديد كه چرا عكسهاي محصوره هاي اربعه متفاوت ميشوند.

ساختار حملي در محصورات

ساختار حملي يا ساختار موضوع- محمولي، بسيط ترين نوع قضيه است كه داراي دو جز اساسي موضوع و محمول است وبين اين دو جز اساسي، شئ سومي ربط برقرار ميكند كه آن را رابط مي نامند؛ مانند است در زبان فارسي در گزاره«زيد دبير است». اما موضوع قضيه مي تواند مانند مثال قلبي يك شخص باشد يا يك شئ مخصوصي مانند "ملموس"، گربه خاص در خانه زيد باشد. نيز ممكن است يك امر كلي مانند"انسان" باشد. همچنين محمول آن مي تواند يك شخص يا شئ مخصوص يا يك مفهوم كلي باشد؛ مانند«برخي انسانها زيد است» يا«برخي از انسانها حيوان اند» كه در اولي محمول شخص ودر دومي محمول مانند موضوع كلي است.
هرگاه موضوع قضيه كليه باشد، مي توان بر سر آن سور كلي يا جزئي افزود. اگر موضوع كلي به افراد ناظر باشد و داراي سور نباشد، آن را مهمله ناميده و در قوه جزئيه قلمداد مي كنند؛ زيرا چه بسا همه افراد ويا برخي از آنها مورد نظر باشد. پس در هر حال، برخي قطعي است و از اينرو گفته اند مهمله در قوه جزئيه است. نيز اگر موضوع قضيه داراي سور باشد محصوره مي نامند، زيرا سور محدوده موضوع را مشخص مي كند و آن را در حصار خود حفظ مي نمايد. معمولاً در علوم از قضايايي بحث مي شود كه موضوع و محمول آنها كلي هستند و سور كلي يا جزئي دارند. از اينرو، منطق دانان در مباحث منطقي به محصوره ها اهتمام مي ورزند و از آنجا كه قضيه حمليه، سالبه يا
موجبه است وسور آن كلي يا جزئي است، از اينرو، محصوره ها چهار تا هستند:
1. موجبه كليه؛ مانند«هر انساني حيوان است».
2. موجبه جزئيه؛«برخي انسانها خندان اند».
3. سالبه كليه؛ مانند «هيچ انسان ديو نيست».
4. سالبه جزئيه؛ مانند«برخي انسانها دانشمند نيستند».
همانگونه كه ملاحظه مي شود محمول اين چهار دسته، مانند موضوعشان كلي است. با اين تفاوت كه محمولها با آنكه كلي اند سور ندارند.
اكنون اين پرسش مطرح مي شود كه چرا محمولها سور ندارند؟ پاسخ اين پرسش در زبان ريشه دارد. زبانها بگونه اي طراحي شده اند كه معمولاً محمولها سور نمي پذيرند؛ زيرا اگر محمول سور بپذيرد، از ساختار خود منحرف شده و پيام قضيه به درستي منتقل نمي شود. از اينرو، در زبان متعارف، هرگاه موجبه ها در ناحيه محمول داراي سور شوند، با كژتابي روبه رو ميشود. براي نمونه، اگر در مثال بالابگوييم: هر انساني هر هوشمند است با يك مشكل منطقي روبه رو مي شويم كه هر انساني مانند زيد، عمرو و بكر...اين حيوان، اشاره به گاو خاص، آن حيوان اشاره به گوسفندخاص و...خواهد بود. در حاليكه زيد و عمرو و هر انسان ديگري، تنها با حيواني كه عين او شده، متحد است، نه با هر حيوان ديگري. همين بيان در مورد موجبه جزئيه نيز صادق است.
اما وضع سالبه ها متفاوت است. سالبه ها كژتابي بالارا ندارند وچه بسا محمول آنها سور بپذيرد؛ مثلاً در نمونه بالا مي توان گفت:«هيچ انسان، هيچ ديو نيست» يا«هيچ انساني، بعضي از ديوها نيستند» يا«برخي از انسانها، هيچ دانشمندي نيست» يا«برخي از انسانها، برخي از دانشمندها نيست». اما معمولاً سالبه ها نيز مانند موجبه ها در ناحيه محمول سور نمي پذيرند. اما آيا همانگونه كه در مورد مهمله الموضوع ايجابي گفتيم يا همه افراد يا برخي از آنها مقصود است. از اين روي برخي قطعي است و مهمله الموضوع را در قوه جزئيه در نظر گرفته اند. آيا مي توان مهمله المحمول در سالبه را در قوه جزئيه المحمول در نظر گرفت يا نه؟ اينجا با مشكل كژتابي زبان عرفي مواجه مي شويم. در سالبه سور در ناحيه محمول، در اينكه جزئي يا كلي باشد مشكل منطقي
ندارد، ولي اگر آن را جزئي در نظر بگيريم با متفاهم عرفي سازگار نيست؛ مثلاً از نظر منطقي در سالبه كليه منعي نيست كه بگوييم «هيچ انساني برخي حيوان نيست» واقعاً هيچ فرد انساني اين گاو و آن گوسفند و...نيست. اما اگر محمول داراي سور نباشد و بگوييم «هيچ انساني حيوان نيست»، از نظر زبان عرفي بدين معناست كه «هيچ انسان هيچ حيوان نيست». از اين رو، در متفاهم عرفي قضيه «هيچ انساني حيوان نيست» كاذب تلقي مي شود؛ زيرا مهمله المحمول در سالبه در قوه كليه المحمول اخذ مي شود. همچنين در سالبه جزئيه سور در ناحيه محمول كلي است. بنابراين معناي «بعضي از انسانها دانشمند نيستند» بدين معناست كه «بعضي از انسانها، مانند زيد، عمرو، بكر با هيچ دانشمندي اتحاد ندارد». بنابراين با دانش اتحادي ندارند. از اين رو، مي توان با اعمال سور در محمول سالبه ساختار آنها را به صورت زير بيان كرد:

