حَبَش حاسِب

(تولد: مرو [امروز ماری(1)]، ترکستان [امروز ازبکستان شوروی]؛ وفات:875-864/260-250)

از زندگی و خانواده ی حبش اطلاعات چندانی در دست نیست. در زمان خلافت مأمون و معتصم عباسی در بغداد کار می کرده است، اما ممکن است جزء گروه کوچکی که در ارصادهای مُمتَحَن همکاری داشتند نبوده باشد.از 825/209 تا 835/220 در بغداد به رصد پرداخت. پسرش ابوجعفر بن حبش نیز منجمی ممتاز بود و آلات نجومی می ساخت.

آثار:

ابن ندیم و ابن قفطی و حاجی خلیفه آثار زیرین را به حبش نسبت می دهند:

1) تحریری نو از سِند هِند؛
2) زیج مُمتَحَن، که بهترین اثر اوست و مبتنی است بر کتاب بطلمیوس و ارصادهای خود او. ابن یونس آن را «قانون» نامیده است؛
3) زیج شاه، که کوتاه ترین زیجهای اوست؛
4) زیج حبش المعروف بدمشقی؛
5) کتاب الزیج المأمونی (یا زیج عربی)، این زیج و زیج دمشقی بر مبنای تاریخی هجری تنظیم شده است، نه بر مبدأ یزدگردی یا سلوکوسی؛
6) الرَّخائِم و المَقاییس، درباره ی رُخامات و اندازه ها؛
7) کتاب فی عمل الکره، درباره ی کره های آسمانی؛
8) کتاب عمل الاصطرلاب؛
9) کتاب عمل السطوح المبسوطة و القائمة و المائلة و المنحرفة؛
10) درباره ی فواصل ستاره ها.

چون همه ی این آثار موجود نیست تعیین تعداد و عناوین زیجهایی که حبش نوشته است. تقریباً ممتنع است. دو نسخه ی خطی از زیجهای حبش محفوظ مانده اند. یکی در استانبول (ینی جامع 784) و دیگری در برلین (5750)، که رونوشت نسخه های اصلی او نیست. درباره ی نسخه ینی جامع انتقادی شده است و آن را تجدید نظری در زیج حبش بوسیله ی کوشیار بن لَبّان دانسته اند. به هر تقدیر، مقدمه و بعضی فصول به صورت اصلی به ما رسیده است و می توان از آنها مانند نسخه ی برلین، به عنوان منابعی درباره ی حبش استفاده کرد.

مثلثات:

کارهایی که حبش در مثلثات کرده است از اهمیت بسیار برخوردار است.

جیبها (سینوس ها):

در سوریَه سیدهانتَه(400م) جدولی از نیم وترها داده شده است. نخستین بار در آثار آریَه بَهَطَه ی اول (500م) نام خاصی برای تابعی که ما سینوس می نامیم آمده است. وی علاوه بر نیم وترها اصطلاح جیه (jya) یا جیوه (jiva) را به کار برده است. این اصطلاح در جهان اسلام به صورت جَیب درآمد. خوارزمی (حدود 825/210) اولین کسی بود که جدول جیبها را تنظیم کرد. حَبش از وی پیروی نمود و جدولی برای
فراهم آورد.

عکس سینوس (سَهم، Versed sine یا به اختصار Versine):

در میان تابعهای مثلثاتی عکس سینوس نیز جلب توجه می کرده. می دانیم که در سوریه سیدهانته از آن یاد شده است. در آریه بهطه جدولی برای عکس سینوس تنظیم گردیده است. در اسلام منجمان برای مشخص ساختن عکس سینوس نامهای خاص به کار برده اند، مانند جیب معکوس (اصطلاح حبش) و جیب مَنکوس (اصطلاح خوارزمی) و سهم. حبش شاید نخستین کسی باشد که سینوس و عکس سینوس را به روشنی بدین صورت تعریف کرده است: «عمودی که از محیط دایره بر قطر فرود آید، سینوس (جیب مَبسوط) قوس محصور بین قطر و آن نقطه ی محیط است، فاصله میان محیط و عمود وارد بر قطر عکسِ سینوس (جیب معکوس) قوس مذکور است.» وی نشان داد که اگر
= جیب معکوسA،
و هر گاه
= جیب معکوسA
و نیز اگر
، آنگاه جیب > جیب معکوس؛
و اگر
، آنگاه جیب  جیب معکوس؛
و اگر
، آنگاه جیب= جیب معکوس.

