مکانیک های نابغه

روح یونانی مکتب اسکندریه

دیر هنگام است، و ستاره شناس در بلندای تنهایی خویش می پوید ظلمات را و می بیند از دور دست دنیاهایی را که به جزایر دورافتاده شکوهمند می مانند، ستاره ای پریش و سرگردان را فرا می خواند و می گوید:
« ده قرن پس از این، در چنین شبی، باز گرد.»
آن ستاره خواهد آمد، بی آنکه دمی با علم حیله کند
یا آن که حسابش را باطل سازد
بسیار کسان آیند و روند، اما آدمی در افکار خواب آشوب خویش
همچنان چشم به راه خواهد ماند
و همه آدمیان هم اگر در خاک شوند
حقیقت به جای آن ها خواهد دید بازگشت آن ستاره را
سولی پرودوم
تمدن مصر حداقل چهار هزار سال بر اساس الگویی صلب و بی تغییر ادامه یافت. در مذهب، ریاضیات، فلسفه، تجارت و زراعت هر کس همان راهی را می رفت که پدرانش رفته بودند. این زندگی آرام و راه های بی تغییر را هیچ تأثیر خارجی نگسیخت. تا آن که در حدود سال 325 پ م، اسکندر مقدونی این سرزمین وسیع را همچون تمامی یونان و خاور نزدیک فتح کرد و کوشید فتوحات خود را هلنی مآب کند. وی شهر اسکندریه را بنا نهاد و پایتخت قدیم از آتن به این شهر نوبنیاد منتقل شد. آن گاه فرهنگ فاتح به نوبه خود فتح شد. از این پیوند فرهنگ ها، که مرکز آن در اسکندریه بود، تمدنی جدید پدید آمد که نقش ممتاز و مهم خود را در ریاضیات و در تمدن غرب ایفا کرد.
اسکندریه مرکز تمامی دنیای قدیم شد، زیرا جایگاه جغرافیایی ایدئالی در مفصل آسیا، آفریقا و اروپا داشت. در خیابان های این شهر، بومیان مصری با یونانیان، یهودیان، ایرانیان، اتیوپی ها، سوری ها، رومی ها و عرب ها برخورد و تبادل می کردند. اشراف، شهروندان آزاد و بزرگان با یکدیگر مراوده داشتند. هیچ شهری در جهان، حتی نیویورک امروز هم، هرگز مردمانی تا این حد گوناگون را در خود جمع نکرده است.
تجار و بازرگانان از اطراف و اکناف جهان به این مرکز مهم می آمدند. در بندر کشتی هایی بود که از ایتالیا شراب، از ویلز قلع و از سوئد عنبر می آوردند و کشتی ها در این جا رهسپار گنگ و کانتون می شدند. تاجران اسکندریه نه تنها فرهنگ یونانی را در سرتاسر جهان منتشر می کردند، بلکه دانشی را که در دیگر کشورها جمع آمده بود نیز با خود به اسکندریه می آوردند. در نتیجه، اسکندریه به راستی شهری بین المللی شده بود و در همین حال ثروتی در آن جا انباشته می شد که صرف راه های گوناگونی می شد، و همه چیز شهر حکایت از شکوه و عظمت آن می کرد؛ ساختمان ها، مجسمه ها، ستون های یادبود، مقبره ها، معبدها و پرستشگاه ها. اسکندریه برای توریست ها و خوش گذرانان نیز چیزهای بسیاری داشت؛ از بازارها، حمام ها، پارک ها، نمایش خانه ها و کتابخانه هاگرفته تا سیرک، میدان مسابقه سوارکاری و خانه ها برای ثروتمندان.
افتخارهای اسکندریه، این که مرکز اندیشه دنیای جدید شده بود، به بنیان گذار آن، که در حال فتوحات پی در پی مرد، نرسید. این افتخار از آن بطلمیوس اول (1) شد؛ ژنرالی که در پی مرگ اسکندر کنترل مصر را به دست گرفت. وی که از اهمیت فرهنگ مکتب های بزرگ یونان، نظیر مکتب های فیثاغورس، افلاطون و ارسطو، آگاه بود، درک کرد که اسکندریه باید چنین مکتبی داشته باشد تا بتواند مرکز فرهنگ یونان در دنیای جدید باشد. از این رو وی بنایی به نام موزها (2) (الهگان علم و هنر) ساخت.
چسبیده به این موزها، به دستور بطلمیوس کتابخانه ای ساختند که نه تنها به کار حفظ دست نوشته های مهم بیاید، بلکه برای استفاده عموم نیز به کار آید. می گویند زمانی رسید که این کتابخانه مشهور 750000 جلد کتاب در خود داشت. مجموعه این موزه و کتاخانه به هم شبیه دانشگاهی مدرن بود؛ گرچه حتی امروزه هم هیچ دانشگاهی نمی تواند مدعی داشتن آن همه صاحب اندیشه باشد که در اسکندریه جمع آمده بودند.