هيچ الف، ب نيست	هيچ الف، هيچ ب نيست.
بعض الف، ب نيست	بعض الف، هيچ ب نيست.

ولي همان گونه كه گفتيم در موجبه نمي توان محمول را نه به سور كلي و نه به سور جزئي، مسور كرد، زيرا كژتابي آن منطقي است. از اين رو، بايد با حيله منطقي از كژتابي سور محمول در موجبه ها عبور كرد، بنابراين اگر قرار داد كنيم كه هرگاه سور بر سر محمول موجبه وارد شد، بدين معنا نيست كه هر فردي از موضوع با هر فرد محمول يا با تعدادي از آن اتحاد دارد، بلكه قرارداد كنيم که تنها به اين معناست که به ازاي هر فرد مورد نظر ازموضوع، تنها فردي از محمول با آن اتحاد دارد. به بيان ديگر، همان فرد فردي از محمول هم هست؛ يعني دو عنوان موضوع و محمول در فردي متحدند. برابر اين قرارداد مي توان گفت «هر الف، ب است» بدين معناست كه هر فردي از الف، با فردي از ب اتحاد دارد. اما در اينجا با مشكل منطقي ديگري روبه رو مي شويم و آن اينكه گفتيم اتحاد يك نسبت دو سويه و متقارن است. اگر به ازاي هر فردي از الف، فردي از ب وجود دارد كه با آن متحد است، پس بايد گفت به ازاي هر فردي از ب فردي از الف وجود دارد كه با آن متحد است. بنابراين، نسبت ميان موضوع و محمول بايد نسبت تساوي باشد؛ در حاليكه ممكن است محمول
اعم از موضوع باشد؛ يعني براي ب افرادي فرض شود كه به ازاي آن افرادي از موضوع موجود نباشد؛ مانند «هرانسان حيوان است» كه به ازاي هر فرد انسان در عالم حيوانات، حيواني وجود دارد كه عين آن فرد انساني است، اما به ازاي هر فرد حيواني مانند گوسفند، فردي از انسان وجود ندارد كه با گوسفند متحد باشد، از اين روي سور در ناحيه محمول موجبه را نمي توان كلي در نظر گرفت، اما اگر سور در محمول را با توجه به اين نكته جزئي در نظر بگيريم، اين مشكل منطقي برطرف مي شود. از اين رو، قرارداد مي كنيم كه مفاد موجبه در ناحيه محمول سور جزئي است و بدين سان سور در ناحيه محمول در محصوره موجبه به صورت زير قرار داده مي شود:

هرالف، ب است	هر الف، بعض ب است
بعض الف، ب است	بعض الف، بعض ب است.

و مفاد آن دو به ازاي هر فرد الف در موجبه كليه و به ازاي برخي از افراد الف، در موجبه جزئيه فردي از ب وجود دارد كه فرد الف، تنها با آن متحد است. بر اساس اين قرارداد، با زبان متعارف فاصله گرفته و براي محصوره ها زبان صوري حملي تعريف كرده ايم.
حسن زبان صوري مصنوعي (قراردادي)، بنابراين قرارداد آن است كه در عكس مستوي به اثبات جداگانه نيازي نداريم. نيز روشن مي شود كه چرا عكس موجبه كليه، موجبه جزئيه است و سالبه جزئيه عكس لازم الصدق ندارد. همچنين روشن ميشود عكس لازم الصدق نداشتن سالبه جزئيه، از كژتابي زباني در زبان متعارف است، وگرنه در زبان صوري مصنوعي سالبه جزئيه نيز عكس مستوي خواهد داشت. اين روش حسن ديگري نيز دارد كه در بحث قياس اقتراني حملي از آن بحث خواهيم كرد.

