نويسنده: يونس کرامتي (*)
نگاهي به شيوه ي نصيرالدين طوسي در برخورد با مسائل رياضي
چکيده
در ميانه ي سده 7 قمري، نصيرالدين طوسي، با هدف تنظيم مجموعه اي منسجم از آثار درسي مورد نياز دانشجويان نجوم و رياضيات، با مراجعه به دست نويس هاي مختلف و گاه ترجمه هاي متفاوت يا شرح هاي شماري از آثار يوناني و نيز چند اثر دانشوران دوره ي اسلامي، رواياتي پاکيزه و آسان فهم و فارغ از آشفتگي ها و ناهمخواني ها از اين آثار فراهم آورد که با افزوده شدن واژه ي «تحرير» به آغاز عنوان آن آثار، از روايات اصلي متمايز مي شدند. وي با نگارش چند اثر مستقل در شرح برخي دشواري هاي اين آثار و گاه انتقاد بر آنها اين مجموعه را تکميل کرد. در اين مقاله کوشش شده است تا با توجه به اصلاحات خواجه در ضمن بازنگاري اين آثار و نيز برخي اشارات وي که در ضمن اين تحريرها و تأليف ها آمده است، تا حد امکان شيوه ي کار اين فيلسوف- رياضي دان نامدار ايراني در تبيين مباني علوم مطرح شده در اين آثار و نيز اهميتي که وي براي تسهيل آموزش اين علوم قائل بود، روشن گردد.کليدواژه ها: تحرير اصول اقليدس، الرسالة الشافية، اصل پنجم اقليدس، اصل توازي، اصول موضوعه ي هندسه.
مقدمه
دانشوران دوره اسلامي به پيروي از سنتي کهن و براي آنکه به تعبير ابن سينا دور پيش نيايد، (1) بر آن بودند که مبادي هر علم در آن علم بايد مسلم فرض شود و اين مبادي بايد در دانش ديگري که اقدام بر آن دانش و از نظر مرتبه از آن برتر است، برهاني شوند. ابن سينا و ابوريحان بيروني که بي گمان برجسته ترين دانشوران سراسر دوره ي اسلامي بوده اند، در بسياري از آثار خود به اين معني تصريح کرده اند.ابوريحان بيروني در کتاب استيعاب وجوه الممکنة في صنعة الاسطرلاب به هنگام بحث درباره ي اسطرلاب زورقي که ابوسعيد سجزي- دانشمند نامدار ايراني- با فرض حرکت وضعي زمين (چرخش زمين به دور محورش که موجب پديد آمدن شب و روز مي شود) اختراع کرده بود به صراحت به اين نکته اشاره کرده است:« از ابوسعيد سجزي اسطرلابي از نوع واحد و بسيط ديدم که از شمالي و جنوبي مرکب نبود و آن را اسطرلاب زورقي مي ناميد و او را به جهت اختراع آن اسطرلاب بسيار ستودم. چه اختراع آن متّکي بر اصلي است قائم به ذات خود و مبتني بر عقيده ي مردمي است که زمين را متحرک دانسته و حرکت روزانه را به زمين نسبت مي دهند و نه به کره ي سماوي و بدون شک اين شبهه اي است که تحليلش دشوار و رفع و ابطالش مشکل است. مهندسان و علماي هيأت که اعتماد و استناد ايشان بر خطوط مسّاحيه است، در نقض آن شبهه چيزي (گفتني) ندارند؛ زيرا چه حرکت روزانه را از زمين بدانند و چه آن را به کره ي سماوي نسبت دهند در هر دو حالت به صناعت آنان زيان نمي رسد و اگر نقض اين اعتقاد و تحليل اين شبهه امکان پذير باشد موکول به رأي فلاسفه طبيعي دان است. » (2)
ابن سينا نيز پژوهش و جست و جوي حقيقتِ مهم ترين مسائل نظري در زمينه ي پزشکي را وظيفه ي پزشک ندانسته و همواره آنان را از مناقشه در اين گونه مسائل و حتي پرداختن به آنها باز داشته است. به نظر وي مناقشه در اين امور براي پزشک سودمند نيست و شناخت حقيقت آنها در خور اصول صناعت ديگري يعني اصول منطق است (3) و درباره ي اخلاط چهارگانه نيز آورده است:« درباره ي اخلاط مسائلي باقي ماند که شايسته ي پزشکان نيست که درباره ي آن بحث کنند؛ زيرا از حرفه ي آنان به شمار نمي آيد، بلکه بر فيلسوفان است پس از آنها روي گردانديم. » (4)
