به شاگردان نظامیه‌ها گفته می‌شد که آموختن فلسفه حرام است و فیلسوفان بددین و منحرف‌اند. کتاب‌های فلسفه هم کتاب‌های گمراه‌کننده و باطلی هستند و مسلمانان پاک‌دین نباید آن‌ها را مطالعه کنند.
غزالی یکی از شاگردان نظامیه‌ی نیشابور بود و طبق فتوای فقیهان شافعی نزدیک شدن به فلسفه برایش حرام بود. اما غزالی که روح پرجنب‌وجوشی داشت و به شدت دنبال حقیقت بود، به بهانه‌هایی توانسته بود خود را به خانه‌ی خیام برساند و مخفیانه در درس‌های او شرکت کند.
خیام فیلسوفی بود که مجبور شده بود چند سالی از نیشابور فرار کند و در جایی مخفیانه زندگی کند، پس از برگشتن به نیشابور هم با نمایش زهد و تقوای خود و گوشه‌گیری توانسته بود امنیتی نسبی برای خود فراهم آورد. خیام با توجه به شرایط، مجلس درس محدودی در خانه‌ی خود ترتیب داده بود و تعداد محدودی شاگرد داشت. خیام خود را شاگرد ابن‌سینا می‌دانست و در مقدمه‌‌ی رساله‌ی کون و مکان، این را اعلام کرده بود. خیام در اغلب رشته‌های علوم عقلی و اسلامی زمان خود به استادی رسیده بود. یک روز وقتی درس خیام تمام شد، غزالی بلند شد و با سرعت از خانه‌ی استاد بیرون رفت. اما هنوز چند قدمی دور نشده بود که ناگهان صدای طبل و دهل بلند شد. عابرانی که در آن ساعت از روز از آن‌جا می‌گذشتند، ایستادند و به دنبال صدا چشم چرخاندند. مغازه‌داران و دستفروشان و دوره‌گردان خاموش شدند و دنبال صدا گشتند. زنان و کودکان از پشت پرده‌ها و پنجره‌ها و لای درها سرک کشیدند.
غزالی که ناگهان خود را زیرسنگینی آن همه نگاه می‌دید، خشکش زد و بی‌اختیار ایستاد. در خانه‌ی خیام هنوز باز بود و چند جوان جلو آن ایستاده بودند. طبل و دهل همچنان می‌کوبید و اهل نیشابور را خبر می‌کرد. جوانانی که جلو در خانه‌ی استاد ایستاده بودند، با تعجب به هم نگاه می‌کردند. آن صدای بی‌موقع و بی‌معنی، آنان را بیشتر از دیگران حیرت زده و گیج کرده بود. فقط غزالی بود که سرش را پایین انداخته بود و نگاهش را از مردمی که آن‌جا جمع شده بودند، می‌دزدید. آنان که نزدیک او بودند می‌توانستند ببینند که رنگش پریده و دانه‌های عرق، پیشانیش را خیس کرده است. ناگهان درِ خانه صدایی کرد و خیام در قاب در ظاهر شد. همه به سمت استاد نگاه کردند. جوان سرش را بلند کرد. لبخندی روی لب استاد بود و داشت به او نگاه می‌کرد. جوان باهوش و دانشمند، با همان نگاه اول همه چیز را فهمید.
استاد از درگاه عبور کرد و پای در کوچه گذاشت. هنوز لبخند روی لب استاد بود. جوان تاب دیدن لبخند استاد را نداشت. شاگردان و مردم، رد نگاه استاد را گرفته بودند و کنجکاو به او نگاه می‌کردند. استاد مثل سرداری پیروز لبخند می‌زد. غزالی در تله‌ای افتاده بود که هیچ وقت فکرش را نمی‌کرد. راه گریزی نداشت. یک طرف کوچه استاد بود و یک طرف مردم. طبل و دهل هم همچنان می‌کوبید. انگار استاد به آنان گفته بود که تا جمع شدن تمام اهل نیشابور بزنند.
استاد آرام آرام به مرد جوان نزدیک شد و درست روبه‌روی او ایستاد. ناگهان صدای طبل و دهل قطع شد و سکوت فضا را پر کرد. همه به استاد و شاگردش که روبه‌روی هم ایستاده بودند نگاه می‌کردند. گوش جوان سوت می‌کشید. صدای ضربان قلبش را که انگار می‌خواست سینه‌اش را بشکافد و بیرون بیاید، می‌شنید. استاد خیره در چشمان جوان نگاه می‌کرد. توان غزالی تمام شد و سرش پایین افتاد. استاد با صدای بلند گفت: «این فقیه جوان هر روز آهسته و بی‌سروصدا به خانه‌ی من می‌آید و از من درس فلسفه می‌آموزد... اما وقتی از پیش من می‌رود، بین مردم مرا ملامت می‌کند و نسبت کفر و کافری به من می‌دهد... می‌خواهم بدانم اگر به چیزهایی که درباره‌ی من می‌گوید یقین دارد، چرا به خانه‌ی من می‌آید و پای درس من می‌نشیند؟...»
غزالی دیگر نتوانست در آن جا بماند. چرخید و از میان مردم گریخت. خیام خود را شاگرد ابن‌سینا می‌دانست و در مقدمه‌‌ی رساله‌ی کون و مکان، این را اعلام کرده بود. خیام در اغلب رشته‌های علوم عقلی و اسلامی زمان خود به استادی رسیده بود. روزی خیام به مجلس یکی از بزرگان رفت. در آن مجلس، دانشمندان جمع بودند و درباره‌ی اختلاف قاریان قرآن در خواندن برخی آیه‌ها بحث می‌کردند. وقتی خیام وارد شد، صاحبخانه گفت: «چه حسن تصادفی! مسئله را به اهلش بسپاریم...»
و مسئله را با خیام در میان گذاشتند. خیام تمام گفته‌های قاریان را برشمرد و اختلاف آنان را یک به یک گفت. حتی به مواردی اشاره کرد که حاضران در مجلس تا آن زمان نشنیده بودند. در پایان، آن نوع از خواندن را که به نظر خودش درست‌تر می‌آمد، با دلیل‌های کافی معرفی کرد. وقتی حرف‌های خیام تمام شد، رئیس قاریان گفت: «خداوند دانشمندانی مثل تو را زیاد کند و جهان را از وجود مبارک چنین امامی خالی ندارد. من فکر نمی‌کردم کسی از قاریان جهان، تمام این مسائل را بداند و دلیل‌های آن‌ها را بشمارد؛ دیگر چه رسد به آدمی مثل خیام که تخصصش فلسفه و ریاضیات است.»
پس از ابن‌سینا سه دیدگاه درباره‌ی فلسفه شایع شد. دیدگاه نخست این بود که ابن‌سینا فلسفه‌ی خالص را با مباحث کلامی آلوده کرده و باعث انحراف فلسفه از مسیر درست خود شده است. برخی از فیلسوفان – مثل اسمعیل الهروی – که چنین دیدگاهی داشتند، در هنگام تدریس، فقط به طرح نظرات فیلسوفان تا فارابی اکتفا می‌کردند و نظرات ابن‌سینا را مطرح نمی‌کردند.
