نيوتن ولايبنيتس هر دو حرف حساب مي زنند

حسابان، درسي است که خيلي از دانش آموزان رشته رياضي از آن گريزانند، علمي سرشار از داستان هاي زيبا و تاريخي که بدون آن زندگي ما، فرقي با 500سال پيش نمي کرد
همه دانش آموزان رشته رياضي بعد از ورود به دبيرستان با درسي به نام حسابان(Calculus)آشنا مي شوند . حسابان از آن درس هايي است که بيشتر بچه ها با ترس و لرز و شايد بي ميلي باآان روبه رو مي شوند. مفاهيم عجيب و غريب و ظاهرا پيچيده اي مثل مشتق و انتگرال کلماتي هستند که ممکن است ترسناک به نظر برسند اما در واقع اين طور نيست. بشر امروزي به چند اتفاق و موضوع علمي آن قدر وابسته است که اگر آنها را از او بگيريم پيشرفتش بي معنا مي شود. يکي از اين موضوعات علم حسابان است . در حقيقت اينها مفاهيمي هستند که رياضيدانان از 2000سال پيش به شکل ابتدايي از آنها استفاده کرده اند و تقريبا 300سال از فرمول بندي شدن آنها مي گذرد. کافي است قبل از توجه به فرمول ها ابتدا به مفهوم کلي ترواژه هايي مثل مشتق و انتگرال دقت کنيم. اسم اين درس هم از روي همين دو مفهوم گرفته شده است. حسابان يعني دو حساب يا به معني بهتر حساب ديفرانسيل و انتگرال، قديمي ها مي گفتند حساب جامع(انتگرال) و حساب فاضل (ديفرانسيل). با فهميدن اين مفاهيم درک و استفاده از فرمول ها آسان تر مي شوند. با هم نگاهي به اين مفاهيم و تاريخچه جالب آنها مي کنيم.
در سال 1684 لايب نيتس با انتشار مقاله اي درباره حساب عناصر بي نهايت کوچک، انقلابي برپا کرد. در اين مقاله او براي توصيف يک پديده پيچيده آن را به بي نهايت پديده کوچک و ساده تقسيم کرد. مثلا يک منحني را مرکب از بي نهايت پاره خط راست که بي نهايت کوچک و ساده بودند در نظر مي گرفت و آن را به اين وسيله توصيف مي کرد. لايب نيتس در اين مقاله نشان داد که اگر مي خواهيد کميتي مثل حرارت را مطالعه کنيد که از مقداري معين تا مقداري ديگر تغيير مي کند، بايد نشان دهيد اين تغيير از بي نهايت تغيير کوچک تشکيل شده . آن وقت بايد آن بي نهايت تغيير کوچک را باهم جمع بزنيد. او اين تغييرات جزيي را ديفرانسيل و مجموع آنها را انتگرال ناميد. وارد شدن حساب عناصر بي نهايت کوچک در قلمرو علم همچون هجوم توفان و يا موج مقاومت ناپذيري بود که به کلي دانش رياضي را زير و رو کرد. انتشار اين مقاله باعث منازعه اي بزرگ در دنياي علم شد که تا به امروز پابرجا مانده است.

نيوتن گوشه گير
 

دعواي تاريخي علم حسابان از آنجا شروع شد که ايزاک نيوتن براي توزيع معادلات حرکت، به صورت جداگانه اي از لايب نيتس علم حساب ديفرانسيل و انتگرال را ابداع کرد. او کارش را زودتر از لايب نيتس شروع کرد اما انتشار زودتر مقاله لايب نيتس باعث شد که اين ابداع به نام او ثبت شود. امروز مي دانيم که نيوتن در بين سال هاي 1664 تا 1666روش حساب ديفرانسيل و انتگرال را اختراع کرد، اما ميل هميشگي او براي پنهان کردن اکتشافاتش ، باعث شد لايب نيتس که ديرتر از او شروع به مطالعه در اين مورد کرده بود، زودتر مقاله اش را منتشر کند. همين مساله باعث شد که نيوتن ادعا کند زودتر از لايب نيتس اين معادلات را کشف کرده است و لايب نيتس معادلات او را دزديده است . اين منازعه آن قدر بالا گرفت تا هنگامي که لايب نيتس از آکادمي پادشاهي علوم انگلستان در خواست کرد، کميته اي بي طرف براي بررسي اين موضوع دست به کار شود، کميته اي که رئيس اش کسي نبود جز نيوتن. او تعدادي از دوستان خود را براي اين کار انتخاب کرد و در نتيجه لايب نيتس به دزدي محکوم شد. اما امروز مي دانيم که آنها به صورت جداگانه اين معادلات را صورت بندي کرده اند. امروزه رياضي دانان از علائم پيشنهادي لايب نيتس براي ديفرانسيل استفاده مي کنند در حالي که فيزيکدانان به پشتيباني از نيوتن علائم او را به کار مي برند . اين معادلات براي توصيف دقيق رياضي از پديده ها و اتفاقات فيزيکي و غير فيزيکي کاربرد دارند.