بطلمیوس متفکران همه کشورها را به اسکندریه دعوت کرد و آن ها را زیر حمایت خود گرفت. در نتیجه، در موزه های این شهر شاعران، فلاسفه، زبان شناسان، ستاره شناسان، جغرافی دانان، پزشکان، تاریخ نگاران، هنرمندان و مشهورترین ریاضی دانان عهد اسکندرانی جمع آمدند. گروه اصلی این جمع متفکران یونانی بودند، اما افراد ممتاز بسیاری از ملت های بسیار دیگری نیز در میان آن ها دیده می شدند. ممتازترین اینان، ستاره شناس اندیشمند مصری، بطلمیوس (کلاودیوس پتولمائوس)(3) بود.
به نظر می رسد که در سرشت این فرهنگ که حاصل اختلاط مردم و متفکران و نیز افق های فیزیکی گسترده بود، دو عامل به نحوی حیاتی تأثیر داشتند. اول، علایق تجاری مردم اسکندریه، که بسیار گسترده تر از آتنی ها بود، مسائل جغرافیایی و دریانوردی را مطرح کرد و توجه را به سمت مواد اولیه، روش های تولید و بهبود مهارت ها جلب کرد. و دوم، از آن جا که تجارت توسط همه اقشار مردم صورت می گرفت که از لحاظ اجتماعی از متفکران جامعه جدا نبودند، این متفکران نسبت به مسائلی که رودرروی کل مردم بود آگاه و با آن ها درگیر بودند. در نتیجه، اندیشمندان جامعه مطالعات نظری شکوفا را با تحقیقات علمی و مهندسی عینی وحدت دادند. قلمروهای تکنیکی پیگیری شد و وسعت یافت، مدارس حرفه ای گشوده شد و مکانیک و دیگر علوم پیشرفت کرد. همچنین فنونی که در عهد کلاسیک تحقیر می شد یا آن که به دست فراموشی سپرده شده بود، با شور و حرارت از سر گرفته شد.
اختراع ابزارهای مکانیکی تازه، توسط اهالی اسکندریه، در پاسخ به این علایق جدید، حتی با معیارهای امروزی هم شگفت انگیز است. آن ها ساعت های آبی و آفتابی اصلاح شده و دقیق ساختند که به هنگام طولانی شدن سخن سیاستمدارانشان به کار می آمد. پمپ ها، چرخ تسمه ها، گره ها، چرخ قرقره های زنجیری، ابزارهای ساخته شده از چرخ دنده و کیلومتر شمار (که با نمونه هایی که امروزه در اتومبیل ها استفاده فراوان دارد، تفاوت بسیاری نداشت) در اسکندریه کاربردی همگانی داشت. از جمله اختراعات مکانیکی ساختن ابزار جدیدی برای اندازه گیری های ستاره شناختی بود. این عصر پیدایش ماشین خودکاری را که با انداختن یک سکه پنج دراخمی در آن آب مقدس می پاشید، مدیون ریاضی دان و مخترعی به نام هرون (4) بود. وسایل موسیقی وجود داشت که به همین ترتیب کار می کرد. درهای معبد هم، وقتی از سکه استفاده می شد، همین گونه باز می شد و مردم را غرق حیرت می کرد.
مطالعه گازها و مایعات به اختراع وسیله ای برای حرکت در آب، تفنگی که نیروی آن را هوای فشرده تأمین می کرد، و نیز وسیله ای برای پاشیدن منتشر آب بر روی آتش منجر شد. باغ های عمومی پر بود از فواره ها و نیز مجسمه های متحرکی که بر اثر فشار آب حرکت می کردند. تولید نیروی بخار پیشرفت دیگر مردم اسکندریه بود. از این نیرو برای راندن اتومبیل هایی در خیابان های شهر، به هنگام نمایش سالانه، استفاده می شد. وقتی از این نیرو که به واسطه آتش پدید می آمد در زیر محراب های معابد استفاده می شد، مجسمه خدایان بر اثر بخار بلند می شد و حاضران غرق در هیبت خدایان می شدند؛ خدایانی که دستان خود را برای تبرک پرستندگان تکان می دادند، خدایانی که اشک می ریختند، مجسمه هایی که شراب به حضار تعارف می کردند، و کبوتران مکانیکی ای که بر اثر نیروی نامرئی بخار به هوا بر می خاستند و فرو می نشستند.
اسکندرانی ها همچنین اطلاعات و دانشی را که در زمینه عملکرد نور و صوت وجود داشت، در ابزارهای عملی به کار بردند. جالب ترین این ها آینه های عظیم ارشمیدس بود که پرتو آفتاب را بر روی کشتی های رومی که به شهر موطنش، سیراکوز (5)، حمله آورده بودند، متمرکز می کرد. این کشتی ها می بایست بر اثر حرارت شدید سوخته باشند.