همو در جاي ديگر تصريح مي کند که پزشک از آن حيث که پزشک است، نبايد درصدد شناختن حقيقت ( در ميان دو نظريه ي ارسطو و جالينوس) باشد، بلکه اين کار وظيفه ي فيلسوف يا طبيعت شناس است... اما فيلسوف مجاز نيست که آن را نداند. (5) ابن سينا حتي ميان جالينوس همچون پزشک و جالينوس چونان فيلسوف فرق مي نهد و موضوع هاي پزشکي را از مسائل فلسفي مشخص مي سازد. مثلاً در جايي مي گويد در برخي از امور پزشک بايد فقط تصوري علمي از ماهيت آنها داشته باشد و آيايي (هليت) وجود آنها را همچون چيزي نهاده شده از سوي دانشمند طبيعت شناس بپذيرد؛ زيرا مبادي دانش هاي جزئي، مسلّمند و در دانش هاي ديگري که اقدام از آنها هستند، به شکل برهاني در مي آيند و روشن مي شوند. و بدين سان بالا مي روند تا اين که مبادي همه ي دانش ها به مرحله ي فلسفه ي نخستين (حکمت اولي) مي رسند که دانش ما بعدالطبيعه (متافيزيک) ناميده مي شود. ابن سينا مي افزايد جالينوس نيز هنگامي که مي خواهد درباره ي برخي امور برهان اقامه کند، آن کار را نه از منظر يک پزشک بلکه از منظر يک فيلسوف انجام مي دهد. همان گونه که فقيه چون مي کوشد که درستي وجوب پيروي از اجماع را ثابت کند، به اين امر نه به عنوان فقيه، بلکه به عنوان يک متکلم مي پردازد، اما پزشک چونان پزشک و فقيه چونان فقيه، برايشان ممکن نيست که در اين باره به برهان بپردازند، و گر نه دور به ميان مي آيد. (6)
نصيرالدين طوسي نيز در مقدمه ي الرسالة الشافية عن الشک في الخطوط المتوازية يادآور مي شود که اقليدس با يادکرد گزاره ي توازي (اصل پنجم اقليدس يا اصل توازي) به عنوان يک «مصادره» اثبات آن را به علمي بالاتر از علم هندسه واگذار کرده است. (7)
از ميان چهار شاخه ي اصلي رياضيات در طبقه بندي کهن علوم يعني هندسه، حساب يا ارثماطيقي، هيأت و نجوم و سرانجام موسيقي، هندسه همواره براي فيلسوف- رياضي دانان نامدار دوره ي اسلامي، همچون، ابن هيثم، خيام و سرانجام نصيرالدين طوسي از جذابيتي ويژه برخوردار بود؛ زيرا با معيارهاي آنان تنها علمي بود که به معني واقعي «برهاني» به شمار مي آمد. برهان به عنوان يکي از صناعات خمس به تعبير خواجه «قياسي بود از يقينيات، تا نتيجه ي يقيني از او لازم آيد بالذات و به اضطرار. » (8) و مقدمات يقيني نيز بر دو قسم اند: بديهيات و ضروريات يا القضايا يا الواجب قبولها که به نوبه ي خود بر بديهيات مبتني هستند منطق دانان مسلمان ضروريات را معمولاً به اين شش دسته تقسيم مي کردند: اوليات ( که از آنها به بديهيات نيز تعبير شده است)، محسوسات يا مشاهدات، مجربات، متواترات، فطريات، و حدسيات که چهار دسته ي اخير متوقف بر ديگر وسائط و مبادي اند و در مورد محسوسات نيز اختلاف نظر وجود داشته است. ميان فيلسوفان مسلمان به ويژه در قياسات برهاني که مراد از آن افحام خصم يا افاده ي يقين بوده از مجربات و حدسيات به عنوان مقدمه استفاده نمي کرده اند. (9) طوسي در منطق تجريد نخست مطابق با نظر مشهور مي نويسد:« و مبادي برهان شش گزاره است: اوليات، محسوسات، مجربات، حدسيات، متواترات و فطريات. » (10)
