مترجم:حبیب الله علیخانی
منبع:راسخون
منبع:راسخون
چکیده
در این مقاله ترموالکتریسیته در ابعاد کوچک را از لحاظ افزایش کارایی موادی مانند چاه های کوانتمی، سیم های کوانتمی یا نقاط کوانتمی نسبت به مواد بالک مورد مقایسه قرار می دهیم. اثرات نانو مقیاس بر روی توان گرمایی( thermopower)، رسانایی گرمایی و الکتریکی مورد بحث قرار داده شده است و قابلیت نانو ساختارها برای ایجاد یک کنترل مستقل بر روی این متغیرهای، نیز مورد بررسی قرار گرفته است. پیاده سازی یک چنین جنبه هایی نیز در نظر گرفته شده است.مقدمه
ویژگی های ترموالکتریکی و ترمو مغناطیسی مواد، خواص انتقالی بنیادی این مواد است. پدیده ی ترمو الکتریک نیز دارای کاربردهای عملی در تبدیل انرژی است. مواد ترموالکتریک می توانند توان الکتریکی را از حرارت تولید کنند و از الکتریسیته به منظور انجام یک عملکرد مانند به کار انداختن پمپ های حرارتی استفاده می کنند و بدین وسیله، یک خنک سازی یا حرارت دهی را در این سیستم ها فراهم آورد. مایعات مورد استفاده در این تبدیل های انرژی دارای الکترون های رسانش هستند.جوانب کلاسیک این هدف مربوط به زمان های خیلی طولانی می شود. از زمان کشف اثرات ترموالکتریک در دوره ی زمانی 1823 تا 1836( بوسیله ی Seedbeck، Peltier و Lenz)، این زمینه به سرعت رشد کرد و همچنین از سرعت سریع رشد علوم در طی قرن ها، استفاده کرد. دوره ی اول این رشد سریع( در سال هایی 1851 تا 1887) از توسعه ی ترمودینامیک، منتج شد. این رشد بوسیله ی مشارکت های جدید در این زمینه (بوسیله ی افرادی مانند Lord Kelvin، Boltzmann، Nernst) رخ داده است. علاقه به بررسی جوانب ترمودینامیک برگشت ناپذیر در پدیده ی ترموالکتریک ادامه داشت، اما کاربردهای آن به ترمومترهای ترموکوپلی محدود بود. رشد ثانویه در دوره ی زمانی 1947 تا 1960، وقتی رخ داد که Talkes، Ioffe و Goldsmid، توسعه های جدیدی در زمینه ی پدیده ی انتقال در نیمه رساناها را مطرح کردند. تکنولوژی توسعه یافته در آن زمان، امروزه نیز مورد استفاده قرار می گیرد( به جز توسعه های انجام شده در زمینه ی مواد skutterudite). ما می توانیم امیدوار باشیم که مطالعات اخیر در زمینه ی نانوتکنولوژی می تواند منجر به ایجاد دوره ی سوم رشد در این زمینه شود. در این زمینه، این تشخیص داده شده است که سیستم های با ابعاد کوچک نسبت به مواد بالک مشابه، دارای بازده ترموالکتریک بالاتری هستند. در این مواد، اثرات ابعادی هم بر روی حامل های بار و هم موج های شبکه ای، اثرگذار هستند. یک چنین بهبودهایی در خواص ترموالکتریک به طور تجربی در ابر شبکه های
و ابر شبکه های تشکیل شده از نقاط کوانتمی 
و 
مشاهده شده است. این مواد در اوایل سال 2000 گزارش شده اند.ویژگی پایه ای مواد دارای بازده ترموالکتریک، و ضریب کارایی پمپ های حرارتی ترموالکتریک، شکل ترموالکتریک مناسب آنهاست:
که در اینجا، S ضریب کاشت( Seebeck coefficient ) است و توان ترموالکتریک نیز نامیده می شود. σ رسانایی الکتریکی و κ رسانایی گرمایی است. Z معمولا در دمای متوسط T ضرب می شود تا به عددی به نام ZT برسیم که به آن شکل بدون بعد ترموالکتریک نامیده می شود. مواد ترموالکتریک متداول در دمای T=300 K به مقدار ZT=1 محدود هستند. مواد نانو مقیاس جدید در دمای T=300 K دارای ZT=2 می باشند. این مواد در دمای T=450 K دارای ZT=3 هستند. این مسئله مورد قابل توجهی است زیرا مقدار ZT=2 آستانه ی است که در آن می توان به کاربردهای در مقیاس بزرگ ترموالکتریسیته نیل پیدا کرد به نحوی که این کاربردها دارای کارایی هایی مشابه با ماشین های مکانیکی سنتی است.