آموزش در مصر کهن به شدت پنهان نگاه داشته می شد و به صورتی شفاهی منتقل می گشت؛ حال آن که در اسکندریه کتاب ها آزادانه منتشر می شد. مردم اسکندریه این خوش اقبالی را داشتند که پاپیروس مصری موجود در محیط آن ها بسیار ارزان تر از لوح های پوستی بود و، به این ترتیب، اسکندریه مرکز تجاری نسخه برداری از کتاب در جهان عهد باستان شد. برای نخستین بار در تاریخ علم آثاری عالی در زمینه های مکانیک و متالوژی پدید آمد. اصول اساسی وسایل حرکت آبی و نیز حرکت با بخار، ضمن رسالاتی در زمینه پنوماتیک و ئیدروستاتیک (ایستایی)، شرح داده می شد، و نیز رساله هایی بود که در آن ها نحوه ساختن گنبد، منجنیق و تونل به تفصیل آمده بود . از جمله آثار ابتکاری آن دوره تجویزات و دستورات ریاضی هرون برای حفر تونل در زیر کوه بود؛ به صورتی که از دو سوی کوه حفاری آغاز شود و در میانه کوه بهم برسد.
در دنیایی که در اسکندریه برپا شده بود، ریاضیات ممتازترین مقام را داشت. اما این ریاضیات، ریاضیاتی نبود که متفکران یونان باستان از آن آگاهی داشتند. مهم نیست که برخی ریاضی دانان در مورد ناب بودن اندیشه هایشان و بی تفاوتی یا احساس برتری شان نسبت به محیط خود چه می گویند، واقعیت این است که تمدن هلنی اسکندریه ریاضیاتی پدید آورد از نوعی که سرشتی کمابیش متضاد با ریاضیاتی داشت که در یونان عصر کلاسیک پدید آمده بود. ریاضیات جدید کاربردی بود؛ حال آن که ریاضیات قدیم کاملاً جدا از کاربرد بود. ریاضیات جدید می کوشید تعداد دانه های شن در عالم و فاصله دورترین ستاره ها را اندازه گیری کند؛ حال آن که ریاضیات عهد قدیم از اندازه گیری پرهیز داشت. ریاضیات جدید به انسان امکان می داد تا در خشکی بنشیند و با چشم خرد به تجریدهای جاودانی تفکر فلسفی بنگرد. ریاضی دانان بزرگ اسکندریه، که از جمله آنان می توان ابرخس (هیپارخوس)(6)، بطلمیوس، هرون، منلائوس (7)، اراتُستِن (اراتوستنس)(8)، ارشمیدس، دیوفانتوس (9) و پاپوس (10) را نام برد، گرچه کمابیش بدون استثنا شور و نبوغ یونانی خود را در مورد مسائل بسیار مجرد نشان می دادند، در عین حال کاملاً آماده بودند که این نبوغ را در مورد مسائل عملی که بی شک برای تمدنشان مهم بود، به کار اندازند.
نمونه راستین یونانیان دوره جدید اراتُستن بود که مدیریت کتابخانه اسکندریه را به عهده داشت و در چیزهای مختلفی نابغه بود؛ وی در تسلط بر دیدگاه های کلاسیک در مورد ریاضیات، شعر، فلسفه و تاریخ ممتاز بود، و درک عمیقی از زمین سنجی و جغرافیا نیز نشان می داد. اراتُستن نه تنها تمام معرفت تاریخی و جغرافیایی موجود را جمع آورد و جمع بندی کرد، بلکه نقشه هایی از کل آسمان، بدان صورت که یونانیان می شناختند، تهیه کرد. وی همچنین راه ساده ای برای اندازه گیری شعاع سیاره زمین و نیز نقشه برداری از قطعه زمین های بزرگ پیدا کرد. اندازه گیری های نجومی و ساخت ابزارهای نجومی بر شهرت وی افزوده اند.
اراتُستن همچنین تقویم را اصلاح کرد. بسیاری از تمدن های باستانی در حفظ نشانه رویدادهای سماوی مشکل داشتند، و دلیل آن هم این بود که طول دقیق زمانی یک سال خورشیدی را نمی دانستند. مثلاً یک تقویم اولیه یونانی، که به احتمال زیاد از بابلیان به آن ها رسیده بود، سال را به دوازده ماه و سی روز تقسیم می کرد. وقتی تاریخ هایی که برای مشخص کردن رویدادهای ستاره شناختی ویژه، نظیر اعتدال ها، تعیین شده بود، بیش از حد پس و پیش شدند، عدم کفایت این تقویم معلوم شد. طبیعی است که خدایان به چنین بی انظباطی هایی اعتراض کنند. آریستوفانس (11) گلایه آن ها را در ابرها چنین ابراز می کند:
ماه به واسطه ما درودهایش را بر شما می فرستد
اما امر کرده است ما را که بگوییم از او بد استفاده شده است
و وضع بدتر خواهد شد اگر که شما همچنان
روزهایش را قاطی کنید و آن ها را در هم بریزید
و نیز این را بگویید که خدایان (که روز جشن خود را خیلی خوب می شناسند)
به خاطر شمارش غلط شما بی شام به خانه فرستاده شده اند
و به خاطر بی توجهی شما به او غر زده اند و او را به توپ و تشر بسته اند
تقویم ارتُستن سال را 365 روز در نظر می گرفت و هر چهار سال یک روز اضافه داشت. این تقویم را بعدها رومی ها پذیرفتند و اساساً همان تقویمی است که ما امروزه به کار می بریم. اراتُستن همچنین بر تاریخ گذاری تمام رویدادها با تقویم اصرار داشت، بر خلاف یونانیان پیش از او که تاریخشان بر اساس تعداد المپیادها از زمان سقوط تروا یا بر روال همان شیوه رایج در میان تمدن های دیگر بود؛ یعنی تاریخ گذاری شان بر اساس سال های حکومت شاهان بود. اراتستن به کار خود در اسکندریه ادامه داد؛ تا آن که کوری در پیری از پایش افکند و از این پس آن قدر به اعتصاب غذا ادامه داد که به زندگی خود پایان داد.
