کرجي
نويسنده: احمد بيرشک
ابوبکر محمدبن حسين (يا حسن)، رياضيدان مسلمان ( وبه احتمال زياد ايراني) در قرن چهارم هجري (اواخر قرن دهم و اوايل قرن يازدهم ميلادي) مي زيست. از زندگي او اطلاعي در دست نيست. سوتر (1) خاورشناس تاريخ وفات او را 1029 ميلادي نوشته است. سالهاي ديگري هم در مأخذ ثبت شده است (2). نسبت اين دانشمندان را کرخي و کرجي نوشته اند.
کرخ، که از زبان آرامي و از واژه کرکه (= دژ) گرفته شده به عنوان نام چند شهر دوره اسلامي به کار رفته است، که هر يک با تصريح محل خود، مشخص مي شود، مانند کرخ سامرا و کرخ بغداد.
کرخ بغداد که، به عقيده برخي نويسندگان، زادگاه ابوبکر محمدبن حسين بوده است، شهرکي بوده در مجاورت بغداد اسلامي. بغداد در نيمه قرن دوم هجري به امر منصور عباسي بنا شد. بناي کرخ را به شاپور دوم ساساني (وفات 379 م) نسبت مي دهند. بعد از رشد بغداد، کرخ يکي از محله هاي آن شد.
کرج، که بعضي نويسندگان ديگر دانشمند مورد بحث ما را از آنجا مي دانند، غير از کرج واقع در 40 کيلومتري تهران بوده است. اين کرج، يا کرج ابودلف، شهري بوده است در ناحيه جبال (که در اين اواخر عراق عجم ناميده شد). محل دقيق آن معلوم نيست؛ در جنوب غربي همدان و در نيمه راه بين همدان و اصفهان، کمي نزديکتر به همدان، بوده است. بناي آن را به قاسم بن عيساي عجلي، مشهور به ابودلف، نسبت مي دهند، که روستاي کوچکي را به شهري بزرگ تبديل کرد و در جنگ بين امين و مأمون آن شهر را مقر و مرکز فرمانروايي خود قرار داد. از نوشته «معجم البلدان» برمي آيد که شهر داراي ساختمانهاي شاهانه متفرق، در طول بيشتر از يک فرسنگ بوده و دو بازار داشته است. اما باغ و گردشگاه نداشته و ميوه آن را از بروجرد و شهرهاي ديگر مي آورده اند.
اختلافات بر سر نسبت کرخي و کرجي، که در نسخه هاي خطي قديمي باقي مانده است، شايد ناشي از جا به جا شدن نقطه اي به وسيله کاتبان باشد. وپکه (3)، که در 1853 ميلادي، با ترجمه کتاب الفخري مؤلف آن را به محافل رياضي اروپايي شناساند، با تکيه بر يک نسخه خطي او را کرخي نوشت، همچنين هوخهايم (4) که «الکافي في الحساب» را به آلماني ترجمه و در سالهاي 1878 تا 1880 ميلادي در سه جلد منتشر کرد، عنوان کرخي را به کار برد. جرجولوي دلاويداي (5) ايتاليايي، که «البديع في الحساب» را به ايتاليايي ترجمه کرد، با دلايلي نسبت کرجي را صحيح دانست. از آنجا که ابوبکر بن محمد در مقدمه کتاب انباة المياه الخفيه خود نوشته است که «چون به عراق وارد شد و مردم آن را دوستار دانش ديد، به تأليف کتابهاي رياضي پرداخت.» معلوم مي شود که وي متولد کرخ نبوده و از خارج به بغداد آمده است؛ و نيز چون در همان مقدمه مي نويسد که «به طبرستان بازگشته است» تولد او در ايران محتمل تر به نظر مي رسد. از اين روي، بي آنکه سند بسيار قاطعي وجود داشته باشد، نسبت او را کرجي پذيرفته اند.
کرجي کتابهاي متعدد تأليف کرده که از بعضي از آنها نسخه هاي خطي برجاي مانده است. اين نسخه هاي خطي در کتابخانه هاي استانبول و پاريس و قاهره و اسکندريه و آکسفورد و رم (و فيلم برخي از آنها در کتابخانه دانشگاه تهران) موجود است. به بعضي ديگر از کتابهاي او در آثار خود او و ديگران اشاره شده است.
کتاب الفخري او به فرانسه، کتاب الکافي به آلماني، کتاب البديع به ايتاليايي، و کتاب انباة به فارسي ترجمه شده اند. کتابهايي که نسخه خطي آنها موجود است عبارتند از:
*الفخري في (صناعة) الجبر و المقابله، که به نام فخرالملک ابوغالب محمدبن علي، وزير بهاءالدوله و سلطان الدوله، ناميده شده است؛
*الکافي في الحساب، که در آن به تصانيف متعدد، که از هيچ يک نسخه اي به دست نيامده، اشاره کرده است. بر اين کتاب دو شرح نوشته شده است: يکي به نام «شرح کتاب الکافي الکرخي»، توسط ابوعبدالله حسن بن احمد؛ و ديگري موسوم به «الشرح الشافي لکتب الکافي في الحساب» نوشته محمدبن علي شهرزوري؛
*البديع في الحساب، که علاوه بر ترجمه متن عربي آن، در 1343 در لبنان چاپ شده است.
*علل حساب الجبر و المقابله و شرحها؛
*مختصر في الحساب والمساحه
*انباة المياه الخفيه، که پس از بازگشت کرجي به ايران و به تشويق ابوغائم معروف بن محمد، وزير منوچهر بن قابوس، نوشته شده است؛ اين کتاب که به فارسي چاپ شده و عنوان استخراج آبهاي پنهاني دارد جزء کتابهاي مهندسي مربوط به حفر چاه شمرده مي شود.
اما کتابهايي که به او نسبت داده مي شوند، ولي جز نامي از آنها باقي نمانده است، عبارتند از:
*کتاب في الحساب الهندي؛
*کتاب العقود و الابنيه؛
*المدخل في علم النجوم؛
*کتاب الدور و الوصايا؛
*کتاب توادر الاشکال.
رياضيدان و پزشک يهودي، ابونصر سموئل بن يحيي، که يک قرن و نيم بعد از کرجي مي زيسته و چهارکتاب رياضي، «الباهر في علم الحساب»؛ «الموجز في علم حساب»؛ «التبصره في علم الحساب» و کتابي در نجوم نوشته است، در الباهر خود از ابوبکر محمد، با نسبت کرجي، ياد کرده و از روش او در حل يک چند جمله اي با ضرايب گويا استفاده کرده است. ابوالقاسم قرباني در «رياضيدانان ايراني» مي نويسد که سموئل اندلسي بوده و به بغداد رفته و از آنجا به ايران آمده و در 1163 ميلادي در مراغه به اسلام گرويده و در همان شهر درگذشته است.
رشدي راشد دانشمند ترک در «فرهنگ احوال دانشمندان»(6) جلد هفتم، صفحه 240 تا 245، قسمتي از رياضيات کرجي را به زبان امروزي بيان کرده است که اينک براي مطالعه علاقه مندان ترجمه مي شود.