ظِلّ (تانژانت):

سوریه سید هانته و کتابهای دیگر هندی از سایه ها، بخصوص در رابطه با نجوم یاد می کنند. به نظر می رسد که حبش اولین کسی باشد که برای قوسهای
جدول ظل (تانژانت) ها را فراهم آورده باشد. تابع طول سایه (ظِلِّ مَبسوط=umbra extensa) بدین صورت تعریف شده است:
که در آن P طول شاخص است. برای محاسبه ی طول سایه از روی ارتفاع خورشید حبش مراحل ذیل را ارائه می کند (شکل 1):
و علاوه بر یافتن طول سایه از روی ارتفاع خورشید معادلات زیرین را عرضه می کند:

نجوم کروی:

حبش برای حل مسائل در نجوم کروی و تبدیل مختصات و اندازه گیری زمان و بسیاری مسائل دیگر جداول نجومی توابعی را تنظیم کرده است که می توانند برای همه زیجها معیار شمرده شوند.
قاعده ی کلی برای محاسبه ی میل نجومی خورشید (مَیل نخستین، میل اوّل) را به دست می دهد.(شکل 2).
تمایل دایرة البروج
میل نجومی خورشید نه تنها به
، بلکه به مقدار تمایل دایرة البروج نیز بستگی دارد. اوج خورشید تعریف شده است (شکل 3). هر گاه میل نجومی خورشید شمالی باشد،
و هر گاه جنوبی باشد:
وقت روز، که از برآمدن خورشید اندازه گرفته می شود، متناسب است با ارتفاع خورشید، یعنی با «قوس دوران» (الدّایِرُ مِن الفَلَک). منجمان اسلامی چندین تابع مثلثاتی به دست می دهند که مبین روابط میان وقت و ارتفاع خورشیدند. اولین جواب دقیق را حبش داد و ابوالوفا و بیرونی آن را ثابت کردند. این تابع هم ارز تابعی است که برَهمَه گوپتَه در خَند خادیکه ی خود داده است:
که در آن:
نصف طول روزP=
ارتفاع خورشیدh=
وقت t=
(سانسکریت
؛ جیب النَّهار) جیب روز vers p=
آنگاه ارتفاع خورشید را از روی وقت معین می کند:
حبش طول روز، یعنی معادله ی روز (تَعدیلُ النَّهار) را، که خوارزمی تفاضل بُعدی می نامد حساب می کند (شکل 4).
او نشان می دهد که هر گاه میل خورشید شمالی باشد، آنگاه:
معادله روز = طول روز
و هر گاه میل خورشید جنوبی باشد، آنگاه:
معادله ی روز –
طول روز
معادله ی روشنایی روز برای سیارات و خورشید و ماه جدول بندی شده است، با کمک این جدول می توان به آسانی قوس روز را یافت.
مَطلعهای برجها (مَطالِع البُروج) یا اوقات طلوع در فلک مستقیم، یعنی بعدها، بدین صورت تعریف شده است(شکل 5):
با توجه به اهمیت بُعد از جنبه ی علم احکام نجوم حبش این گونه جدولها را تنظیم کرد. برای هر عرض نجومی خاص بُعدِ را بعد مایل می نامند. حبش نشان داد که اگر نقطه ی اختیاری بر روی دایرة البروج بین دو نقطه ی اعتدال بهاری و پاییزی باشد:
و هر گاه بین نقطه های اعتدال پاییزی و بهاری باشد:
حبش جدولهایی برای هفت اقلیم تنظیم کرد. بنابر گفته ی او اقلیم اول آن قسمت از نیمکره ی شمالی است که در آن
یعنی نواری که از حیث طول نیمساعت جلوتر از روشنایی روز باشد.
برای یافتن جیب مشرق حبش تابع زیرین را به دست می دهد (شکل 6)

نجوم:

حبش معمولاً پیرو بطلمیوس است، اما بعضی قسمتهای کار او به نحوی بارز تا بطلمیوسی است.