اثبات عكس مستوي در محصوره ها

طريقه عكس مستوي اين است كه نخست قضيه اصل را با معرفي سور در محمول آن به زبان مصنوعي تبديل كنيم؛ يعني بنابر قرارداد، محمول آن را داراي سور بعض به همان معنايي كه توضيح داده ايم بكنيم و آن را برابر قرارداد، معادل قضيه اصل قلمداد كنيم، سپس عكس را روي
قضيه مبدل اجرا كنيم؛ يعني جاي موضوع و محمول را با حفظ سور عوض كنيم و پس از جابه جايي، سور را از محمول حذف كنيم:

موجبه كليه

(1) هر انساني حيوان است؛	اصل
(2) هر انساني بعض حيوان است؛	معادل 1(طبق قرارداد)
(3) بعض حيوان هر انسان است؛	عكس 2
(4) بعض حيوان انسان است	معادل 3(در زبان متعارف) و عكس

بايد توجه داشت كه (3) عكس (2) است، ولي در(3) از آنجا كه محمول داراي سوركلي است و پذيرش سور كلي در ناحيه محمول با كژتابي منطقي روبه رو است، اما با حيله منطقي اي كه ذكر كرده ايم، از اين كژتابي عبور مي كنيم، زيرا با آن حيله مقصود از«بعض حيوان هر انساني است» بدين معناست كه به ازاي هر فردي از حيوان مورد نظر فردي از انسان وجود دارد كه مجموع اين افراد حيوان كه مجموعه كوچكي از مجموعه همه حيوان هاست، با مجموعه همه انسان ها مساوي است و چون در (4) سور را در ناحيه محمول حذف مي كنيم، كژتابي منطقي آن برداشته مي شود. بنابراين، اگر عكس مستوي را به شكل صوري نمايش دهيم چنين مي شود:

موجبه كليه

(1) هرالف، ب است؛	اصل
(2) هر الف، بعض ب است	معادل1 م.س (1)
(3) بعض ب، هرالف است؛	عك 2
(4) بعض ب، الف است.	معادل 3 وعك1، ح.س

بنابراين، خود اين روش اثبات ميكند كه چرا موجبه كليه بايد به موجبه جزئيه عكس مستوي شود و سور عكس موجبه كليه، بايد به سور جزئي تبديل شود.

موجبه جزئیه

(1) بعض الف، ب است؛	اصل
(2) بعض الف، بعض ب است؛	معادل 1م.س
(3) بعض ب، بعض الف است؛	عك 2
(4) بعض ب، الف است.	معادل 3 وعك1ح.س

روشن است كه در اينجا سور نبايد تغيير كند.

سالبه كليه

(1) هيچ الف، ب نيست؛	اصل
(2) هيچ الف، هيچ ب نيست؛	معادل 1م.س
(3) هيچ ب،هيچ الف نيست؛	عك2
(4) هيچ ب، الف نيست.	معادل 3و عك1ح.س

قابل توجه است كه سور سالبه كليه در عكس مستوي به حال خود باقي مي ماند.

(1) بعض الف، ب نيست؛(عقيم)	اصل
(2) بعض الف، هيچ ب نيست؛	معادل 1
(3) هيچ ب، بعض الف نيست؛	عك3

تا اينجا مشكلي وجود ندارد و نشان ميدهد كه (3) به واقع عكس مستوي1 مي باشد. با اين تفاوت، در زبان متعارف ذكر سور در محمول متعارف نيست؛ هرچند از نظر زباني و منطقي موجب كژتابي نيست، ولي اگر خواستيم(3) را به زبان متعارف بنويسيم، با كژتابي زبان مواجه مي شويم؛ زيرا مفاد(3) اين است كه هيچ فردي از ب با بعضي از افراد الف متحد نيست، اما چه بسا با برخي از افراد ديگر الف، متحد باشد و ممكن است متحد نباشد نيز اگر(3) را به (4) تبديل كنيم:
(4) هيچ ب، الف نيست؛
معناي (4) در زبان عرفي معادل (3) نخواهد بود؛ زيرا معناي (4) در زبان عرفي اين است كه هيچ فردي از ب با هيچ فردي از الف متحد نيست، در صورتيكه (3) نسبت به برخي از افراد الف ساكت بود. از اين رو، گفته مي شود سالبه جزئيه عكس مستوي لازم الصدق ندارد و عقيم است.

اثبات قواعد فرعي استدلالهاي مباشر

اكنون مي توانيم قواعد فرعي استدلال هاي مباشر را بر اساس قواعد نقض محمول و عكس مستوي بدست آوريم.

