مدل سازی در ریاضیّات

مدل ها

چگونه یک سنگ را پرتاب کنیم؟

فرض کنید در یک روز آرام روی یک زمین مسطح ایستاده اید و سنگی را در دست دارید و می خواهید آن را تا حد امکان به دوردست ها پرتاب کنید. شما از تمام نیروی خود استفاده می کنید اما مهمترین تصمیمی که باید بگیرید این است که سنگ را با چه زاویه ای پرتاب کنید. اگر سنگ را با زاویه ای نزدیک به سطح زمین پرتاب کنید، سرعت افقی سنگ زیاد می شود اما به سرعت به زمین برخورد می کند و شانس خود را برای پرتاب آن به فاصله ای دوردست از دست می دهید. از سوی دیگر اگر سنگ را زیادی به سمت بالا پرتاب کنید، سنگ مدت طولانی را در آسمان سپری می کند بدون اینکه فاصله افقی زیادی را پشت سر بگذارد. بنابراین واضح است که به راه حلی میان این دو حالت نیاز دارید.
بهترین نتیجه ای که می توانید به دست آورید از ترکیب فیزیک نیوتونی با اندکی اصول حساب ابتدایی به دست می آید. با چنین روشی می توان مشخص کرد حداکثر نتیجه ای که شخصی می تواند در این رویداد به دست آورد تنها زمانی حاصل می شود که سنگ در هنگام رها شدن از دست شما زاویه ای معادل 45 درجه با سطح افق بسازد. همین محاسبه به شما نشان خواهد داد که مسیر حرکت این سنگ در هوا یک منحنی سهمی خواهد بود و می توان با کمک آن در هر لحظه ی دلخواه، سرعت سنگ را محاسبه کرد. بدین ترتیب به نظر می رسد با چنین ترکیبی از فیزیک و ریاضیات هر کسی قادر خواهد بود تمامی رفتارهای این سنگ را از زمانی که پرواز خود را آغاز می کند تا زمانی که به زمین می نشیند پیش بینی کند. البته این به شرطی است که شما چند مرحله ساده سازی مسأله را پیش از این انجام داده باشید. به طور نمونه، این فرض را بپذیرید که تنها نیرویی که بر سنگ اعمال می شود گرانش زمین است و اندازه و جهت های این نیرو نیز در طول مسیر تغییر نمی کند. در حالی که این فرض اساسی در حل این مسأله درست نیست. چرا که شما با نیروی مقاومت هوا سرو کار دارید و باید عواملی چون چرخش زمین به دور خود، تغییرات گرانشی اندک در اثر تأثیر ماه، ضعیف تر بودن میدان گرانش زمین در ارتفاعات بالاتر و تغییر جهت بردار عمود بر سطح زمین هنگامی که از نقطه ای به نقطه دیگر سطح زمین می روید را در نظر بگیرید. حتی اگر همه این محاسبات را هم وارد کنید باز با این فرض مواجهید که شما نیروی پرتاب کننده دست را مستقل از زاویه پرتاب در نظر گرفته اید در حالی که این موضوع نیز درست نیست و ممکن است کسی که سنگ را پرتاب می کند اگر زاویه پرتاب کمتر باشد بتواند نیروی بیشتری وارد کند.
با توجه به این نکات که برخی از آنها دارای اهمیت بالاتری نسبت به بقیه هستند، چه روشی را باید برای رسیدن به نتیجه مؤثرتر و بهتر اتخاذ کرد؟ یک راه این است که تا حد امکان تأثیر همه عوامل مختلف را در نظر بگیریم با وجود این، روش معقول، چیز دیگری است. در این روش شما باید ابتدا مشخص کنید که چه میزان از دقت را در پاسختان نیاز دارید و سپس سعی کنید به ساده ترین روش به پاسخ مورد نظرتان برسید. مثلاً اگر از روی تجربه مشخص شود که برخی از فرض ها تنها تأثیر اندکی بر پاسخ نهایی خواهد داشت آنگاه بهتر است آن فرض را از محاسبات حذف کنید.
برای مثال، اثر مقاومت هوا در مثال پرتاب سنگ بسیار اندک است. چرا که سنگ مورد استفاده، کوچک، سخت و تا حد قابل قبولی چگالی است. به همین دلیل محاسبه اثر مقاومت هوا در برابر پارامتری مانند زاویه پرتاب سنگ، در نتیجه نهایی تأثیر قابل توجهی نخواهد داشت. اگر بخواهید این عامل را به حساب آورید به این نتیجه خواهید رسید که در اکثر اوقات هر چقدر مقاومت هوا بیشتر باشد شما باید زاویه پرتاب را کم تر کنید تا به نتیجه مطلوب برسید.