کارهاي کرجي، مقام به ويژه مهمي در تاريخ رياضيات دارد. وپکه خاطرنشان مي سازد که «در ميدان رياضيدانان اسلامي، که تاکنون به وجودشان پي برده ايم، کرجي نخستين و کاملترين نظريه حساب جبري – و شايد هم تنها نظريه از اين نوع – را تقديم مي دارد. حقيقت آنکه کرجي، که کار را با عرضه کردن يک نظريه جبري حساب آغاز کرد، در روش سنتي جبريان اسلامي، يعني خوارزمي و ابن فتح و ابوکامل، کاري تازه کرد و روشي نو پيش آورد. هدفي که از عرضه کردن اين روش داشت؛ کمابيش به طور صريح، يافتن وسيله اي بود که استقلال و خاص بودن جبر را تحقق بخشد، به نحوي که بتوان، بخصوص، نمايش هندسي اعمال جبري را کنار گذاشت. آنچه عملاً مورد آزمايش بوده شروع جديدي در جبر بود به وسيله کاربرد اصولي اعمال حساب درباره [∞، 0]. اساس اين حسابي کردن جبرهم بر جبر، به مفهومي که خوارزمي وضع کرده و ابوکامل و چند تن ديگر آن را گسترش داده بودند، و هم بر ترجمه حساب ديوفانتوس، که به وسيله رياضيدانان مسلمان، مانند ابوالوفاي بوزجاني تفسير شده و بسط يافته بوده است. خلاصه، کشف و مطالعه کار ديوفانتوس در حساب در پرتو مفاهيم خوارزمي و ديگر جبريان مسلمان آغاز جديدي را براي جبر موجب شد که مبتکر آن کرجي، مؤلف اولين جبر چند جمله ايها، بود.
کرجي در رساله جبر الفخري نخست به بررسي اصولي معادلات مجهول القوا پرداخت، آنگاه متوجه کاربرد اعمال حساب در جمله ها و عبارتهاي جبري گرديد و نتيجه اين شد که اولين اثر در جبر چند جمله ايها را فراهم آورد. وي به بررسي دو دنباله
xn و ... x2 وx وxn/1و...x3/1و x2/1و x/1
پرداخت و پیاپی قاعده های زیرین را بیان کرد:
بجاي آن که به اهميت اين بررسي پي برده شود لازم است ديده شود که کساني که کمابيش جانشين کرجي شمرده مي شوند چگونه از آن استفاده کردند. مثلاً سموئل توانست با استفاده از کار کرجي همساني ( = ايزومرفيسم (8)) آنچه را در رياضيات امروز گروه(Z ، +) و گروه مي ناميم به کار برد تا برد تا براي اولين بار، و با کمال کليت، قاعده اي معادل با xm+n = xn .xm ، که در آن nЄZ, m را بيان کند.
در کاربرد اعمال حساب در جمله ها و عبارتهاي جبري، کرجي نخست کاربرد آنها را در يک جلمه ايها مورد مطالعه قرار داد تا بعداً به «مقدارهاي مرکب» يا چند جمله ايها بپردازد. بدين ترتيب، وي در ضرب اين قاعده ها را ثابت کرد: آ: (a/b).c = ac/b )و ب: a/b . c/d = ac/bd، که در آنها a و b و c و d يک جمله اي هستند. آن گاه ضرب چند جمله ايها را اجرا کرد و قاعده کلي بيان نمود. با همين ترتيب و با همين توجه براي تقارن اعمال جمع و تفريق بررسي کرد. با وجود اين، اين جبر چند جمله ايها يکدست نبود. در تقسيم و ريشه گيري، کرجي کليتي را در ساير اعمال به دست آورده بود حاصل نکرد. از اين روي فقط به تقسيم يک جمله اي بر يک جمله اي و چند جمله اي بر يک جمله اي اکتفا کرد. با وجود اين، اين نتيجه ها جانشينان وي، به ويژه سموئل، را قادر ساخت که، براي نخستين بار، در تاريخ معرفت آدمي، قابليت تقسيم در حلقه [Q(x) + Q(1/x)] و تخمين همه کسرها را به وسيله عضوهاي يک حلقه بررسي کنند. در مورد استخراج جذر چندجمله اي، کرجي توانست قاعده اي کلي (و اولين قاعده در تاريخ رياضي) را به دست دهد، ولي اين قاعده فقط براي ضريبهاي مثبت معتبر است، اين روش به سموئل مجال داد که مسأله را در مورد چند جمله اي با ضرايب گويا حل کند يا، به طور دقيق تر، ريشه عضو مربع حلقه [Q(x) + Q(1/x)] را حساب کند. روش کرجي عبارت بود از اينکه نخست بس 2(3x + 2x + 1x) را که در آن (1x +2x + 3x) يک جمله اي هستند به دست دهد.
اين به صورت
نوشته شد. عبارت جبر در اين چند جمله اي است که بر حسب قواي نزولي مرتب شده است، سپس کرجي مسئله عکس را مطرح کرد: تعيين ريشه يک پنج جمله اي. آن گاه وي اين چند جمله اي را به صورت P(x) در نظر گرفت و دو روش پيشنهاد کرد. روش اول عبارت بود از اينکه مجموع ريشه هاي دو جمله اول و آخر گرفته شود – البته در صورت وجود – همچنين خارج قسمت جمله دوم بر دو برابر ريشه جمله اول يا خارج قسمت جمله چهارم بر دو برابر ريشه جمله آخر. روش ديگر عبارت بود از اين که برابر حاصل ضرب ريشه جمله اول در ريشه جمله آخر را از جمله سوم بکاهند و ريشه باقيمانده تفريق را به ريشه هاي جمله هاي اول و آخر بيفزايند. در اينجا دقت زياد بايد کرد. اين صورت منحصر به مثال خاصي نيست و چنانکه در «البديع» ديده مي شود، روش کرجي کلي است.
و نيز کرجي، با توجه به بسط محاسبات چيزي، به آزمايش کاربرد اعمال حساب در جمله ها و عبارتهاي گنگ پرداخت.
مسأله اي که کرجي طرح کرد و سموئل آن را به عنوان فصل ماقبل آخر کتاب خود با عنوان «استفاده از ابزار حساب در مقادير گنگ» به کار برد چنين است: «چگونه ضرب و تقسيم و جمع و تفريق و استخراج ريشه را مي توان (در مقادير چيزي گنگ) به کار برد؟» اين مسأله در تمام طرح کرجي نماينده مرحله اي بسيار مهم است و در نتيجه بسط حساب جبري شمرده مي شود. درست همان طور که کرجي اعمال مقدماتي حساب را به نحوي اصولي و صريح درباره مقادير گويا به کار برد، درصدد بسط اين اعمال در مقادير گنگ برآمد، تا نشان دهد که آنها هم خواص خود را محفوظ مي دارند. اين طرح، با آن که به کلي نظري در نظر گرفته شده بود، به معرفتي بيشتر درباره نهاد عددهاي حقيقي رهنمون شد. پيشرفت در حقيقت واضح بود، اما براي ميسر ساختن آن لازم بود که به خطر وقفه اي تن در داده شود – خطري که امروز ممکن بود کمي مورد ايراد واقع شود – و آن اين که اين پيشرفت عمل را بر زمينه استوار نظريه عددهاي حقيقي برقرار نمي ساخت. دانشمندان حساب و جبر فقط به چيزي دلبستگي داشتند که ممکن است ما آن را جبر R بناميم و در صدد ساختن ميدان عددهاي حقيقي برنيامدند. در اينجا پيشرفت نصيب حوزه ديگري از جبر شد و آن جبر هندسي بود که بعدها به وسيله خيام و شرف الدين طوسي احيا گرديد. در زمينه اين جبر کرجي و سموئل توانستند اعمال جبري خود را به مقادير گنگ سرايت دهند، بي آنکه درصدد دانستن دلايل اين توفيق يا توجيه اين تسري برآيند. چون فقد نامطلوب چنين توجيهي به معني وقفه بود، کرجي بي درنگ تعريفهاي کتابهاي هفتم و دهم اصول اقليدس را پذيرفت. در حالي که تعريف عدد را به صورت «کلي که از واحدها فراهم آمده است» و تعريف واحد را (که هنوز عدد شناخته نشده بود) به صورت «به وسيله يک کل موجود توصيف مي شود.»(8) از کتاب هفتم اقتباس کرده بود. مفاهيم سنجش ناپذيري و گنگي او با کتاب دهم وفق مي داد. اما براي اقليدس و مفسران او اين مفاهيم فقط به موجودهاي هندسي تعلق مي گيرند و به قول پاپوس «خاصيتي بکلي هندسي» هستند و «نه سنجش پذيري و نه گنگي هيچ يک نمي تواند به عدد تعلق گيرد. اعداد گويا و سنجش پذيرند.»