موجبه كليه

1	هرالف، ب است.	اصل
2	هيچ الف، غيرب نيست	نق1	نقض محمول 1
3	هيچ غير ب، الف نيست	عك2	عكس نقيض مخالف1
4	هر غير ب، غير الف است	نق3	عكس نقيض موافق1
5	بعض غير الف، غير ب است	عك4	نقض تام 1
6	بعض غير الف، ب نيست.	نق5	نقض موضوع1

از(2) تا(6) زنجيره اي از استنتاج است كه هر يك، نتيجه سطر پيشين است و هر سطر تنها با اعمال قاعده اي در سطر پيشين حاصل شده است و قاعده اعمال شده يا نقض محمول است و يا عكس مستوي. اين زنجيره استنتاج از نقض محمول آغاز شده و به ترتيب عبارت است از: عكس مستوي و نقض محمول تا سطر ششم و از آنجا كه سطر ششم سالبه جزئيه است و اين سطر با نقض محمول از سطر(5) بدست آمده است، بنابراين قاعده عكس مستوي در آن جريان نمي يابد، واما هر چند قاعده نقض محمول در آن جاري است، ولي نتيجه آن چيزي جز سطر(5) نخواهد بود.
بنابراين، زنجيره مزبور در سطر(6) پايان مي پذيرد. همان گونه كه ملاحظه مي شود، در اين زنجيره استنتاجي از نقض محمول آغاز شده بود، ولي اين بار از عكس مستوي آغاز مي كنيم و پس از آن نقض محمول را اعمال مي كنيم:

7	بعض ب، الف است.	عك1	عكس1
8	بعض ب، غير الف نيست.	نق7	نقض عكس1

در اين زنجيره در سطر(7) به سالبه جزئيه رسيديم كه عكس مستوي ندارد و زنجيره به پايان مي رسد. پس تاكنون هفت لازم از لوازم قضيه(1) تنها با اعمال دو قاعده نقض محمول و عكس مستوي بدست آمده است و سطر(8) لازمي است كه دركتابهاي منطقي مطرح نبوده است و به
تدريج در برخي آثار منطقي آمده است.
تا اينجا معلوم شد كه موجبه كليه مستلزم هفت قضيه است و از آن مي توان هر يك از اين هفت قضيه را استنتاج كرد،‌ ولي برخي را بي واسطه و برخي را با يك يا چند واسطه، اما آيا تنها همين هفت قضيه لازمه موجبه كليه اند يا اينكه مي توان لوازم ديگري را از آن بدست آورد. اكنون به برخي لوازم ديگر آن به واسطه برخي از اين هفت نتيجه توجه مي كنيم:

9	بعض الف، ب است	عك7	متداخل 1
10	بعض الف، غير ب نيست.	نق9	متداخل 2
11	بعض غير ب،‌ غير الف است.	عك5	متداخل 3
12	بعض غير ب، الف نيست.	نق11	متداخل 3

بنابراين، موجبه كليه يازده نتيجه خواهد داشت كه همگي از نوع استدلالهاي مباشرند.

سالبه كليه

1	هيچ الف، ب نيست.	اصل
2	هر الف، غير ب است.	نق1	نقض محمول1
3	بعض غيرب، الف است.	عك2	عكس نقيض مخالف1
4	بعض غير ب، غير الف نيست.	نق3	عكس نقيض موافق1

در(4) به سالبه جزئيه رسيديم كه عكس مستوي ندارد. از اين رو، اين زنجيره استنتاجي كه به ترتيب از نقض و عكس استفاده مي كرد به پايان مي رسد و اين بار زنجيره استنتاجي را به ترتيب از عكس و نقض آغاز مي كنيم:

13	هيچ ب، الف نيست.	عك1	عكس1
14	هرب، غير الف است.	نق5	نقض عكس1
15	بعض غير الف، ب است.	عك6	نقض موضوع1
16	بعض غير الف، غير ب نيست.	نق7	نقض تام1

اين زنجيره نيز به سالبه جزئيه رسيده است كه عكس ندارد. اكنون لوازم ديگر را
بررسي مي كنيم:

9	بعض الف، غير ب است	عك3	متداخل2
10	بعض الف، ب نيست.	نق9	متداخل1
11	بعض ب غير، الف است	عك7	متداخل6
12	بعض ب، الف نيست.	نق11	متداخل5

بنابراين، سالبه كليه موجبه كليه مستلزم 11 قضيه لازم الصدق است كه برخي از آنها بي واسطه و برخي ديگر، با واسطه استنتاج مي شوند.

موجبه جزئيه

1	بعض الف،‌ب است.	اصل
2	بعض الف، غير ب نيست.	نق1	نقض محمول1
3	بعض ب، الف است.	عك1	عكس1
4	بعض ب، غير الف نيست.	نق3	نقض عكس1

بنابراين، موجبه جزئيه مستلزم سه قضيه لازم الصدق است. همان گونه كه مشاهده مي شود موجبه جزئيه نقيض لازم الصدق ندارد و خود اين روش نشان مي دهد كه ممكن نيست موجبه جزئيه عكس نقيض لازم الصدق داشته باشد. نيزمعلوم شده است كه موجبه جزئيه، نقض موضوع و نقض تام ندارد.