سه جزء S، σ و κ غیر وابسته اند و این مسئله مانع می شود تا بهینه سازی Z در سیستم های سه بعدی متداول رخ دهد. در حقیقت، بیشتر مواد ترموالکتریک نیمه رساناهایی هستند که در آنها، κ یک مقدار بزرگ است که این مقدار بزرگ به دلیل رسانایی شبکه ای ایجاد می شود و در آنها فونون های اکوستیک حامل های غالب هستند. بنابراین، این متداول است که Z را به فاکتور توان
و فاکتور رسانایی گرمایی تقسیم کنیم. در بخش فاکتور توان، حامل های بار غالب هستند و در بخش رسانایی گرمایی، فونون ها حامل های غالب می باشند. دانسیته ی بالاتر از الکترون موجب می شود تا σ بالاتری ایجاد شود اما مقدار S در این حالت کاهش می یابد. مسیرهای پویش آزاد میانگین بزرگتر، مقدار σ را بدون ایجاد خسارت بر روی S، بهبود می دهد و بنابراین، موجب افزایش κ می شود. در این باره، مزیت صحبت کردن در مورد مقیاس نانومتر می باشد. ابعاد سیستم، پارامتر طراحی جدیدی ایجاد می کند که می توان بوسیله ی آن، وابستگی میان ضرایب عبور را تغییر داد. بازده ایجاد شده در ترموالکتریسیته ی با ابعاد کم از طریق ترکیبی از دو مکانیزم زیر حاصل می شود:یک کاهش در ابر رسانایی حرارتی شبکه به دلیل ایجاد تفرق و یا شکست فونون ها در مرزهای فیزیکی ساختارهای نانومقیاس.
یک افزایش در فاکتور توان
یا حداقل اجتناب از کاهش در با کاهش κ . این کار از طریق کوانتیده شدن اندازه یا از طریق فیلتر شدن انرژی الکترون ها، رخ می دهد.این آسان است که مسئله ی ترموالکتریسیته ی با ابعاد پایین را به چشم مقیاس های طولی مختلفی نگاه کنیم که در معادله ی انتقال وارد شده اند. با این کار می توان این مقیاس های طولی را با ابعاد یا اندازه ی مشخصه ی نمونه مقایسه کرد. در ابتدا، در رژیم انتقال نفوذی، رسانایی الکتریکی و رسانایی گرمایی شبکه به طور خاص بوسیله ی طول های پویش آزاد میانگین الکترون و فونون (
و 
) غالب است. این طول های پویش آزاد در ابعاد ده ها تا صدها نانومتر می باشند. از آنجایی که این مفید است که رسانایی الکتریکی افزایش یابد و رسانایی حرارتی کاهش یابد، شاید فردی بخواهد بر روی نمونه هایی کار کند که دارای ابعاد بحرانی d هستند به نحوی که این ابعاد بحرانی ممکن است بر روی اثر گذار باشند اما بر روی اثر بسیار کمتری ایجاد می کنند. قبلا این تشخیص داده شده بود که در مورد سیستم آلیاژی 
که تفرق آلیاژ می تواند کاهش قابل توجهی بر روی داشته باشد، تنها با یک کاهش متوسط در روبروست و بنابراین موجب کاهش رسانایی الکتریکی می شود؛ اگر چه این مسئله یک شرط < بر روی سیستم برقرار می کند. در سیستم های با ابعاد پایین، یک کاهش مشروط در ، می تواند با افزایش در ضریب کاشت، جبران شود. برای این که این مسئله بوقوع بپیوندد، این سیستم باید به طور مؤثر از بی نظمی تهی باشد، به نحوی که مدل های ساختار باند حفظ گردد. سپس دانسیته ی حالات الکترونی تابعی از ابعاد سیستم می