چون کرجي صريحاً تعريفهاي اقليدس را مبناي کار خود قرار داده است حق بود که کاربرد آنها را درباره مقدارهاي سنجش ناپذير و گنگ توجيه کند. اما چنين توجيهي در نوشته او نمي توان يافت. تنها توجيهي که بدان مي توان دست يافت غير صريح و نامستقيم و متکي بر مفهوم جبر است. چون جبر با قطعه خطها و مقدارها، هردو، سرو کار دارد، اعمال جبر را مي توان درباره هر دو، چه هندسي و چه حسابي، به کار برد. مقدارهاي گنگ هم، مانند مقدارهاي گويا، مي توانند جواب مجهول در اعمال جبري باشند، درست به اين دليل که در اعداد و مقدارهاي هندسي دخيل هستند. وجود نداشتن توضيحي صريح ظاهراً نشانه آن است که سرايت دادن محاسبه جبري – و در نتيجه جبر – براي پيشرفت نيازمند به آن بود که مسأله وابسته به ساختن R به دست فراموشي سپرده شود و براي تمرکز بر روي نهاد جبري هر مانعي از ميان برود. در حقيقت جهشي بود ناموجه اما مساعد براي پيشرفت جبر؛ و اين درست مقصود کرجي است وقتي که، بدون تغييري و بلافاصله بعد از اشاره به تعاريف اقليدس، مي نويسد: «من نشان خواهم داد که چگونه اين مقدارها (سنجش ناپذير و گنگ) در بين اعداد قرار گرفته اند.»
يکي از نتايج اين طرح، که از نتايج ديگر کم اهميت تر نيست، تعبير مجدد کتاب دهم اصول اقليدس است. اين کتاب تا آن زمان به وسيله اکثر رياضيدانان، حتي به وسيله دانشمند ناموري چون ابن هيثم، فقط يک کتاب هندسي تلقي شده بود. براي کرجي کتاب ياد شده سروکار با مقدارها داشت، چه هندسي و چه عددي، و به وسيله جبر، کتاب به صورتي طبقه بندي شد که بعداً نظريه اعداد شناخته شد. کرجي براي آنکه مفاهيم کتاب دهم اصول را به همه مقدارهاي جبري سرايت دهد، به افزودن تعداد آنها پرداخت. «مي گويم که يک جمله ايها نامتناهي اند: اولي مطلقاً گوياست؛ مثلاً5؛ دومي بالقوه گوياست، مانند جذر 15؛ سومي را مي توان از مراجعه به مکعب آن شناخت و چهارمي را مي توان از روي مربع مربع آن مشخص ساخت و پنجمي را از روي مکعب مکعب، و به همين قياس تا بي نهايت.» به همين طريق دو جمله ايها را مي توان به طور نامتناهي درهم شکست. در اين زمينه ها و زمينه هاي بسيار ديگر، سموئل دنباله کار کرجي را گرفته است. در عين حال يک کار متعلق به خود اوست و آن تعميم تقسيم چند جمله اي با جمله هاي گنگ است. بدين ترتيب وي محاسبه راديکالها را، که پيشينيان او آغاز کرده بودند، گسترش داد. در آغاز البديع – براي يک جمله ايهاx1 وx2 عددهاي صحيح طبيعي مثبت m و -n حکمي بيان شده است که محاسبات ذيل را ميسر مي سازد:
پس از آن کرجي به بحث درباره اجراي همين اعمال در چند جمله ايها پرداخت، و از جمله قاعده هايي بيان کرده که اين گونه محاسبات را ميسر مي سازد:
به علاوه او، بيهوده براي محاسبه
تلاش کرد. با همين روحيه بود که کرجي به بسط دو جمله اي همت گماشت (9). در الفخري بسط (a + b) و در البدايع بسط (a+b)3 و(n+q)4 را آورده است. در شرح مفصلي که سموئل از کرجي نقل کرده جدول ضرايب بسط دوجمله اي و قاعده تشکيل آنها، يعني
و بسط
آمده اند.
سموئل براي اثبات حکم بالا و نيز اثبات anbn=(ab)n که در آن a و b جابه جايي پذيرند و nЄN صورتي اندکي قديمي از استقراي رياضي را به کار برده است. پيش از اين که به اثبات دو حکم بپردازد ثابت مي کند که ضرب هم جا به جايي پذير است و هم شرکت و هم شرکت پذير (ab)(ca) = (ac)(bd)؛ بخش پذيري ضرب نسبت به جمع را نيز خاطرنشان مي سازد (a + b)λ = aλ + λb. آنگاه بسط (a+b)n-1را براي اثبات رابطه براي a+b)n)، و ab)n-1) را براي اثبات رابطه براي ab)n) به کار مي برد. تا جايي که مي دانيم، اين اولين بار است که به اثباتي برمي خوريم که مي توان آن را آغاز استقراي رياضي دانست.
با عطف توجه مجدد به نظريه اعداد، کرجي تلاش براي بسط محاسبه جبري را ادامه داد. وي دستورهاي ذيل را ثابت کرده:
عملاً کرجي اين قضيه را ثابت نکرد، بلکه صورت ذيل را که معادل آن است بيان کرد:
اثبات جبري آن را براي اولين بار سموئل ارائه کرد.
به عقيده کرجي وظيفه اصلي جبر «تعيين مجهولهاست از روي مقدمات معلوم». هدف جبر نشان دادن اين است که چگونه مي توان مقدارهاي مجهول را از روي معلومهاي داده شده به وسيله تبديل معادلات به دست آورد. واضح است که اين وظيفه وظيفه اي تخيلي است و از اين روي جبر با حکم محاسبات جبري يکي شناخته شده است، و بدين دليل است که پيروان کرجي در الحاق جبر به آناليز ترديد روا نداشتند و تا حدي آن را مقابل هندسه قرار دادند و بدين ترتيب استقلال جبر را تأييد کردند. از زمان کرجي به بعد، وحدت موضوع جبر ديگر بچشم وحدت موجودهاي رياضي ديده نمي شد، بلکه در وحدت اعمال رياضي بود. از يک سو مسأله اين بود که اعمال لازم براي تبديل مسأله به صورت معادله اي انجام شوند – يا به بياني دقيقتر مسأله به صور يکي از نمونه هاي دريد – و از سوي ديگر اعمال لازم براي رسيدن به جوابهاي خاص، يعني به صورت پذيرند. و به همين طريق کرجي شش معادله
Ax=b و ax2=bx و ax2=b و ax2+bx=c و ax2+c=bx و bx+c=ax2 را اختیار کرد تا معادلات از درجه بالاتر ax2n+c=bxn و axm2n+=bxn+m را حل کند.