دیدگاه دوم این بود که ابن‌سینا حرف آخر را در فلسفه مطرح کرده و دیگر سخنی برای گفتن نمانده است. این نظریه بیشتر از طرف شاگردان مستقیم ابن‌سینا و شاگردان شاگردان او مطرح می‌شد. آنان معتقد بودند که کار فیلسوفان پس از ابن‌سینا، شرح و تفسیر کتاب‌ها و نظرات اوست. دیدگاه سوم، حرام بودن فلسفه و کافر خواندن فیلسوفان بود. این دیدگاه از طرف دشمنان سنتی فلسفه که همان فقیه بودند مطرح می‌شد. خیام که تا حدودی معتقد به دیدگاه دوم بود، در چنبره‌ی فتواهای فقیهان اسیر شده بودند و فرصتی برای فعالیت علمی نداشت.
خیام زمانه‌ی خود را چنین توصیف کرده است:
دچار زمانه‌ای شده‌ایم که اهل علم از کار افتاده و جز عده‌ی کمی باقی نمانده‌اند که از فرصت برای بحث و تحقیقات علمی استفاده کنند. برعکس، حکیم نمایان دوره‌ی ما همه دست اندرکارند که حقّ را با باطل بیامیزند و جز ریا و تدلیس (معرفت فروشی) کاری ندارند. اگر دانش و معرفتی نیز دارند، صرف اغراض پست جسمی می‌کنند. اگر با انسانی مواجه شدند که در جست‌وجوی حقیقت صادق و راسخ است و روی از باطل و زور می‌گرداند و گرد تدلیس و مردم فریبی نمی‌گردد، او را مرهون و شایسته‌ی استهزا می‌دانند. در هر حال به خدا پناه می‌بریم.
خیام در پاسخ مردی که از او رساله‌ای در ریاضیات خواسته بود، چنین نوشته است: ...من دیگر ناامید شده بودم از دست یافتن به شخصی که به فضایل علمی و عملی آراسته بوده، هم به امور علمی و هم به امور دنیوی توجّه داشته، در عین حال خیرخواه ابنای نوع باشد...
خیام شرایط مناسبی برای تدریس و نوشتن به دست نیاورد و تنها چهاررساله در زمینه‌ی فلسفه نوشت:
1.رساله‌ی کون و مکان
2. جواب به سؤالی درباره خالق خیر و شر، مسئله‌ی جبر و اختیار و تحقیقی در معنی بقا
3.رساله‌ای به زبان فارسی با نام رساله در علم کلیّات
4. رساله‌ای در تحقیق معنی وجود
خیّام رساله‌هایی هم در علم ریاضی نوشت که عبارت‌اند از:
5.جبر و مقابله
6. رساله‌ی شرح مااشکل من مصادرات کتاب اقلیدس (اشکالاتی بر کتاب هندسه‌ی اقلیدس)
7. رساله‌ی فی الاحتیال لمعرفه مقداری الذهب و الفضه فی جسم مرکب منهما (محاسبه‌ی مقدار طلا و نقره در آلیاژهای این دو فلز)
8. لوازم المکنه (درباره‌ی فصل‌ها و علّت اختلاف هوای شهرها و مناطق مختلف)
9. رساله‌ی کوتاهی در حلّ یک مسئله‌ی جبری به کمک مقاطع مخروطی
خیام رساله‌ی کون و مکان را به خواست یکی از بزرگان فارسی نوشت. خیام مثل همه‌ی فیلسوفان، نه تنها در فلسفه‌ی اولی یا حکمت الهی استاد بود، بلکه در نجوم و ریاضیات و پزشکی و داروسازی و فیزیک و ... هم دانشمند بود. در سال 467 هـ.ق. ملکشاه سلجوقی به فکر اصلاح تقویم ایرانیان افتاد. در آن زمان، تقویم ایران به نام تقویم یزدگردی خوانده می‌شد. تقویم یزدگردی، شامل دوازده ماه سی روزه و پنج روز اندرگاه بود که به ماه هشتم، یعنی آبان‌ماه اضافه می‌شد.
در این تقویم، یک چهارم روز که اضافه بر 365 روز هر سال است، نادیده گرفته شده و باعث شده بود که در هر 120 سال، یک سال 13 ماهه به وجود آید. با وجود این تصحیح، در طول زمان، نوروز به نیمه‌ی اسفندماه و (تقریباً 13 اسفند) افتاده بود. ملکشاه سلجوقی سه ستاره‌شناس بزرگ را مأمور اصلاح تقویم کرد و از آنان خواست که کبیسه‌ی دقیقی تعیین کنند تا نوروز را در اوّل سال و اوّلین روز فروردین ثابت نگه دارد.
سه دانشمند، خیام و ابوالمظفرالاسفزاری و میمون‌النحیب الواسطی بودند. این دانشمندان به مدت سه سال در رصدخانه‌ی اصفهان مستقر شدند و تقویم خورشیدی را که به نام جلال‌الدین ملکشاه سلجوقی، تقویم جلالی نامیده شد، ساختند. براساس این تقویم، سال همان 12 ماه را داشت و پنج روز اضافه به ماه آخر افزوده شده بود و هر چهار سال یک بار، یک سال کبیسه درست کردند.
این تقویم از روز دهم رمضان سال 471 هجری قمری مصادف با 15 مارس سال 1079 میلادی به طور رسمی به کار گرفته شد. نکته مهم در این کار، محاسبه‌ی دقیق طول سال بود. خیام و همکارانش طول سال اعتدالی را 365/24219858 روز به دست آوردند.(1) همه گفتند که خیام در کار آموختن علم و دانش و انتقال آن به دیگران بخیل است. اما شرایطی که خیام در آن پا به عرصه‌ی فکر و اندیشه گذاشته بود، برای برقراری گفت‌وگوهای علمی بسیار نامناسب بود؛ به ویژه برای دانشمندی که به علم خالص ایمان داشت و می‌خواست زندگی شایسته و پاکی داشته باشد.
جهان از چه چیزی درست شده است؟
زمین چه شکلی دارد؟
آسمان چیست؟
چرا ابرها سقوط نمی‌کنند و به زمین نمی‌افتند؟
چرا ستاره‌ها با هم برخورد نمی‌کنند؟
باد چیست؟
باران چیست؟
آتش چیست؟
چرا انسان‌ها بیمار می‌شوند؟
چرا انسان‌ها می‌میرند؟
چرا برخی زمین‌ها حاصلخیزتر از زمین‌های دیگرند؟
چرا در فصل‌های مختلف، دمای هوا کم و زیاد می‌شود؟
و ...
