روش ارشمیدس

یونانیان قدیم با رهیافتی متفاوت به مجموع یابی (2) (= از به هم آوردن جزء ها به کل آن ها پی بردن) دست یافتند، شیوه ای که ابزاری کمکی و کارآمد شناخته شد و برای دستیابی به نوآوری های تازه به کار رفت. ارشمیدس در نامه ای به اراتستن (3) این شیوه را توصیف کرده و گفته است که « روشی یقینی و تحقیقی است و به شما این امکان را می دهد تا به این توان مندی دست یابید که بتوانید مسئله هایی از ریاضیات را از راه مکانیکی وارسی و حل کنید.» این «روش تحقیقی»، که ارشمیدس به درستی دریافته بود همعصران او و جانشینانشان را به کشف های تازه توانا می سازد، طرحی بود که «عنصرهای» شکل های هندسی را با این دید می سنجید که نسبت به یکدیگر همتراز (= هموزن) هستند یا نه. از این دیدگاه، برای نمونه، پاره خط ساختاری فراهم آمده از نقطه ها، سطح مستوی ساختاری تشکیل یافته از پاره خط های موازی با هم و شکل فضایی ساختاری بنا شده از صفحه های موازی با هم پذیرفته می شوند.
ارشمیدس، بدون پرداختن به اعتبار چنین نظریه ای از دیدگاه ریاضیات و تنها با اعتماد به کشف و درک خویش، آن را بسیار سودمند یافت. نخستین قضیه ای که او از این راه کشف کرد این حکم معروف است که «مساحت یک قطعه ی سهمی برابر است با چهار سوم مساحت مثلثی که در قاعده و ارتفاع به ترتیب با قاعده و ارتفاع آن قطعه برابر است.» او از راه بررسی همترازی پاره خط های پدید آورنده ی قطعه ی سهمی و مثلث به این حکم پی برد.
دومین گزاره (=حکم) هم که با بررسی همترازی به دست آمد، از آن رو که توان مندی و کارایی این روش را در عمل به خوبی نشان می دهد، در این جا یادآوری می شود: « حجم کره، چهار برابر حجم مخروطی است که مساحت قاعده اش با مساحت دایره ی عظیمه و ارتفاعش با شعاع کره برابر است» ( پیش تر، دموکریتوس (5) پی برده بود که حجم مخروط برابر است با یک سوم حجم استوانه ای که در قاعده و در ارتفاع با آن برابر باشد). ارشمیدس با همتراز کردن ماهرانه ی دایره های مقطع مخروطی قائم با یک کره و دایره های مقطع آن ها با استوانه ای دوّار به این قضیه دست یافت. در شکل 1، پاره خط HC میله ی تراز [= شاهین تراز] و نقطه ی A وسط آن تکیه گاه آن فرض می‌ شود. اگر دایره ی ABCD یک دایره ی عظیمه ی کره، AEF و LEFG به ترتیب مقطع صفحه ی شکل با مخروط دوّار و با استوانه ی دوّاری باشند که AC محور مشترک و EF قطر قاعده ی مشترک آن ها و X نقطه ای از AC باشد، صفحه ای که در X و عمود بر AC بگذرد مخروط، کره و استوانه را به ترتیب در دایره های C1، C2 و C3 قطع می کند و شعاع های این دایره ها به ترتیب Y1=XP، Y2=XQ و Y3=XR خواهند بود. ارشمیدس با پذیرفتن این که اگر این دایره ها دارای وزن باشند این وزن ها با مساحت های آن ها متناسب خواهند بود، فرض کرد که اگر دایره های C1 و C2 روی نقطه ی H گذاشته شوند و دایره ی C3 در همان وضع خود باشد [ بنابر قانون اهرم (6)] برای X جایی روی AC وجود دارد که مجموع مساحت های دو دایره ی C1 و C2 با مساحت دایره ی C3 برابر باشد و دریافت که این نقطه باید در وسط AC یعنی نقطه ی M باشد (از راه هندسه ی تحلیلی به سادگی می توان درستی این امر را ثابت کرد). ارشمیدس نتیجه گرفت اگر کره و مخروط در نقطه ی H و استوانه در نقطه ی M از شاهین HC آویزان شوند همتراز خواهند بود و بنابراین، حجم های کره و مخروط روی هم با نصف حجم استوانه برابرند؛ اما حجم استوانه سه برابر حجم مخروط است، پس حجم کره نصف حجم مخروط AEF و چهار برابر حجم مخروط ABD است – و به زبان امروز، حجم کره ی به شعاع r برابر است با ممکن است خوش بینانه پذیرفت که قضیه ثابت شده است، اما از دید ارشمیدس، نمودی پذیرفتنی بود و هنوز بایستی با روش دقیق افناء درستی آن را تأیید کرد.