سپس فطريات، متواترات، مجربات و حدسيات را از مبادي ندانسته و بيان مي کند:« عمده در مبادي برهان، اوليات است. » (11) وي در اساس الاقتباس چالش خود را در مبادي بودن هر يک از اقسام پنج گانه مطرح مي کند و به اين نتيجه مي رسد که:« و معلوم شد که معظم اعتمادي در مبادي براهين بر اوليات است که مفيد رأي کلي يقيني مطلق است. » (12) او در چند موضع ديگر ترديدهايي درباره ي بکارگيري برخي از اين مقدمات را بيان کرده است. (13) چنان که خواهيم ديد، خواجه در تلاش خود براي اصلاح ساختار برهاني هندسه ي اقليدسي، همين ديدگاه را محور کار قرار داده است.
هندسه ي اقليدسي که اصول و مبادي آن توسط اقليدس، رياضي دان نامدار يوناني در کتاب مشهور اصول مطرح شده است، هماهنگي کاملي با محتواي تحليلات يا آنالوطيقاي ثاني دارد که در آن به تفصيل درباره ي برهان و حدّ ( که تصور تامّ و حقيقي را افاده مي کند) بحث مي شود. اين اثر در اصل 13 مقاله دارد که با دو مقاله اي که بعدها به آن ملحق شده در مجموع مشتمل بر 15 مقاله مي شود. هر مقاله با چند «حدّ» آغاز مي شود. در مقاله ي نخست که مبادي هندسه ي اقليدسي در آن مطرح مي گردد، «پس از ذکر اين حدود، پنج اصل موضوعه که فقط در هندسه نمود دارند و پنج اصل متعارف يا بديهي که در علوم ديگر نيز موضوعيت دارند (مانند :« کل بزرگتر از جزء است»، يا: « دو چيز برابر با يک چيز با هم برابرند. ») مطرح مي شود.
نصيرالدين طوسي در مقدمه ي تحرير اقليدس در نهايت اختصار درباره ي شيوه ي کار خود در بازنگاري اين اثر توضيح مي دهد:« چون از بازنگاري المجسطي بطلميوس فراغت يافتم، چنان ديدم که کتاب اصول هندسه و حساب منسوب به اقليدس صوري را بازنگاري کنم با ايجازي غير مخلّ و کوششي تمام اما غير مملّ در بيان اهداف او؛ و بدان هر مطلبي را که شايسته بود، از مطالبي که از آثار علماي اين فن خوانده بودم و نيز از آنچه خود بدانها دست يافته بودم افزودم؛ و آنچه را که در دو نسخه ي (= دو ترجمه ي عربي) حجاج [بن يوسف بن مطر] و ثابت [بن قره] نبود، با اشاره يا با ثبت به رنگي ديگر از مطالب اصل کتاب جدا کردم... مي گويم: کتاب با آن دو مقاله ي الحاقي پاياني در مجموع مشتمل بر پانزده مقاله است و در روايت حجاج مشتمل بر 486 «شَکل» (= قضيه يا مسأله) و در روايت ثابت داراي ده شکل اضافي و در برخي مواضع در ترتيب شکل ها نيز اختلافي هست و من در مواضعي که در شماره ي شکل ها اختلافي باشد شماره ي قضيه به روايت ثابت را با رنگ قرمز و شماره ي آن در روايت حجاج را با رنگ سياه مي نويسم. » (14)