سالبه جزئيه

1	بعض الف، ب نيست.	اصل
2	بعض الف، غير ب است.	نق1	نقض محمول1
3	) بعض غير ب، الف است.	عك2	عكس نقيض مخالف1
4	بعض غير ب، غير الف نيست.	نق3	عكس نقيض موافق1

پس سالبه جزئيه نيز مانند موجبه جزئيه، مستلزم سه قضيه لازم الصدق است. كه سالبه جزئيه عكس مستوي لازم الصدق ندارد ولي در عوض، عكس نقيض لازم الصدق دارد. نيز معلوم شده است كه سالبه جزئيه مانند موجبه جزئيه، نقض تام و نقض موضوع ندارد.

قياس اقتراني حملي

منطق دانان قياس اقتراني حملي را به اشكال چهارگانه تقسيم كرده اند. اگر قياس اقتراني حملي بسيط باشد، از دو مقدمه حملي تاليف مي شود و اگر تاليف قياس درست باشد، از آن نتيجه اي حملي به دست مي آيد و هر يك از اين دو مقدمه و نتيجه، داراي موضوع و محمول اند. هر يك از موضوع و محمول را حد مي نامند. دو مقدمه بايد در يك حد مشترك باشند و آن را حد اوسط مي نامند و هر يك از دو حد ديگر بايد با دو حد نتيجه، مشترك باشند. موضوع نتيجه را نيز كه با يكي از دو مقدمه در حدي مشترك است، حد اصغر و مقدمه مشتمل بر آن را صغري ومحمول نتيجه را نيز که با يکي از دو مقدمه ديگر درحدي مشترک است، حدا اکبر ومقدمه مشتمل برآن را کبري مي نامند.
اگر حد اوسط محمول در صغري و موضوع در كبري باشد، شكل اول نام دارد وعکس آن، يعني اگر حد اوسط موضوع درصغري ومحمول درکبري باشد، شکل چهارم نام دارد. نيز اگر حد اوسط محمول در صغري و كبري باشد، شكل دوم نام دارد و اگر عكس آن، يعني حد اوسط موضوع در صغري و كبري باشد، شكل سوم نام دارد.
از آنجا كه هر كدام از صغري و كبري مي تواند يكي از محصوره هاي چهارگانه باشد، در نتيجه، اقتران محصوره هاي چهارگانه صغري با محصوره هاي چهارگانه كبري 16 ضرب را در هر شكل تشكيل مي دهد و از آنجا كه شكل متصور است، در نتيجه ضروب اشكال چهارگانه به 64ضرب مي رسد.
اندكي از اين ضروب منتج اند و اكثر آنها عقيم اند، زيرا شرايط انتاج را ندارند و لذا منطق دانان كوشيده اند شرايط انتاج هر يك از اين اشكال را استخراج كنند.
از نظر منطق دانان، شكل اول بديهي الانتاج و ديگر اشكال به كمك قواعد منطق به شكل اول بازگشت داده مي شوند و انتاج آنها برهاني مي شود.

روش سور گذاري در محمول قياسهاي حملي

روش سورگذاري در محمول، فوايدي از جمله در قياس دارد. درقياس هاي اقتراني حملي، براي اثبات اشكال سه گانه دوم، سوم وچهارم آنها را به شكل اول برمي گردانند، ولي در روش
سورگذاري به ارجاع نيازي نيست، بلكه اين سه شكل مانند شكل اول به سادگي اثبات مي شوند.
نيز روشن مي شود كه كدام ضرب از ضرب هاي شانزده گانه هريك از اشكال، منتج و كدام ضربهايي از آنها منتج نيستند و بلكه علت منتج بودن يا نبودن ضروب مشخص مي گردد و بدين سان، روشن مي شود كه آيا عقيم بودن اين ضروب، از كژتابي زبان نشئت گرفته است يا از كژتابي منطقي. از اين بالاتر، بر اساس اين روش لازم نيست قياسهاي اقتراني را به چهار شكل تقسيم كنيم، زيرا تنها تعريف قياس كافي است كه از مقدمات به نتايج برسيم و بنابراين، تشخيص اينكه اين دو مقدمه چگونه تاليف يافته اند و بنابراين، بايد داراي چه شرايطي باشند تا نتيجه بدهند، لازم نيست.
نكته مهم در اين روش، آن است كه تنها بايد توجه كنيم كه حد وسط در هر دو مقدمه تكرار شده باشد. اين مطلب در واقع، از مقومات قياس بودن هر قياسي است. اگر حد وسط تكرار نشده باشد،‌ قياس منتج نيست. زيرا تكرار حد وسط در قياس سبب انتاج است و البته يكي از مقدمات قياس بايد موجبه باشد تا سبب تعدي حكم اكبر بر اصغر فراهم آيد. اگر اكبر با اوسط متحد باشد، مي تواند اكبر با اصغر به شرط اتحاد اوسط با اصغر متحد باشد و مي توان اكبر را از اصغر به شرط سلب اوسط از اصغر سلب كرد.
در روش سورگذاري پس از آنكه مقدمات قياس را در محمول، سورگذاري كرديم، با حذف حد وسط نتيجه را كه تركيبي از حد اصغر و حد اكبر است، ‌با حفظ سور در محمول اكبر به دست مي آوريم و پس از اخذ نتيجه، سور را از محمول حذف مي كنيم و اگر پس از حذف سور با كژتابي مواجه شويم، قياس را در زبان متعارف عقيم مي شماريم، وگرنه قياس منتج است.
شكل اول و چهارم