اگر اختراع صنعت چاپ نه پس از دوره ی نوزایی (= دوره ی رنسانس) بلکه پیش تر و در زمان های قدیم پا گرفته بود روش ارشمیدس می توانست ارزشمندترین نقش را در گسترش حسابان داشته باشد، اما هیچ گاه به تعدادی زیاد از نسخه های آن دسترسی نبوده و در حدود دو هزاره ناشناخته مانده بود. شاید بتوان گفت در تاریخ ریاضیات سده ی کنونی هم، رویدادی به چشم نمی خورد که هم ارز با کشف دوباره ی روش ارشمیدس شناخته شود.
نکته ای که یادآوری آن اهمیت دارد این است که دو طرح نمایان از کارهای پیشینیان سرآغازهایی برای حساب کلی گرایی (= حساب انتگرال) به شمار می آیند. یکی از آن ها روش کاملاً دقیق افناء از ائودوکسوس است ( که اقلیدس آن را برای اثبات قضیه ای در شماره ی 2 از مقاله ی دوازدهم مقدمات به کار برده است)؛ دیگری برگرفته از نظریه ی اتمی نموده شده از دموکریتوس و پیوسته به روش ارشمیدس است. یکمی، که با آنچه در سده ی نوزدهم از آن مفهوم می شد تفاوت زیادی ندارد، وسیله ای بدون نقص برای پابرجایی اعتبار یک قضیه بود. دومی ( که شباهت زیادی با مفهوم حسابان در سده های هفدهم دارد)، ابزاری بود که دستیابی به حکم هایی پذیرفتنی را در پی داشت. ارشمیدس ماهرانه از هر دو طرح یاد شده بهره برداری کرد و به بیشترین کامیابی‌هایی که سزاوارش بود دست یافت. قضیه هایی در زمینه های مساحت، حجم و گرانیگاه را،که پیشینیانش در اثبات آن ها درمانده بودند، با به کار بردن روش «مکانیکی» بازنگری کرد. او به این بسنده نکرد و آن ها را به شیوه ی دقیق برگرفته از روش افناء به اثبات رساند.
در دوران باستان، چه در کشف یا اثبات و چه در بررسی مسئله های مربوط به حسابان، کسی همتای ارشمیدس نبوده است. با این همه، کلی ترین قضیه در زمینه ی حسابان، کاری نه از ارشمیدس بلکه از ریاضیدانان یونانی شش سده دیرتر بوده است.
در مجموعه ی ریاضی پاوس (7) (320 میلادی) گزاره ای با متنی سخت فشرده و به مضمون زیر به چشم می خورد: جسم حاصل از دوران یک شکل مسطح دور محوری [واقع در همان صفحه ی شکل] که با آن شکل برخورد نمی کند برابر است با حاصل ضرب مساحت شکل در طول مسیری که گرانیگاه آن شکل در آن دوران می پیماید. پاپوس از اهمیت و کارایی این قضیه ی عمومی و از قضیه ی مشابه آن در مورد مساحت سطح آن جسم دوّار کاملاً آگاه بوده است. از دید او، این قضیه ی عمومی « هر تعداد از قضیه های از هر گونه ی مربوط به خَم ها، سطح ها و جسم هایی را در بر می گیرد که یکباره و با یک برهان ثابت شده اند.» بدبختانه، پاپوس چگونگی اثبات این قضیه را بیان نکرده و معلوم نیست خودش آن را کشف یا ثابت کرده باشد.
[مجموعه ی ریاضی پاپوس، گونه ای دایرة المعارف ریاضی بوده و او در آن، کارهای ریاضیدانان یونانی پیش از خود را شرح و بسط داده است.]

پی نوشت ها :

1- the method of Archimedes.
2- integration .
3- Eratosthenes.
4- balancing .
5- Democritus.
6- law of the lever.
7- mathematical collection of Pappus.

 

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..