افزوده هاي نصيرالدين مشتمل بر بيش از دويست يادداشت کوتاه و بلند به حدود 180 قضيه ي اصول است. بيش از نيمي از اين يادداشت ها حاوي برهان ديگري براي يک قضيه است و در تعداد قابل توجهي از آنها نيز حالت هاي ديگر مسأله که در اصل کتاب حل آنها به خواننده واگذار شده، حل شده اند. (15) در اين دو گروه اصلي يادداشت ها به روشني مي توان به هدف اصلي نصيرالدين از بازنگاري اين اثر و نيز آثار ديگر پي برد؛ زيرا حل يک مسأله از راه هاي مختلف يکي از بهترين روش هاي آموزش رياضيات و به ويژه هندسه به دانش آموزان است و موجب مي شود که ذهن دانش آموز ورزيده و آماده ي حل مسائل دشوارتر گردد. گرگ ديونگ، پژوهشگر تاريخ رياضيات که پژوهش هاي خود را روي روايت هاي عربي اصول اقليدس و شرح ها و تحريرها و نقدهاي آن متمرکز ساخته، شمار اندک يادداشت هاي نصيرالدين بر اصول موضوعه و «حدود» اين اثر را حاکي از کم توجهي طوسي به زيربناي فلسفي هندسه ي اقليدسي دانسته است، (16) اما به نظر مي رسد که بر خلاف پنداشت ديونگ، نصيرالدين در اين زمينه حساسيت بيشتري داشته و علت کم حجم بودن اين يادداشت ها، نه کم توجهي وي، که کمي حجم اين گونه مطالب در اصل کتاب در مقايسه با حجم کل کتاب است. در واقع حجم مطالب مربوط به بيان «حدود» و اصول متعارفه و موضوعه در 15 مقاله ي متن اصلي، در مقايسه با حجم کل کتاب، بسيار ناچيز است، در حالي که نسبت حجم يادداشت ها و افزوده هاي نصيرالدين بر اين گونه مطالب به حجم کل يادداشت هاي وي، قابل توجه مي نمايد. طولاني ترين و بي گمان مهمترين افزوده ي نصيرالدين بر اصول اقليدس، که ميان دو قضيه ي 28 و 29 مقاله ي اول آمده است، در واقع يادداشتي بر اصل پنجم يا مصادره ي توازي است که به محتواي آن و علت ذکر آن در چنين موضوعي اشاره خواهد شد.
نصيرالدين طوسي پيش از ذکر اصول موضوعه ي مقاله ي اول اصول با افزودن کمابيش صريح چند اصل موضوع به اصول موضوعه ي اقليدس بر زيربناي فلسفي هندسه ي اقليدسي خرده مي گيرد:
الاصول الموضوعة: أقول من الواجب أولاً أن يوضع أنّ النقطة و الخط و السطح و المستوي و المستقيم منهما و الدائرة موجودة و أنّ لنا أن نعيّن نقطة علي أيّ خط أو سطح کان و أن نفرض خطاً علي أيّ سطح کان أو مارّاً بنقطة کيف اتّفق و أنّ کل واحد من النقطة و الخط المستقيم و السطح المستوي ينطبق علي مثله و أنّ الفصل المشترک بين کل خطين نقطه و بين کل سطحين خط و أن يوضع المقدمات المذکورة في الأصل و هي هذه: [1] لنا أن نصل خطاً مستقيماً بين کل نقطتين و [2] أن نخرج خطاً مستقيماً محدوداً علي استقامته و [3] أن نرسم علي کل نقطة و بکل بعد دائرة [4] الزواياء القائمة متساوية جميعاً (اصل موضوع افزوده) لا يحيط خطان مستقيمان بسطح [5]... (افزوده هاي ديگر پس از ذکر اصل پنجم: ) و مما يجب أيضا أن يوضع ان الخط المستقيم لا يتصل بالاستقامة بأکثر من خط واحد مستقيم غير مسامت بعضها لبعض وأنّ الزاوية المساوية للقائمة قائمة. » (17)
قطب الدين شيرازي نيز در تحرير اقليدس به زبان فارسي که بعدها با تغيير تنها چند سطر به عنوان «فنّ» اول از «جمله ي» چهارم در دانشنامه ي فارسي وي درّة التاج نيز آمده است، در اغلب موارد عملاً تحرير خواجه را به فارسي ترجمه کرده و از جمله در اين موضع (با جابجايي چند عبارت خواجه) چنين آورده است:«اصول موضوعه: من مي گويم واجب آنست که اول وضع کنند که نقطه و خط و سطح و مستوي از ايشان و دايره موجودست و ما را هست کي تعيين کنيم نقطه بر هر خطي يا سطحي کي باشد و فرض کنيم خطي بر هر سطحي کي باشد يا گذرنده به نقطه کيف اتفق و هر يک از نقطه و خط مستقيم و سطح مستوي بر مثل خويش منطبق شوند و فصل مشترک ميان هر دو خط نقطه باشد و ميان هر دو سطح خطي و زاويه مساوي قايمه، قايمه باشد و يک خط مستقيم متصل نشود به استقامت خويش به بيشتر از يک خط مستقيم کي بعضي از آن مسامت بعضي نباشد. آنگاه مقدمات مذکور در اصل وضع کنند و آن اين است: [1] ما را هست کي وصل کنيم ميان هر دو نقطه کي باشد به خطي مستقيم [2] و اخراج کنيم هر خطي مستقيم محدود کي باشد بر استقامت او [3] و رسم کنيم بر هر نقطه و به هر بعدي دايره [4] جمله زواياي قائم متساوي باشند [اصل موضوع افزوده] دو خط مستقيم به سطحي محيط نشوند. » (18)
تلاش براي پر کردن شکاف هاي موجود در ساختار برهاني اصول اقليدس با کار نصيرالدين طوسي آغاز نشده بود و البته به کار وي نيز ختم نشد. (19) در ربع آخر سده ي 19م اين تلاش ها به اوج خود رسيد. در اين سال ها جوزپه پئانو (1858-1932م)، (20) ماريو پيري (21) (1860-1913م) و بسياري ديگر کوشيدند فرض هايي را که در هندسه ي اقليدسي به طور ضمني بديهي انگاشته شده بود، به طور صريح و روشن در قالب اصول موضوعه مطرح سازند. از اين ميان تلاش موريتس پاش (1843-1930م) (22) از اهميتي بسيار برخوردار بود. وي در کتاب مشهور خود درس هايي در هندسه ي نوين چند اصل موضوعه ي جديد براي افزودن به هندسه ي اقليدسي مطرح کرد. سرانجام داويد هيلبرت (1862-1943م)، رياضي دان آلماني و نامدارترين رياضي دان جهان در ربع نخست سده ي 20 ميلادي در کتاب مشهور خود، شالوده هاي هندسه، به جاي «محدود» مطرح شده در اصول اقليدس سه مجموعه ي متمايز از «چيزها» ي تعريف نشده، يعني «نقطه ها»، «خط ها» و «صفحه ها» و شش رابطه ي تعريف نشده ي « قرار داد/ دارند» (مانند: دو نقطه فقط بر يک خط منحصر به فرد قرار دارند)، «ميان» ( مانند: نقطه ي C ميان نقاط A و B قرار دارد)، «قابل انطباق» (مانند مثلث ABC با مثلث DEF قابل انطباق است؛ معادل با يکي از مفاهيم «متساوي» در هندسه ي اقليدسي) و... ارائه کرد و تمامي اصول موضوعه ي مورد نياز براي بنيان گذاري نظام هندسه ي اقليدسي را در قالب 21 اصل موضوع و در 5 دسته ي اصول موضوعه ي «وقوع» (يا تعلق)، «ميانبود»، «قابليت انطباق»، «پيوستگي»، و سرانجام اصل موضوعه ي «توازي» بيان کرد که البته ديري نگذشت که معلوم شد يکي از اين گزاره ها (قضيه ي پاش) را مي توان با استفاده از اصول ديگر ثابت کرد و در نتيجه صورت نهايي روايت هيلبرت از هندسه ي اقليدسي بر 20 اصل موضوع بنا شد. (23) با مقايسه ي اصول موضوعه ي اقليدس و هيلبرت به روشني درمي يابيم که اقليدس در بيان فرض هاي خود از ذکر نکات بسياري غفلت کرده بود يا به عبارت ديگر بسياري از اين گزاره ها را بديهي انگاشته بود، بي آنکه بر آنها تأکيد ورزد. از جمله مهم ترين اين نکات آن است که: نقطه و خط وجود دارند، همه ي نقطه ها بر يک امتداد نيستند و هر خط دست کم دو نقطه بر خود دارد. هيلبرت با سه اصل موضوعه ي وقوع يا تعلق ( ناظر بر ارتباط ميان نقطه ها و خط ها و صفحه ها) بر اين نکات تأکيد کرده است:
1. دو نقطه ي متمايز A و B يک خط منحصر به فرد a را مشخص مي سازد.
اين اصل را مي توان با عباراتي ديگر نيز بيان کرد. مثلاً مي توان گفت: A و B بر a واقع هستند. A و B نقاطي از a هستند ( يا به a تعلق دارند). يا a از A و B مي گذرد يا a، AوB را به هم وصل مي کند. اگر A در آن واحد بر دو خط a و b واقع باشد مي گوييم که اين دو خط در نقطه A با هم مشترکند ( يا در اين نقطه يکديگر را قطع مي کنند).
2. هر چه باشد خط a دست کم دو نقطه متمايز واقع بر a وجود دارد.
3. سه نقطه ي متمايز وجود دارند چنان که هيچ خطي بر هر سه ي آنها واقع نمي شود.
چنان که ديديم يکي از مزاياي ساختار پيشنهادي هيلبرت آن است که عبارات معادل يکديگر به صراحت مشخص شده اند. نکته اي که در اين ميان حائز اهميت مي نمايد، آنکه اصول موضوعه ي پيشنهادي نصيرالدين نيز عملاً بيان ديگري از اصول موضوعه ي ياد شده در بالا و نيز يکي از اصول « قابليت انطباق » هيلبرت است. با اين تفاوت که خواجه نصير در اصول موضوعه ي پيشنهادي خود بر وجود نقطه، خط و صفحه تصريح مي کند، اما هيلبرت با عباراتي ديگر بر اين مهم تأکيد مي کند. در واقع با اصل قرار دادن هر يک از اين دسته گزاره ها (اصول خواجه نصير يا اصول هيلبرت) مي توان گزاره هاي دسته ي ديگر را به عنوان قضيه به سادگي ثابت کرد. تأکيد خواجه بر افزودن اصلي مبني بر اين که «هر يکي از نقطه و خط مستقيم و سطح مستوي بر مثل خويش منطبق شوند» نيز صورتي از اصل نخست قابليت انطباق هيلبرت است.
اصول موضوعه اول تا چهارم اقليدس با عباراتي که امروزه در کتاب هاي مقدماتي هندسه مرسومند چنين بيان مي شوند:
بين دو نقطه يک خط راست مي توان رسم کرد.
يک پاره خط را مي توان از دو سو تا بي نهايت امتداد داد.
مي توان دايره اي به هر شعاع و به هر مرکز رسم کرد.
تمام زواياي قائمه با هم برابرند.
اما اصل پنجم، که از همان آغاز بينان گذاري هندسه ي اقليدسي تا اواخر سده ي 19 ميلادي، همواره بحث هاي بسياري در ميان رياضي دانان برانگيخته بود چنين است: «کل خطين مستقيمين وقع عليها خطاً مستقيم و کانت الزاويتان الداخليتان في إحدي الجهتين أصغر من قائمتين، فإنهما يلتقيان في تلک الجهة ان أخرجا. » (24)
قطب الدين شيرازي نيز اين عبارات را چنين ترجمه کرده است:« دو خط مستقيمي کي خطي مستقيم بر ايشان افتد و دو زاويه داخله کي از يک جهت باشند کمتر از دو قائمه باشد ايشان را چون در آن جهت اخراج کنند به هم رسند. » (25)
نصيرالدين طوسي پس از ذکر اين اصول آورده است:« فهذا ما ذکر في الاصل. أقول القضية الأخيرة ليست من العلوم المتعارفة و لا ممّا يتّضح في غير علم الهندسة؛ فإذن أولي بها أن يترتّب في المسائل دون المصادرات و أنا سأوضحها في موضع يليق بها و وضعت بدلها قضية أخري هي أنّ خطوط المستقيمة الکائنة... » (26)
پي نوشت ها :
* پژوهشگر حوزه ي تاريخ علم.
