مأموریّت ناتمام

ایزاک بارو که بود و چه کرد؟

ایزاک بارو (1630-1677) در مدت زمانی که دوره ی مدرسه را می گذراند نمودهایی قابل ارزش را، که نمایانگر احتمال ورود او به جامعه ی علمی در سطح بالا باشد، بسیار کم از خود بروز می داد. در چارترهاوس (2) نخستین مدرسه ای که گذراند، چنان دردسرساز و ستیزه جو بود که پدرش به درگاه خدا دعا می کرد اگر اراده اش بر آن است که یکی از فرزندانش را از میان بردارد ایزاک را برگزیند. همین ایزاک سال های بعد به تدریس روی آورد، به استادی دانشگاه رسید و با شاگردی همنام خودش، ایزاک (نیوتن)، روبرو شد. او نبوغ انکارناپذیر این شاگرد را دریافت و در اندیشه ی او بذری را کاشت که رویش و بارآوری حسابان نیوتن را در پی داشت.
بارو پس از آن که از چارترهاوس به اسکس (3) نقل مکان کرد وارد مدرسه ی فلستید (4) و در آن جا چنان سعی و کوششی کرد که در سن چهارده سالگی به کالج تری نیتی (5) کمبریج (6) راه یافت. چهار سال بعد در سال 1648 فارغ التحصیل شد و یک سال دیگر پس از آن به عضویت این کالج درآمد. در 1663 نخستین کسی بود که کرسی لوکاسی (7) ریاضیات را در کمبریج صاحب شد. اما تنها شش سال پس از آن، شاگردش ایزاک نیوتن را با لیاقت تر از خودش اعلام کرد، به خواست خودش از آن کرسی دست کشید و بزرگوارانه آن را به نیوتن واگذار کرد.
بارو به نوشتن رساله درباره ی نورشناسی و هندسه (8) مشغول بود و در این حال (به احتمال در زمینه ی نورشناسی) از نیوتن کمک خواست. نیوتن استقبال کرد و خودش هم از آن رساله سود جست، به ویژه از آن قسمت از آن که راه های تازه ای را برای یافتن مساحت ها و مماس های منحنی ها به دست می داد. عمده ی پیشرفت بعدی حسابان نتیجه ی روش های بارو در چگونگی به دست آوردن مماس بر منحنی از راه به کار بردن «مثلث دیفرانسیل ها» (9) بود که گهگاه آن را «مثلث بارو» می نامند. (10)
بنابر آن که مطابق شکل [7]-1، خط t در نقطه ی P بر منحنی مماس باشد، بارو برای به دست آوردن معادله ی این مماس نقطه ی دیگر T را روی این مماس و نقطه ی Q را روی منحنی و نزدیک به P انتخاب کرد. بنابر آن که دو نقطه ی P و Q در همسایگی هم باشند، دو مثلث PTM و PQR حالتی خیلی نزدیک به تشابه دارند. بارو استدلال کرد که اگر مثلث PQR بی نهایت کوچک شود، می توانیم بنویسیم.

که رابطه ای تقریبی است. اگر مختص های P و Q به ترتیب (x,y) و (x-e,y-a) باشند، وقتی این مختص ها را در معادله ی منحنی قرار دهیم و جمله های دربردارنده ی توان های بزرگ تر از یک a و e را حذف کنیم، می توانیم نسبت را به دست آوریم. اما نقطه ی M معلوم است و از روی آن و از رابطه ی (1) نقطه ی T و طول پاره خط TM برابر با به دست می آید.
اگر منحنی شکل [7]-1 سهمی ای به معادله ی باشد و مختص های Q را در این معادله جایگزین کنیم،

و در نتیجه
و چون
اکنون اگر a به اندازه ی کافی به صفر نزدیک باشد (مانند 01/0=a)، می توانیم را کنار بگذاریم و به دست می آوریم

در حالت ویژه ای که مختصات نقطه ی P از منحنی برابر (2و1) باشد، در ازای TM برابر با 2 و مختص های T برابر با
به دست می آید و با معلوم شدن نقطه ی T و معلوم بودن نقطه ی P خط مماس PT مشخص می شود.
در روش بارو، که مرحله ای مهم از پیشرفت حسابان را در پی آورد و در بالا شرح داده شد، هدف واقعیِ بارو نه رسم خط مماس بلکه دستیابی به مقدار نسبت باید بوده باشد. [این نسبت را امروزه شیب خط مماس می نامند و با معلوم بودن مقدار آن و مختص های نقطه ی تماس، معادله ی خط مماس معلوم می شود.] در حسابان مقدماتی، که امروزه آموخته می شود با مشتق گیری از معادله ی
نتیجه می شود.
و این همان نسبت است که با روش بارو به دست آمد. در واقع، اگر بارو در روش خود پس از تقسیم بر e و حذف جمله ها عمل های دیگر را به کار نمی برد روشی همانند تعریف امروزی مشتق گیری را به کار برده بود. با جایگزین کردن

، این مقایسه به سادگی تأیید خواهد شد.
بارو، اگر هم در به دست آوردن مشتقِ ( به مفهوم امروزی) چند معادله ی ویژه کامیاب بود، لازم بود روش او بر پایه ی ساختاری منطقی شکل گرفته باشد. بر پا کردن چنین بنیان منطقی (که به ویژه نظریه های کوشی و دیگران را هم درباره ی حد در بر داشته باشد) و نمادگذاری های سودمند به نیوتن و دیگران واگذار شد.

پی نوشت ها :

1-Elinor B. Flagg .
2- Charterhouse.
3- Essex.
4- Fe3lstead .
5- .Trinity
6- Cambridge.
7- .Lucasian
8- Lectures on Optics and Geometry.
9- .(dx,dy,ds)
10- مثلث دیفرانسیل ها را مثلث مشخصه نیز نامیده اند.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..