نظریه ی خورشید:

حبش جدولهایی برای حرکت متوسط خورشید برای سالهای 1،31، 61،91،...،691 و سالهای 1، 2،3 ،4، 5،...30، هجری؛ و برای 1، 2، 3، 4، ...، 29 روز؛ و برای 1، 2، 3، 4، ...24 ساعت؛ و برای 10،20،30،...60 دقیقه تنظیم کرد. حرکت متوسط خورشید در سال هجریو در روز(مقداری که در مجسطی داده شده است) است. وی خروج از مرکز خورشید راحساب کرد.
حبش نصف دایرة البروج را به 18 جزء قسمت کرد و هر جزء را کَردَجَه نامید. واژه ی فارسی ـ عربی کَردَجَه (جمع آن کَردَجات) قاعدتاً از واژه ی سانسکریت کَرمَج یَه(Karmajya) مشتق شده است و ظاهراً نماینده ی یک واحد طول قوس بوده است. و نیز جدولهای معادله ی خورشید (تَعدیل الشَّمس) را برای هر درجه ی انحراف (خاصّه) تهیه کرد.
حبش روشهایی برای محاسبه ی معادله ی (تعدیل) خورشید به دست داده است. این روش متداول در مجسطی آمده بود و منجمان اسلامی از آن پیروی کرده اند. هر گاه حرکت متوسط  ̅ یا انحراف داده شده باشد برای یافتنe، حرکت راستین خورشید (شکل 7):
خروج از مرکز e=
عکس مسأله، یعنی تعیینداده شده باشد، بیان شده است. این معادله جواب تقریبی زیرین را به دست می دهد (شکل 8):
چون زاویه یکوچک است حبش فرض کردBD=BC، یعنی
حبش برای حل مسأله ی بالا قاعده ی دیگری داد:
این تابع صحیح است، اما متغیر مستقلاست نه
. اگرجایرا بگیرد به معادله یمنجر می شود که به معادله ی کپلر معروف است. هم ارزِ این معادله در نجوم تامیل (2) در جنوب هندوستان یافته می شود.
حبش از روی موضع متوسط خورشید موضع راستین آن را یافت (شکل 9):
هر گاه
و
که در آن
و
بدین ترتیب
و
و نیز او از روی موضع راستین موضع متوسط خورشید را حساب کرد (شکل 10). موضع راستین B، یعنی
، داده شده است:
حبش با کار بستن این روشها ورود خورشید به برجهای منطقة البروج را حساب کرد و برای آنها جدولهایی تشکیل داد.

نظریه ماه:

حبش برای حرکتهای طولی و عرضی نجومی ماه چند جدول برای دوره های سی ساله ی قمری و سالانه و ماهانه و روزانه، مقداری که در مجسطی داده شده است) و برای ساعت
و کسرهای ساعت تنظیم کرد. جدولهایی هم در چهار ستون برای انحراف کلی ماه و معادله ی ماه (تَعدیل القَمَر) ساخت.
شیوه هایی که حبش برای محاسبه ی طول نجومی راستین ماه به کار برد مبتنی بود بر مدل حرکت ماه بود که بطلمیوس در مقاله ی پنجم مجسطی داده بود، فرقی اساسی که آن را از جدولهای پیشین دور می ساخت ترتیبی بود که در مورد تصحیحات مواضع متوسط داده بود، به صورتی که هیچگاه منفی نباشند. همان گونه که نویگه باوئر خاطرنشان می سازد این عمل مزیت عملی بزرگی بر روش بطلمیوس داشت(شکل 11).
جای حقیقی ماه بدین ترتیب مشخص شود:
M = مرکز متحرک فلک خارج مرکز
شعاع ظاهری فلک تدویر وقتی که در اوج فلک خارج مرکز باشد
G= «اوج راستین» فلک تدویر
F =«اوج متوسط» فلک تدویر
حداکثر فاصله ی زاویه ای ممکن بین F و G
نقطه ای از فلک تدویر که در آن
«انحراف متوسط» ماه که از F_° محاسبه شده است.
W= فاصله ی زاویه ای میان Gو F
= انحراف راستین که در G محاسبه شده است.
«طول نجومی راستین» ماه که ازمحاسبه شده است.
«تصحیح اول»،
تابع K در ستون اول جدول که عنوان معادله ی ماه (تعدیل القمر) دارد ثبت شده است. این تابع فاصله ی G تارا، که همان مقداری است که در مقاله ی پنجم مجسطی داده شده است، به دست می دهد؛ با این تفاوت که حبشرا علاوه کرده است که در نتیجه W همیشه نامنفی است،
، «تصحیح دوم»، تابعی است از a و در ستون سوم ثبت است، و از حیث مقدار متناظر است با ستون چهارم صفحه ی 8 مقاله ی پنجم مجسطی، اما حداکثر تعدیل،، به آن علاوه شده است. فرض شده است که فلک تدویر در اوج فلک خارج مرکز جای دارد. وقتی که در حَضیضِ فلک اخیر باشد مقدار مازاد تعدیل فلک تدویر در ستون چهارم جدول ثبت گردیده است. این مقدار تابع k (متناظر با ستون پنجم صفحه ی 8 مقاله ی پنجم مجسطی) است؛
نتیجه ازضرب کردن مقدار ستون چهارم در مقدار ستون دوم به دست می آید:
هر گاه
، نتیجه از مرکز راستین کاسته یا به آن افزوده خواهد شد. سرانجام حبش رابطه ی زیرین را به دست می آورد:

عرض نجومی ماه:

عرض نجومی ماه در لحظه ی معین به وسیله ی جدولی که برای یک درجه تنظیم شده است مشخص می شود. جای راستین ماهبه موضع متوسط عُقده ی صاعِد
علاوه می شود. به علت طول نجومی عقده ی صاعد، فاصله ی عقده ازدر جهت منفی محاسبه می شود. این مجموع، یعنی A شناسه ای است که جدول عرض نجومی ماه بر حسب آن مرتب شده است (شکل 12).

نظریه ی سیارات:

حبش برای محاسبه ی طول نجومی سیارات جدولهای متعدد برای حرکتهای متوسط در طول و عرض و تعدیلها تهیه کرد. روش او برای تعیین طول نجومی سیاره در لحظه ی معین t مبتنی بود بر روش بطلمیوس (مقاله ی یازدهم مجسطی).
برای سیاره های خارجی یا عِلوی (شکل 13):
که در آن
طول متوسط نجومی خورشید
طول متوسط نجومی سیاره
انحراف یا شناسه
این امر ایجاب می کند که شعاع سیاره در روی فلک تدویر همیشه موازی باشد با خطی که از o به خورشید متوسط وصل می شود.