سپس کرجي، با پيروي خاص از ابوکامل، دستگاههاي معادلات خطي را مورد بررسي قرار داد و مثلاً اين دستگاه را حل کرد:
x/2+w=s/2
2y/3+w=s/3
5z/6+w=s/6
که در آنها s=x+y+z و w=(1/3)(x/2+y/3+z/6)
ترجمه پنج کتاب اول حساب (10) ديوفانتوس دست کم اهميت دو حوزه را بر کرجي آشکار ساخت، اما او، برخلاف ديوفانتوس، درصدد برآمد که جنبه نظري حوزه هاي مورد نظر را مصفا سازد. از اين روي، هم از مفهومي از جبر، که به وسيله خوارزمي تجديد شده بود، و هم از نظريه گسترده تري از محاسبه جبري استفاده کرد و توانست که با مطالعه کتاب ديوفانتوس احکامي را که در کتاب او به طور غيرصحيح گنجانده شده بودند به نحو صريح بيان کند و احکام ديگري را که پيش بيني نشده بودند به آنها بيفزايد. مقصود کرجي، در الفخري و البديع، از تحليل (آناليز) نامعين (استقرا) اين بود که «مقداري مرکب (يعني يک چند جمله اي يا يک عبارت جبري) متشکل از يک يا دو يا سه جمله متوالي عرضه کند که در واقع مربع باشد، اما به ظاهر غير مربع بنمايد. و غرض استخراج جذر آن باشد.» منظور کرجي از ريشه q از يک يا چند جمله با ضرايب گويا يافتن مقدار x در q بود، به طور ي که p(x) مربع يک عدد گويا باشد. براي آنکه، مثلاً dx2n-1+ A(x)= ax2n
را که در آن x= 1,2,3 و غیره بدین مفهوم حل شود، باید (A (x را بر 2m-2 تقسیم کرد تا به صورت b÷ Ax2 رسید که آن را با یک چند جمله ای مربع مساوی قرار داد که یک جمله ای بالاترین درجه آن ax2 باشد به نحوی که معادله ریشه ای گویا داشته باشد.
کرجی خاطرنشان ساخت که مسائلی از این نوع جوابهای بیشمار دارند. و درصدد حل تعدادی از آنها برآمد که برخی را از دیوفانتوس به عاریت گرفته بود و بعضی دیگر از خود او بودند. در اینجا تعداد خسته کننده ای از این مسائل را مطرح نخواهیم کرد. فقط به عرضه کردن نمونه های عمده عبارتهای جبری یا چند جمله ایهایی که ممکن است با مربعی مساوی قرار داده شوند می پردازیم.
1- معادلات يک مجهولي:
2- معادلات با دو مجهول:
3- معاده ای با سه مجهول:
4- دو معادله با يک مجهول:
5- دو معادله با دو مجهول:
6- دو معادله با سه مجهول:
7- سه معادله با دو مجهول:
در کتاب کرجي انواع ديگري از تعداد معادلات و تعداد مجهولات، و نيز بررسي عبارتهاي جبري و چند جمله ايهايي که ممکن است مساوي مکعبي قرار داده شوند وجود دارند. از مقايسه مسائلي که به وسيله کرجي حل شده اند يا آنهايي که ديوفانتوس حل کرده است معلوم شده است که «بيشتر از يک سوم کتاب اول ديوفانتوس»، و مسائل کتاب دوم او؛ که از هشتم آغاز مي شوند، و بالقوه تمام مسائل کتاب سوم او به وسيله کرجي در مجموعه مسائل وي گنجانيده شده اند.» بايد خاطرنشان ساخت که کرجي مسائل تازه اي بر آنها افزوده است.
دو نوع علاقه در حل مسائل کرجي به چشم مي خورند: يافتن روشهايي با کليت بيشتر و افزودن تعداد حالتهايي که در آنها بايد شرايط حل را آزمود. بدين ترتيب براي معادله ax2 + bx + czu2 هر چند فرض کرده بود که حل مسأله مسلتزم آن است که a وc مربع مثبت باشند، امکانات مختلف را در نظر گرفته است: a تنها مربع است؛ b تنها مربع است؛ ax2 + b = u2 نه a مربع است و نه b، اما b/a مربع است. بعلاوه او نشان داد که ±(bx – c) – x2 = v2 جواب گويا ندارد، مگر وقتي که b2 / 4± c مجموع دو مربع باشد. مثال ديگري حل دستگاه ax + b = u2 و ax + c = u2 است که چنين قرارداد b – c = a . (b – c) /aفرض کرد.
ax + b = (a + [b – c] / a)2 / 4
همين اشتغال ذهني در حل دستگاه y2 + x = v2 و x2 + y = u2 ديده مي شود که در آن وي درصدد برآمد x = at و y = bt با a > b را طوري تبديل کند که بتواند قرار دهد (a – b)t = λ، a2 + t2 + bt = u، b2 + at = v و مسأله را به وسيله اتحاد ثابت شده حل کند.
اين علاقه به کليت در دو مثال ذيل نيز آشکار است: 1) x3 + y3 = u2 که در آن قرار داد y = mx و u = nx با ncQ و m و نتيجه گرفت x = n2 / (2 + m2) روشي که در مسائل گوياي کلي تر axn + bzn = cun-1 قابل استفاده است؛ 2)
x3 - bx2 = v2 ; x3 + ax2 = u2
که در آن a و b دو عدد صحيحند. وي چنين قرار داد:
U=mx,v=nx→x=m2-a=n2+b
و از روي آن نشان داد که شرطي که بايد m وn داشته باشند m2 – n2 = a + b است. قرار داد m = n + t و به دست آورد:
2nt+t2=a+b→n=(a+b-t2 )/2t
براي نشان دادن علاقه شديد کرجي به کليت به پژوهش در جوابها مي توان تعداد زيادي مثالهاي ديگر ارائه کرد. همچنين تعداد قابل ملاحظه اي پژوهشها و نتيجه هاي ديگر. با وجود اين بزرگترين کار او جهت تازه اي بود که به جبر داد، يعني حسابي کردن جبر در نتيجه کشف ديوفانتوس به وسيله رياضيداني که با جبر خوارزمي آشنا بود. جانشينان کرجي، بخصوص سموئل، اين انگيزه جديد را کاملاً دريافتند و آن را پيش بردند. قراين نشان مي دهند که لئوناردو فينابوچي معرفتي بر اين کار داشت، و شايد لوي بن گرسن هم.
1-suter
2- براي اطلاع بيشتر از زندگي و آثار کرجي مراجعه شود به: رياضيدانان ايراني، ابوالقاسم قرباني، انتشارات مدرسه عالي دختران، تهران 1350، ص 369 – 310.
3- woepeke.
4- Adolf Hochheim.
5- Giorgio Levi della Vida.
6- Dictionary of Scientific Biography.
7-Isomorphism.
8-تعريف اقليدس از واحد و عدد در کتاب هفتم به اتکاي آن هر چيزي که وجود دارد «يک» ناميده مي شود. «عدد کثرتي است مرکب از واحدها» م.
9-کرجي سعي کرد که در الفخري ضرايب جمله هاي متوالي بسط دو جمله اي (a – b)n را به دست آورد. و سرانجام به اين کار توفيق يافت. اما کار او باقي نمانده است و فقط قسمتهايي از آن در الباهر سموئل بن يحياي مغربي محفوظ مانده است. محاسبه ضرائب به وسيله مثلثي بود که امروز به مثلث پاسکال يا مثلث تارتاگيليا معروف است (دايرة المعارف اسلامي، چاپ انگليسي، چاپ دوم، ص 600).
10- Ariphmetica.
منبع:نشریه پایگاه نور شماره 11
/ن
کرخ، که از زبان آرامي و از واژه کرکه (= دژ) گرفته شده به عنوان نام چند شهر دوره اسلامي به کار رفته است، که هر يک با تصريح محل خود، مشخص مي شود، مانند کرخ سامرا و کرخ بغداد.
کرخ بغداد که، به عقيده برخي نويسندگان، زادگاه ابوبکر محمدبن حسين بوده است، شهرکي بوده در مجاورت بغداد اسلامي. بغداد در نيمه قرن دوم هجري به امر منصور عباسي بنا شد. بناي کرخ را به شاپور دوم ساساني (وفات 379 م) نسبت مي دهند. بعد از رشد بغداد، کرخ يکي از محله هاي آن شد.
کرج، که بعضي نويسندگان ديگر دانشمند مورد بحث ما را از آنجا مي دانند، غير از کرج واقع در 40 کيلومتري تهران بوده است. اين کرج، يا کرج ابودلف، شهري بوده است در ناحيه جبال (که در اين اواخر عراق عجم ناميده شد). محل دقيق آن معلوم نيست؛ در جنوب غربي همدان و در نيمه راه بين همدان و اصفهان، کمي نزديکتر به همدان، بوده است. بناي آن را به قاسم بن عيساي عجلي، مشهور به ابودلف، نسبت مي دهند، که روستاي کوچکي را به شهري بزرگ تبديل کرد و در جنگ بين امين و مأمون آن شهر را مقر و مرکز فرمانروايي خود قرار داد. از نوشته «معجم البلدان» برمي آيد که شهر داراي ساختمانهاي شاهانه متفرق، در طول بيشتر از يک فرسنگ بوده و دو بازار داشته است. اما باغ و گردشگاه نداشته و ميوه آن را از بروجرد و شهرهاي ديگر مي آورده اند.
اختلافات بر سر نسبت کرخي و کرجي، که در نسخه هاي خطي قديمي باقي مانده است، شايد ناشي از جا به جا شدن نقطه اي به وسيله کاتبان باشد. وپکه (3)، که در 1853 ميلادي، با ترجمه کتاب الفخري مؤلف آن را به محافل رياضي اروپايي شناساند، با تکيه بر يک نسخه خطي او را کرخي نوشت، همچنين هوخهايم (4) که «الکافي في الحساب» را به آلماني ترجمه و در سالهاي 1878 تا 1880 ميلادي در سه جلد منتشر کرد، عنوان کرخي را به کار برد. جرجولوي دلاويداي (5) ايتاليايي، که «البديع في الحساب» را به ايتاليايي ترجمه کرد، با دلايلي نسبت کرجي را صحيح دانست. از آنجا که ابوبکر بن محمد در مقدمه کتاب انباة المياه الخفيه خود نوشته است که «چون به عراق وارد شد و مردم آن را دوستار دانش ديد، به تأليف کتابهاي رياضي پرداخت.» معلوم مي شود که وي متولد کرخ نبوده و از خارج به بغداد آمده است؛ و نيز چون در همان مقدمه مي نويسد که «به طبرستان بازگشته است» تولد او در ايران محتمل تر به نظر مي رسد. از اين روي، بي آنکه سند بسيار قاطعي وجود داشته باشد، نسبت او را کرجي پذيرفته اند.
کرجي کتابهاي متعدد تأليف کرده که از بعضي از آنها نسخه هاي خطي برجاي مانده است. اين نسخه هاي خطي در کتابخانه هاي استانبول و پاريس و قاهره و اسکندريه و آکسفورد و رم (و فيلم برخي از آنها در کتابخانه دانشگاه تهران) موجود است. به بعضي ديگر از کتابهاي او در آثار خود او و ديگران اشاره شده است.
کتاب الفخري او به فرانسه، کتاب الکافي به آلماني، کتاب البديع به ايتاليايي، و کتاب انباة به فارسي ترجمه شده اند. کتابهايي که نسخه خطي آنها موجود است عبارتند از:
*الفخري في (صناعة) الجبر و المقابله، که به نام فخرالملک ابوغالب محمدبن علي، وزير بهاءالدوله و سلطان الدوله، ناميده شده است؛
*الکافي في الحساب، که در آن به تصانيف متعدد، که از هيچ يک نسخه اي به دست نيامده، اشاره کرده است. بر اين کتاب دو شرح نوشته شده است: يکي به نام «شرح کتاب الکافي الکرخي»، توسط ابوعبدالله حسن بن احمد؛ و ديگري موسوم به «الشرح الشافي لکتب الکافي في الحساب» نوشته محمدبن علي شهرزوري؛
*البديع في الحساب، که علاوه بر ترجمه متن عربي آن، در 1343 در لبنان چاپ شده است.
*علل حساب الجبر و المقابله و شرحها؛
*مختصر في الحساب والمساحه
*انباة المياه الخفيه، که پس از بازگشت کرجي به ايران و به تشويق ابوغائم معروف بن محمد، وزير منوچهر بن قابوس، نوشته شده است؛ اين کتاب که به فارسي چاپ شده و عنوان استخراج آبهاي پنهاني دارد جزء کتابهاي مهندسي مربوط به حفر چاه شمرده مي شود.
اما کتابهايي که به او نسبت داده مي شوند، ولي جز نامي از آنها باقي نمانده است، عبارتند از:
*کتاب في الحساب الهندي؛
*کتاب العقود و الابنيه؛
*المدخل في علم النجوم؛
*کتاب الدور و الوصايا؛
*کتاب توادر الاشکال.
رياضيدان و پزشک يهودي، ابونصر سموئل بن يحيي، که يک قرن و نيم بعد از کرجي مي زيسته و چهارکتاب رياضي، «الباهر في علم الحساب»؛ «الموجز في علم حساب»؛ «التبصره في علم الحساب» و کتابي در نجوم نوشته است، در الباهر خود از ابوبکر محمد، با نسبت کرجي، ياد کرده و از روش او در حل يک چند جمله اي با ضرايب گويا استفاده کرده است. ابوالقاسم قرباني در «رياضيدانان ايراني» مي نويسد که سموئل اندلسي بوده و به بغداد رفته و از آنجا به ايران آمده و در 1163 ميلادي در مراغه به اسلام گرويده و در همان شهر درگذشته است.
رشدي راشد دانشمند ترک در «فرهنگ احوال دانشمندان»(6) جلد هفتم، صفحه 240 تا 245، قسمتي از رياضيات کرجي را به زبان امروزي بيان کرده است که اينک براي مطالعه علاقه مندان ترجمه مي شود.