مردی که کار او بهترین چکیده عصر اسکندریه است ارشمیدس است که از جمله بزرگ ترین نوابع جهان باستان به شمار می آید. ارشمیدس با وجود آن که در سیراکوز- کوچ نشینی یونانی در سیسیل- به دنیا آمده بود، در اسکندریه تحصیل کرد. سپس به سیراکوز بازگشت و باقی عمر خود را در این شهر گذراند. ارشمیدس اندیشه ای رفیع، توجهی بسیار گسترده به وسایل عملی و نیز نظری، مهارت مکانیکی بسیار زیاد و تخیلی آن چنان بارور داشت که ولتر (12) او را از هومر هم خلاق تر می دانست؛ از این رو مورد احترام و ستایش بسیار معاصرانش بود.
بهترین نشانه های علایق ارشمیدس اختراعات بسیار اصیل اوست. در جوانی فلک نمایی ساخت که حرکات اجرام آسمانی را بازسازی می کرد. او همچنین پمپی برای بالاراندن آب رودخانه اختراع کرد، از قرقره های مرکب برای به آب انداختن کشتی پارویی جهت هیرون (13)، پادشاه سیراکوز، استفاده کرد. همچنین منجنیق ها و ماشین های نظامی برای دفاع از شهر سیراکوز در برابر حمله رومیان ساخت. به هنگام همین حمله رومیان به سیراکوز بود که وی از ویژگی متمرکز کننده نور خورشید در آینه های منحنی برای سوزاندن کشتی های رومی استفاده کرد. ارشمیدس همچنین کاربرد اهرم را برای جابه جایی اجسام بزرگ و سنگین رواج بیشتری داد.
شاید مشهورترین اکتشاف وی آن اصل ئیدروستاتیک باشد که امروزه به نام خود اوست. داستان معروفی جود دارد که نشان می دهد چگونه ارشمیدس به کشف این اصل موفق شده است. شاه سیراکوز دستور داده بود که تاجی از طلا برایش بسازند. وقتی تاج ساخته شد، وی در این شک افتاد که مبادا طلای تاج با فلزی پست تر و کم بهاتر مخلوط شده باشد؛ از این رو، ارشمیدس را فراخواند و از او خواست روشی بیابد که، بدون خراب کردن تاج، جنس آن را به آزمون بگذارد. ارشمیدس غرق در حل مسئله شد و روزی در حمام، وقتی به داخل وان رفت، متوجه شد که سنگینی اش به واسطه آب تا حدی سبک شده است. او ناگهان اصلی را که به حل مسئله توانایش می ساخت، دریافت: او کشف کرد که اگر جسمی در آب فرورود، به واسطه نیرویی که برابر با وزن آب جابه جا شده بر اثر فرورفتن آن است، سبک می شود. از آن جا که می توان وزن آب جابه جا شده را نظیر وزن جسمی در هوا اندازه گیری کرد، نسبت وزن ها به دست می آید. این نسبت برای فلزی معین، به هر شکلی که باشد، ثابت است و از فلزی به فلز دیگر فرق می کند. از این طریق ارشمیدس توانست نسبت وزن یک قطعه فلز معین را نسبت به طلا بیابد و آن را با نسبتی که برای تاج مورد بحث به دست آورد، مقایسه کند. متأسفانه تاریخ نتیجه ای را که وی در مورد تاج به دست آورد، ثبت نکرده است. اصلی که ارشمیدس کشف کرد یکی از نخستین قوانین جهانی علم است، و او از آن در کنار مطالب دیگر، در کتاب درباره اجسام شناور، بحث کرده است.