این‌ها نمونه‌ای از پرسش‌هایی است که انسان‌ها در هنگام مشاهده‌ی جهان مطرح می‌کنند. طرح این پرسش‌ها و جست‌وجوی پاسخ‌ها قانع کننده برای آن‌ها یکی از وظایف فیلسوفان بود.
در یونان باستان، هم زمان با سقراط، کسان دیگری هم دنبال راهش و آگاهی و حقیقت بودند. دموکریتوس (460 – 370 پیش از میلاد – در کتاب‌های ایرانی و عربی، اسم این دانشمند ذیمقراطیس نوشته شده است.) یک روز از خودش پرسید: «هر جسم – مثلاً یک تکه سنگ – تا کجا بتواند تقسیم شود؟» او مشاهده کرده بود که سنگ نصف می‌شود، نصف آن هم نصف می‌شود، و همین‌طور نصف‌ها باز نصف می‌شوند و ...
دموکریتوس پرسید: «این کار تا کجا می‌تواند ادامه پیدا کند؟» و پاسخ داد: «جسم پس از تقسیم شدن‌های فراوان، به چیزی می‌رسد که دیگر تقسیم شدنی نیست و اسم آن چیز اتم (اَ = نه، تم = تقسیم) است.»
ارسطو هم این پرسش را از خودش پرسیده بود. ولی پاسخ او متفاوت بود. او به این نتیجه رسیده بود که جسم تا بی‌نهایت تقسیم می‌شود و کار تقسیم شدن اجسام، هرگز به پایان نمی‌رسد. این پرسش و پاسخ‌ها به مسلمانان رسید و آنان درباره‌ی این چیزها فکر کردند و نتایج دیگری گرفتند. برای مثال، ذره‌گرایان یا اتمیست‌های مسلمان، به این نتیجه رسیده بودند که ذرّه چهار گوشه است؛ چون اگر گرد باشد، نمی‌تواند به ذره‌های – اتم‌های – دیگر بچسبد.
بعضی از دانشمندان مسلمان گفته بودند ذره‌ها – اتم‌ها – یکسان‌اند. بعضی دیگر گفته بودند همه‌ی ذره – اتم – ها یکسان نیستند و با هم تفاوت‌هایی دارند. انسان‌ها همان‌طور که درباره‌ی باران و آب و آسمان می‌پرسند، درباره‌ی خدا و نبوت و معاد هم پرسش‌هایی را مطرح می‌کنند.
فیلسوفان به مجموعه‌ی پرسش‌هایی که درباره‌ی خدا و نبوت و معاد و ...مطرح می‌شود، نام فلسفه‌ی اولی یا حکمت الهی داده بودند. از میان مباحث فلسفی، آن بخش که مورد انتقاد دانشمندان علوم اسلامی قرار گرفته بود، فلسفه‌ی اولی یا حکمت الهی بود. اما بخش‌های دیگر فلسفه، پرسش‌ها و پاسخ‌هایی بود که درباره‌ی پدیده‌های طبیعی مطرح می‌شد. این پرسش‌ها و پاسخ‌ها در زیر عنوان‌هایی مثل ریاضیات، هندسه، جبر، ستاره‌شناسی، فیزیک، کیمیا (شیمی) مکانیک (یا علم حرکت)، پزشکی و داروسازی، معدن‌شناسی، خاک‌شناسی، هواشناسی و ... طبقه‌بندی می‌شد. هر دانشجوی علم فلسفه، در آغاز کار خود، این علوم را آموزش می‌دید و درباره‌ی تمامی این مباحث، اطلاعات پایه را کسب می‌کرد، در کتاب‌های فلسفی هم بخش‌هایی به این موضوع‌ها اختصاص داشت. برای نمونه، ابن سینا در کتاب‌های فلسفی خود به ریاضیات، فیزیک و ... پرداخته بود.
هر فیلسوف، پس از گذراندن دوره‌ی آموزش خود، براساس علاقه‌ی شخصی در یک یا چند رشته مطالعات خود را وسعت می‌داد. برای مثال، رازی و ابن‌سینا در داروسازی و پزشکی و ابوریحان بیرونی در ریاضیات و نجوم و فیزیک معروف شده بودند. اما هم ابن‌سینا و هم رازی اطلاعات ریاضی و نجوم زیادی داشتند و ابوریحان به عنوان یک پزشک و داروساز می‌توانست بسیاری از بیماری‌ها را درمان کند.
روش کار فیلسوفان در مطالعات علمی، مشاهده کردن، طرح پرسش و جست‌وجو برای یافتن قانع کننده‌ترین پاسخ بود. دموکریتوس و ارسطو، هیچ‌کدام برای اثبات نظریه‌ی خودشان درباره‌ی اتم، آزمایشی نکرده بودند. آنان تقسیم شدن اجسام را مشاهده و درباره‌ی آن چه دیده بودند، فکر کرده بودند. محمّدبن زکریای رازی به روش مشاهده‌ی فیلسوفان، تجربه کردن را نیز افزوده بود. ابوریحان بیرونی نیز روش‌های تجربی را وسعت داده و در کتاب‌های خود آن‌ها را ثبت کرده بود.
فیلسوف نگاهی متفاوت به جهان داشتند. این نگاه در طول سالیان در میان مسلمانان و ایرانیان رایج شده بود. ایرانیان یاد گرفته بودند درباره‌ی همه چیز بپرسند و درباره‌ی همه‌ی پدیده‌های کلی و جزئی فکر کنند و دست به تجربه بزنند و حاصل تجربه‌های خود را در کتاب‌هایی ثبت کنند. موضوع‌هایی که ایرانیان درباره‌ی آن‌ها مطالعه کرده بودند، بسیار متنوع بود. ریاضیات، پزشکی، داروسازی، فیزیک، کشاورزی، دامداری، شکار حیوانات، دریانوردی، خاک‌شناسی، معدن شناسی، ساختن زمان سنج‌های آبی، جغرافیا، مردم‌شناسی، بوم‌شناسی و ... مورد مطالعه و دقّت ایرانیان قرار گرفته و کتاب‌هایی در این موضوع‌ها نوشته شده بود.
این کتاب‌ها در کتابخانه‌های سراسر ایران نگهداری می‌شد و مراجعه‌کنندگان می‌توانستند آن‌ها را مطالعه کنند. خیام به عنوان یک فیلسوف، نگاهی علمی به جهان داشت. او در مقام یک ریاضی‌دان سعی می‌کرد با معناکردن پدیده‌های جهان و تبدیل آن‌ها به معادلات ریاضی، پاسخی برای پرسش‌های متعدد انسان‌ها پیدا کند. خیام در کتاب فی‌البراهین علی‌المسائل الجبر و المقابله از مقاطع مخروطی برای حل مسائل جبری استفاده کرد، شکل‌های مختلف معادلات درجه‌ی سوم را به نحوی کامل طبقه‌بندی کرد و برای هر یک راه‌حل هندسی یافت.