کارهاي کرجي، مقام به ويژه مهمي در تاريخ رياضيات دارد. وپکه خاطرنشان مي سازد که «در ميدان رياضيدانان اسلامي، که تاکنون به وجودشان پي برده ايم، کرجي نخستين و کاملترين نظريه حساب جبري – و شايد هم تنها نظريه از اين نوع – را تقديم مي دارد. حقيقت آنکه کرجي، که کار را با عرضه کردن يک نظريه جبري حساب آغاز کرد، در روش سنتي جبريان اسلامي، يعني خوارزمي و ابن فتح و ابوکامل، کاري تازه کرد و روشي نو پيش آورد. هدفي که از عرضه کردن اين روش داشت؛ کمابيش به طور صريح، يافتن وسيله اي بود که استقلال و خاص بودن جبر را تحقق بخشد، به نحوي که بتوان، بخصوص، نمايش هندسي اعمال جبري را کنار گذاشت. آنچه عملاً مورد آزمايش بوده شروع جديدي در جبر بود به وسيله کاربرد اصولي اعمال حساب درباره [∞، 0]. اساس اين حسابي کردن جبرهم بر جبر، به مفهومي که خوارزمي وضع کرده و ابوکامل و چند تن ديگر آن را گسترش داده بودند، و هم بر ترجمه حساب ديوفانتوس، که به وسيله رياضيدانان مسلمان، مانند ابوالوفاي بوزجاني تفسير شده و بسط يافته بوده است. خلاصه، کشف و مطالعه کار ديوفانتوس در حساب در پرتو مفاهيم خوارزمي و ديگر جبريان مسلمان آغاز جديدي را براي جبر موجب شد که مبتکر آن کرجي، مؤلف اولين جبر چند جمله ايها، بود.
کرجي در رساله جبر الفخري نخست به بررسي اصولي معادلات مجهول القوا پرداخت، آنگاه متوجه کاربرد اعمال حساب در جمله ها و عبارتهاي جبري گرديد و نتيجه اين شد که اولين اثر در جبر چند جمله ايها را فراهم آورد. وي به بررسي دو دنباله
xn و ... x2 وx وxn/1و...x3/1و x2/1و x/1
پرداخت و پیاپی قاعده های زیرین را بیان کرد:
بجاي آن که به اهميت اين بررسي پي برده شود لازم است ديده شود که کساني که کمابيش جانشين کرجي شمرده مي شوند چگونه از آن استفاده کردند. مثلاً سموئل توانست با استفاده از کار کرجي همساني ( = ايزومرفيسم (8)) آنچه را در رياضيات امروز گروه(Z ، +) و گروه مي ناميم به کار برد تا برد تا براي اولين بار، و با کمال کليت، قاعده اي معادل با xm+n = xn .xm ، که در آن nЄZ, m را بيان کند.
در کاربرد اعمال حساب در جمله ها و عبارتهاي جبري، کرجي نخست کاربرد آنها را در يک جلمه ايها مورد مطالعه قرار داد تا بعداً به «مقدارهاي مرکب» يا چند جمله ايها بپردازد. بدين ترتيب، وي در ضرب اين قاعده ها را ثابت کرد: آ: (a/b).c = ac/b )و ب: a/b . c/d = ac/bd، که در آنها a و b و c و d يک جمله اي هستند. آن گاه ضرب چند جمله ايها را اجرا کرد و قاعده کلي بيان نمود. با همين ترتيب و با همين توجه براي تقارن اعمال جمع و تفريق بررسي کرد. با وجود اين، اين جبر چند جمله ايها يکدست نبود. در تقسيم و ريشه گيري، کرجي کليتي را در ساير اعمال به دست آورده بود حاصل نکرد. از اين روي فقط به تقسيم يک جمله اي بر يک جمله اي و چند جمله اي بر يک جمله اي اکتفا کرد. با وجود اين، اين نتيجه ها جانشينان وي، به ويژه سموئل، را قادر ساخت که، براي نخستين بار، در تاريخ معرفت آدمي، قابليت تقسيم در حلقه [Q(x) + Q(1/x)] و تخمين همه کسرها را به وسيله عضوهاي يک حلقه بررسي کنند. در مورد استخراج جذر چندجمله اي، کرجي توانست قاعده اي کلي (و اولين قاعده در تاريخ رياضي) را به دست دهد، ولي اين قاعده فقط براي ضريبهاي مثبت معتبر است، اين روش به سموئل مجال داد که مسأله را در مورد چند جمله اي با ضرايب گويا حل کند يا، به طور دقيق تر، ريشه عضو مربع حلقه [Q(x) + Q(1/x)] را حساب کند. روش کرجي عبارت بود از اينکه نخست بس 2(3x + 2x + 1x) را که در آن (1x +2x + 3x) يک جمله اي هستند به دست دهد.
اين به صورت
نوشته شد. عبارت جبر در اين چند جمله اي است که بر حسب قواي نزولي مرتب شده است، سپس کرجي مسئله عکس را مطرح کرد: تعيين ريشه يک پنج جمله اي. آن گاه وي اين چند جمله اي را به صورت P(x) در نظر گرفت و دو روش پيشنهاد کرد. روش اول عبارت بود از اينکه مجموع ريشه هاي دو جمله اول و آخر گرفته شود – البته در صورت وجود – همچنين خارج قسمت جمله دوم بر دو برابر ريشه جمله اول يا خارج قسمت جمله چهارم بر دو برابر ريشه جمله آخر. روش ديگر عبارت بود از اين که برابر حاصل ضرب ريشه جمله اول در ريشه جمله آخر را از جمله سوم بکاهند و ريشه باقيمانده تفريق را به ريشه هاي جمله هاي اول و آخر بيفزايند. در اينجا دقت زياد بايد کرد. اين صورت منحصر به مثال خاصي نيست و چنانکه در «البديع» ديده مي شود، روش کرجي کلي است.
و نيز کرجي، با توجه به بسط محاسبات چيزي، به آزمايش کاربرد اعمال حساب در جمله ها و عبارتهاي گنگ پرداخت.
مسأله اي که کرجي طرح کرد و سموئل آن را به عنوان فصل ماقبل آخر کتاب خود با عنوان «استفاده از ابزار حساب در مقادير گنگ» به کار برد چنين است: «چگونه ضرب و تقسيم و جمع و تفريق و استخراج ريشه را مي توان (در مقادير چيزي گنگ) به کار برد؟» اين مسأله در تمام طرح کرجي نماينده مرحله اي بسيار مهم است و در نتيجه بسط حساب جبري شمرده مي شود. درست همان طور که کرجي اعمال مقدماتي حساب را به نحوي اصولي و صريح درباره مقادير گويا به کار برد، درصدد بسط اين اعمال در مقادير گنگ برآمد، تا نشان دهد که آنها هم خواص خود را محفوظ مي دارند. اين طرح، با آن که به کلي نظري در نظر گرفته شده بود، به معرفتي بيشتر درباره نهاد عددهاي حقيقي رهنمون شد. پيشرفت در حقيقت واضح بود، اما براي ميسر ساختن آن لازم بود که به خطر وقفه اي تن در داده شود – خطري که امروز ممکن بود کمي مورد ايراد واقع شود – و آن اين که اين پيشرفت عمل را بر زمينه استوار نظريه عددهاي حقيقي برقرار نمي ساخت. دانشمندان حساب و جبر فقط به چيزي دلبستگي داشتند که ممکن است ما آن را جبر R بناميم و در صدد ساختن ميدان عددهاي حقيقي برنيامدند. در اينجا پيشرفت نصيب حوزه ديگري از جبر شد و آن جبر هندسي بود که بعدها به وسيله خيام و شرف الدين طوسي احيا گرديد. در زمينه اين جبر کرجي و سموئل توانستند اعمال جبري خود را به مقادير گنگ سرايت دهند، بي آنکه درصدد دانستن دلايل اين توفيق يا توجيه اين تسري برآيند. چون فقد نامطلوب چنين توجيهي به معني وقفه بود، کرجي بي درنگ تعريفهاي کتابهاي هفتم و دهم اصول اقليدس را پذيرفت. در حالي که تعريف عدد را به صورت «کلي که از واحدها فراهم آمده است» و تعريف واحد را (که هنوز عدد شناخته نشده بود) به صورت «به وسيله يک کل موجود توصيف مي شود.»(8) از کتاب هفتم اقتباس کرده بود. مفاهيم سنجش ناپذيري و گنگي او با کتاب دهم وفق مي داد. اما براي اقليدس و مفسران او اين مفاهيم فقط به موجودهاي هندسي تعلق مي گيرند و به قول پاپوس «خاصيتي بکلي هندسي» هستند و «نه سنجش پذيري و نه گنگي هيچ يک نمي تواند به عدد تعلق گيرد. اعداد گويا و سنجش پذيرند.»
چون کرجي صريحاً تعريفهاي اقليدس را مبناي کار خود قرار داده است حق بود که کاربرد آنها را درباره مقدارهاي سنجش ناپذير و گنگ توجيه کند. اما چنين توجيهي در نوشته او نمي توان يافت. تنها توجيهي که بدان مي توان دست يافت غير صريح و نامستقيم و متکي بر مفهوم جبر است. چون جبر با قطعه خطها و مقدارها، هردو، سرو کار دارد، اعمال جبر را مي توان درباره هر دو، چه هندسي و چه حسابي، به کار برد. مقدارهاي گنگ هم، مانند مقدارهاي گويا، مي توانند جواب مجهول در اعمال جبري باشند، درست به اين دليل که در اعداد و مقدارهاي هندسي دخيل هستند. وجود نداشتن توضيحي صريح ظاهراً نشانه آن است که سرايت دادن محاسبه جبري – و در نتيجه جبر – براي پيشرفت نيازمند به آن بود که مسأله وابسته به ساختن R به دست فراموشي سپرده شود و براي تمرکز بر روي نهاد جبري هر مانعي از ميان برود. در حقيقت جهشي بود ناموجه اما مساعد براي پيشرفت جبر؛ و اين درست مقصود کرجي است وقتي که، بدون تغييري و بلافاصله بعد از اشاره به تعاريف اقليدس، مي نويسد: «من نشان خواهم داد که چگونه اين مقدارها (سنجش ناپذير و گنگ) در بين اعداد قرار گرفته اند.»
يکي از نتايج اين طرح، که از نتايج ديگر کم اهميت تر نيست، تعبير مجدد کتاب دهم اصول اقليدس است. اين کتاب تا آن زمان به وسيله اکثر رياضيدانان، حتي به وسيله دانشمند ناموري چون ابن هيثم، فقط يک کتاب هندسي تلقي شده بود. براي کرجي کتاب ياد شده سروکار با مقدارها داشت، چه هندسي و چه عددي، و به وسيله جبر، کتاب به صورتي طبقه بندي شد که بعداً نظريه اعداد شناخته شد. کرجي براي آنکه مفاهيم کتاب دهم اصول را به همه مقدارهاي جبري سرايت دهد، به افزودن تعداد آنها پرداخت. «مي گويم که يک جمله ايها نامتناهي اند: اولي مطلقاً گوياست؛ مثلاً5؛ دومي بالقوه گوياست، مانند جذر 15؛ سومي را مي توان از مراجعه به مکعب آن شناخت و چهارمي را مي توان از روي مربع مربع آن مشخص ساخت و پنجمي را از روي مکعب مکعب، و به همين قياس تا بي نهايت.» به همين طريق دو جمله ايها را مي توان به طور نامتناهي درهم شکست. در اين زمينه ها و زمينه هاي بسيار ديگر، سموئل دنباله کار کرجي را گرفته است. در عين حال يک کار متعلق به خود اوست و آن تعميم تقسيم چند جمله اي با جمله هاي گنگ است. بدين ترتيب وي محاسبه راديکالها را، که پيشينيان او آغاز کرده بودند، گسترش داد. در آغاز البديع – براي يک جمله ايهاx1 وx2 عددهاي صحيح طبيعي مثبت m و -n حکمي بيان شده است که محاسبات ذيل را ميسر مي سازد:
پس از آن کرجي به بحث درباره اجراي همين اعمال در چند جمله ايها پرداخت، و از جمله قاعده هايي بيان کرده که اين گونه محاسبات را ميسر مي سازد:
به علاوه او، بيهوده براي محاسبه
تلاش کرد. با همين روحيه بود که کرجي به بسط دو جمله اي همت گماشت (9). در الفخري بسط (a + b) و در البدايع بسط (a+b)3 و(n+q)4 را آورده است. در شرح مفصلي که سموئل از کرجي نقل کرده جدول ضرايب بسط دوجمله اي و قاعده تشکيل آنها، يعني
و بسط
آمده اند.
سموئل براي اثبات حکم بالا و نيز اثبات anbn=(ab)n که در آن a و b جابه جايي پذيرند و nЄN صورتي اندکي قديمي از استقراي رياضي را به کار برده است. پيش از اين که به اثبات دو حکم بپردازد ثابت مي کند که ضرب هم جا به جايي پذير است و هم شرکت و هم شرکت پذير (ab)(ca) = (ac)(bd)؛ بخش پذيري ضرب نسبت به جمع را نيز خاطرنشان مي سازد (a + b)λ = aλ + λb. آنگاه بسط (a+b)n-1را براي اثبات رابطه براي a+b)n)، و ab)n-1) را براي اثبات رابطه براي ab)n) به کار مي برد. تا جايي که مي دانيم، اين اولين بار است که به اثباتي برمي خوريم که مي توان آن را آغاز استقراي رياضي دانست.
با عطف توجه مجدد به نظريه اعداد، کرجي تلاش براي بسط محاسبه جبري را ادامه داد. وي دستورهاي ذيل را ثابت کرده:
عملاً کرجي اين قضيه را ثابت نکرد، بلکه صورت ذيل را که معادل آن است بيان کرد:
اثبات جبري آن را براي اولين بار سموئل ارائه کرد.
به عقيده کرجي وظيفه اصلي جبر «تعيين مجهولهاست از روي مقدمات معلوم». هدف جبر نشان دادن اين است که چگونه مي توان مقدارهاي مجهول را از روي معلومهاي داده شده به وسيله تبديل معادلات به دست آورد. واضح است که اين وظيفه وظيفه اي تخيلي است و از اين روي جبر با حکم محاسبات جبري يکي شناخته شده است، و بدين دليل است که پيروان کرجي در الحاق جبر به آناليز ترديد روا نداشتند و تا حدي آن را مقابل هندسه قرار دادند و بدين ترتيب استقلال جبر را تأييد کردند. از زمان کرجي به بعد، وحدت موضوع جبر ديگر بچشم وحدت موجودهاي رياضي ديده نمي شد، بلکه در وحدت اعمال رياضي بود. از يک سو مسأله اين بود که اعمال لازم براي تبديل مسأله به صورت معادله اي انجام شوند – يا به بياني دقيقتر مسأله به صور يکي از نمونه هاي دريد – و از سوي ديگر اعمال لازم براي رسيدن به جوابهاي خاص، يعني به صورت پذيرند. و به همين طريق کرجي شش معادله
Ax=b و ax2=bx و ax2=b و ax2+bx=c و ax2+c=bx و bx+c=ax2 را اختیار کرد تا معادلات از درجه بالاتر ax2n+c=bxn و axm2n+=bxn+m را حل کند.
سپس کرجي، با پيروي خاص از ابوکامل، دستگاههاي معادلات خطي را مورد بررسي قرار داد و مثلاً اين دستگاه را حل کرد:
x/2+w=s/2
2y/3+w=s/3
5z/6+w=s/6
که در آنها s=x+y+z و w=(1/3)(x/2+y/3+z/6)
ترجمه پنج کتاب اول حساب (10) ديوفانتوس دست کم اهميت دو حوزه را بر کرجي آشکار ساخت، اما او، برخلاف ديوفانتوس، درصدد برآمد که جنبه نظري حوزه هاي مورد نظر را مصفا سازد. از اين روي، هم از مفهومي از جبر، که به وسيله خوارزمي تجديد شده بود، و هم از نظريه گسترده تري از محاسبه جبري استفاده کرد و توانست که با مطالعه کتاب ديوفانتوس احکامي را که در کتاب او به طور غيرصحيح گنجانده شده بودند به نحو صريح بيان کند و احکام ديگري را که پيش بيني نشده بودند به آنها بيفزايد. مقصود کرجي، در الفخري و البديع، از تحليل (آناليز) نامعين (استقرا) اين بود که «مقداري مرکب (يعني يک چند جمله اي يا يک عبارت جبري) متشکل از يک يا دو يا سه جمله متوالي عرضه کند که در واقع مربع باشد، اما به ظاهر غير مربع بنمايد. و غرض استخراج جذر آن باشد.» منظور کرجي از ريشه q از يک يا چند جمله با ضرايب گويا يافتن مقدار x در q بود، به طور ي که p(x) مربع يک عدد گويا باشد. براي آنکه، مثلاً dx2n-1+ A(x)= ax2n
را که در آن x= 1,2,3 و غیره بدین مفهوم حل شود، باید (A (x را بر 2m-2 تقسیم کرد تا به صورت b÷ Ax2 رسید که آن را با یک چند جمله ای مربع مساوی قرار داد که یک جمله ای بالاترین درجه آن ax2 باشد به نحوی که معادله ریشه ای گویا داشته باشد.
کرجی خاطرنشان ساخت که مسائلی از این نوع جوابهای بیشمار دارند. و درصدد حل تعدادی از آنها برآمد که برخی را از دیوفانتوس به عاریت گرفته بود و بعضی دیگر از خود او بودند. در اینجا تعداد خسته کننده ای از این مسائل را مطرح نخواهیم کرد. فقط به عرضه کردن نمونه های عمده عبارتهای جبری یا چند جمله ایهایی که ممکن است با مربعی مساوی قرار داده شوند می پردازیم.
1- معادلات يک مجهولي:
2- معادلات با دو مجهول:
3- معاده ای با سه مجهول:
4- دو معادله با يک مجهول:
5- دو معادله با دو مجهول:
6- دو معادله با سه مجهول:
7- سه معادله با دو مجهول:
در کتاب کرجي انواع ديگري از تعداد معادلات و تعداد مجهولات، و نيز بررسي عبارتهاي جبري و چند جمله ايهايي که ممکن است مساوي مکعبي قرار داده شوند وجود دارند. از مقايسه مسائلي که به وسيله کرجي حل شده اند يا آنهايي که ديوفانتوس حل کرده است معلوم شده است که «بيشتر از يک سوم کتاب اول ديوفانتوس»، و مسائل کتاب دوم او؛ که از هشتم آغاز مي شوند، و بالقوه تمام مسائل کتاب سوم او به وسيله کرجي در مجموعه مسائل وي گنجانيده شده اند.» بايد خاطرنشان ساخت که کرجي مسائل تازه اي بر آنها افزوده است.
دو نوع علاقه در حل مسائل کرجي به چشم مي خورند: يافتن روشهايي با کليت بيشتر و افزودن تعداد حالتهايي که در آنها بايد شرايط حل را آزمود. بدين ترتيب براي معادله ax2 + bx + czu2 هر چند فرض کرده بود که حل مسأله مسلتزم آن است که a وc مربع مثبت باشند، امکانات مختلف را در نظر گرفته است: a تنها مربع است؛ b تنها مربع است؛ ax2 + b = u2 نه a مربع است و نه b، اما b/a مربع است. بعلاوه او نشان داد که ±(bx – c) – x2 = v2 جواب گويا ندارد، مگر وقتي که b2 / 4± c مجموع دو مربع باشد. مثال ديگري حل دستگاه ax + b = u2 و ax + c = u2 است که چنين قرارداد b – c = a . (b – c) /aفرض کرد.
ax + b = (a + [b – c] / a)2 / 4
همين اشتغال ذهني در حل دستگاه y2 + x = v2 و x2 + y = u2 ديده مي شود که در آن وي درصدد برآمد x = at و y = bt با a > b را طوري تبديل کند که بتواند قرار دهد (a – b)t = λ، a2 + t2 + bt = u، b2 + at = v و مسأله را به وسيله اتحاد ثابت شده حل کند.
اين علاقه به کليت در دو مثال ذيل نيز آشکار است: 1) x3 + y3 = u2 که در آن قرار داد y = mx و u = nx با ncQ و m و نتيجه گرفت x = n2 / (2 + m2) روشي که در مسائل گوياي کلي تر axn + bzn = cun-1 قابل استفاده است؛ 2)
x3 - bx2 = v2 ; x3 + ax2 = u2
که در آن a و b دو عدد صحيحند. وي چنين قرار داد:
U=mx,v=nx→x=m2-a=n2+b
و از روي آن نشان داد که شرطي که بايد m وn داشته باشند m2 – n2 = a + b است. قرار داد m = n + t و به دست آورد:
2nt+t2=a+b→n=(a+b-t2 )/2t
براي نشان دادن علاقه شديد کرجي به کليت به پژوهش در جوابها مي توان تعداد زيادي مثالهاي ديگر ارائه کرد. همچنين تعداد قابل ملاحظه اي پژوهشها و نتيجه هاي ديگر. با وجود اين بزرگترين کار او جهت تازه اي بود که به جبر داد، يعني حسابي کردن جبر در نتيجه کشف ديوفانتوس به وسيله رياضيداني که با جبر خوارزمي آشنا بود. جانشينان کرجي، بخصوص سموئل، اين انگيزه جديد را کاملاً دريافتند و آن را پيش بردند. قراين نشان مي دهند که لئوناردو فينابوچي معرفتي بر اين کار داشت، و شايد لوي بن گرسن هم.
1-suter
2- براي اطلاع بيشتر از زندگي و آثار کرجي مراجعه شود به: رياضيدانان ايراني، ابوالقاسم قرباني، انتشارات مدرسه عالي دختران، تهران 1350، ص 369 – 310.
3- woepeke.
4- Adolf Hochheim.
5- Giorgio Levi della Vida.
6- Dictionary of Scientific Biography.
7-Isomorphism.
8-تعريف اقليدس از واحد و عدد در کتاب هفتم به اتکاي آن هر چيزي که وجود دارد «يک» ناميده مي شود. «عدد کثرتي است مرکب از واحدها» م.
9-کرجي سعي کرد که در الفخري ضرايب جمله هاي متوالي بسط دو جمله اي (a – b)n را به دست آورد. و سرانجام به اين کار توفيق يافت. اما کار او باقي نمانده است و فقط قسمتهايي از آن در الباهر سموئل بن يحياي مغربي محفوظ مانده است. محاسبه ضرائب به وسيله مثلثي بود که امروز به مثلث پاسکال يا مثلث تارتاگيليا معروف است (دايرة المعارف اسلامي، چاپ انگليسي، چاپ دوم، ص 600).
10- Ariphmetica.
منبع:نشریه پایگاه نور شماره 11
/ن