1. القانون في الطب، ج1، ص 5
2. براي تفصيل بيشتر ر. ک: ملاحظاتي در باب آراء نجومي ابوسعيد سجزي و شرف الدين مسعودي، ص 151.
3. القانون في الطب، ج1، ص4
4. همان، ج1، ص 17؛ نيز ر. ک: همان، ج1، ص 19:« و اما مخاصمات المخالفين في صوابها فالي الحکماء دون الطباء»
5. همان، ج1، ص67
6. همان، ج1، ص 5
7. الرسالة الشافية، ص 2
گفتني است که ميان دو اصطلاح «اصل موضوع» و «مصادره» تفاوتي بسيار ظريف وجود دارد که البته بسياري از رياضي دانان دوره ي اسلامي به تسامح يکي را به جاي ديگري به کار برده اند. اصل موضوعه گزاره اي است که در يک علم درست فرض مي شود ( به عبارت ديگري قراردادي است که «وضع» مي گردد) و فقط در همان علم موضوعيت دارد و البته مفهوم آن از نظر کساني که دستي در آن علم دارند بديهي مي نمايد (مانند عبارت: همه ي زواياي قائمه با هم برابرند). مصادره نيز گزاره اي است که در علمي درست فرض مي شود با اين تفاوت که اثبات درستي (اگر بشود نام آن را اثبات نهاد) يا دست کم بحث درباره ي اعتبار آن به علمي ديگر که در مراتب علوم برتر و بالاتر از علم نخست است واگذار مي گردد. به طور مثال همچنان که در آغاز مقاله بدان اشاره شد از نظر بيروني دو گزاره ي «زمين در هر شبانه روز يک دور به گرد محور خود مي گردد» و «کره ي سماوي در هر شبانه روز يک دور گرد زمين مي گردد» دو گزاره اند که هر دو مي توانند در علم نجوم به عنوان يک مصادره پذيرفته شوند و به تعبير بيروني پذيرش يکي از اين دو به جاي ديگري هيچ گزندي به صناعت منجمان وارد نمي کند، اما اين که کدام يک از اين دو واقعاً درست و مطابق واقع است در علم هيأت که مبادي طبيعي نجوم در آن بحث مي شود مطرح مي گردد.
8. اساس الاقتباس، ص 274
9. همان، ص 263؛ براي تفصيل بيشتر ر. ک: برهان، ص 275
10. تجريد المنطق، صص 201-199
11. همان، ص 201
12. اساس الاقتباس، صص 282-280
13. همان، صص 264-266
14. تحرير اقليدس (طوسي)، ص 1
15. تحرير اصول اقليدس (ديونگ)، ص 623
16. همان
17. تحرير اقليدس (طوسي)، صص 3-4
18. تحرير اقليدس (قطب الدين شيرازي)، برگ هاي 3پشت – 4 رو
19. براي نمونه از تلاش هاي رياضي دانان ديگر از روزگار اقليدس تا اواخر سده ي 19 ميلادي نگاه کنيد به يادداشت هاي هيث در اثر زير:
The Thirteen Books of Euclid's Elements, Vol, I, PP. 155ff
20. Giuseppe Peano (1858-1932)
21. Mario Pieri (1860-1913)
22. Moritz Pasch (1843-1930)
23. The Foundations of Geometry, pp. 3ff; Euclidian and Non-Euclidian Geometries, pp. 10, 59ff
24. تحرير اقليدس (طوسي)، ص 4
25. تحرير اقليدس (قطب الدين شيرازي)، برگ 4 رو
26. تحرير اقليدس (طوسي)، ص 4
صلواتي، عبدالله؛ (1390) خواجه پژوهي (مجموعه مقالاتي به قلم گروهي از نويسندگان) تهران: خانه کتاب، چاپ اول