حتی کار نظری وی در ریاضیات نیز تحت تأثیر روح کلی عصر اسکندرانی است، زیرا وی وقت زیادی را صرف مسائل اندازه گیری می کرد. وی ثابت کرد که مساحت دایره حاصل ضرب نصف پیرامون آن در شعاعش است- یعنی همان فرمول رایج - و سپس به تعیین مقدار اقدام کرد. نتیجه محاسبه وی که در واقع نسبت به روزگار او محاسبه ای است ممتاز. وی همچنین فرمول های بسیار دیگری برای مساحت ها و حجم ها پیدا کرد.
غیر از این ها، ارشمیدس تحت تأثیر همان روح کلی زمانه، به کاری پرداخت که آن هم از نظر یونانیان عهد کلاسیک نفرت انگیز بود. وی سیستمی برای بیان اعداد بزرگ ابتکار کرد، و در روایت نهایی خود از این کار که عنوان « شمارش شن» را به آن داد، نشان داد که چگونه می توان شمار تمام دانه های شن عالم را پیدا و ابراز کرد.
به هر حال هر چقدر هم که ارشمیدس به علایق عملی زمانی دچار بوده باشد، آن عشق یونانی به نظریه بنیادی را کاملاً درون خویش داشت. او در میان دستاوردهایش به یکی بیش از همه افتخار می کرد. این فخر را از آن تقاضایش در می یابیم که خواسته بود بر سنگ گورش نقش یک کوه و استوانه ای را که بر آن محیط شده است به نسبت دو سوم حک کنند. این نقش حکایت از این کشف بزرگ او دارد که نسبت حجم کره ای محاط در یک استوانه به حجم آن استوانه دو سوم است، و نیز این که نسبت سطح کره به سطح استوانه نیز همان دو سوم است.
مرگ ارشمیدس نیز همچون زندگی اش چکیده رویدادهای عصر اوست. وی به دست سربازان رومی که اندکی پیش از کشتن او شهر سیراکوز را مسخر کرده بودند، به قتل رسید. ارشمیدس آن چنان غرق در افکار خود بود که صدای هیاهوی هجوم دشمن را به شهر نشنید، و در این حال بود که برخلاف دستور مارسلوس، فرمانده رومی، که ارشمیدس نباید آسیبی ببیند، به دست سربازی کشته شد. ارشمیدس در آن زمان هفتاد و پنج سال داشت و هنوز نیروهای جسمی و ذهنی اش کاملاً سالم بود. رومی ها، به جبران این رویداد ناگوار، مقبره ای با شکوه برایش ساختند و قضیه مشهوری را که ذکر کردیم بر سنگ گورش حک کردند.
در مورد ریاضیات، اسکندریه ای ها روش اندازه گیری غیر مستقیم را ایجاد کردند و به کار بردند. ساده ترین نقش آن ها در این زمینه یافتن فرمول های مساحت و حجم برای شکل های هندسی خاص بود. عجیب است که این فرمول ها در کار اقلیدس وجود ندارد، زیرا که کار اقلیدس، اگر در طلیعه عصر اسکندرانی می زیست، در واقع گردآوری و جمع بندی ریاضیات دوره کلاسیک بود. این که مثلاً نسبت مساحت دو مثلث متشابه به یکدیگر مساوی با نسبت مربع ضلع های نظیر در آن دو مثلث است، علاقه و توجه اقلیدس را بسیار برانگیخته بود؛ اما این که مساحت هر مثلث را می توان مستقیماً از ضرب کردن قاعده آن در نصف ارتفاعش به دست آورد، چیزی است که اسکندریه ای ها به ما آموختند.
نقش فرمول های مساحت و حجم غالباً آن قدرها که باید جدی گرفته نمی شود. چگونه باید مساحت کف یک اتاق را پیدا کرد؟ آیا باید با مربع هایی کوچک، به مساحت معلوم یک واحد، تمام سطح کف اتاق را پوشاند و بعد، همان گونه که خود مفهوم مساحت القا می کند، مساحت را از جمع تعداد مربع ها دریافت؟ البته، کسی چنین نمی کند. هر کس می تواند به آسانی طول و عرض هر مربعی را اندازه بگیرد و با ضرب کردن آن ها در یکدیگر مساحت مورد نظر را بیابد. چنین اندازه گیری مساحت، روشی غیر مستقیم است؛ زیرا از طریق اندازه گیری طول ها [ اندازه گیری سطح] به دست آمده است. تعمیم همین ایده به حجم آسان است. به این ترتیب، همین فرمول های بسیار معمولی هندسه را مدیون اسکندرانی ها هستیم؛ فرمول هایی که اندازه گیری مساحت و حجم را از طریق غیر مستقیم، با اندازه گیری ساده طول ها، میسر می سازد، دستاورد عملی بسیار مهمی محسوب می شدند.
