گالیله و کشف مسیر سهموی (2)

می‌دانیم که زمان لازم برای اینکه جسمی به اندازة مسافت معینی سقوط کند بستگی به مستقیم یا مایل بودن مسیر ندارد، مشروط بر آن‌که سنگینی جسم به اندازه‌ای باشد که مقاومت هوا بر حرکت آن زیاد تأثیر نداشته باشد. بنابراین پیش روی گلوله در جهت افقی در طی سقوط باید فقط به سرعت افقی آن در لحظة آغاز سقوط بستگی داشته باشد. در این صورت اگر کسی بتواند نسبت‌های سرعت‌های افقی متفاوت را کنترل کند می‌تواند چگونگی تداوم یکنواختی سرعت افقی را در غیاب اصطکاک بیازماید. نسبت‌های سرعت‌های پایانی در سقوط از ارتفاع‌های متفاوت در طول یک سطح شیب‌دار ثابت را می‌توان تنها با اندازه‌گیری واقعی و با استفاده از قانون سقوط آزاد محاسبه کرد. در سند شمارة 116 ـ f این محاسبات همراه با اندازه‌گیری‌های گالیله آمده است.
گالیله گلوله‌ای را از ارتفاع‌های مختلف روی سطح مایل شیار‌داری که بر روی میزی نصب شده بود رها می‌کند و ارتفاع‌های مختلف بالاتر از سطح میز را با اعداد 300، 600، 800، و 1000 نشان می‌دهد. او حرکت گلوله را در انتهای سطح شیبدار که ارتفاع آن تا کف اتاق 828 بود به صورت حرکت افقی در می‌آورد و محل اصابت آن با کف اتاق را برای چهار ارتفاع بالا مشخص می‌کند. فاصلة محل اصابت تا لبة میز را برای چهار ارتفاع بالا، به ترتیب، 800، 1172، 1328، و 1500 به دست آورد، به دلیلی که بعداً خواهد آمد، او هم‌چنین گلوله را از ارتفاع 828 بالاتر از سطح میز رها می‌کند و فاصلة افقی محل اصابت آن با کف اتاق تا لبة میز را 1340 به دست آورد.
گالیله پس از به دست آوردن این اعداد، از قانون سقوط آزادش برای مرتبط کردن ارتفاع سطح به مسافت افقی طی شده استفاده کرد. دو عدد اول، یعنی 300 واحد برای ارتفاع و 800 واحد برای مسافت افقی طی شده، را به عنوان نسبت استاندارد انتخاب کرد. بر اساس این نسبت و با استفاده از قانون سقوط آزاد فاصله‌های افقی‌ای را که گلوله باید طی می‌کرد محاسبه کرد. فواصل مربوط به ارتفاع‌های مربوط به ارتفاع‌های 300، 600، 800، و 1000 را به تریب برابر با 800، 1131، 1306، و 1406 به دست آورد. هم‌چنین فاصلة افقی 1329 یا 1330 را برای حالت دیگری که در آن ارتفاع بالای سطح میز با ارتفاع میز از کف اتاق (828 واحد) برابر بود به دست آورد. سازگاری تقریبی فاصله‌های افقی محاسبه شده با فاصله‌های اندازه‌گیری شده خود دلیلی بود بر اثبات اصل محدود لختی که گالیله به دنبال آن می‌گشت و به آن احتیاج داشت. این اصل را می‌توان به طور خلاصه چنین بیان کرد: حرکت افقی، در غیاب هر نوع مقاومت محسوسی، یکنواخت است و همواره یک‌نواخت باقی می‌ماند.
در سند سوم، 175 ـ f، که مربوط به این آزمایش‌هاست و اثری از نوشتة گالیله در اواخر سال 1608 بر آن باقی مانده است، سطحی با شیب تند رسم شده که مجهز به یک منحرف‌کنندة خمیده است. منحرف‌کنندة خمیده حرکت گلوله را، قبل از سقوط از انتهای میز به کف اتاق به حرکت افقی تبدیل می‌کند. در عمل او نمی‌توانسته است از چنین سطح شیبداری استفاده کند، زیرا خیلی مشکل بوده است که گلوله را با حرکت یکنواخت در امتداد آن به طرف پایین رها کند، یا حتی کاری کند که گلوله ضمن غلتیدن به طرف پایین همواره تماسش را با سطح حفظ کند. در واقع این تحلیل از داده‌های گالیله نشان می‌دهد که زاویة شیب سطح نمی‌توانسته است از 64 درجه بیشتر باشد زیرا شتاب گلوله بر اساس داده‌های گالیله کمتر از شتابی است که گلوله حتی اگر کاملاً روی چنین سطحی بغلتد، می‌گیرد. وانگهی، حفظ تماس گلوله روی سطح هنگام غلتیدن به طرف پایین، حتی در سطح‌هایی با شیب کمتر از 64 درجه نیز فوق‌العاده مشکل است.
ممکن است این سؤال مطرح شود که چگونه می‌توانیم شتاب گلوله را در آزمایش گالیله تعیین کنیم در حالی که تاکنون چیزی دربارة یکاهایی که او برای مسافت به کار می‌برده است نگفته‌ایم. اتفاقاً گالیله در یادداشت‌های دیگرش طول خطوط معینی را بر حسب آنچه وی آن را پونتی یا پونت نامیده مشخص کرده است. این اندازه‌ها کم و بیش با یکاهای کوچکی که روی خط‌کش متصل به پرگارش (که در موزة تاریخ علوم در فلورانس نگهداری می‌شود) حکاکی شده‌اند سازگاری دارند. مقدار عددی یکای روی پرگار 180/169 میلی‌متر است و ما هم از همین مقدار استفاده کرده‌ایم، اگرچه در برخی یادداشت‌هایش یک پونت را برابر 60/58 میلی‌متر گرفته است.
گالیله در سند 116 ـ f نوشته است: PU .828 ALTEZZA DELLA LAROLA یا 828 پونت ارتفاع میز.
بر اساس این گفته ما ارتفاع میزش را 777 میلی‌متر می‌گیریم تا زمان‌ها، سرعت‌های نهایی و آهنگ‌های شتاب محاسبه شده در اندازه‌گیری‌هایش را تعیین کنیم. بنابراین، ارتفاع میز آزمایش‌های گالیله در حدود ارتفاع استاندارد میزهای امروزی و ارتفاع بالاترین نقطه‌ای که گلوله را از آنجا رها کرده است از کف در حدود صد و هفتاد سانتی‌متر بوده است. این ارتفاع برای آدمی با قد متوسط که می‌خواهد گلوله را قبل از رها کردن دقیقاً در محل مشخصی قرار بدهد مناسب است. وانگهی، این وضع به گالیله امکان می‌داده است که راحت خم شود و گلوله را در حین غلتیدن به پایین نگاه کند. در عین حال، مسیرهای گلوله را نمودارش رسم کرده است. و شک نمی‌توان داشت که شکل این مسیرها اندیشة سهمی بودن مسیر را به ذهن او راه داده است. گالیله که زندگی علمی‌اش را با مطالعة مراکز گرانش اجسام جامد سهموی شکل آغاز کرده بود، سهمی‌ها را خوب می‌شناخت.
همین که اندیشة مسیر سهموی به ذهن گالیله خطور کرد، استخراج آن از لحاظ نظری برای او راحت بود. اگر به سند 117 ـ f نگاه کنیم می‌بینیم که او ناگهان شروع می‌کند به طرح مسیر سهموی و رسم سهمی‌های کوچکی که در زیر هر کدام پله‌هایی، که طول افقی‌شان مساوی است، وجود دارد. بلندی این پله‌ها با ارتفاع منحنی از زمین برای هر واحد فاصلة افقی طی شده متناظر است. در طرف دیگر این صفحه بعضی محاسبات مربوط به این طرح دیده می‌شود. در صفحات بعد، که در اوایل سال 1609 نوشته شده‌اند، قضیة اصلی مربوط به مسیر سهموی آمده است؛ گالیله این قضیه را تا 30 سال منتشر نکرده است.