هرالف، ب است.		هر ب، ج است.(شكل اول)
		بعض ج، الف است.(شكل چهارم)
1	هر الف، ب است	م
2	هرب، ج است.	م
3	هر الف، بعض ب است.	از1م.س
4	هرب، بعض ج است.	از2م.س
5	هرالف، بعض ج است.	از 3و4 قياس
6	هر الف، ج است.	از 5ح.س

در اين استدلال، حد وسط كاملاً تكرار شده است؛ زيرا حد وسط در صغري سور بعض و در كبري سوركل است و سور كل، بر سور بعض مشتمل است. از اين رو، مانعي وجود ندارد.

7	بعض ج، هر الف است.	از 4و5 قياس
8	بعض ج، الف است.	از 5ح.س

چه بسا اشكال شود كه (8) مضموني متفاوت با (7) دارد؛ زيرا اگر سور محمول را در(8) ابراز كنيم، قضيه "بعض ج، بعض الف است" درست مي شود، درحاليكه سور محمول در(7) كلي است. پاسخ اين است كه مفاد حمليه ايجابي، اين است كه به ازاي هرفردي از موضوع، فردي از محمول يافت مي شود كه با فرد موضوع متحد است. بنابراين، چه سور محمول كل باشد و چه بعض، تغييري دراين مضمون ايجاد نمي كند.

هر الف، ب است. هيچ ب، نيست.		هيچ الف، ج نيست.(شكل اول)
		هيچ ج، الف نيست.(شكل چهارم)
1	هر الف، ب است.	م
2	هيچ ب، ج نيست	م
3	هر الف، بعض ب است.	از 1م.س
4	هيچ ب،‌هيچ ج نيست	از2م.س
5	هيچ الف، هيچ ج نيست	قياس3و4
6	هيچ الف، ج نيست	از5ح.س
7	هيچ ج، هيچ الف نيست	4و3 قياس
8	هيچ ج، الف نيست.	از5ح.س
هر الف، ب است. بعض ب، ج است.		عقيم

برابر روش سورگذاري، مي توان به آساني نشان داد كه چرا قياس فوق عقيم است.

1	هر الف، ب است؛	م
2	بعض ب، ج است؛	م
3	هر الف، بعض ب است؛	از1م.س
4	بعض ب، بعض ج است؛	از2م.س

اكنون روشن شده است كه در (3) و (4)، حد وسط كاملاً تكرار نشده است؛ زيرا هيچ دليلي وجود ندارد كه بعض ب در(4)، همان بعض ب در(3) باشد و از اين رو، قياس عقيم است. از اين رو، منطق دانان در روش سنتي شرط كرده اند كه شرط انتاج شكل اول كليت كبري است.

هيچ الف، ب نيست، هرب ج است.	(عقيم)
(1) هيچ الف، ج است؛	م
(2) هرب، ج است؛	م
(3) هيچ الف، هيچ ب نيست؛	از2م.س
(4) هرب، بعض ج است.	از2م.س
(5) هيچ الف، بعض ج نيست	از3و4 قياس
(6) هيچ الف، ج نيست.	از5ح.س (عقيم)

عقيم بودن اين استنتاج از كژتابي زبان متعارف است، زيرا مضمون (6) با مضمون (5) يكي نيست؛ زيرا مفاد(6) اين است كه "هيچ الف، هيچ ج نيست" و اين مفاد معادل مفاد(5) نيست. از اين رو، منطق دانان در روش سنتي گفته اند شرط انتاج شكل اول افزون بر كليت كبري، ايجاب صغري است.اگر درمثال دقت شود، شرط ايجاب صغري شرط منطقي درشکل اول نيست، بلکه اين شرط به دليل كژتابي زباني لازم است؛ زيرا به وضوح (5) نتيجه لازم الصدق (1) و(2) است.
اگر دقت كنيم، همانگونه كه در اثبات بالا نشان داديم، شكل اول و شكل چهارم در مقدمات مشترك هستند و اختلاف دركيفيت تاليف اين دو است. از اين رو، ممكن است دو مقدمه به شكل
اول منتج و به شكل عقيم باشد و يا بالعكس به شكل اول عقيم و به شكل چهارم منتج باشد.
نمونه زير به صورت شكل اول منتج و به صورت شكل چهارم عقيم است:

بعض الف، ب است. هيچ ب، ج نيست:		بعض الف، ج نيست
		:هيچ ج، الف نيست(عقيم)
1	بعض الف، ب است؛	م
2	هيچ ب، ج نيست؛	م
3	بعض الف، بعض ب است؛	م.س1
4	هيچ ب، هيچ ج نيست؛	م.س2
5	بعض الف، هيچ ج نيست؛	قياس از3و4
6	بعض الف، ج نيست.	ح.س از 5

در اين استدلال (3) را صغري و (4) را كبري در نظر گرفتيم. بنابراين، شكل اول است وقياس منتج است.