روش خیام در حلّ معادلات درجه‌ی سوم، روشی تحلیلی و هندسی است. قضیّه‌ای که خیّام با آن روبه رو بود، این بود:
چهار نقطه‌ی تقاطع دو سهمی که محورهای آن‌ها بر هم عمودند، بر یک دایره واقع‌اند.
خیام با نوشتن مختصّات دو سهمی به معادله‌ی دایره رسید و با روشی هندسی، معادله را حل کرد. (2)
پس از این کار، خیام به طور کاملاً علمی و منظّم به کار در مورد معادلات درجه‌ی سوم ادامه داد و درباره‌ی ضرایب معادلات درجه‌ی سوم بحث کرد. (3)
خیام در ادامه‌ی کار خود در مورد معادلات درجه‌ی سوم، به احتمال وجود معادلات درجه‌ی چهارم هم رسید. (4)
مسئله‌ی دیگری که خیام آن را طرح کرد، وجود وسیله‌ای است که برای یافتن ریشه‌ی سوم یک عدد. این وسیله برای کسانی که مخروطات بلد نبودند، کاربرد داشت.
مسئله‌ی دیگری که خیام به آن پی برد، به دست آوردن تفاضل توان n دو عدد صحیح بود. او پاسخ‌های ممکن را در جدولی مثلّثی شکل قرار داد. (5)
کار دیگر خیام مربوط به نظریه‌ی فیثاغورسیان بود. فیثاغورسیان به استعمال عدد و استفاده از آن در هندسه علاقه‌مند بودند. فیثاغورسیان که پیروان اصالت ذره نامیده می‌شدند، معتقد بودند که مکان، مرکب از نقاط غیرقابل تجزیه و زمان، مرکّب از آنات غیرقابل تجزیه است. این نظریه آنان را به سمت اصالت دادن به عدد هدایت کرد. فیثاغورسیان معتقد بودند که ماده از ذراتی درست شده که بین آن‌ها خلأ است. براساس این نظریه، بررسی مکان فقط با توجه به ذرات ممکن می‌شد؛ چون اگر چنین نبود، روش عددی و حسابی آنان در هندسه و این گفته که اشیا عددند، قابل توجیه نبود.
اما خود فیثاغورس کشفی کرد که این نظریه را باطل کرد. او گفت مجموع مجذورهای اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه با مجذور وتر آن برابر است. از آن طرف، فیثاغورسیان ثابت کرده بودند که مجذور هیچ عدد صحیحی نمی‌تواند دو برابر مجذور عدد دیگری باشد. حال مثلثی را فرض کنید که از نصف یک مربع به دست آمده باشد. اضلاع مربع با هم برابرند، پس مجذور وتر این مثلث با دو برابر مجذور یک عدد برابر خواهد بود. در این صورت، نسبت طول ضلع به طول وتر، مقادیری اصم و گنگ خواهد بود. این مطلب، اساس فلسفه‌ی فیثاغورس را متزلزل کرد. چون او و پیروانش معتقد بودند که اشیا عددند. اما عددی که بتواند نسبت وتر و ضلع مربع فوق را با آن نشان داد، وجود نداشت.
خیام در کتاب شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس به این مسئله اشاره می‌کند و می‌گوید که آن‌ها به تناسب مشهور استناد کرده‌اند؛ در حالی که یک تناسب حقیقی وجود دارد و هر کجا که تناسب حقیقی وجود داشته باشد، تناسب مشهور هم وجود خواهد داشت. در ادامه‌ی این کتاب، خیام به توسعه‌ی مفهوم عدد می‌پردازد و می‌گوید: «... و شمارگران، یعنی مسّاحان، چه بسیار است که گویند نصف واحد و ثلث واحد و غیر آن از اجزاء. و حال آن که واحد قسمت‌پذیر نباشد. بلکه غرض ایشان واحد است نه واحد مطلق حقیقی که اعداد حقیقی از آن مرکّب می‌شود؛ بلکه مقصودشان واحد مفروضی است که پیش از ایشان قابل تجزیه و تقسیم باشد...»
بحث دیگر خیام در هندسه‌ی اقلیدسی بود. هندسه‌ی اقلیدسی بر این اصل بنا شده بود که از نقطه‌ای خارج یک خطّ، فقط یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد. این نظریه وقتی درست است که ما مثل یونانیان زمین را مسطح فرض کنیم. ولی هرگاه زمین را کره بگیریم، ازیک نقطه خارج این خط، بیش از یک خط موازی با آن خط می‌توان رسم کرد. ریاضی‌دانان مسلمان سعی کردند این اصل را که اقلیدس بدون اثبات آن را پذیرفته بود، ثابت کنند. خیام نیز تلاش‌هایی را در این زمینه انجام می‌دهد و به پیدایی هندسه‌ی نااقلیدسی کمک فراوان می‌کند.
کشف دیگر خیام در علم فیزیک بود. او توانست نسبت ترکیبی دو فلز طلا و نقره را برای تشکیل یک آلیاژ محاسبه کند. هرگاه خواستید بدانید که در یک جسم مرکب چقدر طلا و نقره است، اول باید وزن آن را در هوا و آب به دست آورید. بعد به اندازه‌ی وزن جسم، طلا و نقره‌ی خالص انتخاب کنید و وزن آن دو را در هوا و آب معلوم کنید. سپس نسبت وزن هوایی و آبی جسم و طلا و نقره‌ی خالص را جدا، جدا به دست آورید و این سه نسبت را با هم بسنجید.
اگر نسبت جسم با نسبت طلا برابر باشد، معلوم می‌شود همه‌ی جسم طلاست. و اگر نسبت جسم با نسبت نقره برابر باشد، معلوم می‌شود همه‌ی جسم نقره است. و اگر با هیچ کدام مساوی نباشد، معلوم می‌شود شمشی از طلا و نقره است که با مقایسه‌ی نسبت حجم با نسبت طلا و نقره و اختلافی که با آن‌ها دارد، می‌توان حساب کرد که چقدرش طلا و چقدرش نقره است. /
بکایی، حسین؛ (1390)، فرار از عقل (از تشکیل امپراتوری سلجوقی تا حمله مغول) از مجموعه‌ی داستان فکر ایرانی (5)، تهران: چاپ شفق، چاپ سوم.
خیام فیلسوفی بود که مجبور شده بود چند سالی از نیشابور فرار کند و در جایی مخفیانه زندگی کند، پس از برگشتن به نیشابور هم با نمایش زهد و تقوای خود و گوشه‌گیری توانسته بود امنیتی نسبی برای خود فراهم آورد. خیام با توجه به شرایط، مجلس درس محدودی در خانه‌ی خود ترتیب داده بود و تعداد محدودی شاگرد داشت. خیام خود را شاگرد ابن‌سینا می‌دانست و در مقدمه‌‌ی رساله‌ی کون و مکان، این را اعلام کرده بود. خیام در اغلب رشته‌های علوم عقلی و اسلامی زمان خود به استادی رسیده بود. یک روز وقتی درس خیام تمام شد، غزالی بلند شد و با سرعت از خانه‌ی استاد بیرون رفت. اما هنوز چند قدمی دور نشده بود که ناگهان صدای طبل و دهل بلند شد. عابرانی که در آن ساعت از روز از آن‌جا می‌گذشتند، ایستادند و به دنبال صدا چشم چرخاندند. مغازه‌داران و دستفروشان و دوره‌گردان خاموش شدند و دنبال صدا گشتند. زنان و کودکان از پشت پرده‌ها و پنجره‌ها و لای درها سرک کشیدند.
غزالی که ناگهان خود را زیرسنگینی آن همه نگاه می‌دید، خشکش زد و بی‌اختیار ایستاد. در خانه‌ی خیام هنوز باز بود و چند جوان جلو آن ایستاده بودند. طبل و دهل همچنان می‌کوبید و اهل نیشابور را خبر می‌کرد. جوانانی که جلو در خانه‌ی استاد ایستاده بودند، با تعجب به هم نگاه می‌کردند. آن صدای بی‌موقع و بی‌معنی، آنان را بیشتر از دیگران حیرت زده و گیج کرده بود. فقط غزالی بود که سرش را پایین انداخته بود و نگاهش را از مردمی که آن‌جا جمع شده بودند، می‌دزدید. آنان که نزدیک او بودند می‌توانستند ببینند که رنگش پریده و دانه‌های عرق، پیشانیش را خیس کرده است. ناگهان درِ خانه صدایی کرد و خیام در قاب در ظاهر شد. همه به سمت استاد نگاه کردند. جوان سرش را بلند کرد. لبخندی روی لب استاد بود و داشت به او نگاه می‌کرد. جوان باهوش و دانشمند، با همان نگاه اول همه چیز را فهمید.
استاد از درگاه عبور کرد و پای در کوچه گذاشت. هنوز لبخند روی لب استاد بود. جوان تاب دیدن لبخند استاد را نداشت. شاگردان و مردم، رد نگاه استاد را گرفته بودند و کنجکاو به او نگاه می‌کردند. استاد مثل سرداری پیروز لبخند می‌زد. غزالی در تله‌ای افتاده بود که هیچ وقت فکرش را نمی‌کرد. راه گریزی نداشت. یک طرف کوچه استاد بود و یک طرف مردم. طبل و دهل هم همچنان می‌کوبید. انگار استاد به آنان گفته بود که تا جمع شدن تمام اهل نیشابور بزنند.
استاد آرام آرام به مرد جوان نزدیک شد و درست روبه‌روی او ایستاد. ناگهان صدای طبل و دهل قطع شد و سکوت فضا را پر کرد. همه به استاد و شاگردش که روبه‌روی هم ایستاده بودند نگاه می‌کردند. گوش جوان سوت می‌کشید. صدای ضربان قلبش را که انگار می‌خواست سینه‌اش را بشکافد و بیرون بیاید، می‌شنید. استاد خیره در چشمان جوان نگاه می‌کرد. توان غزالی تمام شد و سرش پایین افتاد. استاد با صدای بلند گفت: «این فقیه جوان هر روز آهسته و بی‌سروصدا به خانه‌ی من می‌آید و از من درس فلسفه می‌آموزد... اما وقتی از پیش من می‌رود، بین مردم مرا ملامت می‌کند و نسبت کفر و کافری به من می‌دهد... می‌خواهم بدانم اگر به چیزهایی که درباره‌ی من می‌گوید یقین دارد، چرا به خانه‌ی من می‌آید و پای درس من می‌نشیند؟...»
غزالی دیگر نتوانست در آن جا بماند. چرخید و از میان مردم گریخت. خیام خود را شاگرد ابن‌سینا می‌دانست و در مقدمه‌‌ی رساله‌ی کون و مکان، این را اعلام کرده بود. خیام در اغلب رشته‌های علوم عقلی و اسلامی زمان خود به استادی رسیده بود. روزی خیام به مجلس یکی از بزرگان رفت. در آن مجلس، دانشمندان جمع بودند و درباره‌ی اختلاف قاریان قرآن در خواندن برخی آیه‌ها بحث می‌کردند. وقتی خیام وارد شد، صاحبخانه گفت: «چه حسن تصادفی! مسئله را به اهلش بسپاریم...»
و مسئله را با خیام در میان گذاشتند. خیام تمام گفته‌های قاریان را برشمرد و اختلاف آنان را یک به یک گفت. حتی به مواردی اشاره کرد که حاضران در مجلس تا آن زمان نشنیده بودند. در پایان، آن نوع از خواندن را که به نظر خودش درست‌تر می‌آمد، با دلیل‌های کافی معرفی کرد. وقتی حرف‌های خیام تمام شد، رئیس قاریان گفت: «خداوند دانشمندانی مثل تو را زیاد کند و جهان را از وجود مبارک چنین امامی خالی ندارد. من فکر نمی‌کردم کسی از قاریان جهان، تمام این مسائل را بداند و دلیل‌های آن‌ها را بشمارد؛ دیگر چه رسد به آدمی مثل خیام که تخصصش فلسفه و ریاضیات است.»
بیشتر بخوانید: خیام در ایران و جهان
پس از ابن‌سینا سه دیدگاه درباره‌ی فلسفه شایع شد. دیدگاه نخست این بود که ابن‌سینا فلسفه‌ی خالص را با مباحث کلامی آلوده کرده و باعث انحراف فلسفه از مسیر درست خود شده است. برخی از فیلسوفان – مثل اسمعیل الهروی – که چنین دیدگاهی داشتند، در هنگام تدریس، فقط به طرح نظرات فیلسوفان تا فارابی اکتفا می‌کردند و نظرات ابن‌سینا را مطرح نمی‌کردند.
دیدگاه دوم این بود که ابن‌سینا حرف آخر را در فلسفه مطرح کرده و دیگر سخنی برای گفتن نمانده است. این نظریه بیشتر از طرف شاگردان مستقیم ابن‌سینا و شاگردان شاگردان او مطرح می‌شد. آنان معتقد بودند که کار فیلسوفان پس از ابن‌سینا، شرح و تفسیر کتاب‌ها و نظرات اوست. دیدگاه سوم، حرام بودن فلسفه و کافر خواندن فیلسوفان بود. این دیدگاه از طرف دشمنان سنتی فلسفه که همان فقیه بودند مطرح می‌شد. خیام که تا حدودی معتقد به دیدگاه دوم بود، در چنبره‌ی فتواهای فقیهان اسیر شده بودند و فرصتی برای فعالیت علمی نداشت.
خیام زمانه‌ی خود را چنین توصیف کرده است:
دچار زمانه‌ای شده‌ایم که اهل علم از کار افتاده و جز عده‌ی کمی باقی نمانده‌اند که از فرصت برای بحث و تحقیقات علمی استفاده کنند. برعکس، حکیم نمایان دوره‌ی ما همه دست اندرکارند که حقّ را با باطل بیامیزند و جز ریا و تدلیس (معرفت فروشی) کاری ندارند. اگر دانش و معرفتی نیز دارند، صرف اغراض پست جسمی می‌کنند. اگر با انسانی مواجه شدند که در جست‌وجوی حقیقت صادق و راسخ است و روی از باطل و زور می‌گرداند و گرد تدلیس و مردم فریبی نمی‌گردد، او را مرهون و شایسته‌ی استهزا می‌دانند. در هر حال به خدا پناه می‌بریم.
خیام در پاسخ مردی که از او رساله‌ای در ریاضیات خواسته بود، چنین نوشته است: ...من دیگر ناامید شده بودم از دست یافتن به شخصی که به فضایل علمی و عملی آراسته بوده، هم به امور علمی و هم به امور دنیوی توجّه داشته، در عین حال خیرخواه ابنای نوع باشد...
خیام شرایط مناسبی برای تدریس و نوشتن به دست نیاورد و تنها چهاررساله در زمینه‌ی فلسفه نوشت:
1.رساله‌ی کون و مکان
2. جواب به سؤالی درباره خالق خیر و شر، مسئله‌ی جبر و اختیار و تحقیقی در معنی بقا
3.رساله‌ای به زبان فارسی با نام رساله در علم کلیّات
4. رساله‌ای در تحقیق معنی وجود
خیّام رساله‌هایی هم در علم ریاضی نوشت که عبارت‌اند از:
5.جبر و مقابله
6. رساله‌ی شرح مااشکل من مصادرات کتاب اقلیدس (اشکالاتی بر کتاب هندسه‌ی اقلیدس)
7. رساله‌ی فی الاحتیال لمعرفه مقداری الذهب و الفضه فی جسم مرکب منهما (محاسبه‌ی مقدار طلا و نقره در آلیاژهای این دو فلز)
8. لوازم المکنه (درباره‌ی فصل‌ها و علّت اختلاف هوای شهرها و مناطق مختلف)
9. رساله‌ی کوتاهی در حلّ یک مسئله‌ی جبری به کمک مقاطع مخروطی
خیام رساله‌ی کون و مکان را به خواست یکی از بزرگان فارسی نوشت. خیام مثل همه‌ی فیلسوفان، نه تنها در فلسفه‌ی اولی یا حکمت الهی استاد بود، بلکه در نجوم و ریاضیات و پزشکی و داروسازی و فیزیک و ... هم دانشمند بود. در سال 467 هـ.ق. ملکشاه سلجوقی به فکر اصلاح تقویم ایرانیان افتاد. در آن زمان، تقویم ایران به نام تقویم یزدگردی خوانده می‌شد. تقویم یزدگردی، شامل دوازده ماه سی روزه و پنج روز اندرگاه بود که به ماه هشتم، یعنی آبان‌ماه اضافه می‌شد.
در این تقویم، یک چهارم روز که اضافه بر 365 روز هر سال است، نادیده گرفته شده و باعث شده بود که در هر 120 سال، یک سال 13 ماهه به وجود آید. با وجود این تصحیح، در طول زمان، نوروز به نیمه‌ی اسفندماه و (تقریباً 13 اسفند) افتاده بود. ملکشاه سلجوقی سه ستاره‌شناس بزرگ را مأمور اصلاح تقویم کرد و از آنان خواست که کبیسه‌ی دقیقی تعیین کنند تا نوروز را در اوّل سال و اوّلین روز فروردین ثابت نگه دارد.
سه دانشمند، خیام و ابوالمظفرالاسفزاری و میمون‌النحیب الواسطی بودند. این دانشمندان به مدت سه سال در رصدخانه‌ی اصفهان مستقر شدند و تقویم خورشیدی را که به نام جلال‌الدین ملکشاه سلجوقی، تقویم جلالی نامیده شد، ساختند. براساس این تقویم، سال همان 12 ماه را داشت و پنج روز اضافه به ماه آخر افزوده شده بود و هر چهار سال یک بار، یک سال کبیسه درست کردند.
این تقویم از روز دهم رمضان سال 471 هجری قمری مصادف با 15 مارس سال 1079 میلادی به طور رسمی به کار گرفته شد. نکته مهم در این کار، محاسبه‌ی دقیق طول سال بود. خیام و همکارانش طول سال اعتدالی را 365/24219858 روز به دست آوردند.(1) همه گفتند که خیام در کار آموختن علم و دانش و انتقال آن به دیگران بخیل است. اما شرایطی که خیام در آن پا به عرصه‌ی فکر و اندیشه گذاشته بود، برای برقراری گفت‌وگوهای علمی بسیار نامناسب بود؛ به ویژه برای دانشمندی که به علم خالص ایمان داشت و می‌خواست زندگی شایسته و پاکی داشته باشد.
جهان از چه چیزی درست شده است؟
زمین چه شکلی دارد؟
آسمان چیست؟
چرا ابرها سقوط نمی‌کنند و به زمین نمی‌افتند؟
چرا ستاره‌ها با هم برخورد نمی‌کنند؟
باد چیست؟
باران چیست؟
آتش چیست؟
چرا انسان‌ها بیمار می‌شوند؟
چرا انسان‌ها می‌میرند؟
چرا برخی زمین‌ها حاصلخیزتر از زمین‌های دیگرند؟
چرا در فصل‌های مختلف، دمای هوا کم و زیاد می‌شود؟
و ...
این‌ها نمونه‌ای از پرسش‌هایی است که انسان‌ها در هنگام مشاهده‌ی جهان مطرح می‌کنند. طرح این پرسش‌ها و جست‌وجوی پاسخ‌ها قانع کننده برای آن‌ها یکی از وظایف فیلسوفان بود.
در یونان باستان، هم زمان با سقراط، کسان دیگری هم دنبال راهش و آگاهی و حقیقت بودند. دموکریتوس (460 – 370 پیش از میلاد – در کتاب‌های ایرانی و عربی، اسم این دانشمند ذیمقراطیس نوشته شده است.) یک روز از خودش پرسید: «هر جسم – مثلاً یک تکه سنگ – تا کجا بتواند تقسیم شود؟» او مشاهده کرده بود که سنگ نصف می‌شود، نصف آن هم نصف می‌شود، و همین‌طور نصف‌ها باز نصف می‌شوند و ...
دموکریتوس پرسید: «این کار تا کجا می‌تواند ادامه پیدا کند؟» و پاسخ داد: «جسم پس از تقسیم شدن‌های فراوان، به چیزی می‌رسد که دیگر تقسیم شدنی نیست و اسم آن چیز اتم (اَ = نه، تم = تقسیم) است.»
