منطق ریاضی

نویسنده: یوزف ماری بوخنسکی
مترجم: دکتر شرف الدین خراسانی

الف. اهمیت و مشخصات کلی

منطق ریاضی( که همچنین «لوژیستیک» یا «منطق رمزی» نامیده می شود) امروزه غالباً دانش خاصی به شمار می رود، و غالباً در دانشکده های علوم نیز تدریس می شود. تنها بعضی از فیلسوفان آن را چونان کارافزار سودمندی برای تحلیل فلسفی می دانند، اما اکثرشان آن را رد می کنند. با وجود این، منطق ریاضی برای فلسفه ی معاصر اهمیت قابل ملاحظه ای دارد، نه تنها به این علت که بسیاری از فیلسوفان آن را به کار می برند ( اکثر فیلسوفان انگلیسی را بدون آشنایی با منطق ریاضی نمی توان فهمید) بلکه همچنین به این علت که در تشکیل مکتبها و نظامهای گوناگون فلسفی ( نوپوزیتیویسم، وایتهد، راسل، و دیگران) به نحوی تعیین کننده تأثیر کرده و برای گسترش آنها برخی مسائل تازه ی فلسفی را ممکن ساخته است. بنابراین، آشنایی اجمالی با این اصول- حال هر گونه درباره ی آن داوری شود- اجتناب ناپذیر است، تا بتوان برخی چیزها را از فلسفه ی معاصر فهمید. به این علت ما در اینجا طرحی از مفاهیم و روشها وهمچنین برخی از اصول و مسائل منطق ریاضی را به نظر خوانندگان می رسانیم:
اجازه دهید از برشمردن برخی بدفهمیها آغاز کنیم، تا نخست تعیین کنیم که چگونه نباید منطق ریاضی را تعریف کرد. منطق ریاضی را با نوپوزیتیویسم نباید یکسان دانست. در واقع بنیانگذاران آن نه تنها پوزیتیویست نبودند بلکه درست از افلاطونیان بودند(فِرِگه، وایتهد، راسل - در زمانی که اصول ریاضیات را تألیف می کرد، لوکاسیویچ، فرنکل، شولتس و چندین تن دیگر). امروز منطق ریاضی تقریباً در میان همه ی مکتبهای فلسفی هواداران و پیروانی دارد.
دیگر اینکه درست نیست آن را «رمزی» یا سمبلیک تعریف کنیم. البته این منطق نسبت به منطق کلاسیک نشانه ها یا رمزهای ساختگی به مقیاس بیشتری به میان آورده است؛ اما این صرفاً امری است عارضی و با ماهیت منطق ریاضی پیوند اندکی دارد.
سرانجام، درست نیست که منطق ریاضی را چونان ریاضی کردن فلسفه، یعنی بازگرداندن آن به ریاضیات، تلقی کنیم. واقع امر این است که عکس این ، یعنی بازگرداندن ریاضیات به منطق، منظور راسل و وایتهد بوده است. آنچه در این میان غالباً موجب بدفهمی می شود این است که منطق ریاضی رمزهایی به کار می برد که همانند رمزها و نشانه های ریاضیات است. مثلاً منطقدان ریاضی می نویسند: «X=Y»، درست مانند ریاضیدانان؛ اما رمز «=» نزد منطقدانان نه به معنای تساوی کمی است، بلکه نشان دهنده ی همانبودی و بنابراین رابطه ی غیر ریاضی است.