شود( شکل 1 را ببینید). همانگونه که ما بعدا می بینیم، S تابعی از مشتق انرژی دانسیته ی حالات می باشد و بنابراین این مقدار وقتی مورد آخر به طور شدید افزایش می یابد، افزایش می یابد( شکل 1 را ببینید). کوانتمی شدن اندازه، وقتی اندازه ی d کوچکتر از طول موج الکترون( λ ) می شود و یا با این طول قابل مقایسه می شود، رخ می دهد. به هر حال، بی نظمی در پهن شدگی پیک ها در سیستم های صفر بعدی و 1 بعدی نشان داده شده در شکل 1، قابل دیدن است. ابعاد کوچک تر یک سیم کوانتومی موجب می شود تا احتمال بیشتری وجود داشته باشد که یک عیب، تابع موج الکترون را به یک بخش از سیم، متمرکز کند( ایجاد ممانعت در انتقال). سپس تصویر ساختاری باند برای مدت زیادتری حفظ نمی شود و رسانایی بوسیله ی اثرات موضعی شدن، غالب می شود. این اثرات موضعی شدن بوسیله ی طول پیوستگی فازی( 
) الکترون ها در سیستم، تشخیص داده می شود. اثرات موضعی شدن به طور خاص بوسیله ی اندازه گیری مقاومت مغناطیسی، تشخیص داده می شود که در آن، با ابعاد نمونه( d ) و همچنین طول مغناطیسی( 
) ) قابل مقایسه می باشد. این مسئله بیان کننده ی مفهوم فضایی تابع موج بر روی سطح لاندا می باشد. از آنجایی که تنها در دماهای پایین در ابعاد d است، اثرات موضعی شدن در دمای اتاق و در مواد با ویژگی ترموالکتریکی بالا( با 
ایجاد نمی شود.در این مقاله ی مروری، ما برخی از معادلات انتقال در ابعاد 3، 2 و 1 بعدی را نشان داده ایم و نشان دادیم که وجود ابعاد کوچک می تواند ZT را بهبود دهد. سپس ما ویژگی های ترموالکتریک( TE) را در چاه های کوانتومی( سیستم های 2 بعدی)، سیم های کوانتومی Bi و
( سیستم های 1 بعدی) و سیستم های صفر بعدی مانند سیم های کوانتومی مجزا، ابر شبکه های نقاط کوانتومی و نقاط کوانتومی قرار داده شده در میان نقاط تماس کوانتومی، مورد بررسی قرار داده ایم. ما این مقاله ی مروری را با پیشنهاد هایی در زمینه ی آینده ی تکنولوژیکی برای وسایل مبدل انرژی ترموالکتریک بوسیله ی سیستم های با ابعاد کوچک، به پایان رسانده ایم. در حقیقت، نانوساختارهایی که به صورت تجربی دارای ZT بالایی هستند، تولید آنها مشکل است و تنها قوانین پایه ای در این زمینه توسعه یافته است. برای آنکه بتوان ترموالکتریسیته ی با ابعاد پایین را به صورت اقتصادی مورد استفاده قرار دهیم، باید قادر باشیم تا نانو مواد را در حد کیلوگرم یا حتی تن تولید کنیم. هم اکنون چندین روش بوجود آمده که این روش ها نیز نتایج اولیه ای داشته اند. برای مثال در روش زبک، یک افزایش ضریب در هنگام زینترینگ نمونه های PbTe تولید شده با دانه های نانو سایز مشاهده شده است. این مسئله در مورد کامپوزیت های فلرن 
نیز مشاهده شده است. مواد اشاره شده در بالا و برخی دیگر از موادی که اخیرا مورد استفاده قرار گرفته اند، دارای ZT=2 در دماهای بالا هستند. علت بوجود آمدن ZT بالا در این مواد وجود مواد ذره ای پراکنده در این آلیاژهاست. البته نکته ی قابل ملاحظه، این است که اندازه ی این ذرات پراکنده شده در حد نانومتر هستند.تئوری پدیده شناختی برای انتقال در ابعاد مختلف
اولین جوانب مربوط به ترموالکتریسیته ی با ابعاد کوچک در اوایل دهه ی 1990 ارائه گردید. این جوانب به صورت پیش بینی های تئوری انجام شده بر روی افزایش کارایی ترموالکتریک ابر شبکه های چاه پتانسیلی دو بعدی و سیستم های متشکل از سیم های کوانتومی 1 بعدی، نمود داشته است. این پیش بینی های تئوری بر اساس مدل های بسیار مقدماتی انجام شده است. ما ابتدا در مورد فاکتورهایی صحبت می کنیم که بر روی Z اثرگذار هستند.رسانایی گرمایی مجموع دو عبارت است. یکی رسانایی گرمایی شبکه ای(
) و دیگری رسانایی گرمایی الکترونیکی(
):
رسانایی گرمایی شبکه ای عمدتا به دلیل انتشار فونون های اکوستیک در جامد ایجاد می شود و می توان آن را با استفاده از تئوری کلاسیک در مورد انتقال در رژیم های نفوذی قابل توصیف است:
که در اینجا
حرارت ویژه بر واحد حجم می باشد. 
برابر سرعت صوت و برابر طول پویش آزاد میانگین فونون می باشد. مکانیزم غالب که در سیستم های با ابعاد کوچک، مقدار را محدود می کند، بدین نحو عمل می کند که در آن 
است.رسانایی گرمایی الکترونیکی با رسانایی الکتریکی ارتباط دارد و بوسیله ی قانون ویدمن- فرانس بیان می شود:
که در اینجا، L عدد لورنز است( عدد لورنز یک پارامتر انتقال مختلط است)، اما چیزی که ما می توانیم این مقدار را با استفاده از مقدار الکترون آزاد آن یعنی
را در زمانی که حامل های بار تنها برخوردهای الاستیک انجام می دهند، تخمین بزنیم.رسانایی الکتریکی یک نیمه رسانای هم ارز بوسیله ی فرمول زیر بدست می آید:
که در اینجا، n دانسیته ی حامل های بار است. هر کدام از این بارها دارای بار e و موبیلیته ی آنها نیز برابر با μ است. در حقیقت، موبیلیته به سرعت رانش حامل های بار بر واحد میدان الکتریکی مربوط می شود و بنابراین، به طول پویش آزاد میانگین الکترون ها(
) وابسته است. بیشتر مواد ترموالکتریک به طور هم ارز با نیمه رساناها دوپ می شوند که در این حالت:
که در اینجا،
سرعت فرمی حامل، τ زمان آسایش و 
جرم مؤثر حامل بار است.رابطه ی Mott ضریب زبک را بدون توجه به مکانیزم انتقال، به ما می دهد. این مقدار، ضریب زبک را به عنوان تابعی از رسانایی الکتریکی وابسته به انرژی حامل های بار با انرژی E (
) و به صورت زیر بیان می کند:
که در اینجا،
تابع توزیع فرمی با انرژی فرمی 
است. معادله ی زیر
در هر سطح انرژی E و با توجه به معادله ی
حفظ می شود. که در اینجا 
برابر دانسیته ی الکترون ها در هر سطح E می باشد. این دانسیته، دانسیته ی حالات نامیده می شود که بیان کننده ی احتمال قرارگیری است. برای نیمه رساناهای هم تراز، معادله ی S به صورت زیر ساده سازی می شود:
که رسانایی الکتریکی (σ) با فرمول زیر بدست می آید:
و برای نیمه رساناهای هم تراز،
. وقتی دانسیته ی حالات به سرعت و بر اساس تابعی از E تغییر کند( مانند حالتی که برای سیستم های 1 بعدی و صفر بعدی در شکل 1 رخ می دهد)، معادله ی بالا برای S بر این دلالت دارد که ضریب زبک بهتر ارتقا یافته است. این مسئله یکی از مکانیزم هایی است که بوسیله ی آن ابعاد کوچک می تواند حفظ گردد و یا اگر بخواهیم به طور دقیق بگوییم، فاکتور توان را بهبود دهد.تنها در این مقاله ما انتقال ترموالکتریک از طریق نفوذ را در نظر می گیریم و از اثرات دما پایین که موجب کشیده شدن فونون می شوند، چشم پوشی می کنیم. اگر بخواهیم به طور دقیق صحبت کنیم، باید بگوییم که هیچ انتقال نفوذی در سیستم های صفر بعدی رخ نمی دهد زیرا هیچ بردار موج الکترونی آزادی وجود ندارد، اما در این سیستم ها، معادله ی Mott صرفنظر از مکانیزم انتقال، حفظ می شود. در تئوری اولیه ی Hicks و Dresselhaus برای انتقال نفوذی در جامدات با ابعاد کوچک، این فرض شده است که رابطه ی تفرق رابطه ی سهمی گونه است. این کار که برای ساده سازی انجام شده است، موجب می شود تا سطوح فرمی بیضی شکل شوند و موجب می شود تا تفرق فونونی بر تفرق الکترونی غالب شود. در حالی که مدل های پیچیده تر که بعدها برای توصیف سیستم های با ابعاد کوچک توسعه یافته اند، معمولا از شبیه سازی های عددی بهره گرفته اند، ما در اینجا فرمول های جبری ارائه کرده ایم که نشان می دهند چگونه ابعاد کوچک می توانند موجب افزایش ZT شوند.
در سیستم های بالک سه بعدی، فرایند تعیین مقدار بهینه ی ZT یک ماده، از زمان ظهور سیستم های ترموالکتریک نیمه رسانا، شناخته شده است. رابطه ی انتشار برای بسته های حامل منفرد به صورت زیر است:
که بردارهای انتشار در طول محور های x، y و z کریستالوگرافی، برابر است با
تانسور جرم مؤثر قطری است و دارای اجزای 
است. دانسیته ی حالات به عنوان تابعی از انرژی حامل ها( E ) در جدول 1 آورده شده است. برای سیستم های سه بعدی، این جدول از قانون 
تبعیت می کند( همانگونه که در شکل 1نشان داده شده است). Hicks و Dresselhaus نیز معادلاتی برای انتگرال های انتقال بدست آوردند که از تئوری کلاسیک تبعیت می کنند. این معادلات بیانی تحلیلی از σ، S و 
ارائه داده اند که این بیان ها در جدول 1 آورده شده است. در این انتگرال ها، زمان آسایش( τ ) و موبیلیته( μ ) که با توجه به معادلات بالا با هم در ارتباطند، در طول محور x جریان بار و جریان حرارت، آورده شده است. ویژگی های انتقال به عنوان تابعی از این انتگرال ها در اجتماع الکترون ها داده شده است. این انتگرال ها که به انتگرال های فرمی معروفند، به صورت زیر تعریف می شوند:
که در اینجا، x و x_F انرژی و انرژی فرمی حامل ها می باشد که به انرژی گرمایی نرماله شده است(