ارسطو هم این پرسش را از خودش پرسیده بود. ولی پاسخ او متفاوت بود. او به این نتیجه رسیده بود که جسم تا بی‌نهایت تقسیم می‌شود و کار تقسیم شدن اجسام، هرگز به پایان نمی‌رسد. این پرسش و پاسخ‌ها به مسلمانان رسید و آنان درباره‌ی این چیزها فکر کردند و نتایج دیگری گرفتند. برای مثال، ذره‌گرایان یا اتمیست‌های مسلمان، به این نتیجه رسیده بودند که ذرّه چهار گوشه است؛ چون اگر گرد باشد، نمی‌تواند به ذره‌های – اتم‌های – دیگر بچسبد.
بعضی از دانشمندان مسلمان گفته بودند ذره‌ها – اتم‌ها – یکسان‌اند. بعضی دیگر گفته بودند همه‌ی ذره – اتم – ها یکسان نیستند و با هم تفاوت‌هایی دارند. انسان‌ها همان‌طور که درباره‌ی باران و آب و آسمان می‌پرسند، درباره‌ی خدا و نبوت و معاد هم پرسش‌هایی را مطرح می‌کنند.
فیلسوفان به مجموعه‌ی پرسش‌هایی که درباره‌ی خدا و نبوت و معاد و ...مطرح می‌شود، نام فلسفه‌ی اولی یا حکمت الهی داده بودند. از میان مباحث فلسفی، آن بخش که مورد انتقاد دانشمندان علوم اسلامی قرار گرفته بود، فلسفه‌ی اولی یا حکمت الهی بود. اما بخش‌های دیگر فلسفه، پرسش‌ها و پاسخ‌هایی بود که درباره‌ی پدیده‌های طبیعی مطرح می‌شد. این پرسش‌ها و پاسخ‌ها در زیر عنوان‌هایی مثل ریاضیات، هندسه، جبر، ستاره‌شناسی، فیزیک، کیمیا (شیمی) مکانیک (یا علم حرکت)، پزشکی و داروسازی، معدن‌شناسی، خاک‌شناسی، هواشناسی و ... طبقه‌بندی می‌شد. هر دانشجوی علم فلسفه، در آغاز کار خود، این علوم را آموزش می‌دید و درباره‌ی تمامی این مباحث، اطلاعات پایه را کسب می‌کرد، در کتاب‌های فلسفی هم بخش‌هایی به این موضوع‌ها اختصاص داشت. برای نمونه، ابن سینا در کتاب‌های فلسفی خود به ریاضیات، فیزیک و ... پرداخته بود.
هر فیلسوف، پس از گذراندن دوره‌ی آموزش خود، براساس علاقه‌ی شخصی در یک یا چند رشته مطالعات خود را وسعت می‌داد. برای مثال، رازی و ابن‌سینا در داروسازی و پزشکی و ابوریحان بیرونی در ریاضیات و نجوم و فیزیک معروف شده بودند. اما هم ابن‌سینا و هم رازی اطلاعات ریاضی و نجوم زیادی داشتند و ابوریحان به عنوان یک پزشک و داروساز می‌توانست بسیاری از بیماری‌ها را درمان کند.
روش کار فیلسوفان در مطالعات علمی، مشاهده کردن، طرح پرسش و جست‌وجو برای یافتن قانع کننده‌ترین پاسخ بود. دموکریتوس و ارسطو، هیچ‌کدام برای اثبات نظریه‌ی خودشان درباره‌ی اتم، آزمایشی نکرده بودند. آنان تقسیم شدن اجسام را مشاهده و درباره‌ی آن چه دیده بودند، فکر کرده بودند. محمّدبن زکریای رازی به روش مشاهده‌ی فیلسوفان، تجربه کردن را نیز افزوده بود. ابوریحان بیرونی نیز روش‌های تجربی را وسعت داده و در کتاب‌های خود آن‌ها را ثبت کرده بود.
فیلسوف نگاهی متفاوت به جهان داشتند. این نگاه در طول سالیان در میان مسلمانان و ایرانیان رایج شده بود. ایرانیان یاد گرفته بودند درباره‌ی همه چیز بپرسند و درباره‌ی همه‌ی پدیده‌های کلی و جزئی فکر کنند و دست به تجربه بزنند و حاصل تجربه‌های خود را در کتاب‌هایی ثبت کنند. موضوع‌هایی که ایرانیان درباره‌ی آن‌ها مطالعه کرده بودند، بسیار متنوع بود. ریاضیات، پزشکی، داروسازی، فیزیک، کشاورزی، دامداری، شکار حیوانات، دریانوردی، خاک‌شناسی، معدن شناسی، ساختن زمان سنج‌های آبی، جغرافیا، مردم‌شناسی، بوم‌شناسی و ... مورد مطالعه و دقّت ایرانیان قرار گرفته و کتاب‌هایی در این موضوع‌ها نوشته شده بود.
این کتاب‌ها در کتابخانه‌های سراسر ایران نگهداری می‌شد و مراجعه‌کنندگان می‌توانستند آن‌ها را مطالعه کنند. خیام به عنوان یک فیلسوف، نگاهی علمی به جهان داشت. او در مقام یک ریاضی‌دان سعی می‌کرد با معناکردن پدیده‌های جهان و تبدیل آن‌ها به معادلات ریاضی، پاسخی برای پرسش‌های متعدد انسان‌ها پیدا کند. خیام در کتاب فی‌البراهین علی‌المسائل الجبر و المقابله از مقاطع مخروطی برای حل مسائل جبری استفاده کرد، شکل‌های مختلف معادلات درجه‌ی سوم را به نحوی کامل طبقه‌بندی کرد و برای هر یک راه‌حل هندسی یافت.
روش خیام در حلّ معادلات درجه‌ی سوم، روشی تحلیلی و هندسی است. قضیّه‌ای که خیّام با آن روبه رو بود، این بود:
چهار نقطه‌ی تقاطع دو سهمی که محورهای آن‌ها بر هم عمودند، بر یک دایره واقع‌اند.
خیام با نوشتن مختصّات دو سهمی به معادله‌ی دایره رسید و با روشی هندسی، معادله را حل کرد. (2)
پس از این کار، خیام به طور کاملاً علمی و منظّم به کار در مورد معادلات درجه‌ی سوم ادامه داد و درباره‌ی ضرایب معادلات درجه‌ی سوم بحث کرد. (3)
خیام در ادامه‌ی کار خود در مورد معادلات درجه‌ی سوم، به احتمال وجود معادلات درجه‌ی چهارم هم رسید. (4)
مسئله‌ی دیگری که خیام آن را طرح کرد، وجود وسیله‌ای است که برای یافتن ریشه‌ی سوم یک عدد. این وسیله برای کسانی که مخروطات بلد نبودند، کاربرد داشت.