در برابر، نکات زیر را می توان نشانه ی مشخص منطق ریاضی دانست: حذف ملاحظات روانشناسانه؛ کاربرد منطق بر خود منطق؛ و سرانجام، شکلسازی یا شکلگرایی( فرمالیسم).
منطق ریاضی نخست همه ی ملاحظات روانشناسانه و معرف شناسانه را از کار خود حذف می کند، و خود را تنها با «تحلیل درستی» قانونهای صرفاً صوری منطقی، مانند اصل تناقض، قیاس شرطی و مانند آن، مشغول می دارد.
دوم اینکه در منطق ریاضی «منطق برخود منطق به کار برده می شود». یعنی کوشش می شود تا قانونهای منطقی را قاعده وار از کمترین اصول ممکن ( آکسیومها یا قاعده ها و میزانهای استنتاج) به نحو کاملاً دقیقی استنباط کنند. به این علت علاقه ی منطقدانان ریاضی بیشتر متوجه به همبستگی قانونهای منطقی در میان یکدیگر است؛ و به طور کلی گرایشی ( در اصل زیباشناسانه) به کاهش دادن تعداد اصول، حتی به بهای سادگی آنها، دارند.
سوم اینکه منطقدانان ریاضی نیازمند به شکلسازی اند. مقصود چنین روشی است که در آغاز کار موضوعاً برخی رمزها گزیده می شوند که در خود و برای خوددارای معنا هستند. و پس از آن، معنای آنها چشم پوشی می شود، و قواعد استدلال چنان مضبوط می گردند که منحصراً به شکل بیرونی و نوشته ای رمزها ، و نه معنای آنها، توجه شود. آنگاه تمامی قیاس و استنتاج به نحوی «شکل یافته» حاصل می شود. به عبارت دیگر، قانون استوار منطق ریاضی این است که انسان در جریان استدلال به هیچ چیز جز شکل یا صورت رمزها و قواعد استنتاج «صوری» این شکل، نباید توجه کند.
چون بدین گونه نظامی کامل به دست آمد، این بار آن را از لحاظ مضمون یا محتوا تفسیر می کنند، در حالی که خود نظام همیشه از تفسیرهای آن جدا نگه داشته می شود. این کار به نظر منطقدانان ریاضی دارای این مزیت است که انسان به یک نظام غالباً چندین تفسیر می تواند بدهد؛ و به وسیله ی این کار یکباره اصول متعددی را می تواند بیناد گذارد. از سوی دیگر، اهمیت این امر آشکار می شود که در مورد قضایای بی نهایت مجرد و پیچیده منطق ریاضی بدون این شکلسازی پیشرفت درست عملاً ناممکن می شود.

