مبارزه با فرمول های بی پایان

زندگی و نوآوری های جان والیس

جان والیس (1616-1703) یکی از توان مندترین، برجسته ترین و نوآورترین ریاضیدانان روزگار خویش بوده است. کار او در زمینه ی آنالیز تأثیر بسیار زیادی بر کشف های بزرگ ایزاک نیوتن داشته است. پانزده ساله بود که در جریان جشن های کریسمس، کتاب جبر برادرش به دستش رسید. محتوای این کتاب را دلپذیر یافت و به ویژه فریفته ی نمادهایی شد که در آن به کار رفته و برای او ناآشنا بودند. با وجود این، در مدت زمانی کوتاه ماهرانه بر موضوع کتاب تسلط یافت؛این رویداد آغازگر یکی از پربارترین دوره‌ های ریاضیات شد.
جان والیس در 1655 «رساله ی مقطع های مخروطی» (2) را منتشر کرد. در این کتاب برای نخستین بار این مقطع ها به شیوه ی جبری و با تجزیه و تحلیل منحنی های درجه ی دوم بررسی شده بودند و کمک کرد که هندسه ی تحلیلیِ نوین اما پیچیده و ابهام آمیزِ تألیف رنه دکارت (1637) قابل فهم شود. اگرچه او پذیرفته بود که کاربردهای تقسیم ناپذیرهای کاوالیری در همه ی موردها عملی نادرست است، مهار تصورها و درک های شهودی خود را در تاخت و تازهایشان رها ساخته بود، همان گونه که مثال های زیر نشان می دهند.
والیس مطابق شکل [6]-1، مثلثی را در نظر گرفت که از متوازی الاضلاع های بسیار باریک به تعداد نامتناهی تشکیل شده است به گونه ای که مساحت های آن ها (در جهت از رأس به طرف قاعده ی مثلث) تصاعدی حسابی با جمله ی یکم و با جمله ی پایانی را تشکیل می دهند – در آخرین متوازی الاضلاع، قاعده همان قاعده ی B از مثلث است و ارتفاع آن برابر است با . مجموع مساحت های این متوازی الاضلاع ها، بنابر فرمول مجموع جمله های تصاعد حسابی، یعنی (جمله ی آخر +جمله ی یکم)×نصف تعداد جمله ها برابر است با:
نماد نشانه ی بینهایت را نخستین بار والیس به کار برده است.
والیس در کتاب حساب بینهایت ها که آن را در 1656 منتشر کرد دستاوردهای بیشتری از حسابان را که به آن ها دست یافته بود شرح داده، و در آن ها خیلی بیشتر روش های حسابی (=جبری) و خیلی کمتر روش های هندسی را به کار برده است. از جمله مثال های جالب که بیان کرده فرمول بی پایان است که به نام او شناخته می شود و آن را از راه درونیابی (3) مغالطه آمیز، کم و بیش به صورت زیر، به دست آورده بود. او می توانست مساحت هایی را که امروزه به گونه ی نموده می شوند به دست آورد و می دانست که مقدار آن ها به ترتیب برابر است با : اما مساحت نموده شده ی با
که در شکل [6]2 نشان داده شده عددی است بین در صورتی که این انتگرال یک چهارم مساحت دایره ی واحد را نشان می دهد. بنابراین
واقع است. و والیس با فرایندی پیچیده سرانجام به فرمول بالا دست یافت که مقدار را به دست می دهد. والیس نمی دانست که به یک سری دو جمله ای بسط داده می شود اما این مثال آخری نمایانگر آن است که او نخستین کسی است که توان های با نمای کسری را پذیرفته و به کار برده است، و برای رسیدن موفقیت آمیز به مرحله ی نمایش نموداری عددهای مختلط تنها یک گام کوتاه را می بایست بر می داشت.

پی نوشت ها :

1-Amy C. King .
2- .Tractatus de sectionibus conicis
3- interpolation.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..