مسئله‌ی دیگری که خیام به آن پی برد، به دست آوردن تفاضل توان n دو عدد صحیح بود. او پاسخ‌های ممکن را در جدولی مثلّثی شکل قرار داد. (5)
کار دیگر خیام مربوط به نظریه‌ی فیثاغورسیان بود. فیثاغورسیان به استعمال عدد و استفاده از آن در هندسه علاقه‌مند بودند. فیثاغورسیان که پیروان اصالت ذره نامیده می‌شدند، معتقد بودند که مکان، مرکب از نقاط غیرقابل تجزیه و زمان، مرکّب از آنات غیرقابل تجزیه است. این نظریه آنان را به سمت اصالت دادن به عدد هدایت کرد. فیثاغورسیان معتقد بودند که ماده از ذراتی درست شده که بین آن‌ها خلأ است. براساس این نظریه، بررسی مکان فقط با توجه به ذرات ممکن می‌شد؛ چون اگر چنین نبود، روش عددی و حسابی آنان در هندسه و این گفته که اشیا عددند، قابل توجیه نبود.
اما خود فیثاغورس کشفی کرد که این نظریه را باطل کرد. او گفت مجموع مجذورهای اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه با مجذور وتر آن برابر است. از آن طرف، فیثاغورسیان ثابت کرده بودند که مجذور هیچ عدد صحیحی نمی‌تواند دو برابر مجذور عدد دیگری باشد. حال مثلثی را فرض کنید که از نصف یک مربع به دست آمده باشد. اضلاع مربع با هم برابرند، پس مجذور وتر این مثلث با دو برابر مجذور یک عدد برابر خواهد بود. در این صورت، نسبت طول ضلع به طول وتر، مقادیری اصم و گنگ خواهد بود. این مطلب، اساس فلسفه‌ی فیثاغورس را متزلزل کرد. چون او و پیروانش معتقد بودند که اشیا عددند. اما عددی که بتواند نسبت وتر و ضلع مربع فوق را با آن نشان داد، وجود نداشت.
خیام در کتاب شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس به این مسئله اشاره می‌کند و می‌گوید که آن‌ها به تناسب مشهور استناد کرده‌اند؛ در حالی که یک تناسب حقیقی وجود دارد و هر کجا که تناسب حقیقی وجود داشته باشد، تناسب مشهور هم وجود خواهد داشت. در ادامه‌ی این کتاب، خیام به توسعه‌ی مفهوم عدد می‌پردازد و می‌گوید: «... و شمارگران، یعنی مسّاحان، چه بسیار است که گویند نصف واحد و ثلث واحد و غیر آن از اجزاء. و حال آن که واحد قسمت‌پذیر نباشد. بلکه غرض ایشان واحد است نه واحد مطلق حقیقی که اعداد حقیقی از آن مرکّب می‌شود؛ بلکه مقصودشان واحد مفروضی است که پیش از ایشان قابل تجزیه و تقسیم باشد...»
بحث دیگر خیام در هندسه‌ی اقلیدسی بود. هندسه‌ی اقلیدسی بر این اصل بنا شده بود که از نقطه‌ای خارج یک خطّ، فقط یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد. این نظریه وقتی درست است که ما مثل یونانیان زمین را مسطح فرض کنیم. ولی هرگاه زمین را کره بگیریم، ازیک نقطه خارج این خط، بیش از یک خط موازی با آن خط می‌توان رسم کرد. ریاضی‌دانان مسلمان سعی کردند این اصل را که اقلیدس بدون اثبات آن را پذیرفته بود، ثابت کنند. خیام نیز تلاش‌هایی را در این زمینه انجام می‌دهد و به پیدایی هندسه‌ی نااقلیدسی کمک فراوان می‌کند.
کشف دیگر خیام در علم فیزیک بود. او توانست نسبت ترکیبی دو فلز طلا و نقره را برای تشکیل یک آلیاژ محاسبه کند. هرگاه خواستید بدانید که در یک جسم مرکب چقدر طلا و نقره است، اول باید وزن آن را در هوا و آب به دست آورید. بعد به اندازه‌ی وزن جسم، طلا و نقره‌ی خالص انتخاب کنید و وزن آن دو را در هوا و آب معلوم کنید. سپس نسبت وزن هوایی و آبی جسم و طلا و نقره‌ی خالص را جدا، جدا به دست آورید و این سه نسبت را با هم بسنجید.
اگر نسبت جسم با نسبت طلا برابر باشد، معلوم می‌شود همه‌ی جسم طلاست. و اگر نسبت جسم با نسبت نقره برابر باشد، معلوم می‌شود همه‌ی جسم نقره است. و اگر با هیچ کدام مساوی نباشد، معلوم می‌شود شمشی از طلا و نقره است که با مقایسه‌ی نسبت حجم با نسبت طلا و نقره و اختلافی که با آن‌ها دارد، می‌توان حساب کرد که چقدرش طلا و چقدرش نقره است. /
حسین بکایی
پی‌نوشت‌ها:
1.در قرن نوزدهم طول سال اعتدالی 365/24219879 روز محاسبه شد.
2.کار خیام، در واقع آغاز هندسه‌ی تحلیلی است که به نام دکارت ثبت شده است. دکارت چهار قرن پس از خیام این روش را معرفی کرد.
3. خیام در محل معادلات درجه‌ی سوم به روش هندسه‌ی تحلیلی، طبق عادت آن زمان، مقاطع مخروطی را به اندازه‌ی نیاز مسئله و نیمه می‌کشید، در نتیجه به جواب‌های مثبت معادله‌ها می‌رسید. اگر خیام این مقاطع را کامل رسم می‌کرد، به احتمال قوی به وجود اعداد منفی پی می‌برد.
4. در آن زمان، تصور وجود فضای هندسی چهار بعدی، بسیار سخت و شاید ناممکن بود.
5. این مسئله در کتاب‌های ریاضی‌دانان پس از خیام هم بارها تکرار شد، اما این مثلث حسابی به نام پاسکال – ریاضی‌دان فرانسوی – ثبت شده است که در این اواخر پس از جست‌وجوهایی در تاریخ علم، معلوم شد که خیام نخستین بار آن‌ها را پیدا کرده است. خیام در کتاب جبر و مقابله‌ی خود می‌نویسید: «... و هندیان را در استخراج جذر و کعب، طریقه‌ای است که مبتنی بر اندک استقرایی، و آن شناسایی مربعات اعداد نه‌گانه، یعنی مربع یک و دو و سه و ... و نیز حاصلضرب بعضی در بعضی است. یعنی حاصلضرب دو در سه و امثال آن... و ما انواع این طریقه را افزون کردیم. یعنی استخراج مال مال و مال کعب و کعب کعب و غیره را بر آن‌ها افزودیم. و این اضافات، تازه است و این براهین، براهینی عددی مبتنی بر قسم‌های مربوط به علم حساب در کتاب اسطقسات است.»
بکایی، حسین؛ (1390)، فرار از عقل (از تشکیل امپراتوری سلجوقی تا حمله مغول) از مجموعه‌ی داستان فکر ایرانی (5)، تهران: چاپ شفق، چاپ سوم.