7	هيچ ج، بعض الف نيست؛	از 4و3 قياس
8	هيچ ج، الف نيست.‌(عقيم)	از7ح.س

(7) نتيجه قياس از (4)‌ و (3) است. بنابراين،‌ (4) را صغري و (3) ‌را كبري در نظر گرفتيم و از اين رو، (7) نتيجه منطقي و لازم الصدق (4) و(3) مي باشد. بنابراين، نتيجه منطقي (2) و (1) است، ولي اگر سور را از ناحيه محمول حذف كنيم و به (8) برسيم، در (8) با مضموني روبه رو مي شويم كه با مضمون (7) متفاوت است و بي گمان از جزئي، كلي نتيجه نمي شود.
از اين رو، با حذف سور از ناحيه محمول با كژتابي زباني برمي خوريم به يقين اين كژتابي منطقي نيست؛ زيرا از نظر منطقي از (2) و (1) به (7) رسيديم و در اين نتيجه، هيچ كژتابي وجود نداشت.
در جدول زير ضروب منتج و عقيم شكل اول و چهارم آمده است كه اگر هر ضربي را سورگذاري كنيم، معلوم خواهد شد كه چرا منتج يا غير منتج است و آيا دليل عدم انتاج، كژتابی زباني است يا كژتابي منطقي؟

شکل اول			شکل چهارم
صغری	کبری	نتیجه	صغری	کبری	نتیجه
هر الف، ب است	هر ب، ج است	هرالف، ج است	هر ب، ج است	هر الف، ب است	بعض ج، الف است
هر الف، ب است	بعض ب، ج است	عقیم	بعض ب، ج است	هر الف، ب است	عقیم
هر الف، ب است	هیچ ب، ج نیست	هیچ الف، ج است	هیچ ب، ج نیست	هر الف، ب است	هیچ ج، الف نیست
هر الف، ب است	بعض ب، ج نیست	عقیم	بعض ب، ج نیست	هر الف، ب است	عقیم
بعض الف، ب است	هر ب، ج است	بعض الف، ج است	هر ب، ج است	بعض الف، ب است	بعض ج، الف است
بعض الف، ب است	بعض ب، ج است	عقیم	بعض ب، ج است	بعض الف، ب است	عقیم
بعض الف، ب است	هیچ ب، ج نیست	بعض الف، ج نیست	هیچ ب، ج نیست	بعض الف، ب است	عقیم
بعض الف، ب است	بعض ب، ج نیست	عقیم	بعض ب، ج نیست	بعض الف، ب نیست	عقیم
هیچ الف، ب نیست	هر ب، ج است	عقیم	هر ب، ج است	هیچ الف، ب نیست	بعض ج، الف نیست
هیچ الف، ب نیست	بعض ب، ج است	عقیم	بعض ب، ج است	هیچ الف، ب نیست	بعض ج، الف نیست
هیچ الف، ب نیست	هیچ ب، ج نیست	عقیم	هیچ ب، ج نیست	هیچ الف، ب نیست	عقیم
هیچ الف، ب نیست	بعض ب، ج نیست	عقیم	هیچ ب، ج نیست	بعض الف، ب نیست	عقیم
بعض الف، ب نیست	هر ب، ج است	عقیم	هر ب، ج است	بعض الف، ب نیست	عقیم
بعض الف، ب نیست	بعض ب، ج است	عقیم	بعض ب، ج نیست	بعض الف، ب نیست	عقیم
بعض الف، ب نیست	هیچ ب، ج نیست	عقیم	هیچ ب، ج نیست	بعض الف، ب نیست	عقیم
بعض الف، ب نیست	بعض ب، ج نیست	عقیم	بعض ب، ج نیست	بعض الف، ب نیست	عقیم

شكل دوم
هر الف، ب است هيچ ج، نيست:		هيچ الف، ج نيست.
		هيچ ج، الف نيست.
1	هر الف، ب است.	م
2	هيچ ج، ب نيست	م
3	هر الف، بعض ب است.	از1م.س
4	هيچ ج، هيچ ب نيست.	از2م.س
5	هيچ الف، هيچ ج نيست.	3و 4 قياس
6	هيچ الف، ج نيست.	از5ح.س
7	هيچ ج، هيچ الف نيست.	4و3قياس
8	هيچ ج، الف نيست.	از7ح.س

از آنجا كه در شكل دوم، حد وسط در هر دو محمول است، مي توانيم هر يك از اين دو مقدمه را صغري و ديگري را كبري در نظر بگيريم و از اين روي، صغري يا كبري بودن مقدمه، به چگونگي نتيجه آن وابسته است.