سیارات سِفلی:

در مورد سیاره های داخلی یا سفلی
و انحراف را می توان از جدول به دست آورد(شکل14).
حبش برای سیاره های خارجی نخست طول نجومی متوسط  و انحراف متوسط a و طول نجومی اوج سیارهرا (شکل 15) به دست آورد:
وی فاصله ی C مرکز فلک تدویر از اوج را در لحظه ی معین حساب کرد. بنا بر فرضیه ی سیاره ای بطلمیوسی سیاره حرکت منظم خود را نه حول O، بلکه حول E یعنی مرکز «فلک مُعَدِّل» انجام می دهد. مرکز فلک حامل واقع می شود بین Oو E.آنگاه وی تعدیل مربوط به فلک تدویر را به صورتی که از O دیده می شود یافت، بدین ترتیب انحراف حقیقی a که از اوج حقیقی محاسبه می گردد به دست می آید. حبش این تفاضلرا به صورت تابعK ̅ در ستون اول جدول قرار داد. این تفاضل «تصحیح اول» نامیده می شود:
آنگاه فاصله ی C از A، یعنی K، را به طوری که از a دیده می شود، حساب کرد. این تفاضل نیز برابر است با زاویه ی
هر گاه
آنگاه نوبت به
، «تصحیح دوم» می رسد. این تصحیح تنها به انحراف راستین a بستگی ندارد بلکه به موضع فلک تدویر هم بسته است. اگر درست در اوج باشد این مقدار تصحیح به اندازه یکمتر خواهد بود، در ستون چهارم جدول به صورت تابعی از aچنین آمده است:
را می توان به صورت تابع K در ستون دوم یافت.
همه ی این روشها در صورتی صحیح است که مقداری که در ستون دوم یافته می شود منفی باشد. در صورت امکان ستون دوم در مقداری که در ستون پنجم یافته می شود ضرب، سپس از ستون چهارم تفریق می گردد. طول نجومی راستین سیاره چنین است:

عرض نجومی سیاره ها:

روش محاسبه ی عرض سیاره های علوی مبتنی است بر روش بطلمیوس در مجسطی، مقاله ی سیزدهم، 6. جدول عرضها در سه ستون تهیه شده و حبش همان مقدارهای عددی بطلمیوس (مجسطی، مقاله ی سیزدهم، جدول5) را به کار برده است. بنابرگفته ی او عرض نجومی را می توان با برهم افزودن دو جزءحساب کرد: میل فلک تدویر حول قطر دومشو زاویه ی بین صفحه ی دایره ی حامل و صفحه ی دایرة البروج در خط دو عقده
ستونهای اول و دوم تابع انحراف a، یعنی به صورتهستند. ستون سوم تابعاست:
عرض نجومی سیاره
در مورد سیاره های سفلی (بر اساس روش بطلمیوس، مجسطی، مقاله ی سیزدهم،6) جدول عرضها بر حسب انحراف، که بدرستی تعیین شده باشد، تنظیم می شود و عددهای متناظر با آن در ستونهای اول و دوم ثبت می گردد. این عددها تابع a هستند:
طول نجومی راستین معین سیاره ها یافته می شود. در مورد زهره
در مورد عطارد، اگر انحراف راستین که تعیین می شود در 15 سطر اول باشد:
و اگر در سطرهای دیگر باشد:
آنگاه
با این مقدار باید وارد جدول شد و عدد متناظر با آن را در ستون سوم یافت. این عدد تابعاست.
آنگاه
اگردر 15 سطر اول باشد سیاره شمالی است و اگر در سطرهای بعدی باشد، جنوبی. اگربعد از پانزده سطر اول، اما a در آن پانزده سطر باشد سیاره شمالی است.
بعد با(در مورد زهره و
در مورد عطارد) وارد جدول شده مقدار متناظر را در ستون سوم پیدا می کنیم که تابع
یا
آنگاه:
اگر
در زیر پانزده سطر اول باشد وسیاره دارای عرض نجومی جنوبی است؛ و اگردارای عرض شمالی. در این صورت در مورد زهره
. هر گاه سیاره دارای عرض شمالی باشدو در مورد عطارد، هرگاه سیاره عرض جنوبی داشته باشد،
.

نظریه ی اختلاف مَنظَر:

حبش برای تعیین اختلاف منظر دو روش کاملاً ‌متفاوت داشت؛ یکی اختلاف منظر در طولو دیگری اختلاف منظر در عرض
. به نظر می رسد که یکی از این دو برزخی بوده است بین روش بطلمیوس و روش منجمان اخیر اسلامی. این راه حل بستگی دارد به سینوس اول (جَیب اول) که می توان آن را چنین نوشت (شکل 16):
و برابر است با
، و سینوس دوم (جیب دوم) که برابر است با . حبش بی آنکه در صدد اثبات برآید می گوید که
بر اساس روش بطلمیوس اندازه گیری می شود (شکل 17):
به نظر می رسد که روش دیگر را از سوریه سید هنته گرفته باشد.
شیوه ی تعیین مؤلفه ی طول نجومی بسیار جالب توجه است. نخست t (شکل 18) را حساب می کرد. آنگاه آن را به صورت شناسه در جدول اختلاف منظر به کار می برد. این را اختلاف منظر اول می نامید. این را به t علاوه می کرد و با مقداری که حاصل می شد وارد جدول اختلاف منظر می گردید. نتیجه ای که حاصل می شد اختلاف منظر دوم بود. این اعمال تکرار می شد تا به اختلاف منظر پنجم می رسید ـ یک ربع اختلاف منظر در طول که بر حسب ساعت بیان شده بود.
برای یافتن اختلاف منظر ماه در عرض نجومی، ‌حبش A را به عنوان شناسه به کار می بُرد، و لازم می بود که مقدار متناظر تابع دو برابر شود (شکل 18) و این اختلاف منظر ماه در عرض می شد.

نظریه ی دیدن ماه نو (هلال):

شاید حبش اولین منجمی باشد که به محاسبه ی ماه نو (هلال) پرداخته است. مسلمانان نیز، ‌مانند بابلیان قدیم و یهودیان،‌ برای کارهای شرعی و نیز برای تقویم عرفی، تاریخ رؤیت ماه نو بودند. این کار منجمان مسلمان را متوجه این نکته ساخت که وقوف بر دیدن ماه نو از وظایف عمده ی نجوم است. حبش روش زیرین را برای تعیین قابل رؤیت بودن ماه نو به کار برد. 20 یا 30 دقیقه به وقت غروب آفتاب علاوه کرد و بدین ترتیب موضع متوسط ماه را در زمانی که ماه نو قابل رؤیت می شود به دست آورد. در این صورت موضع راستین خورشید و ماه و رأس برای تعیین وقتی که یاد شده مورد نیاز بود (شکل 19). بدین نحو
که موسی بن میمون اسرائیلی آن را بُعدِ اول نامید.
برای ناظری که بر روی زمین باشد اختلاف منظر موجب خواهد شد که ماه به جای Mدردیده شود.
آنگاه
اختلاف منظر در عرض واختلاف منظر در طول را می توان به دست آورد (شکل 20). بدین ترتیب
، این را موسی بن میمون بُعدِ دوم نامید. عرض نجومی راستین ماه (که موسی بن میمون آن را عرض اول نامیده است)، ‌بسته به وضع متغیر ماه، ‌از اختلاف منظر در عرض کاسته یا به آن علاوه می شد:
از این عرض دوم می توان نصف قوس روز ماه را نتیجه گرفت، و از روی آن معادله ی روز ماه به دست می آید. این تعدیل ماه به طول ماه علاوه یا از آن کاسته می شود. بدین ترتیب نقطه ی O از دایرة البروج (شکل 21) که همزمان با ماه غروب می کند به دست می آید:
آنگاه قوس QA از استوا که همزمان با قوس λ_3 از دایرة البروج فرو می نشیند محاسبه می شود (شکل 22).
این است اختلاف میان اوقات طلوع ماه و خورشید. این اختلاف زمان در مازاد ماه در یک ساعت ضرب می شود و بر 15 تقسیم می گردد. K که نتیجه ی عمل است به طول نجومی راستین ماه، ‌یعنی فاصله ای که ماه در این مدت طی کرده است، ‌اضافه می شود تا فاصله ی میان ماه و خورشید به هنگام غروب خورشید به دست آید. آنگاه (شکل 23):
هر گاه آنگاه ماه در آن روز قابل رؤیت خواهد بود. اگرماه را نمی توان دید.