یک مدل ریاضی چیست؟

زمانی که شخصی راه حل یک مسأله فیزیکی را بررسی می کند در اکثر اوقات و نه همیشه این امکان وجود دارد که تفاوت میان نقشی که علوم تجربی و ریاضیات در حل آن مسأله ایفا می کنند به خوبی مشخص شود. دانشمندان، نظریات خود را عمدتاً بر مبنای نتیجه مشاهدات و آزمایش های خود بنا می کنند و از سوی دیگر ملاحظات عمومی نظیر سادگی و امکان توسعه پذیری آن نظریه را مورد توجه قرار می دهند. پس از این مرحله است که ریاضیدانان یا دانشمندان تجربی که از ابزار ریاضیات استفاده می کنند، پی آمدهای آن نظریه را بر اساس استنتاج های کاملاً منطقی بررسی می کنند. برخی از این پی آمدها پیش گویی های محاسباتی عادی هستند که رفتار یک پدیده را که نظریه برای توضیح آن بنا شده است توضیح می دهند اما گاه این پیش گویی ها کاملاً غیر منتظره و غیرعادی می شوند. اگر چنین پیش بینی های علمی بعداً به کمک روش های تجربی و آزمایش ها تأیید شوند می تواند به عنوان دلیلی مؤثر بر مطلوبیت یک نظریه به شمار آیند.
با وجود این، تأیید یک پیش بینی علمی گاهی اوقات چالش برانگیز می شود و یک دلیل آن همان مباحث مربوط به ساده سازی است که قبلاً هم درباره اش صحبت کردم. به عنوان مثالی دیگر، قوانین نیوتون درباره حرکت و گرانش بیان می کند که اگر شما دو جسم را از ارتفاعی یکسان رها کنید، هر دوی آنها همزمان به سطح خواهند رسید. گالیله برای نخستین بار به این مسأله اشاره کرده بود و آن را نوعی درک شهودی می دانست. اما این موضوع چندان هم بدیهی و شهودی نیست. کما اینکه شما اگر خودتان دست به آزمایش بزنید و مثلاً یک توپ تنیس روی میز را همزمان با یک توپ گلف پرتاب کنید می بینید که توپ گلف سریعتر به پایین می رسد. پس جایگاه و میزان درستی احساس گالیله در این مورد تا چه حد است.
اختلاف میان نظریه و تجربه در این مورد به مسأله مقاومت هوا باز می گردد و نمی توان از این آزمایش کوچک به رد نظریه گالیله برسیم. تجربیات بیشتر نشان خواهند داد تا جایی که مقاومت هوا اندک باشد این نظریه به خوبی پاسخگو است. اگر فکر می کنید ما با راحت طلبی هر بار که مکانیک نیوتونی با مشکل مواجه می شود پای مقاومت هوا را به میان می کشیم و تقصیرها را گردن آن می اندازیم بد نیست به عملکرد این نظریه در شرایط خلأ نگاه کنید تا ایمانتان به دانش و شگفتیتان از درک قوی و ممتاز گالیله افزایش یابد. در این شرایط یک پر و یک سنگ واقعاً همزمان با هم سقوط می کنند.
با وجود این از آنجا که مشاهدات تجربی هیچ گاه کامل و قطعی نیستند ما نیازمند روش بهتری برای شرح دادن و توصیف رابطه میان علوم تجربی و ریاضیات هستیم. ریاضیدانان نظریات علمی را به طور مستقیم با جهان بیرون مربوط نمی کنند بلکه برای این منظور از مدل ها استفاده می کنند. در اینجا منظور از مدل، نمونه ذهنی ساده شده ای از رفتارهای بخشی از جهان است که قرار است مورد مطالعه قرار گیرد. در این مدل است که امکان محاسبات دقیق به وجود می آید. در مورد پرتاب یک سنگ می توان تفاوت و رابطه میان جهان و یک مدل را با بررسی تصاویر 1 و 2 دریافت.
راه های زیادی برای مدل سازی وضعیت یک مسأله فیزیک وجود دارد و ما باید ترکیبی از تجربیات و ملاحظات نظری را در نظر بگیریم تا بتوانیم تصمیم بگیریم که کدام مدل ارائه شده می تواند به درک بیشتری از رفتار جهان کمک کند و چیزهای بیشتری به ما بیاموزد. زمانی که یک مدل را انتخاب می کنید یکی از اولویت های اصلی این است که رفتار آن مدل تا حد امکان با رفتار جهان واقعی بیرونی منطبق باشد. با وجود این، مسایل دیگری مانند ساده بودن مدل و برخورداری از ظرافت ریاضیاتی نیز عوامل مهمی در انتخاب مدل به شمار می روند و شاید گاه اهمیتی بیشتر پیدا کنند. با وجود این گاه مدل های بسیار کاربردی وجود دارند و به کار گرفته می شوند که هیچ مشابهتی با جهان بیرونی ندارد. در ادامه به برخی از آنها اشاره خواهم کرد.

پرتاب یک جفت تاس

اگر من یک جفت تاس را پرتاب کنم و بخواهم رفتار آن را بررسی کنم تجربه به من می گوید که در این باره مطرح کردن برخی از سؤال ها غیرممکن است. برای مثال هیچ کس نمی تواند به من بگوید خروجی این تاس ها دقیقاً چه اعدادی خواهند بود حتی اگر فناوری پیشرفته ای در اختیار داشته باشد و به هم زدن تاس ها نیز توسط ماشین ها صورت گیرد. در عوض پرسش هایی درباره احتمال رفتارها را در اغلب اوقات می توان پاسخ داد. پرسش هایی مانند اینکه چقدر احتمال دارد که مجموع عددها بیش از 7 باشد. پاسخ چنین پرسش هایی در بسیاری از موارد کارآمد است. مثلاً زمانی که من در حال بازی تخته نرد هستم این نوع پاسخ ها می تواند در بازی من مؤثر باشد.
برای ساختن مدلی که بتواند به پرسش های دسته دوم ( پرسش های احتمالاتی ) پاسخ گوید، می توان تمام حالاتی که ممکن است در نتیجه پرتاب تاس به وجود خواهند آمد را فهرست کرد. این حالت ها – که نتیجه نهایی انتخابی تصادفی میان یکی از آنها است – را می توان در قالب 36 زوج مرتب زیر نشان داد.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
عدد اول در هریک از زوج های بالا، نشان دهنده تعداد خال هایی است که روی تاس اول نشان داده می شود و مؤلفه ی دوم عدد خال های تاس دوم را نشان می دهد. از آنجایی که تعداد زوج هایی که مجموع عددهای آن بالاتر از 7 است، 6 زوج است بنابراین احتمال اینکه در یک پرتاب مجموع اعداد دو تاس از 7 بالاتر باشد، 6 از 36 یا 1 از 6 است.
شاید کسی بر این روش بررسی اعتراض کند که به هر حال هنگامی که تاس ها را پرتاب می کنیم آنها تحت تأثیر قوانین نیوتون عمل می کنند. بنابراین فرود آنها و نحوه قرار گرفتن آنها نمی تواند تصادفی باشد و با درصد بالایی از قطعیت می توان نحوه آرایش نهایی آنها را پیش بینی کرد. این استدلال درست است و اصولاً ما می توانیم این پیش بینی را انجام دهیم. اگرچه کلمه اصولاً در اینجا گمراه کننده است چرا که انجام چنین محاسباتی فوق العاده پیچیده خواهند بود و نیازمند آن است که بر مبنای اطلاعات بسیار دقیقی از شکل تاس ها، ترکیب و جنس آنها، سرعت اولیه و دوران های هر یک از تاس ها بنا شود. به همین دلیل عملاً سودی در استفاده از چنین مدل دقیق ولی پیچیده ای وجود ندارد.