هر الف، ب است. هرج، ب است.		هر الف، ج است. (عقيم)
		هرج، الف است. (عقيم)
1	هر الف، ب است.	م
2	هر ج، ب است.	م
3	هر الف، بعض ب است	م.س1
4	هرج، بعض ب است	م.س2

بي گمان (3) و(4) را نمي توان صغري و كبراي قياس قرار داد؛ زيرا معلوم نيست حد وسط تكرار شده باشد؛ زيرا چه بسا بعض ب در(3) غير از بعض ب در(4) باشد. در اين قياس، فرقي نمي كند كه (3) صغري باشد و (4) كبري يا به عكس. از اينرو، منطق دانان شرط كرده اند كه در انتاج شكل دوم يكي از دو مقدمه سالبه باشد؛ زيرا با سالبه بودن يكي از دو مقدمه، تكرار حد وسط يقيني مي شود، چرا كه محمول سالبه همواره داراي سور كلي است. بنابراين اختلاف مقدمات در كيف، يك شرط منطقي محض است وبه كژتابي زبان مربوط نمي شود. منطق دانان در روش سنتي براي شكل دوم افزون بر اختلاف در كيف، كليت كبري را شرط دانسته اند كه مي توان به راحتي نشان داد كه آيا اين شرط به دليل كژتابي زبان لازم است يا آن كه الزام منطقي است.
در جدول زير ضروب شانزده گانه شكل دوم نشان داده شده و روشن شده است كه تنها چهار ضرب آن منتج است و بقيه عقيم اند. اگر مقدمات ضروب را سورگذاري كنيم، خواهيم دانست كه كدام يک از اين ضروب به دليل كژتابي منطقي و كدام يك به دليل كژتابي زباني غير منتج است.

صغری	کبری	نتیجه
هر الف، ب است	هرج، ب است	عقیم
هر الف، ب است	بعض ج، ب است	عقیم
هر الف، ب است	هیچ ج، ب نیست	هیچ الف، ج نیست
هر الف، ب است	بعض ج، ب نیست	عقیم
بعض الف، ب است	هرج، ب است	عقیم
بعض الف، ب است	بعض ج، ب است	عقیم
بعض الف، ب است	هیچ ج، ب نیست	بعض الف، ج نیست
بعض الف، ب است	بعض ج، ب نیست	عقیم
هیچ الف، ب نیست	هرج، ب است	هیچ الف، ج نیست
هیچ الف، ب نیست	بعض ج، ب است	عقیم.
هیچ الف، ب نیست	هیچ ج، ب نیست	عقیم
هیچ الف، ب نیست	بعض ج، ب نیست	عقیم
بعض الف، ب نیست	هرج، ب است	بعض الف، ج نیست
بعض الف، ب نیست	بعض ج، ب است	عقیم
بعض الف، ب نیست	هیچ ج، ب نیست	عقیم
بعض الف، ب نیست	بعض ج، ب است	عقیم

شكل سوم
هرب، الف است. هر ب، ج است.		بعض الف، ج است.
		بعض ج، الف است.
1	هرب، الف اس.	م
2	هرب، ج است.	م
3	هرب، بعض الف است.	از1م.س
4	هرب، بعض ج است.	از2م.س
5	بعض الف، بعض ج است.	3و4 قياس
6	بعض الف، ج است.	از5ح.س
7	بعض ج، بعض الف است.	4و3قياس
8	بعض ج، الف است.	از7ح.س

در جدول زير ضروب منتج و عقيم شكل سوم بيان شده است. اگر محمول مقدمات را سورگذاري كنيم، عقيم بودن ضروب عقيم معلوم مي شود.

صغری	کبری	نتیجه
هرب، الف است	هرب، ج است	بعض الف، ج است
هرب، الف است	بعض ب، ج است	بعض الف، ج است
هرب، الف است	هیچ ب، ج نیست.	بعض الف، ج نیست
هرب، الف است	بعض ب، ج نیست	بعض الف، ج نیست
بعض ب، الف است	هر ب، ج است	بعض الف، ج است
بعض ب، الف است	بعض ب، ج است	عقیم
بعض ب، الف است	هیچ ب، ج نیست.	بعض الف، ج نیست
بعض ب، الف است	بعض ب، ج نیست	عقیم
هیچ ب، الف نیست	هر ب، ج است	عقیم
هیچ ب، الف نیست	بعض ب، ج است	عقیم
هیچ ب، الف نیست	هیچ ب، ج نیست.	عقیم
هیچ ب، الف نیست	بعض ب، ج نیست	عقیم
بعض ب، الف نیست	هرب، ج است	عقیم
بعض ب، الف نیست	بعض ب، ج است	عقیم
بعض ب، الف نیست	هیچ ب، ج نیست	عقیم
بعض ب، الف نیست	بعض ب، ج نیست	عقیم