). در شکل 2 ما خطوط کامل مقادیر σ، S و را به عنوان تابعی از انرژی فرمی برای یک جامد سه بعدی و در دمای 300 K نشان داده ایم. مقدار =0 به انرژی فرمی مربوط می شود که با لبه ی باند تطبیق یافته است. ما فرض کرده ایم که، وقتی شکل 2 را محاسبه می کردیم، مقادیر جرم و موبیلیته ی را تا حدی مشابه با مقادیر ارائه شده برای ماده ی کلاسیک 
است( این ماده امروزه بیشترین استفاده در این کاربردها را دارد) در نظر گرفتیم. البته با این تفاوت که در جامد مورد نظر 
می باشد که در اینجا، 
برابر جرم الکترون آزاد می باشد. ما همچنین فرض کردیم که 
می باشد و بنابراین 
می باشد. همین طور که انرژی فرمی افزایش می یابد، ضریب زبک کاهش می یابد؛ این در حالی است که σ و افزایش می یابند. از آنجایی که رسانایی گرمایی کل از معادله ی دوم ارائه شده در این مقاله قابل محاسبه می باشد، این دو رسانایی همدیگر را در ZT حذف نمی کنند. سطح دوپ شوندگی ماده ی ترموالکتریک باید بهینه باشد به نحوی که سطح فرمی با این ماکزیمم منطبق باشد و در حقیقت به مقدار دقیق رسانایی گرمایی شبکه ای، وابسته باشد. در نمودار شکل 2، ما فرض کرده ایم که مقدار 
برابر مقدار ثابت 1.5 W/mK است. این مقدار با مواد ترموالکتریک متداول قابل مقایسه است. با این فرض ها، ما در شکل 2 می بینیم که در مواد سه بعدی امکان دستیابی به ZT =1 وجود دارد.ساختار دو بعدی که Hicks و Dresslhaus در نظر گرفته اند، یک ورق از جنس ماده ی نیمه رسانای یکسان و با ضخامت d می باشد که در آن x و y ابعاد صفحه ی ورق است و z نشاندهنده ی جهت محدود شده از لحاظ کوانتمی است. در مورد هم ارز سه بعدی، وقتی d کوچکتر از طول موج دوبری الکترون در طول محور z باشد، ابعاد محدود نمونه بوسیله ی وجود دو چاه پتانسیل بی کران، مدل سازی می شوند که این دو چاه، الکترون را در چاه کوانتمی و در طول محور z محدود می کنند، این در حالی است که الکترون در طول محورهای x و y محدود نیستند. رابطه ی تفرق منتج شده عبارتست از:
که در اینجا
ترازهای فرعی است که بوسیله ی رابطه ی زیر بدست می آید:
دانسیته ی حالات در دو بعد از یک سری پله تشکیل شده است که در جدول و شکل 1مشاهده می شوند. انتگرال های انتقال منتج شده( با فرض این مسئله که تنها تراز فرعی با حداقل انرژی اشغال شده باشد)، نیز در جدول 1 و شکل 2 نشان داده شده است( در این حالت فرض شده است که d کوچکتر از طول موج دوبری در جهت z است). ما همچنین در شکل 2 محل قرارگیری ترازهای فرعی
(i=1) را نشان داده ایم. روش پیدا کردن انرژی فرمی بهینه همان رویه ای است که در مورد جامدهای سه بعدی مورد استفاده قرار گرفته است و ما از مقدار یکسان 
استفاده کرده ایم. بهترین ZT وقتی حاصل شده است که سطح فرمی در نزدیکی باشد. ماکزیمم مقدار ZT که می توان در سیستم دو بعدی بدست آورد تقریبا برابر با 2 می باشد.Hicks و Dresselhaus با حرکت به سمت سیستم 1 بعدی، یک سیم مربعی از همان ماده ی نیمه رسانا را در نظر گرفتند که سطح مقطع آن d×d بود. این مربع در جهات y و z قرار داشت و حرکت حامل ها در جهت x در آن آزاد بود. در اینجا نیز d در طول جهات y و z، کوچکتر از طول موج دوبری الکترون در مورد سه بعدی هم ارز، بود و ابعاد محدود نمونه بوسیله ی حضور چاه های پتانسیل کرانداری مدل سازی شده بود که در آنها الکترون در طول محورهای y و Z، محدود شده بود. در این سیستم همچنین حرکت در طول محور x آزاد بود. این ساختار یک سیم کوانتمی است که در آن رابطه ی تفرق به صورت زیر است:
که در اینجا ،
ترازهای فرعی کوانتمی است که بوسیله ی فرمول زیر محاسبه می شود:
در این وضهیت، دانسیته ی حالات یک سری از خطوط منقطع است که در جدول 1 و شکل 1 آورده شده است. انتگرال های انتقال بدست آمده( با فرض اینکه تنها ترازهای فرعی با حداقل انرژی
اشغال شده اند)، نیز در جدول 1 و شکل 2 آورده شده است. با استفاده از رویه ای مشابه، انرژی فرمی بهینه بدست می آید. ما مشاهده کرده ایم که مقدار ماکزیمم ZT که می تواند در سیستم های یک بعدی حاصل شود، تقریبا 4 است. این مسئله تنها به دلیل کوانتومی شدن اندازه برای الکترون ها، رخ داده است و موجب کاهش های احتمالی در رسانایی گرمایی شبکه شده است که این مسئله نیز موجب افزایش بیشتر ZT شده است.سطوح انرژی یک سیستم صفر بعدی( یک نقطه ی کوانتمی) بوسیله ی یک گروه از اعداد کوانتمی گسسته ی سه گانه، حاصل می شود. دانسیه ی حالات یک نقطه ی کوانتمی در صفر کلوین تابعی دلتاست( همانگونه که در شکل 1 دیده می شود) و بنابراین، انتظار می رود که ضریب زبک این مواد بالا باشد. به هر حال، از آنجایی که هیچ بردار آزاد K وجود ندارد، هیچ انتقالی از حرارت یا بار وجود ندارد. اتصال یک نقطه ی کوانتمی به اتصال الکتریکی مؤثر، سطوح انرژی نقطه را آشفته می کند و موجب می شود تا سیستم تنها شبه صفر بعدی باشد. ویژگی های ترموالکتریک نقاط کوانتمی در چندین هندسه ی خاص، اندازه گیری شده است. این هندسه ها را ما بعدا در این مقاله مورد بررسی قرار می دهیم. عموما، این را می توان بیان کرد که ضریب زبک این سیستم ها به رسانایی ارتباط دارد( بوسیله ی رابطه ی Mott).
محاسبات بالا این فرض را انجام نداده اند که سرعت تفرق به ابعاد یا اندازه ی نمونه وابسته نمی باشد. Broido و Reinecke این فرضیه را در نظر نگرفته اند و پیشنهاد داده اند که وقتی حامل ها در ساختار های دو بعدی محدود شده اند، فاکتور توان به صورت منفی اثرگذار است. علت این موضوع بهبود سرعت های تفرق الکترون- فونون است. در حالی که این مسئله منجر به بهبود کمتر در فاکتور توان( در ساختارهای چاه کوانتمی) می شود، این به نظر می رسد که سیم های کوانتمی هنوز هم قابلیت استفاده در کاربردهای ترموالکتریک را داشته باشند.
بطور عکس، این استدلال می تواند در نظر گرفته شود که در سیستم های با ابعاد کوچک، حالت های کمتری وجود دارد که در آن یک الکترون می تواند تفرق یابد به نحوی که موبیلیته و فاکتور توان نیز می تواند به طور مثبت بهبود یابد.