پیش بینی رشد جمعیت

علوم نرم تری (1) مانند زیست شناسی و اقتصاد سرشار از مدل های ریاضیاتی است که به طور چشم گیرتری در مقایسه با پدیده ای که آن را بیان می کنند ساده ترند و گاه به طور عامدانه ای غیردقیق بیان می شوند؛ اما در هر حال این نظریات آگاهی بخش و کارآمد هستند. به عنوان مثالی مهم از زیست شناسی که تأثیر عمیقی بر برنامه ریزی های اقتصادی نیز دارد تصور کنید می خواهیم جمعیت یک جامعه را در یک بازه مثلاً 20 ساله پیش بینی کنیم. یک مدل خیلی ساده ریاضیاتی که ممکن است مورد استفاده قرار گیرد، کشور را به شکل یک زوج مرتب به شکل ( t,p(t) ) توصیف می کند در این زوج مرتب، t زمان و p (t) نشانگر جمعیت در زمان مشخص t است. به علاوه در این مدل از 2 عدد مهم دیگر که با b و d نشان داده می شود نیز استفاده می شود. b نشانگر آهنگ تولد و d نشانگر آهنگ مرگ آن کشور است. این اعداد نشان می دهند نسبت افراد متولد شده و یا درگذشته در جامعه مورد نظر ما، نسبت به کل جمعیت در یک سال چقدر است ( به همین دلیل b و d بین صفر و یک خواهند بود ) .
فرض کنید که ما میزان جمعیت در ابتدای سال 2002 میلادی را می دانیم و آن را معادل p فرض می کنیم. بر مبنای مدلی که بالا تعریف کردیم تعداد افراد متولد شده و متوفی تا پایان این سال به ترتیب از دو حاصل ضرب bP و dP به دست می آید. بنابراین جمعیت کل جامعه در ابتدای سال 2003 از رابطه زیر به دست خواهد آمد:
P+bP-dP=(1+b-d)P، این رابطه برای افزایش جمعیت در همه ی سال ها معتبر است بنابراین می توان آن را به این شکل بازنویسی کرد: P(n+1)=(1+b-d)P(n) این فرمول به این معنی است که جمعیت در آغاز سال n+1 برابر است با (1+b-d) ، برابر جمعیت در آغاز سال n. به بیان دیگر می توان گفت میزان جمعیت هر ساله در عدد (1+b-d) ضرب می شود و اگر این روند را برای 20 سال تکرار کنیم متوجه می شویم که جمعیت پس از پایان 20 سال برابر خواهد بود.
حتی این مدل ابتدایی هم به خوبی نشان می دهد که اگر آهنگ تولد در یک جامعه از آهنگ مرگ و میر بالاتر باشد این جامعه با رشد جعیت بسیار سریعی روبرو خواهد شد. البته این مدل خیلی هم واقع گرایانه نیست و به دلایل مختلفی ممکن است نتیجه آن با واقعیت یکسان درنیاید. برای مثال این امکان که نرخ تولد و مرگ در طی 20 سال ثابت بماند عملاً غیرممکن است چرا که این موضوع در اثر رویدادهای اجتماعی دچار تغییر می شود و مسایلی مانند تغییرات سیاسی و اجتماعی، کشف داروها، بروز بیماریهای همه گیر، تغییر متوسط سن بارداری زنان، میزان مالیات ها و بروز جنگ های بزرگ می تواند این نسبت ها را تغییر دهد. دلیل دیگری که این نسبت ها را تغییر می دهد، تغییر میانگین سنی جامعه است. مثلاً اگر 15 سال قبل شاهد یک رشد جمعیت بالا و تولد بالای کودکان بوده باشیم منطقی است فرض کنیم که بار دیگر در حدود 10 یا 15 سال بعد شاهد بروز یک افزایش چشمگیر در میزان تولد کودکان خواهیم بود.
به همین دلایل ممکن است لازم بدانیم که به سوی مدل های پیچیده تری پیش رویم. مثلاً می توان آهنگ تولد و مرگ را وابسته به زمان کرد و به شکل b(t) و d(t) نشان داد. همین طور ممکن است کسی بخواهد به جای آنکه تنها با یک پارامتر p(t) که بیانگر جمعیت در زمان t است روبه رو باشد، که کل تعداد جمعیت را در زمان مشخصی بیان می کند، تعداد افراد جامعه در بازه های سنی متفاوت را در نظر بگیرد تا بتواند رفتار آنها و تأثیرشان بر تغییر میزان نرخ تولد و مرگ را پیش بینی کند. گردآوری داده هایی این چنینی بسیار دشوار و گران خواهد بود؛ اما در عوض پیش بینی دقیق تری را ممکن می کند و به همین دلیل است که نمی توان یک مدل را به طور مطلق از مدل دیگر برتر دانست. از آنجایی که جوامع و سیاست ها تغییر می کند تقریباً غیرممکن است که با قطعیت آینده را پیش بینی کنیم. بنابراین نهایت آنچه را که می توانیم انجام دهیم این است که از هر مدل بخواهیم به شکل منطقی و بنابر شرایط اولیه پاسخی درست به ما بدهند. بدین ترتیب خواهیم دانست که در صورتی که جامعه و سیاست ها تغییرات مشخصی را شاهد باشد این تغییرات در آینده خود را چگونه نشان خواهد داد.