ب. مفاهیم بنیادی

در این منطق نخست میان ثابتها(1) و متغیرها(2) فرق نهاده می شود. متغیرها حروفی است که به جای آنها می توان فرمولهای دیگر - ثابتها یا زنجیره های مرکب - بگذارد. اگر در یک گفته ( گزاره یا قضیه) یک متغیر جانشین یک ثابت شود، آنگاه یک تابع (3) پدید می آید؛ یعنی قالبی برای یک گزاره که نه راست است، نه دروغ. ( مثلاً «یک مرد است» تابعی است که نه راست، نه دروغ. در برابر آن« سقراط یک مرد است» قضیه ای راست است.) تابعها را می توان بار دیگر به صورت گزاره ها تغییر داد، از این راه که انسان یک تابع کننده یا «سور» (4) پیش از آنها قرار می دهد. تابع کننده یا «سور» بر دو گونه است: کلی، چنانکه در این نمونه: « برای هر X صادق است که...»(5) و تابع کننده ی وجودی، مانند این گزاره: «دست کم یک X یافت می شود که برای آن صادق است که ...»(6)
رمزها معمولاً به مقولات بنیادی و مقولات فونکتور (7) تقسیم می شوند. مقولات بنیادی مربوط به «نامها» و «گزاره ها» یند. و فونکتورها رمزهایی هستند که رمزهای دیگر را تعیین یا تعریف می کنند؛ یعنی محمولهایی در وسیعترین معنای این واژه اند ( مثلاً می خوابد، «و»، «یا»، «دوست می دارد» وغیره). آنچه به وسیله یک فونکتور معین شده است «شناسه» آن نامیده می شود(8) ( مثلاً «میترا» شناسه ی «می بیند» است در گزاره ی «میترا می بیند»).
فونکتورها را به سه اعتبار تقسیم می کنند: 1) فونکتورهای نامساز، فونکتورهای گزاره ساز، و فونکتورهای فونکتورساز ( «می بیند» یک فونکتور گزاره ساز است، زیرا «میترا می بیند» یک قضیه یا گزاره است. اما «یک خوب» نامساز است، زیرا «یک کودک خوب»، گزاره نیست، بلکه یک نام است).2) فونکتورهای تعیین کننده ی جمله یا گزاره، و فونکتورهای تعیین کننده ی فونکتور. ( مثلاً «چنین نیست که...» یک فونکتور است که یک گزاره را تعیین می کند. مثلاً «چنین نیست که باران می بارد.» برعکس «می بیند» در همان مثال قبل یک فونکتور تعیین کننده ی نام است). 3) سرانجام، فونکتورها بر حسب تعداد «شناسه هایی » که آن ها را تعیین می کنند تقسیم می شوند؛ یعنی فونکتورهایی یک یا دو جایی، و به طور کلی فونکتورهای n جایی. بنا بر منطق سنتی همه ی محمولها تنها یک موضوع را تعیین می کنند، اما در منطق ریاضی یک محمول ( فونکتور) می تواند چندین موضوع ( شناسه) را تعیین کند. مثلاً گزاره یا قضیه ی «میترا چای می نوشد» می تواند به این نحو تفسیر شود که «می نوشد» یک فونکتور دو جایی است، و «میترا» و «چای» شناسه های آنند. واژه ی «می دهد» در این گزاره: « میترا به فلورا یک کتاب می دهد» یک فونکتور سه جایی به شمار می رود.
بنابراین، اصول منطق ریاضی به سه بخش اصلی تقسیم می شود: « منطق گزاره ها» ( که همچنین نظریه ی قیاس نامیده می شود)؛ که در آن همه ی فونکتورها تعیین کننده ی گزاره اند؛ «منطق محمولها و منطق مجموعه ها»، که به فونکتورهای تعیین کننده ی نام می پردازد؛ و «منطق پیوندها» ( یا نسبتها)، که موضوع آن صفات و مشخصات ویژه فونکتورهای چند جایی است.

ج. منطق گزاره ها

منطق گزاره ها منحصراً به گزاره هایی می پردازد که به وسیله ی باصطلاح فونکتورهای حقیقت(9) یا صدق تشکیل یافته اند. اینها فونکتورهای گزاره ساز و تعیین کننده ی گزاره اند. و غالباً یک جایی و دو جایی اند. و ویژگی آنها در این است که ارزش حقیقت ( که مختصراً «ارزش» نیز نامیده می شود، یعنی راستی یا ناراستی یا درستی و نادستی یا صدق و کذب) گزاره هایی که به وسیله ی آنها تشکیل یافته اند منحصراً وابسته به ارزش حقیقت یا صدق شناسه های آن هاست، و نه وابسته به معنای آنها. بدین سان مثلاً نفی یا سلب یک فونکتور حقیقت یا ارزش است، زیرا سلب شده ی ارزش یک گزاره ی صادق یا راست ناراستی یا کذب است و سلب شده ی ارزش یک گزاره ی ناراست یا کاذب راستی یا صدق است، حال هر گزاره ای که می خواهد باشد و هر معنایی که می خواهد داشته باشد. فونکتورهایی که بیشتر ازهمه به کار می روند عبارتند از نفی یا سلب: « چنین نیست که...» که یا این گونه نوشته می شود: ~؛ یا به این گونه که خطی در بالای A نهاده می شود :Ᾱ جمع منطقی («یا... یا هر دو») که چنین نوشته می شود:V . ضرب منطقی (و) که یا با یک نقطه نشان داده می شود: « . ؛ یا: & . دربرگیری یا استلزام: « اگر ... پس»، به این معنا: « یا مقدم ناراست است، یا تالی راست است»، که این گونه نوشته می شود

هم ارزی: « اگر و تنها اگر»، که نشانه ی آن این است: ≡ . و سرانجام فونکتور شفر: « نه هر دو»، که چنین نوشته می شود: |. این فونکتور آخر به این علت بویژه مهم است که با آن به تنهایی می توان همه ی فونکتورهای حقیقت را تعریف کرد.
به وسیله ی این فونکتورها متغیرهای گزاره ها ( یعنی متغیرهایی که به جای آنها فقط گزاره ها را می توان به کاربرد) به هم پیوند داده می شوند و در این میان پرانتزها یا بسادگی نقطه ها به کار می روند. مثلاً

که باید آن را این گونه خواند: «اگر p یا q ، آنگاه q یا p» . با وجود این لوکاسیویچ شیوه ی نوشتنی را اختراع کرده است که در آن از همه ی پرانتزها و نقطه ها می توان پرهیز کرد، بدین گونه که همه ی فونکتورها را پیش از شناسه های مربوط قرار داد. دست کم دو روش وجود دارند که به وسیله ی آنها ممکن است از راه یک عمل ساده ثابت کرد که آیا قضیه ای قضیه ی منطقی هست یا نه، یعنی باصطلاح روش ماتریسی، و روش شکل طبیعی یا متعارف (10) . علاوه بر این، همه ی قضایای منطق گزاره ها از قواعد اندکی، حتی از یک قاعده ی یگانه ی مشهور به قاعده نیکود(11)، استنتاج می شوند. منطق گزاره ها کاملترین بخش شکل یافته ی منطق ریاضی را تشکیل می دهد؛ و خود منطقدانان ریاضی آن را ساده ترین و بنیادی ترین بخش منطق می شمارند که می توان گفت قالب کلی برای دیگر تحلیهای منطقی و استنتاج به شمار می رود.

د. منطق محمولها و منطق مجموعه ها

بخش دوم منطق ریاضی به دو فصل برحسب تفسیر ژرفارو ( یا مفهومی ) (12) یا پهناور ( یا مصداقی) (13) زنجیره ها تقسیم می شود. در تفسیر نخست، که جنبه ی بنیادی دارد، گزاره به یک فونکتور گزاره ساز و تعیین کننده ی نام ( که معمولاً چنین نشان داده می شود:

و جز آن) و یک نام ( معمولاً چنین است: y,z,x، برای متغیرها؛ و a,b,c برای ثابتها) تحلیل می شود؛ چنانکه فرمول اساسی x نشانه ی آن است. این چنین فرمولها اگر متغیرها را در بر داشته باشند، «ماتریسها» نامیده می شوند. اینها به وسیله ی فونکتورهای تعیین کننده ی گزاره به هم پیوسته می شوند، و به وسیله ی تابعسازها یا سورها به گزاره ها تبدیل می گردند. بویژه گزاره ی کلی «همه

اند» به کمک باصطلاح استلزام صوری:

و گزاره ی جزئی« یک هست که Ψ است» و به وسیله ی این فرمول

.(Ex) تفسیر می شود. این تفسیر به کنار گذاشتن برخی از گزاره ها در قیاس ارسطویی می انجامد. البته در آغاز عقیده بر این بود که این گزاره ها را باید نادرست انگاشت، اما بعد معلوم شد که در اینجا سخن بر سر تفسیر دیگری از فونکتورهاست، و منطق ارسطویی اگر آن را به همان معنایی که بنیانگذار آن می خواسته تفسیر کنند، درست است.
منطق ریاضی علاوه بر محمولهای یک جایی، به محمولهایی چند جایی نیز می پردازد. در میان اینها همانبودی (14) بویژه نقش مهمی بازی می کند. این اصل بر طبق اصل تشخیص ناپذیریِ(15) لایب نیتس به این معنا تفسیر می شود، که x وy هنگامی و تنها هنگامی همانبودند، که همه ی صفات x همچنین صفات y باشند برعکس. از این تعریف می توان بسیاری از باصطلاح تزهای پهناور (16) استنتاج شوند. این تزها ( با اصول و قواعد مصداق) در عین حال منتهی به برخی دشواریهای فلسفی می گردند، زیرا از لحاظ این تزها دو صفت که همیشه همزمان ظاهر می شوند باید همانبود یعنی یکی باشند. مفهوم همانبودی همچنین برای تعریف باصطلاح توصیف به کار برده می شود. ( مثلاً «نویسنده ی گلستان»)./ نظریه ی توصیفها را راسل به میان آورد تا اینکه از فرض وجود ماهیاتی مانند دایره ی چهار گوش ( بنا بر نظریه ی ماینونگ) احتراز کند، زیرا گزاره ی «دایره ی چهار گوش وجود ندارد» طبق این تفسیر تنها به این معناست که «چیزی یافت نمی شود که در عین حال هم دایره و هم چهار گوش باشد.» وجود را تنها درباره ی توصیفها می توان به کار برد. این قضیه که «چیزی وجود دارد که دارای صفت

است» مستلزم یا متضمن این است که تنها یک چنان چیز یافت می شود؛ و چون یک صفت دیگر نیز بیافزایند، آن چیز باید وجود داشته باشد.
منطق مجموعه ها پاره ی مقابل پهناور و منطق محمولها را تشکیل می دهد. یک مجموعه ( یعنی گروهی از اشیا که معمولاً به وسیله ی

نشان داده می شود) همیشه به کمک یک محمول تعریف می شود؛ آن گروه عبارت از همه ی چیزهایی است که دارای صفت معینی هستند. بدین سان، مثلاً مجموعه ی انسانها مشتمل بر همه ی چیزهایی است که انسانیت به آنها نسبت داده می شود. مهمترین مفهوم بنیادی منطق مجموعه ها، مفهوم عضویت است: ε∝x (که می خوانیم: «x عضوی است از ∝ یا متعلق به ∝ است.) همچنین یک مجموعه ی تهی یافت می شود که دارای هیچ عضوی نیست. بر پایه ی تعریف مجموعه ها و قضایای منطق گزاره ها، می توان تعریفهای گوناگون پیوستها یا بر هم نهادن مجموعه ها را ساخت؛ اینها هماهنگ با پیوستهای میان گزاره هایند.

هـ. منطق پیوندها

منطق پیوندها ( یا نسبتها) به نوبه ی خود بخش مقابل پهنار و از منطق دارای محمولهای یک جایی یا دو جایی را تشکیل می دهد؛ درست همان گونه که منطق مجموعه ها بخش مقابل پهنار و از منطق محمولهای یک جایی است. از آنجا که پیوندهای دو جایی (تنها پیوندهایی که تاکنون در منطق پرداخته شده اند) بسیاری صفات ویژه دارند، منطق پیوندها طولانی ترین فصل منطق ریاضی را تشکیل می دهد. در اینجا تنها می توان به برخی از مفاهیم بنیادی آن اشاره کرد. پیوند یا نسبت پهنار و تلقی می شود هنگامی که جفتهایی از چیزها در نظر گرفته می شوند. او نیز ( مانند مجموعه ها) به وسیله ی یک محمول ( دوجایی) تعریف می شود. بدین سان مثلاً پیوند عشق عبارت است از گروه جفتهایی از مردمانی که یکدیگر را متقابلاً دوست دارند. رمز آن اکثراً چنین به کار می رود: xRy . هر پیوندی همچنین دارای معکوس خود است( مثلاً نسبت بزرگتر معکوس نسبت کوچکتر است.)
میان بسیاری توصیفهای پیوندی فرق نهاده می شود: فردی، مانند شوهر ملکه ی هلند. جمعی، مانند نویسندگان فرهنگنامه ی بریتانیکا. دو جایی، مانند نویسندگان شعرهای ایتالیایی. و عموماً آنچه باصطلاح عرصه نامیده می شود( که چنین نوشته می شود: « D’R» ، مثلاً «نویسندگان»). مهمتر از اینها مفاهیمی اند که به منظور اتصال چندین پیوند به کار می روند. نخست مانند محصول پیوندی ( مربع نصف، برادر مادر، و مانند اینها) و سپس توان پیوندی همبسته با آن ( پدر پدر، پدر است). گروه دیگری از مفاهیم به وسیله ی صفات پیوندها ساخته می شود، که برخی از آنها انعکاسی اند( یعنی در آنها xRx صدق می کند)؛ و برخی دیگر قرینه یا همسان اند( اگر xRy ، آنگاه همچنین yRx ). و باز هم برخی متعدی اند( اگر xRy و yRz ، آنگاه xRz). مهمترین مفاهیمی که به منظور ساختن رشته ها به کار می رود مفهوم پیوند نیا کانی (ارثی یا اصلی) است

و. سمیوتیک ( مبحث نشانه های زبان)

سمیوتیک (17) با منطق ریاضی پیوند بسیار نزدیک دارد، و امروز عموماً منطقدانان ریاضی آن را به کار می برند. سمیوتیک نظریه ی نمادها یا سمبلها و نشانه هاست، و به سه بخش تقسیم می شود: 1- نحو منطقی، یا نظریه ی پیوندهای نمادها با یکدیگر؛ 2- سمانتیک(18) منطقی، یعنی مبحث پیوندهای میان نمادها و آنچه این نمادها بر آن دلالت دارند ( معانی الفاظ یا دلالت الفاظ بر معانی)؛ 3- پراگماتیک منطقی (یا کاربردها)، یعنی مبحث پیوندهای میان نمادها، معناهای آنها، و انسانهایی که آنها را به کار می برند. این مبحث اخیر هنوز در نخستین مرحله ی خود است، در حالی که آندو مبحث اول، بویژه به همت آلفرد تارسکی و رودولف کارناپ، اکنون اصولی شکل گرفته و درست بر پا شده اند.
اندیشه ی اصلی سمیوتیک متوجه به این است که باید میان نماد یا نشانه و آنچه معنای این نماد است دقیقاً فرق نهاد. بدین سان، هنگامی که از واژه ای سخن گفته می شود، خود آن واژه باید دارای نام ویژه ای باشد. مثلاً هنگامی که از واژه ی «گربه» سخن می گوییم، نباید به همان نحو از آن سخن بگویم که از گربه ی واقعی سخن گفته می شود. هماهنگ با این، باید دقیقاً و مؤکداً فرق نهاد میان زبانِ S و فرازبانِ S. این آخری موضوعش خود زبانS است. بدین سان مثلاً یک «فرا ریاضیات» ( متاماتماتیک) وجود دارد ( یعنی مبحث زبان ریاضی) و نیز یک «فرا منطق» (19) ( یعنی مبحث زبان منطقی). همچنین معلوم شده است که یک نظام (سیستم) قاعده ای شکل داده ( سیستم آکسیوماتیک) باید عناصر فرا منطقی را نیز همیشه در بر داشته باشد. یک چنین نظامی دارای عناصر زیر است: 1- نمادهای تعریف نشده؛ 2- قاعده ها ( آکسیومها(20) ) ، یعنی قضایایی که بدون دلیل پذیرفته می شوند؛ 3- شیوه های شکل داده یا ساخت، که تعیین می کنند کدام رمز یا گروه رمزها (فرمولها) در این نظام دارای معنا هستند؛ 4- قواعد استنتاج، که به وسیله آن ها می توان قضایای تازه ای را از قاعده ها یا اصول موضوعه نتیجه گرفت.
اکنون می بینیم که 3 و 4 خود قواعد منطقی نیستند، بلکه فرامنطقی اند؛ زیرا خود نمادهای منطق را موضوع بحث قرار می دهند. البته چنین قضایایی می توانند بار دیگر شکل منطقی بگیرند، اما در این صورت انسان باید گزاره های فرا – فرامنطقی به کار ببرد؛ چنانکه سرانجام هیچ نظامی نمی تواند کامل شود؛ یعنی در تمامی اجزای آن شکل منطقی ریاضی داده شود.
بر پایه ی سمیوتیک یا نشانه شناسی، این امکان پدید آمده است که روشهای دقیقی کشف شود تا به وسیله ی آنها بتوان ثابت کرد که فلان نظام بی تناقض است؛ قاعده های آن از یکدیگر مستقل اند( یعنی هیچ یک از دیگری مشتق شدنی نیست)؛ و کامل است ( یعنی هر جمله یا گزاره ای که از قاعده ی آن استنتاج شدنی نیست با یکی از گزاره های این نظام در تناقض است.) همچنین برای قاعده سازی نیز روشهای کاملاً دقیقی ساخته و پرداخته شده است. از این لحاظ مهمترین آنها اصل گودل است. ک. گودال (21) در سال 1930 ثابت کرد که در نظام اصول ریاضیات(22) ( اثر مشهور برتراند راسل و وایتهد)، و نیز در نظامهای دیگر، قضایایی یافت می شوند که بنابر قاعده هایشان حکم ناپذیرند، یعنی نمی توان طبق آنها ثابت کرد که آیا آن قضایا راست اند یا دروغ.

ز . برخی مسائل و نظریات ویژه

در پایان می خواهیم باز هم به برخی از بسیاری از مسائل منطق ریاضی اشاره کنیم که از لحاظ فلسفی بویژه توجه انگیزند.
«منطق و ریاضیات». وایتهد و راسل کوشش کرده اند که همه ی ریاضیات را از منطق محض استنتاج کنند. و بدین علت، ایشان و پیروانشان را «منطقگرایان»(23) می نامند. یک مکتب دیگر، یعنی مکتب بینش گرایان (24) ، با رهبری اگبرتوس یان بروور (25) ( 1881- 1966) دانشمند ریاضیدان هلندی، منکر امکان بازگرداندن ریاضیات به منطق است و عقیده دارد که منطق فقط روشی است که به همراهی ریاضیات گسترش می یابد، و اصل ثالث مطرود در ریاضیات همیشه و به طور کلی صدق نمی کند. مکتب سوم، یعنی شکل گرایان (26)، که نماینده ی اصلی آن دیوید هیلبرت(27) ( 1862 – 1943) است، اصطلاحات و گزاره های بنیادی ریاضی را رمزهای تعریف نشده می داند و فقط در جست و جوی ساختن نظامهای بی نقص و بی تناقض است.
نظریه ی نمونه ها ( تیپها)». در سال 1896 ریاضیدان ایتالیایی ، ف. بورالی – فورتی (28) ، تناقضی در نظریه ی مجموعه های کانتور کشف کرد. در ماه ژوئن سال 1901 برتراند راسل به این نتیجه دست یافت که در اینجا سخن بر سر موضوعی ریاضی نیست، بلکه مسئله مسئله ی منطقی محض است؛ و نیز از جمله نظام منطقی گوتلوب فرگه تناقضهایی در بر دارد. امروز ما بسیاری از چنین تناقضهایی را می شناسیم که از اصول ظاهراً بدیهی استنتاج شده اند. اینها تناقضهای درونی یا آنتی نومیها (29) یا پارادوکسها(30) نامیده می شوند. مشهورترین آنها آنتی نومی مجموعه هاست که راسل کشف کرده است. آیا همه ی مجموعه ها به خودشان چونان عضوی از آن طبقه متعلق اند؟ یا اینکه چنین نیست؟ آنگاه، وضع مجموعه هایی از همه ی مجموعه هایی که عضو خودشان نیستند چیست؟ هر پاسخی به این پرسش به تناقض می انجامد. به منظور حل این آنتی نومی راسل و وایتهد «نظریه ی نمونه ها» (31) را به میان آوردند. طبق این نظریه، اشیا به نمونه ها ( یا مراتب یا انواع) مختلف تقسیم می شوند. بدین سان مثلاً ( در پهنه ی طبقه ها) یک فرد به نوع یا مرتبه ی 1، مجموعه یا گروه افراد به مرتبه ی 2، گروه گروهها ( یا مجموعه ی مجموعه ها) از این نوع به مرتبه ی 3 تعلق دارند؛ و به طور کلی اگر X یک عضو از ∝ است، ∝ باید از مرتبه ای بالاتر از X باشد. بعدها معلوم شد که برخی از آنتی نومیها (مثلاً تناقض مشهور در جهان باستان به تناقض «دروغگو»(32)) نه تناقضهای منطقی، بلکه تناقضهای سمانتیک اند که به دنبال مخلوط کردن زبان با فرازبان پدید می آیند. نظریه ی نمونه ها از برخی جهات بعداً ساده تر شده، اما درستی خود را نگهداشته است. با وجود بسیاری کوششها، تاکنون کسی موفق نشده است که بی کمک این نظریه یک نظام بی تناقض منطقی ریاضی برپا سازد.
«منطقهای چند ارزشی» . در سال 1920 منطقدان لهستانی، یان لوکاسیویچ(33) ( 1878- 1956)، و یک سال پس از آن، مستقل از وی ا. پست (34) کشف کردند که در کنار منطق ریاضی «کلاسیک» که تنها دو ارزش را ( راست بودن و دروغ بودن یا صدق و کذب، یا نشانه ی رمزی I , O) می شناسد، منطقهای دیگری هم که در آنها بیش از دو ارزش فرض می شود نه تنها ممکن اند که حتی بی تناقض و کامل اند. اما این منطقها فاقد برخی از قضایای مهم منطق سنتی، مثلاً همیشه فاقد اصل ثالث مطرودند. چنین نظامهایی دقیقاً و بر پایه ی قاعده ها ساخته شدند. و ثابت گردید که این سیستمها چونان نظامهای صوری از لحاظ شکلی نقصی ندارند. اما اینکه آیا این نظامها گونه ای تفسیر را مجاز می دارند که به کمک آن بتوان نظامهای منطقی ساخت، موضوعی است که تا به امروز در آن مجادله و اختلاف است. در شرایطی که بعضی منطقدانان ریاضی به کمک این نظامها می توانند مسائل مربوط به منطق احتمالات – و منطق موجهات را حل کنند، دیگران برعکس معتقدند که آن نظامها اصلاً نظامهای منطقی نیستند.
از تازه ترین گسترشهای منطق ریاضی، مانند منطق برهم نهنده(35) یا باصطلاح منطقهای طبیعی، باید در اینجا چشم پوشی کنیم. اصول منطقی با شور و شوق دنبال می شود؛ و در این راه همواره اندیشه ها و نظامهای نوین به میان می آیند.

پی نوشت ها :

Konstanten
Variable
Function- function
quantifier-quantifikator
که چنین نوشته می شود.(x)
که چنین نوشته می شود: (Ex)
Functor
Argument
Wahrheitsfunktoren
Normalform
Nicod
Intensive
Extensiv
Identitat
Principium indiscernibilium
Extensionalitatsthesen
Semiotik
Semantik
Metalogik
axiom
K.Godel
Princopia Mathematica
Logicists
Intuitionists
Egbertus Jan Brouwer
Formalists
D. Hilbert
F. Burali- Forti
Antinomies
Paradoxes
Theory of types
این تناقض در منطق باستان باز می گردد به شاگرد مکتب سقراطی یوبولیدس(Eubulides) و در یونانی pseudomenos و به لاتینی mendax نامیده می شود.
Jan Lukasiewicz
E. Post
Conbinatorial