مواد ترموالکتریک دو بعدی: چاه های کوانتمی
یکی از اولین گزارشات ارائه شده در زمینه ی مواد با
در زمینه ی ابر شبکه های 
انتشار یافته است. این فیلم ها بسیار نازک هستند و اندازه گیری آنها با استفاده از یک گروه از نمونه ها با ضخامت های مختلف انجام می شود و سپس با استفاده از برون یابی میزان این فاکتور در ضخامت نامحدود تعیین می شود. بنابراین نتایج غیر مستقیم است. در این ابر شبکه ها، افزایش ادعا شده در ZT از کاهش قابل توجه در κ_L ایجاد شده است. با مقایسه ی آلیاژ رندوم 
با 
در جهت موازی محور C نسبت به مقدار 
برای ابر شبکه های با لایه هایی به ضخامت های 1 یا 5 نانومتر( که در جهت مشابه رشد داده شده بودند)، کاهش در به میزان 2.2 مشاهده شده است. کاهش در رسانایی گرمایی برای ابر شبکه های 
نیز مورد تأیید قرار گرفته است .فیلم های تولیدی از نمک های سرب به طور گسترده و بوسیله ی گروه های تحقیقاتی زیادی مورد بررسی قرار گرفته اند. کاهش در رسانایی گرمایی به طور مؤثر مستندسازی شده است. برای مثال، این موضوع در مورد ابر شبکه های PbTe/Pb〖Se〗_0.2 〖Te〗_0.8 مورد بررسی قرار گرفته است. اثبات عملی قانونی که بتواند ZT را پیش بینی کند، برای سیستم چاه پتانسیل کوانتمی
مورد بررسی قرار گرفته است. در این قانون دو اثر کاهش رسانایی گرمایی و افزایش فاکتور توان در نظر گرفته شده است. این کار موجب شده تا علاقه در زمینه ی بررسی سیستم های ترموالکتریک با ابعاد کوچک، برانگیخته شود. شکل 3a ساختار یک چاه پتانسیل چند گانه از جنس 
را نشان می دهد و شکل 3b، ضریب زبک اندازه گیری شده در چاه کوانتمی چندگانه را به عنوان تابعی از دانسیته ی دوپ شوندگی، نشان می دهد. مقادیر S برای مواد بالک PbTe با مواد دوپ شونده ی مشابه نیز نشان داده شده است. فاکتور توان منتج شده نیز به عنوان تابعی از میزان دوپ شوندگی در شکل 2 آورده شده است. ماکزیمم مقدار 
برای چاه های کوانتمی 4 برابر بزرگتر از مقداری است که برای مواد بالک بدست آمده است. این مقدار همچنین به سطوح دوپ شوندگی بالاتر شیفت پیدا کرده است. همچنین مقادیر اندازه گیری شده برای فاکتور توان یک ارزیابی مناسب برای کارآمدی این محاسبات است. استفاده از یک مقدار برای 2 W/mK برای فاکتور توان یک چاه پتانسیل منفرد و صرفنظر کردن از اثر لایه های مانع از جنس PbEuTe، باعث می شود تا مقادیر ZT در گستره ی 1.5 برای مواد نوع p بدست آورد؛ اگر چه نتایج تا حدی متفاوت، بوسیله ی گروه تحقیقاتی Fraunhofer برای ساختارهای چاه کوانتمی PbTe/PbSrTe و PbTe/PbSeTe گزارش شده است. آنها همچنین فاکتور توانی را بدست آوردند که این فاکتور برای ساختارهای چاه کوانتمی دارای ابعاد 3 تا 5 نانومتر، افزایش داشته است. علت این موضوع افزایش قابل توجه در S می باشد؛ اما فاکتور توان چاه های کوانتمی آنها از مقدار بیان شده برای حالت بالک، بالاتر نمی باشد زیرا چاه های تنگ تر دارای موبیلیته ی الکترونی کمتری هستند. مقادیر ZT گزارش شده برای چاه های کوانتمی PbTe/PbSrTe آنها در برخی موارد از 1 بیشتر شده است؛ اما این مورد به کاهش رسانایی گرمایی شبکه به میزان 0.30 W/mK نسبت داده می شود.
از لحاظ تاریخی، اولین ماده ی لایه نازک که در آن اثرات کوانتمی مشاهده شده است، لایه نازک های تولید شده از بیسموت است. در دمای 4.2 K و حتی در دمای 77K، Ogrin و همکارانش یک رفتار نوسانی در مقاومت و ضرایب Hall این فیلم ها مشاهده کرده اند. این نویسندگان این رفتار را در حضور سطوح انرژی با اندازه ی کوانتمی مدل سازی کرده اند که در کار آنها، دانسیته ی حالات تشابه بیشتری با سطوح لاندا داشته است. این نتایج بوسیله ی Rogavheva و همکارانش نیز مشاهده شده است. اخیرا، آنها یک رفتار نوسانی را تا دمای اتاق مشاهده کرده اند.
استفاده از مطالب این مقاله با ذکر منبع راسخون بلامانع می باشد.
/ج