پارامترهاي توصيف رياضي
 

وقتي صحبت از توصيف دقيق رياضي مي شود بايد بدانيم که چه کميت هايي يک پديده را به دقت توصيف مي کند. مثلا وقتي صحبت از يک جسم متحرک مي شود، ما بايد چه کميت هايي را درباره آن جسم بشناسيم تا بتوانيم تعريف دقيق از حرکت آن جسم داشته باشيم. مثلاً بايد بگوييم توپ فوتبال در اين نقطه چه سرعتي داشته و در کدام جهت حرکت مي کند. البته کميت هاي ديگري هم وجود دارد که به توصيف دقيق تر اين حرکت توپ فوتبال کمک مي کند. مثلا سرعت آن در حال کم يا زياد شدن است و اين تغيير با چه روندي انجام مي شود(شتاب). همه اين کميت ها مفاهيم فيزيکي هستند که حتما با آن آشنا هستيد. اما اين کار به چه وسيله اي انجام مي شود؟ همان طور که گفته شد براي توصيف حرکت يک پديده بايد حرکت آن را هر لحظه بررسي کرد و آن را به تعداد بي نهايت حرکت ريزي تقسيم کرد. براي اين کار از حساب ديفرانسيل يا مشتق گيري استفاده مي شود. وقتي شما معادله حرکت يک جسم را داريد مي توانيد با استفاده از مشتق گيري سرعت و شتاب آن را در نقطه اي معين به دست بياوريد. يعني به جاي بررسي کل يک پديده آن را به جزئيات ريز تقسيم کرده آن را بررسي کنيد. همين طور مي توانيد شيب خط مماس بر منحني حرکت را تعيين کنيد که نشان دهنده راستا ي حرکت جسم است. يعني يک حرکت را به تعداد بي نهايت حرکت کوچک در حد جابه جايي به اندازه يک نقطه تقسيم مي کنيم. حالا اگر اين بي نهايت نقطه يا حرکت تقسيم شده را داشته باشيم آن وقت مي شود آنها را کنار هم قرار داد تا معادله کلي حرکت به دست بيايد. به اين کار انتگرال گيري گفته مي شود. مثلا با انتگرال گيري از معادله سرعت يک جسم مي شود به معادله مکان دست پيدا کرد. اينها نمونه هاي اندک و پيش پا افتاده اي از کاربردهاي اين علم هستند. کاربردهاي علم حسابان به قدري زياد است که حتي دامنه اش به جامعه شناسي و پزشکي هم مي رسد.

معادله مکان جسم
 

با جمع کردن سطح زير نمودار سرعت، به روش زير و در دو فاصله زماني معين مي توانيم ارتفاع جسم را به دست بياوريم. در حقيقت با اين روش ما از معادله سرعت انتگرال معين گرفته ايم . کافي است از اين معادله انتگرال نامعين بگيريم و مقدار اوليه ده را براي آن در نظر بگيريم. به اين ترتيب معادله مکان جسمي که از ارتفاع ده متري رها مي شود را به دست مي آوريم که نمودار سقوط آن به اين ترتيب خواهد بود.
Y:مکان جسم
g:شتاب جاذبه برابر منفي 9/8
t:زمان
Y:مکان اوليه جسم برابر با10
Y=1/2gt+Y

معادله سرعت جسم
 

فرض کنيم مي خواهيم جسمي را از بلندي روي زمين رها کنيم. مطابق قوانين فيزيک اگر اين جسم در خلاء سقوط کند سرعت آن در هر لحظه از معادله V=9/8tتا لحظه رسيدن به زمين به دست مي آيد. اين مساله يکي از ساده ترين مثال هايي است که در اين باره زده مي شود. نمودار اين حرکت خطي است.
V:سرعت جسم
g:شتاب جاذبه برابر منفي9/8
t:زمان
V=gt

يک مثال
 

همان طور که در اين مثال ديده مي شود ما «ثانيه يک» سقوط را براي محاسبه در نظر گرفته ايم. در اين مثال اگر ما سطح زير نمودار«سرعت» از ثانيه صفر تا يک را جمع بزنيم يا به عبارتي از آن انتگرال بگيريم به عدد4/9مي رسيم. براي به دست آوردن اين مساحت کافي است که مساحت مثلث به وجود آمده به وسيله خط مشکي را حساب کنيم که مي شود 1ضرب در9/8تقسيم بر دو (قاعده ضرب در ارتفاع تقسيم بر دو). از اين عمليات رياضي به عدد4/9متر مي رسيم. همان طور که ديده مي شود در نمودار مکان، نظير نقطه ثانيه 1عدد4/9 متر است. حالا براي حساب کردن شتاب بايد از معادله سرعت مشتق گرفت . يعني بايد شيب نمودار سرعت را در هر لحظه معين حساب کرد. براي اين کار بايد تانژانت زاويه بين نمودار سرعت و محور زمان را حساب کنيم. براي اين محاسبه با تقسيم ضلع مقابل با ضلع مجاور به عدد9/8- مي رسيم. اين عدد در همه جا ثابت بوده و همين مقدار را دارد اما در نمودار هاي غير خطي اين شيب در هر نقطه فرق مي کند.

معادله شتاب
 

با گرفتن مشتق از معادله سرعت يا مشتق دوم از معادله مکان، به معادله شتاب جسم سقوط کننده مي رسيم. از آنجايي که هر جسمي که در خلأ رها شود، تحت شتاب جاذبه سقوط مي کند، بايد شتابش برابر9/8متر بر مجذور ثانيه باشد . مشتق گيري ما هم همين نتيجه را به دست مي دهد و نمودار آن به شکل روبه روست.
a:شتاب
g:شتاب جاذبه برابر منفي9/8
a=g
منبع: نشريه دانستنيها شماره 14