رفتار گازها

بر مبنای نظریه جنبشی گازها، که در سال 1738 از سوی دانیال برنولی (2) ارائه و بعداً از سوی ماکسول، (3) بولتزمن (4) و دیگر دانشمندان در نیمه دوم قرن نوزدهم میلادی توسعه پیدا کرد، گازها از مولکول های در حال حرکت تشکیل شده اند و بسیاری از خواص آنها از جمله دما و فشار را می توان بر مبنای مشخصات آماری این مولکول ها بیان کرد. مثلاً دمای یک گاز با سرعت متوسط حرکت مولکول های آن ارتباط دارد.
اجازه دهید با در نظر داشتن نکته فوق تلاش کنیم تا مدلی برای تبیین رفتار گازی که در یک بسته مکعبی شکل قرار دارد ارائه کنیم. شکل مکعبی این جبعه بیشتر از آنکه ضرورتی فیزیکی داشته باشد از نظر ریاضیاتی مهم است. از آنجایی که مولکول های گاز بسیار کوچک هستند طبیعی است که تصور کنیم آنها به شکل نقطه هایی در حال حرکت درون این مکعب قرار دارند. بنابراین ما باید درباره قوانینی بحث کنیم که بر نحوه حرکت این مولکول ها حاکم است. برای شروع باید دست به انتخاب برخی از شرایط خاص بزنیم.
اگر فقط یک مولکول درون این جعبه باشد آنگاه نحوه حرکت آن بسیار آشکار است. این مولکول با سرعت ثابت به حرکت می پردازد تا زمانی که به جداره جعبه برخورد کند و مسیر خود را تغییر دهد. ساده ترین روش قابل تصور برای تعمیم این مدل آن است که N مولکول را در جعبه فرض کنیم به طوری که N عددی به اندازه کافی بزرگ باشد و در عین حال مطلقاً هیچ واکنشی یا برخوردی میان مولکول ها رخ ندهد. برای اینکه این مدل N مولکوله را به دست آوریم ابتدا باید حالت و سرعت اولیه مولکول ها و یا نقاط نمایشگر آنها را مشخص کنیم. یک راه مناسب برای این موضوع آن است که با توجه به اینکه می دانیم در یک گاز واقعی، مولکول ها پراکنده شده و در جهت های مختلفی حرکت می کنند، موقعیت آنها را به شکل تصادفی انتخاب کنیم.
درباره تعیین موقعیت مکانی ذرات مشکل چندانی وجود ندارد چرا که می توان آنها را به شکل تصادفی در هر جای مکعب قرار داد و نقاطی که ممکن است بتوان این مولکول ها را در آن قرار داد کاملاً مشخص است. همین طور جهت حرکت را هم می توان تصادفی انتخاب کرد، اما درباره سرعت، این کار چندان آسان نیست. چرا که سرعت می تواند هر عددی بین 0 تا بی نهایت را به خود بگیرد. برای حل این مشکل بیایید، یک فرض غیرمحتمل و دور از ذهن را قبول کنیم و آن اینکه تمام مولکول ها با سرعت یکسانی در حال حرکت هستند. البته این سرعت یکسان حرکت تنها برای حالت ابتدایی بررسی و برای ذراتی که مکان و جهت حرکت آنها به طور تصادفی تعیین شده اند، صادق است.
طرحی دو بعدی از چنین وضعیتی را می توان در تصویر شماره 3 مشاهده کرد.
این فرض که N مولکول ما به طور مستقل از یکدیگر در حال حرکت هستند نمونه ای از یک ساده سازی افراطی است. برای مثال با چنین توصیفی شما نمی توانید از این مدل انتظار داشته باشید که به توضیح این واقعیت بپردازد که چرا اگر دما به اندازه کافی کاهش یابد یک گاز تبدیل به مایع می شود. در این مدل اگر دما را کاهش دهید آنگاه باز هم همان رفتار را از مولکول ها خواهید دید و تنها سرعت حرکت مولکول ها کندتر می شود. با وجود این همین مدل می تواند بسیاری از رفتارهای گازها را توجیه کند. برای مثال فرض کنید به تدریج شروع به کاهش فضای جعبه کنیم. در این حالت مولکول ها باز هم با همان سرعت به حرکت خود ادامه می دهند اما اکنون از آنجا که فضای جعبه کوچک تر شده است میزان برخورد آنها با دیواره ها بیشتر می شود و سطح کوچک تری از دیواره ها وجود دارد که مولکول ها بتوانند با آن برخورد کنند. به این دو دلیل می توان نتیجه گرفت که تعداد برخورد مولکول ها با واحد سطح دیوارها در یک ثانیه افزایش می یابد این برخوردها نمایانگر فشاری است که گاز به دیواره ها وارد می کند. بنابراین می توانیم نتیجه بگیریم هر چقدر فضایی را که گاز در آن قرار دارد کوچکتر کنیم فشار آن نیز افزایش می یابد. و این نتیجه ای است که مشاهدات نیز آن را تأیید می کند. استدلال مشابهی بیان خواهد کرد که چرا اگر شما با ثابت نگاه داشتن حجم جعبه اقدام به افزایش دمای محیط کنید باز هم فشار افزایش خواهد یافت و بدین ترتیب پیدا کردن رابطه ای ریاضیاتی میان حجم، فشار و دما دشوار نخواهد بود.
مدل بالا روایت غیردقیقی از مدلی است که برنولی ارائه کرده بود. یکی از دست آوردهای ماکسول، کشف استدلال نظری زیبایی بود که مسأله انتخاب سرعت های اولیه را به شکل واقع گرایانه تری حل می کرد. برای اینکه این نظر را درک کنیم ابتدا این فرض را که مولکول ها با هم هیچ برخوردی ندارند را کنار بگذاریم و به جای آن بپذیریم که در بازه های زمانی این مولکول ها مانند توپ های بازی بیلیارد با هم برخورد می کنند و پس از آن سرعت و مسیر حرکت آنها بر مبنای قوانین بقای اندازه حرکت و انرژی تغییر می کند و اگر بین آنها برخوردی رخ بدهد سرعت و جهت آنها مقادیر تصادفی خواهند بود. البته مشاهده و تصور اینکه چگونه نقاط منفردی که حجمی ندارند می توانند با هم برخورد کنند، آسان نیست اما این فرض تنها برای آن قرار داده شده است که بتوانیم از آن برای انتخاب تصادفی سرعت و مکان مولکول ها استفاده کنیم.
دو فرض پذیرفتنی ماکسول درباره ماهیت این توزیع تصادفی این است که اولاً با گذر زمان وضعیت آن دچار تغییر نمی شود و از سوی دیگر هیچ رجحانی در انتخاب جهت ها وجود ندارد. به عبارت دیگر می توان فرض دوم را اینگونه بیان کرد که اگر و دو جهت و s سرعتی مشخص باشد، آنگاه شانس اینکه ذره مورد نظر با سرعت s و در جهت حرکت کند به همان اندازه ای است که با همین سرعت در جهت حرکت کند. جالب توجه آنکه همین دو فرض برای تعیین دقیق توزیع سرعت ها کافی است. بدین ترتیب این قوانین به ما می گوید که اگر بخواهیم سرعت ها را به طور تصادفی انتخاب کنیم یک راه طبیعی برای این انتخاب پیش روی ما است ( این موارد باید بر مبنای توزیعی معروف به توزیع نرمال یا منحنی زنگوله ای انتخاب شوند که در بسیاری از مسایل متفاوت ریاضیاتی و تجربی کاربرد دارد ).
به محض آنکه سرعت ها را مشخص کردیم بار دیگر می توانیم تمام اندرکنش های میان مولکول ها را فراموش کنیم. در نتیجه چاره ای باقی نخواهد ماند جز آنکه بخشی از ضعف های مدل اولیه به این مدل نیز سرایت کند. برای اصلاح و جبران این نقص ها چاره ای نداریم جز آنکه به طریقی نحوه اندرکنش ها را نیز مدل سازی کنیم. اما حتی ساده ترین مدل ها برای توصیف سیستمی که اندرکنش و تأثیر متقابل ذرات را توصیف کند هم نیازمند مواجهه با پیچیدگی های بسیار زیاد و دشواری است که بسیاری از آنها از نظر ریاضیاتی غیرقابل حل به شمار می روند.

مدل سازی مغز و رایانه ها

یک کامپیوتر را می توان مجموعه ای از قطعات کوچک و ساده ای تصور کرد که در ارتباط متقابل با یکدیگر قرار دارند و به همین دلیل هم هست که علوم نظری کامپیوتر سرشار از مسایل حل نشده است. نمونه جالبی از مجموعه سؤالاتی که ممکن است مردم در این زمینه علاقمند به پرسیدن آنها باشند در پی آمده است. تصور کنید شخصی دو عدد اول p و q را انتخاب کند و آنها را در هم ضرب کند و نتیجه را که عدد pq است به شما اعلام کند. آنگاه شما می توانید با انتخاب همه ی اعداد اول و ضرب آنها در یکدیگر به این نتیجه برسید که اعداد p و q کدام ها بوده اند. برای مثال اگر به شما بگویند که حاصل ضرب عدد 91 بوده است آنگاه شما بلافاصله متوجه می شوید هیچ یک از این دو عدد نمی تواند2، 3 یا 5 باشد و با امتحان 7 به این نتیجه می رسید که اعداد اولیه 7 و 13 بوده اند.
اما اگر p و q اعداد بسیار بزرگی باشند و مثلاً هر یک از آنها 200 رقم داشته باشند آنگاه انجام این فرآیند آزمون و خطا حتی با کمک قوی ترین رایانه ها باز هم مدت طولانی و غیرقابل تصوری طول می کشد. ( اگر می خواهید دشواری واقعی موجود را دریابید سعی کنید اعداد اولی که حاصل ضربشان 6901 می شود را پیدا کنید و بعد به سراغ دو عدد اولی بروید که حاصل ضربشان عدد 280123 می شود ). از سوی دیگر این مسأله که رویکردهای دیگری برای حل این مسأله وجود داشته باشد چندان هم دور از ذهن نیست. شاید یکی از این روش های هوشمندانه به عنوان زمینه ای برای برنامه ای در نظر گرفته شود که می تواند در مدت نه چندان طولانی این مسأله را حل کند. چنین برنامه ای به فرد اجازه می دهد تا رمزهایی را بشکند که بر مبنای همین روش ساده طراحی شده اند و امروزه پایه سیستم های امنیتی مدرن را تشکیل می دهد. این سیستم های امنیتی در اینترنت و مبادلات الکترونیک کاربرد دارد و امنیت آن به دلیل دشواری تجزیه کردن اعداد بزرگ است. دلخوشی ما به امنیت این سیستم ها از آنجا ناشی می شود که هیچ راه سریعی برای شکستن این رمز و در حقیقت تجزیه یک عدد بزرگ به عوامل سازنده آن یا همان p و q وجود ندارد. اگرچه متأسفانه در حالی که کامپیوترها هر روزه ما را نسبت به توانایی های جدیدشان شگفت زده می کنند، تقریباً هیچ راهی وجود ندارد که مطمئن باشیم آنها از عهده چنین کارهایی برنخواهند آمد.
پیش از آنکه کسی بخواهد به این مسأله فکر کند باید بتواند راهی پیدا کند تا عمل یک کامپیوتر را به شیوه ای ریاضیاتی و به ساده ترین شکل ممکن، نشان دهد. شکل 4 یکی از بهترین راه ها را برای این موضوع نشان می دهد.
این تصویر شامل لایه هایی از گره ها است که هر یک از آنها به کمک خط هایی که به آنها یال می گوییم به یکدیگر وصل شده اند. بالاترین لایه به ورودی اختصاص دارد که دنباله ای از 0 ها و 1 ها است و در پایین ترین لایه خروجی قرار می گیرد که آن هم دنباله ای از 0 ها و 1 ها را شامل می شود. سه نوع گره وجود دارد که آنها را به نام دروازه های (AND ) « و »، ( OR ) « یا » و ( NOT ) « نقیض » نامگذاری می کنند. هر یک از این گره ها از یال هایی که از بالا وارد آن می شود 0 ها و 1 هایی را دریافت می کنند و بر مبنای آنچه به آنها وارد شده است و بر اساس قوانین ساده زیر 0 ها و 1 هایی را از خروجی خود بیرون می دهند. بر مبنای این قوانین اگر همه ورودی های گره « و » 1 باشند در این صورت این عملگر عدد 1 و در غیر این صورت 0 را بیرون می فرستد. اگر یک گره « یا » تنها ارقام 0 را دریافت کند در این صورت 0 عدد خروجی خواهد بود و در هر حالتی غیر از این خروجی عدد 1 خواهد بود. دروازه « نقیض » تنها می تواند یک یال ورودی داشته باشد و اگر این یال رقم 1 باشد در این صورت 0 را خارج می کند و در صورتی که 0 وارد شود، 1 را خارج می کند.
آرایه ای از دروازه هایی که توسط یال ها به هم متصل شده اند را یک مدار می نامند و آنچه که من شرح دادم یک مدل مدار محاسباتی بود. علت آنکه کلمه محاسباتی، کلمه مناسبی به شمار می رود این است که یک مدار می تواند رشته ای از 0 ها و 1 ها را بپذیرد و بر مبنای قوانین از پیش تعیین شده ای آنها را تبدیل به آرایه دیگری از 0 ها و 1 ها کند. این قوانین و عملگرها در صورتی که مدار به اندازه کافی بزرگ باشد می تواند بسیار پیچیده از آب درآید. این همان فرآیندی است که در کامپیوترها انجام می پذیرد اگرچه آنها این رشته های خروجی را به زبانی که برای ما قابل فهم باشند ترجمه هم می کنند و ما می توانیم آنها را در قالب زبانی مانند زبان های برنامه نویسی پیشرفته، پنجره های مختلف در سیستم عامل ویندوز، نشانه ها و مانند آنها، درک کنیم.
عملاً هر برنامه کامپیوتری را می توان از نقطه نظر تئوری به راحتی و سادگی به مداری تبدیل کرد که می تواند مجموعه ای از 0 ها و 1 ها را دریافت کرده و با استفاده از همان قوانین ساده نتایج مورد نظر را به دست آورد. اگرچه انجام این کار ساده ممکن است آن قدر در عمل دشوار شود که به یک کابوس ترسناک تبدیل شود. فراتر از آن مهمترین ویژگی های برنامه های کامپیوتری به مدارهای نتیجه بخش آن وابسته است.
به ویژه آنکه تعداد گره های به کار رفته در یک مدار به طور مستقیم با زمانی که یک برنامه برای اجرا صرف می کند وابسته است. به همین جهت است که اگر کسی نشان دهد تبدیل یک رشته 0 و 1 از ورودی داده ها به نتیجه مورد نظر نیازمند مدارهای بزرگ است؛ آنگاه می تواند نشان دهد که حل این مسأله توسط یک برنامه کامپیوتری در مدت زمان بسیار طولانی انجام می شود. رجحانی که بررسی مدل های مداری نسبت به آنالیز و تحلیل مستقیم کامپیوتر دارد در این نکته است که از نظر ریاضیاتی مدارها، ساده تر، طبیعی تر و برای بررسی کارآمدتر هستند.
با تغییرات جزیی که بر روی مدل مداری اعمال می شود می توان به مدل کارآمدی برای عملکرد مغز رسید. ابتدا 0 و 1 ها را با سیگنالهایی که می توانند شدت متفاوتی متناظر با اعداد میان 0 و 1 را داشته باشند جایگزین می کنیم. در گاه ها بیانگر نرون ها یا سلول های مغزی هستند. اگرچه این سلول ها ماهیتاً متفاوت هستند اما عملکرد در اصل به همان سادگی است. هر یک از نرون ها، سیگنال هایی را از دیگر درگاه ها می گیرند. اگر مجموع شدت سیگنال های ورودی که معادل مجموع اعدادی است که به آن نسبت داده می شود، به اندازه کافی بزرگ باشد، آنگاه درگاه مورد نظر سیگنالی با شدت مشخص را ( بر مبنای ورودی ) به خروجی می فرستد. این امر را می توان به تصمیم گیری نرون برای انجام یا عدم انجام عملکردش تشبیه کرد.
به نظر باورنکردنی است که چنین مدلی بتواند تمام پیچیدگی های عملکرد مغز را بیان کند. البته باید توجه کرد که این مدل تا حدی برای این منظور مناسب است چرا که من هنوز چیزی درباره تعداد درگاه ها و روش مرتب کردن آنها نگفته ام.
در مغز ما حدود 100 میلیارد نرون به روش بسیار پیچیده در کنار هم قرار گرفته اند و در سطح فعلی دانش ما نمی توان چیز زیادی درباره جزییات عملکرد مغز بیان کرد. با وجود این، این مدل یک قالب نظری کارآمد را به وجود می آورد که می توان بر مبنای آن درباره نحوه عملکرد مغز اندیشید و همین طور این فرصت را به وجود آورد که برخی از مجموعه رفتارهای مشابه مغز را شبیه سازی کرد.