اما این گونه اندازه گیری غیر مستقیم برای اسکندریه ای ها، در واقع، بازی بچه گانه ای بود. آن ها به کمک روش های غیر مستقیم اندازه گیری سرانجام توانستند شعاع زمین، قطر خورشید و ماه، فاصله زمین تا خورشید و ماه، فاصله سیارات از زمین و فاصله ستارگان تا زمین را پیدا کنند. این که بتوانیم چنین طول هایی را که از نطر فیزیکی دست نیافتنی هستند، اندازه گیری کنیم و، از این مهم تر، آن ها را با دقتی بسیار زیاد بیابیم، در نظر نخست باور نکردنی می نماید. اسکندریه ای ها نه تنها این کار ظاهراً غیر ممکن را ممکن کردند، بلکه آن را با چنان سادگی و قاطعیتی انجام دادند که حتی امروزه هم به سختی می توان از دیدگاه ایده های ریاضی رقیبی برای روش های آن ها پیدا کرد.
در قرن دوم پیش از میلاد بود که هیپارخوس، بزرگ ترین ستاره شناس دنیای باستان، شاخه ای از ریاضیات را پدید آورد که این چنین نبوغ آمیز در تهیه نقشه زمین و آسمان به کار رفت. یک قضیه ساده هندسه اساس روش هشیارانه هیپارخوس است. پیش از آن که از این قضیه یاد کنیم، یادآوری می کنیم دو مثلث وقتی متشابه اند که بنا به تعریف زوایای یکی مساوی با زوایای دیگری باشد. برای نشان دادن این که دو مثلث متشابه اند، کافی است ثابت کنیم که دو زاویه از یکی، به صورت نظیر با دو زاویه از دیگری برابر است. دلیل این کفایت ساده است، زیرا در این صورت زاویه سوم دو مثلث به ناگزیر با همه مساوی خواهد بود، چون مجموع زوایای [داخلی] هر مثلث 180 درجه است. به خصوص در ارتباط به دو مثلث قائم الزاویه، از آن جا که یکی از زوایای آن دو با هم مساوی یعنی قائمه است، کافی است ثابت کنیم یک زاویه حاده از یک مثلث قائم الزاویه با زاویه حاده ای از مثلث قائم الزاویه دیگر برابر است تا تشابه بین این دو مثلث برقرار شود.
شکل 1. دو مثلث قائم الزاویه
قضیه ای که هیپارخوس به کاربرد، می گوید: اگر دو مثلث متشابه باشند، نسبت طول هر دو ضلع از یک مثلث به همدیگر مساوی با نسبت طول اضلاع نظیر آن به یکدیگر از مثلث دیگر است؛ یعنی این که اگر مثلاً دو مثلث ABC و متشابه باشند (شکل 1)، نسبت اگر دو مثلث ABC و قائم الزاویه باشند و اگر زاویه A برابر با زاویه
باشد، بر اساس نتیجه بند قبلی، دو مثلث متشابه خواهند بود. بنابر این، می توانیم همچون هیپارخوس بگوییم که نسبت ضلع مقابل به زاویه A بر وتر در این مثلث باید همان باشد که هر مثلث قائم الزاویه متضمن زاویه ای برابر با زاویه A دارد. این نسبت BC به AB چنان مهم است که نام خاصی دارد و آن سینوس (sine) است و از آن جا که مقدار آن بستگی به زاویه A دارد آن را به صورت A sine (سینوس A ) می نویسند. پس بنا به تعریف: این بررسی نشان می دهد Sine A در تمامی مثلث های قائم الزاویه ای که زاویه ای برابر A دارند، فرقی نمی کند. این روابط را می توان میان دیگر نسبت هایی که از اضلاع مثلث قائم الزاویه با ضلع A پدید می آید پیدا کرد. به عنوان مثال نسبت های
(تانژانت)
در تمامی مثلث های قائم الزاویه با زاویهA مشابه است.
حال ببینیم که چگونه هیپارخوس از این نسبت ها در اندازه گیری زمین و آسمان استفاده کرد. نخستین گام یافتن ارتفاع یک کره است. برای آن که این مسئله را تا حدی ساده کنیم، فرض می کنیم که این کره ضلعی قائمی نظیر BC (در شکل 2) دارد که در آن نقطه C معرف پای کره است. نخست فاصله AC را در زمین، که به آسانی در دسترس است، اندازه می گیریم و فرض کنید به نتیجه 10 مایل (حدود 16 کیلومتر) می رسیم. همین طور زاویه A را اندازه می گیریم که مثلاً می تواند 17 درجه باشد. پس می توانیم با توجه به مفهوم تانژانت بگوییم:
شکل 2. نحوه ی محاسبه ارتفاع یک کره از آن جا که AC برابر با 10 است. از ضرب کردن طرفین این رابطه در وسطین آن، نتیجه می گریم که: حال اگر تانژانت 17 درجه را بدانیم، اندازه BC به آسانی به دست می آید. به هر حال، تانژانت 17 درجه در هر مثلث قائم الزاویه ای که متضمن زاویه 17 درجه باشد، فرق نمی کند. از این رو، هر مثلث دلخواهی را می توانیم انتخاب کنیم و این کمیت را به کمک آن تعیین نماییم.