پی نوشت ها :

1- Mary شهر نوبنیادی است در 27 کیلومتری شرق مرو.
2- Tamil.

کتابشناسی:
برای کسب اطلاعات بیشتر به آثار زیر مراجعه می توان کرد:
حاجی خلیفه، کشف الظنون، 2 جلد (استانبول،1941،‌1943)؛ ابن ندیم فهرست، ‌ویراسته ی فلوگل،I(1871)؛ ‌ابن قفطی،‌ تاریخ الحکماء، ویراسته ی لیپرت (برلین،‌1903)؛
A. Braunmuhl, V orlesungen uber Geschichte der Trigonometrie (Leipzig, 1900); G. Caussin, Le liver de la grand Hakemite, vol. VII of Notices et Extraits des MSS (Paris, 1804); S. Gandz, J. Obemann , and O. Neugebauer , The Code of Maimonides. Book (New Haven, 1956); J. Hamadanizadhe, "A Medieval Interpolation Scheme for Oblique Ascensions , " in Centaurus, 9(1963), 257-265; E.S.Kennedy,: An Islamic Computer for Planetary Latitudes; in Journal of the American Orental Society, 71 (1951), 12-21 ; and: Parallax Theory in Islamic Astronomy, in Isis, 47(1956), 33-53: E. S. Kennedy and M. Agna,: Planetary Visibility Tables in Islamic Astronomy, " in Centaurus. 7 (1960), 134-140; E. S. Kennedy and Janjanian. " The Crescent Visibility Tablen in Al-Kh-warizmi's Zij, "ibid., 11(1965), 73-78;E. S Kennedy and ahmad Muruwwa,"Biruni on the solar equation ," in journal of near Eastern Studies, 17(1958), 112-121; E. S. Kennedy and Sharkas, "Two Medieval Methods for Detemining the Obliquity of the Eclilptic, " in Mathematics Teacher, 55(1962) , 286-290; E.S. Kennedy and W. R. Transue, "A Medieval Iterative Algorism, " in American Mathematical Monthly, 63, no. 2(1956), 80-83; E. Kramer, The Main Stream of Mathematics (New York, 1951); N. Nadir, " Abul - Wafa on the Solar Altitude, " in Mathematics Teacher, 53 (1960), 460-463; C. A. Nallino, Al- Basttani Opus astronomicum, 3 vols (Brera, 1899-1907), see vols. I and III; O. Neugebauer, " The Transmission of Plantery Theories in Ancient and Medieval Astronomy , " in Scripta mathematica, 22(1956); "Studies in Byzantine Astronomical Terminology, " in Transactions of the American Philosophical Society, 50(1960); " The Astronomical Tables of Al-Khwarizmi, " in Hist.Filos.Skrifter Danske Videnskabernes Selskab, 4, no. 2(1962); and " Thabit ben Qurra 'On the Solar Year' and ' On the Motion of the Eighth Sphere, '"in Transactions of the American Philosophical Society, 106(1962), 264-299; G. Sarton, Introduction to the History of Science, I(Baltimore, 1927), 545, 550, 565, 667; A. Sayili "Habes el Hasib' in 'El Dimiski' adiyla Maruf Zici'nin Mukaddemesi'' in Ankara universitesi dilve tarih-cografya fakultesi dergisi, 13(1955), 133-151;
C. Schoy, "Beitrage zur arabischen Trigonometrie, "in Isis, 5(1923), 364-399; D.E Smith, History of Mathematics, II(London, 1925); and H.Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre W erke (Leipzig,1900).
منبع مقاله :
گیلسپی، چارلز کولستون؛ (1389)، زندگینامه‌ی علمی دانشمندان اسلامی (جلد نخست)، ترجمه‌ی جمعی از مترجمان، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ چهارم