رنگ کردن نقشه و رسم جدول زمانی

در نظر بگیرید که شما نقشه ای را طراحی کرده اید که به نواحی مختلفی تقسیم بندی شده است ( مثل نقشه تقسیمات سیاسی جهان )؛ و قصد دارید با حداقل تعداد رنگ ممکن این نواحی را رنگ آمیزی کنید. در عین حال نمی خواهید هیچ یک از دو ناحیه ی مجاور هم رنگ باشند. از سوی دیگر فرض کنید که در حال رسم جدولی زمانی برای دروس دانشگاهی هستید که به واحدهای مختلفی تقسیم شده اند. تعداد زمان های ممکن برای ارائه دروس محدود هستند و به همین دلیل برخی از واحدها با هم تداخل خواهند داشت. شما فهرستی از دانشجویانی را دارید که چنین واحدهایی را انتخاب کرده اند و می خواهید زمان های آنها را به گونه ای انتخاب کنید که در واحد تنها زمانی تداخلی داشته باشد که هیچ شخصی هر دو آنها را همزمان انتخاب نکرده باشد.
این دو مسأله به ظاهر کاملاً متفاوت به نظر می رسند. اما با انتخاب یک مدل مناسب مشخص می شود که از نظر ریاضیاتی هر دو مسأله همسان هستند. در هر دو مسأله برخی از اشیاء وجود دارند ( واحدها و کشورها ) که باید اشیاء دیگری را به آنها نسبت داد ( زمان و رنگ )؛ همچنین در هر دو مسأله برخی از زوج اشیا دارای ناسازگاری هایی هستند ( واحدهایی که نباید تداخل داشته باشند و کشورهای همسایه ) که باعث می شود امکان تخصیص یکسانی به آنها وجود نداشته باشد. در هیچ یک از مسایل برای ما ماهیت اشیاء یا آنکه چه چیزی باید به آنها تخصیص یابد، اهمیت ندارد و به همین دلیل می توانیم آنها را به شکل نقاطی نمایش دهیم. برای آنکه نشان دهیم کدام نقاط دارای ناسازگاری هستند می توانیم آنها را با کمک خطوطی به هم متصل کنیم. چنین ساختاری از نقاط که برخی از آنها را با کمک خطوط به یکدیگر وصل کرده ایم ساختاری ریاضیاتی به نام گراف تشکیل می دهد. شکل 5 نمونه ساده ای از یک گراف را نشان می دهد. اصطلاحاً نقاط را در یک گراف، رأس و خطوط را یال می نامند.
اگر بخواهیم مسایلی که در بالا بیان شد را به این طریق بیان کنیم مسأله ما به این شکل تغییر پیدا می کند که باید رئوس را به طریقی در تعداد معدودی گروه دسته بندی کنیم به طوری که در هیچ یک از این گروه ها، 2 رأسی که با یک یال به هم وصل شده اند وجود نداشته باشد. گراف شکل 5 را می توان به 3 گروه این چنینی تقسیم کرد. اما امکان تقسیم آن به 2 گروه با این خصوصیت وجود ندارد. این مثال دلیل خوب دیگری بر اهمیت ساده بودن مدل ها ارائه می کند؛ اگر شما خوش شانس باشید یک مدل خواهد توانست پدیده های متفاوتی را همزمان توضیح دهد.

پي‌نوشت‌ها:

1. علوم نرم مانند زیست شناسی و اقتصاد علومی هستند که جنبه انسانی تری نسبت به علوم محض دارند و اثرات مستقیمی بر زندگی روزمره ما دارند و می توان آنها را علوم غیرفنی نامید.
2. Daniel Bernoulli
3. Maxwell
4. Boltzmann

منبع مقاله :
گاورز، تیموتی؛ ( 1391 )، ریاضیات، پوریا ناظمی، تهران: بصیرت، چاپ دوم.