یک نجار می تواند این کمیت را به سهولت به دست آورد. او می تواند مثلث قائم الزاویه ای بسازد که زاویه حاده ای برابر با 17 درجه داشته باشد، و سپس ضلع مقابل و مجاور به آن را اندازه بگیرد و آن گاه نسبت این دو ضلع را حساب کند. کاری که ریاضی دان می کند، البته پیچیده تر و دقیق تر است. هیپارخوس، که هم اخترشناس بود و هم ریاضی دان، روش تازه ای برای محاسبه این نسبت ها در هر مثلث قائم الزاویه به دست داد و نتایج را در جدول معروفی نوشت که به نسل های بعدی رسید و امروزه در کتابهای درسی ثبت می شود.
لازم نیست جزئیات «محاسبه های هیپارخوس را پیگیر کنیم: آنچه مهم است این است که محاسبه این نسبت ها به هر دقت دلخواه ممکن است. از این محاسبه پی می بریم که تانژانت 17 درجه تا چهار رقم اعشار برابر 3057/0 است پس BC که برابر با است برابر 057/3 مایل است. به این ترتیب، بدون آن که خط کش برداریم و کره را بپیماییم، طول آن را به دست آورده ایم.
حال ببینیم این نتیجه را چگونه می توان برای محاسبه اندازه زمین به کار برد. گفتیم که یونانیان تعلیم دیده بر این باور بودند که زمین کره ای کامل است. آن ها به این نتیجه نه از طریق پیرامون پیمایی زمین، بلکه به واسطه احتجاجات زیباشناختی و فلسفی دست یافته بودند که به هر حال به آن اعتقاد راسخ داشتند. از این رو، کمیت اساسی که می بایست اندازه گیری شود شعاع کره بود.
برای اندازه گیری این طول به این شکل عمل می کنیم: از کوهی که مثلاً 4500 متر ارتفاع دارد بالا می رویم و به سمت افق نگاه می کنیم: آن گاه با هر ابزاری که در اختیار داریم، زاویه بین خط نگاه خود و قائم بر آن، یعنی زاویه ای مثل CAB در شکل 3) را اندازه می گیریم، این زاویه برابر با تقریباً
به دست می آید. با در اختیار داشتن این اندازه می توانیم نمودار شکل 3 را که در آن r نماینده شعاع زمین است، کامل کنیم. در این شکل شعاع BC عمود بر خط نگاه AC است، زیرا AC مماس بر سطح زمین است و طبق یکی از قضایای هندسه اقلیدسی، شعاعی از دایره که به نقطه تماس یک خط مماس بر آن دایره متصل باشد، بر آن خط مماس عمود است. حال، همین طور که هیپارخوس استدلال کرده است باید نسبت ضلع مقابل به زاویه ای را که اندازه گیری کرده ایم، بر وتر مثلث قائم الزاویه ای که حاصل شده است به دست آوریم. با توجه به نشانه هایی که در نمودار (شکل 3) آورده ایم، این نسبت برابر با است. این نسبت همان سینوس A، یا در این مورد، سینوس زاویه 87 درجه و 46 دقیقه است. پس: از آن جا که هیپارخوس قبلاً نسبت های سینوسی را حساب کرده بود، می دانست که سینوس 87 درجه و 46 دقیقه برابر با 99924/0 است. به این ترتیب می بینیم: به کمک اندکی جبر ساده، در سطح اوایل دبیرستان، این معادله نسبت به r حل می شود و شعاع زمین برابر 3944 مایل (حدود 6130 کیلومتر) به دست می آید. دقت این نتیجه را می توان با اندازه گیری زاویه مربوط تا حد ثانیه بهبود بخشید.
شکل 3. نحوه محاسبه شعاع زمین
خواننده ای که چند خطی از بحث بالا را مشکل یافته است، باید به یاد بیاورد که راه دیگر، غیر از روشی که شرح دادیم، برای به دست آوردن شعاع زمین این است که تونلی تا مرکز زمین بزنیم و با خط کشی تمام این مسیر را اندازه گیری کنیم.
حال ببینیم که هیپارخوس چگونه فاصله زمین تا ماه یا، دقیق تر، فاصله مرکز زمین تا مرکز ماه را به دست آورد. بحث ما اندکی ساده شده است، ولی در اساس با روش هیپارخوس یکسان است. فرض کنید که محاسبه ما در زمانی انجام می شود که خط متصل کننده مرکز زمین به مرکز ماه، یعنی خط AB در شکل 4، سطح زمین را در نقطه ای واقع بر استوانه قطع می کند. حال می توانیم خطی را تصور کنیم که از B در مرکز ماه سطح زمین مماس باشد، مثلاً در نقطه C. اکنون طبق قضیه ای از هندسه که پیش از این مطرح کردیم، خط AC در شکل 4، نماینده شعاع زمین است که از مرکز زمین تا نقطه مماس C در سطح زمین ادامه دارد و با C یک زاویه قائمه می سازد؛ زاویه CAB در شکل 4، عرض جغرافیایی مکان نقطه C است. از قضا هیپارخوس خود بانی سیستم تعیین مکان جغرافیایی نقاط بر سطح زمین با استفاده از طول جغرافیایی و عرض جغرافیایی است؛ سیستمی که امروزه مورد قبول و کاربرد جهانی است. پس هیپارخوس عرض جغرافیایی نقطه C را می دانست. او همچنین CA، یعنی شعاع زمین را در اختیار داشت. پس:
شکل 4. نحوه محاسبه فاصله زمین تا ماه
قابل اثبات است که مقدار A در نمودار 14 برابر 89 درجه و 3 دقیقه ( ) است، به علاوه جدول های هیپارخوس به وی می گفت که . فاصله AC را هم که شعاع زمین است برابر با حدود 3950 مایل ( 6300 کیلومتر ) یافته بودیم. پس: با طرفین- وسطین این رابطه و حل آن نسبت به AB خواهیم داشت: یعنی فاصله مرکز زمین تا مرکز ماه برابر 238000 مایل (حدود 380000 کیلومتر) است. نگاهی گذرا به آنچه گفتیم نشان می دهد با شروع از اندازه گیری فاصله ای که به سادگی بر سطح زمین قابل اندازه گیری است، توانستیم طی چند مرحله پی در پی ارتفاع کوه، شعاع زمین و فاصله زمین تا ماه را اندازه بگیریم. با این آگاهی و با استفاده از روش هیپارخوس می توانیم فاصله زمین تا خورشید یا هر سیاره و ستاره دیگری را حساب کنیم. در عمل، خود هیپارخوس محاسبات نجومی بسیاری انجام داد. سادگی و، در همان حال، کاربرد پذیری گسترده مثلثات وی کاملاً هویداست.
ریاضیاتی که هیپارخوس برای سنجش زمین و آسمان ها آفرید، از روزگار وی تاکنون برای غلبه بر مشکلات عملی بسیار به کار آمده است و مساحان، دریانوردان و نقشه برداران پیوسته از آن استفاده می کنند. در واقع، اسکندرانی ها به کمک توانمندی های روش هیپارخوس و دیگر روش های ریاضی که شرح آن ها در این جا نیامده است، نقشه برداری را تا حد یک علم رفعت بخشیدند. نقشه هایی که آن ها از زمین تهیه کردند، حاوی بیشترین حد معرفت ممکن از زمین تا عهد اکتشافات بزرگ سده های پانزدهم و شانزدهم بود. خوش شانسی نسل های بعدی این بود که بطلمیوس ستاره شناس چکیده تمام معرفت جغرافیایی موجود در دنیای باستان را در کتاب خود، ژئوگرافیا، در هشت جلد جمع بندی کرد. در این کتاب طول جغرافیایی و عرض جغرافیایی 8000 مکان آمده است و نخستین اطلس و فرهنگ جغرافیایی جهان به شمار می آید.
مبحث مثلثات در میان شاخه های ریاضیات از بهترین نمونه مباحثی است که تحقیق در آن هم به دلایل عملی و هم ذهنی انجام می شد- از یک سو مساحی، نقشه برداری و دریانوردی و، از سوی دیگر، کنجکاوی در باب اندازه عالم. ریاضی دانان اسکندرانی به کمک مثلثات عالم را مثلثاتی و آگاهی خود را در باب زمین و آسمان ها دقیق کردند. سپس از نتایج کار خود بهره برداری کردند.

پی نوشت ها :

1- Ptolemy، اولین پادشاه مصر قدیم (فت 283 ق م)
2- Muses، نُه الاهه یونانی
3- Claudius Ptolemaeus، منجم و ریاضی دان و جغرافیادان معروف حوزه اسکندریه در قرن دوم میلادی
4- Heron، هرون اسکندرانی، ریاضی دان و مخترع قرن اول میلادی
5- Syracus، جنوب شرقی جزیره سیسیل، ایتالیا
6- Hipparchus، منجم و ریاضی دان و جغرافیا دان یونانی در قرن دوم قبل از میلاد
7- Meneleus ، ریاضی دان، منجم، فیزیک دان یونانی در قرن اول میلادی
8- Eratosthenes ، ریاضی دان و منجم و اولین جغرافیادان عهد قدیم (ح 273 – ح 192 ق م)
9- Diophantus ، ریاضی دان بزرگ یونانی در قرن سوم میلادی
10- Pappus ، ریاضی دان یونانی در قرون سوم و چهارم میلادی
11- Aristophanes ، بزرگ ترین شعرای کمدی نویس یونان (مت ح 448 ق م)
12- F. M. A. Voltaire ، فیلسوف و نویسنده فرانسوی (1694-1778)
13- Hiero ، هیرون دوم، جبار (ح 270- ح 215 ق م) یونانی

منبع :کلاین، موریس؛ (1388)، نقش ریاضیات در فرهنگ غرب، ترجمه محمد دانش، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی.