نویسنده: موریس کلاین
مترجم: محمد دانش
مترجم: محمد دانش
پارادوکس های بی نهایت
در هندسه، ما نه تنها بزرگی های نامحدود را، یعنی بزرگی هایی بزرگ تر از هر بزرگی نامحدود قابل تشخیص و تعیین را، می پذیریم، بلکه این را هم می پذیریم که هر یک از این بزرگی های نامحدود به شکل نامحدودی بزرگ تر از دیگری است. این نکته ابعاد مغز ما را که در بزرگ ترین کلمه ها فقط حدود پانزده سانتی متر طول، دوازده سانتی متر عرض و پانزده سانتی متر ارتفاع دارد متحیر می کند.ولتر
تریسترام شندی (1) ناامیدانه بهت زده شد. او نوشتن زندگی نامه خود را آغاز کرده بود و دریافت که در طول یک روز نوشتن تنها می توان شرح نصف روز از زندگی خود را بنگارد. در نتیجه، حتی اگر از هنگام تولد شروع به نوشتن می کرد و حتی اگر تا ابد زنده می ماند، نمی توانست شرح تمام زندگی خود را ثبت کند؛ زیرا در طول هر مدت زمانی که در نظر بگیریم تنها نصف زندگی اش نوشته می شد. با این حال، اگر می توانست مدت نامحدودی زندگی کند، باید می توانست تمام زندگی اش را بنویسد؛ در پایان بیستمین سال شرح ده سال نخست این زندگی، در پایان چهلمین سال شرح بیست سال اول، و همین طور تا آخر. به این ترتیب زمانی، به هر حال، شرح تمام سال های زندگی خود را ثبت می کرد. می بینیم که، بنابر شیوه استدلال تریسترام، او یا می توانست شرح حال خود را بنویسد یا نمی توانست. هر چه بیشتر درباره این پارادوکس تأمل کرد، مغشوش تر شد و سریع تر از خیر تصمیم خود گذشت.
البته ناتوانی تریسترام را در حل این باطل نما کاملاً می شد پیش بینی کرد، زیرا بر می گشت به نامحدودی زمان. مسائلی که متضمن کمیت های نامحدود می شدند همیشه بزرگ ترین ریاضی دانان و فیلسوفان را، از یونان باستان تا به حال، به زحمت می انداختند و هراسی را که دامن گیر آن ها می کردند کمتر از هراس تریسترام نبود. مثلاً، گالیله دریافت که تعداد اعداد صحیح نامحدود است؛ یعنی تعداد این اعداد، روی هم، بزرگ تر از هر عدد متناهی است که بتوان ذکر کرد. او همچنین دریافت که تعداد اعداد صحیح زوج هم نامحدود (نامتناهی) است. از خود پرسید که کدام یک از این دو مجموعه نامحدود از دیگری بزرگ تر است؟ از یک طرف به نظر می رسد که مجموعه نخست بزرگ تر باشد، زیرا تمام اعداد مجموعه دوم به علاوه بسیاری اعداد دیگر [یعنی عددهای فرد] را هم شامل می شود. از طرف دیگر، در برابر هر عددی در مجموعه اول، دقیقاً یک عدد متناظر با آن در مجموعه دوم وجود دارد، چندان که مثلاً 5 در مجموعه اول متناظر با 10 در مجموعه دوم است. همچنین، در برابر هر عدد در مجموعه دوم هم دقیقاً یک عدد متناظر در مجموعه دوم وجود دارد، چندان که 10 از مجموعه دوم متناظر با 5 در مجموعه اول است. با توجه به این « تناظر یک به یک» بین عضوهای این دو مجموعه، باید تعداد عضوهای مجموعه اول برابر با تعداد عضوهای مجموعه دوم باشد. گالیله نتیجه گرفت که مقایسه کمیت های نامحدود ممکن نیست و تأمل بیشتری در این مبحث نکرد. او می گوید: « نامحدود بودن [بی نهایت] و تقسیم ناپذیری، در ماهیتشان چنان اند که برای ما قابل درک نیستند.» لایبنیتز نیز روی این مسئله کار می کرد و نتیجه گرفت که تصور تعداد اعداد صحیح در خود تناقض دارد و باید آن را رد کرد.
چند سالی پیش از آن که سرانجام حمله ای موفق به مسئله بی نهایت (نامحدود، نامعین) صورت گیرد، کارل فریدریش گاوس، ریاضی دان توانای قرن نوزدهم، هراس از کمیت های نامحدود را به این صورت بیان کرد: « من با استفاده از قدرهای نامحدود.. که هرگز در ریاضیات قابل درک نیستند، مخالفم».
گرچه بسیاری از ریاضی دانان از تفکر بر سر مقادیر نامحدودی دست شستند یا حتی منکر آن شدند، ریاضیات تا میانه قرن نوزدهم به مرحله ای رسیده بود که دیگر نمی توانست از این مفهوم صرف نظر کند. در فاصله سال های 1600 تا 1850 ریاضیات گام های بلندی برداشته بود. در این دوره که زمانه دلاوری ها بود، ماجراجویان بزرگ اندیشه از ورطه مشکلات خیزهای بلندی را به سوی هدف هایی که نبوغ و دوراندیشی آن ها می نمود، برداشته بودند. سراسیمگان شتاب زده انتظار داشتند که دیگران پل های لازم را در حمایت از گام های پیموده شده متفکران محتاط تری بر پا دارند که خود دنباله روی آن ها بودند؟
اما این پل ها به آسانی بر پا نشدند. تلاش برای پر کردن شکاف هایی که از عصر دلاوری ها بر جای مانده بود، به دلیل پارادوکس ها، تناقض ها، و باز هم پارادوکس ها عقیم مانده بود. بدین سان، برای اندیشه های نقاد و موشکاف نیازی گریز ناپذیر به تخیل و جسارتی از نوع دیگر پدید آمد؛ از آن نوع که بتواند از شهود و «عقل سلیم» (خرد عام) صرف نظر و حتی به ورای آن سفر کرد. سرانجام این نیاز برآورده شد. هرچند نه پژوهشگران محتاط و نه سراسیمگان هیجان زده نمی توانستند شگفتی و عمق آنچه از بن بست گشایی این تلاش های نقادانه پدید می آمد، پیش بینی کنند.
گئورگ کانتور (2) نخستین حمله موفق به مسائل بی نهایت را طراحی کرد. پدرش اصرار داشت که او مهندسی بیاموزد که حرفه ای پرسودتر از معلمی بود و کانتور با این شغل زمینی آغاز کرد، ولی به مجردترین قلمروهای ریاضی رسید که زندگی اش نیز در کنار آن ها پایان یافت. با کارهای وی همان برخوردی را کردند که معمولاً با کارهای بکر و مبتکرانه می کنند- به سکوت برگزار کردن، تمسخر و حتی سوء استفاده. لئوپولد کرونکر (3)، یکی از ریاضی دانان همکار او، شریرانه بر این اثر حمله کرد. حمله ملایم تر را، که نمونه بارز و واقعی واکنش هایی است که به کار کانتور نشان دادند، هانری پوانکاره (مشهورترین ریاضی دان اواخر قرن نوزدهم) در 1908 کرد: « نسل های بعدی کتاب نظریه مجموعه ها (4) [اثر کانتور] را چون بیماری ای خواهند دید که از شر آن نجات یافته اند.» این را هم نباید از یاد برد که ریاضی دانان هم در بسیاری از اوقات بی منطق اند و تنگ نظر، و چون بسیاری از آدم ها بی انصاف؛ مثل همه تنگ نظران آن ها نیز در پس پرده راه های تثبیت شده تفکر پناه می گیرند و در همان حال بر کسانی که قاب های کهنه و فرسوده را می درند، اتهام دیوانگی می بندند. حمله در واقع ناجوانمردانه ای که به کار کانتور شد آن چنان شدید بود که سرانجام خود او نیز نسبت به کار خود تردید و دودلی پیدا کرد و به مرور او را هر چه افسرده خاطرتر کرد و این افسردگی تا آن جا پیش رفت که سرانجام او را به انحطاط عقلی و دیوانگی دچار کرد.
معنای ناآشنا و غریب منطق کانتور در سال های پایانی زندگی اش (او در سال 1918 مرد) سرانجام از جانب برخی از همکارانش به رسمیت شناخته شد. درمقابل جمله پوانکاره که در بالا نقل شد، می توان سخن داوید هیلبرت، بزرگ ترین ریاضی دان قرن بیستم، را آورد که« هیچ کس نمی تواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان آفریده است، بیرون کند». امروزه، گسترده مقبولیت آفریده کانتور آن چنان عظیم و کامل است که بسیاری از ریاضی دانان ژرف اندیش با کمال میل مایل اند زندگی خود را صرف حل کردن مسائلی کنند که از قبول کار کانتور نتیجه می شود.
حال ببینیم که کانتور چگونه به حل مسئله کمیت های نامتناهی اقدام کرد. معروف ترین مجموعه های نامتناهی عبارت اند از مجموعه عددهای صحیح، مجموعه عددهای کسری و مجموعه عددهای حقیقی؛ یعنی اعداد صحیح، کسر و اعداد گنگی چون
به دست آوردن تعداد شیء ها (5) در چنین مجموعه هایی از طریق شمارش غیر ممکن است، زیرا روند شمارش نهایتی ندارد. از سوی دیگر، این که آن ها را نامحدود (بی نهایت) بنامیم چندان روشن کننده ابهام آن ها نیست، زیرا همه آنچه چنین تعبیری می گوید این است که آن ها محدود (متناهی) نیستند. چنین توصیفی تقریباً همان قدر اطلاعات در خود دارد که جمله « پتیکانتروپوس ارکتوس گاو نیست.» در صورت امکان، باید به این مسئله که در مجموعه های نامتناهی چند شیء وجود دارد، پاسخی اثباتی بدهیم.البته کانتور فهمید که شمار شیء ها در یک مجموعه نامتناهی را نمی توان از طریق شمارش به دست آورد. او همچنین اهمیت عمیق تر مشاهده ظاهراً سطحی دیگری را نیز دریافت. فرض کنید که دو دسته شیء داریم؛ به طوری که هر یک شیء در دسته اول یک و تنها یک متناظر در دسته دوم دارد و برعکس. مثلاً فرض کنید که بک جوخه سرباز که هر یک تفنگی دارد از مقابل ما می گذرد؛ در این حال تناظری دقیقاً شبیه به آنچه گفتیم بین سربازها و تفنگ ها وجود دارد. رابطه بین این دو دسته، مثلاً تفنگ ها و سربازها، در زبان فنی ریاضی با عبارت « تناظر یک به یک» بیان می شود. بدیهی است که وقتی دو دسته تناظر یک به یک داشته باشند، باید تعداد اعضای برابری داشته باشند. به علاوه، برای رسیدن به این نتیجه که تعداد اعضای دو دسته برابر است، هیچ لازم نیست که آن دو دسته را بشماریم.
نبوغ عظیم کانتور در درک اهمیت اصل تناظر یک به یک و جسارت او در پیگیری نتایج حاصل از قبول این اصل نهفته است. به اعتقاد کانتور، « اگر بتوان بین دو دسته نامحدود تناظر یک به یک برقرار کرد، تعداد شیء ها در آن ها برابر خواهد بود.» مثلاً دسته (یا مجموعه) اعداد صحیح مثبت را در نظر بگیرید
... 6 5 4 3 2 1
و نیز دسته معکوس اعداد یاد شده را
.... 1بین این دو دسته تناظر یک به یک وجود دارد که به واسطه آن هر عدد در دسته اول با یک و تنها یک عدد در دسته دوم، یعنی دسته اعداد معکوس، رابطه تناظری دارد. بنابراین تعداد شیء هایی که در این دو دسته وجود دارد برابر خواهد بود. کانتور تعدادی را که معرف کمیّت چیزها در این دسته های ویژه است با
(الف صفر) نشان داد. الف صفر یک عدد ترامتناهی [ترانسفینیت] (6) نامیده می شود.اگر بگوییم که تعداد اعداد صحیح مثبت، درست مثل تعداد هر مجموعه از شیء هایی که با اعداد صحیح مثبت تناظر یک به یک دارد،
است، به نظر نمی رسد که پاسخی به این سوال اساسی داده باشیم که: در هر یک از این مجموعه ها چند عضو وجود دارد؟خواننده ممکن است بگوید که
در ذهن او بیگانه ای بیش نیست و هیچ اطلاعی در مورد تعداد اعداد صحیح مثبت به او نمی دهد. این اعتراض وارد نیست. این عدد
همان قدر اطلاعات در خود دارد که عددیک بیلیون بیلیون. این عدد اخیر چیزی بیش از یک نماد نیست که معرف کمیت شیء ها در مجموعه ای خاص است؛ درست همان طور که
نماینده تعداد اعداد صحیح مثبت است.البته ممکن است خواننده به سرعت جواب بدهد که می تواند یک بیلیون چیزی را که در مجموعه ای وجود دارد بشمارد، اما نمی تواند
چیز را بشمارد. مشکل در این جا این است که عدد قبلی معنایی برای او دارد؛ در حالی که « عدد» اخیر معنایی در ذهن او ایجاد نمی کند. این تمایز گرچه درست است، اهمیتی ندارد. چه کسی توانسته است یک بیلیون بیلیون چیز را بشمارد؟ البته، نظراً (علی الاصول) این کار میسر است، اما نظراً این هم میسر است که به مجموعه هایی بی نهایت شیء عددی را نسبت دهیم و، درست همان طور که شناخت (7) از دو مجموعه متفاوت که هر یک از آن ها یک بلیون بلیون چیز را شامل می شود شناخت یا معرفتی است معین و باارزش، دانستن این که دو مجموعه نامحدود که تعداد شیء های هر کدام برابر است نیز شناختی معین و باارزشی است- در واقع، همان طور که خواهیم دید، شاید این شناخت با ارزش تر از دانستن شمار یک بلیون بلیون باشد.دلیلی که به نفع تعریف کانتور وجود دارد از این هم قوی تر است.
همان قدر معنی دارد که خودِ مثلاً عدد سه. عدد سه از آن رو معنایی در ذهن ما ایجاد می کند که در برخورد با آن به سهولت گروهی (یا مجموعه ای) از چیزهایی را که این عدد معرّف کمیت آن است به یاد می آوریم. حال آن که از نظر طفلی که شمارش را می آموزد، این عدد هیچ معنایی ندارد. اما، همان طور که طفل معنای عدد سه را در ارتباط دادن آن با سه انگشت یه سه سیب می فهمد، شخص بالغ نیز می تواند مفهوم 
را با در نظر گرفتن مجموعه ای که 
چیز وجود دارد درک کند. نظریه کانتور به او امکان می دهد تا دریابد که این مجموعه ها کدام مجموعه ها هستند.حال بهتر است، با در نظر داشتن تعریف کانتور، بار دیگر به مشکلی بپردازیم که گالیله را گیج کرده بود، و مانع از آن شده بود که او درباره کمیت های نامتناهی بیندیشد. به یاد دارید که گالیله تناظر یک به یک بین مجموعه اعداد صحیح مثبت و مجموعه اعداد صحیح « زوج» مثبت را تشخیص داده، ولی نتوانسته بود این نکته را با این واقعیت که مجموعه نخست شامل تمامی عضوهای مجموعه دوم به علاوه بسیاری عضوهای دیگر، یعنی اعداد فرد مثبت، می شود، تطبیق دهد.
راه حلی که کانتور برای این معما ارائه می کند از این قرار است که می گوید مجموعه اعداد صحیح مثبت و مجموعه اعداد زوج مثبت « هر دو»
تا شیء دارند، هرچند عضوهای مجموعه دوم در مجموعه اول وجود دارد. تعداد عددهای درست و تعداد عددهای درست زوج برابر است، زیرا این دو مجموعه اعداد تناظر یک به یک دارند.آیا بی معنی نیست که تعداد اعضای مجموعه اعداد صحیح مثبت برابر با تعداد اعضای مجموعه اعداد صحیح مثبت باشد؟ در این صورت، اگر تناظر یک به یک را اساس تصمیم گیری بر سر تساوی عددی (8) مجموعه های نامحدود بپذیریم، باید قبول کنیم این اساس معنایی ندارد. ظاهراً چنین اساسی ما را به تناقضاتی می کشاند که تمامی استدلال ما را بی معنا می کند. در این جا هضم مطلب سخت است و با واقعیت حیرت انگیز روبه روییم. در فهم کانتور از اعداد نامتناهی هیچ مشکل منطقی وجود ندارد. این که می گوییم احمقانه و بی معنی است که تعداد اعضای مجموعه اعداد صحیح زوج مثبت با تعداد اعضای مجموعه اعداد صحیح مثبت برابر باشد صرفاً عادت فکر ماست که درنتیجه کار با مجموعه های متناهی یا محدود شیءها پدید آمده است. اما این طرز فکر که در رابطه با مجموعه های «محدود»(متناهی) به کار می آید و در خدمت این جا هم یک بار دیگر در تاریخ ریاضیات تناقض بین منطق و تفکر سنتی را می بینیم و باز هم با جداشدن راه ها رودروییم. کوتاهی از ریاضی دانان پیش از زمان کانتور بود که درک نکردند باید برخی راه های تفکر مبتنی بر عادت در رابطه با کمیت ها را ترک کنند تا بتوانند مبحث اعداد نامحدود (نامتناهی) را بسط و پرورش دهند. اما اندیشه های نقاد و موشکاف قرن نوزدهم به آسانی پیشینیان خود عقب نشینی نمی کردند.
در واقع، آن ها با مشکلاتی سرشاخ شدند. بر اساس پیشنهاد برنهارد بولتسانو (9)، استاد فلسفه و یکی از پیشگامان ممتاز کانتور در شکل دادن به نظریه مجموعه های نامتناهی، یک مجموعه نامتناهی به مجموعه ای اطلاق می شود که بتواند با بخشی از خود تناظر یک به یک داشته باشد؛ در حالی که یک مجموعه نامتناهی چنین ویژگی را ندارد. به این ترتیب، مجموعه اعداد صحیح مثبت نامتناهی است زیرا بین کل این مجموعه و مجموعه اعداد صحیح زوج، که جزئی از این مجموعه است، تناظر یک به یک وجود دارد.
آیا هر مجموعه نامتناهی می تواند در تناظر یک به یک با مجموعه اعداد صحیح مثبت قرار داده شود؟ به هیچ وجه. مجموعه تمام اعداد بین 1 و 0 را که شامل اعداد کسری و گنگ می شود، نمی توان در تناظر یک به یک با اعداد صحیح مثبت قرار داد. دلیل این امر ساده است، چون می توان نشان داد که هر تناظر یک به یک مفروضی بین مجموعه اعداد صحیح مثبت و مجموعه تمام عددهای بین 0 و 1 به تناقص می انجامد. به هر حال شرح جزئیات چگونگی این تناقص را وامی گذاریم.
از آن جا که مجموعه نامتناهی تمامی اعداد بین 0 و 1 را نمی توان در تناظر یک به یک با اعداد صحیح مثبت قرار دارد، این دو مجموعه از نظر تعداد معادل نیستند. تعداد اعداد بین 0 و 1 با عدد ترامتناهی «C» نموده می شود. به همین نحو، هر مجموعه ای از شیء ها که با تمام اعداد واقع بین 0 و 1 تناظر یک به یک داشته باشد نیز مشتمل بر« C» شیء خواهد بود.
نقاطی که یک پاره خط را تشکیل می دهند مثالی است از مجموعه هایی که «C» شیء در بر دارد. یک خط و نقطه ای ثابت را، مانند O، بر روی این خط در نظر بگیرید. قرار می گذاریم که هر نقطه روی این خط با عددی که نماینده فاصله آن نقطه از O فاصله مثبت و سمت چپ آن فاصله منفی را شامل شود. پس بین اعداد از 0 تا1 و آن نقاط روی خط که این اعداد به آن منسوب اند، تناظری یک به یک وجود دارد و همین نشان می دهد که تعداد این نقطه ها برابر با «C» است.
به این ترتیب، ما «C» را به عنوان تعداد اعداد حقیقی بین 0 و 1 تعریف کرده ایم. این مجموعه با تمامی اعداد حقیقی مثبت تناظر یک به یک دارد. ما این واقعیت را از طریق روش های هندسی ثابت خواهیم کرد مجموعه اعداد حقیقی خود با مجموعه نقاط روی یک خط، مثل محور X که در هندسه مختصاتی استفاده می شود، تناظر یک به یک دارد. حال، در نظر بگیرید که نقاط روی خط L (شکل 1) و واقع در طرف راست نقطه O، نماینده تمام اعداد حقیقی مثبت باشد و OA را واحد طول در نظر بگیرید؛ به طوری که نقاط واقع بر آن با اعداد حقیقی واقع بین 0 و 1 تناظر یک به یک داشته باشد.
به دست بیاید. با توجه به تناظری که از طریق این طرز ترسیم تعیین شده، هر نقطه مانند P در جایی بر L و در سمت راستO با یک و تنها یک نقطه
بر OA متناظر است؛ یعنی اگر، برعکس، با نقطه ای مانند
که روی OA است شروع و عمودی بر OA در 
رسم کنیم، این عمود OB را در نقطه Q قطع خواهد کرد. سپس CQ را رسم می کنیم و هر جا که CQ خط L را قطع کند، نقطه P را که متناظر
است به دست آورده ایم. از آن جا که نقاط تشکیل دهنده OA با تمام نقاط سمت راست نقطه Q، بر روی خط L، تناظر یک به یک دارند، تعداد نقاط روی OA و نیز روی تمام نیم خط L برابر با «C» است. به زبان حساب، مجموعه اعداد حقیقی مثبت با مجموعه اعداد حقیقی بین 0 تا 1 تناظر یک به یک دارد و، از این رو، تعداد اعداد حقیقی مثبت برابر «C» است.تعداد نقاط بر یک پاره خط و تعداد نقاط روی تمام یک نیم خط، علی رغم این واقعیت که طول دومی نامحدود است و اولی تنها یک واحد طول به شمار می آید، برابر است. در واقع OA می تواند دو واحد یا هر شماره « معین» واحد طول را شامل شود، ولی این درنتیجه ای که گرفته ایم تأثیری ندارد. پس تعداد نقاط روی هر پاره خطی همیشه « C» است.
این نتیجه گیری نیز به نظر می رسد نظیر دیگر نتایجی که پیش تر ثابت شدند درک شهودی ما را می آزارد. اما به چه حقی ما انتظار داریم در پاره خط بزرگ تر از این دو پاره خط تعداد نقطه بیشتری وجود داشته باشد؟ کدام شناخت دقیق از نقطه و خط مدافع چنین توقعی است؟ در هندسه اقلیدسی لازم نیست که هر پاره خط تعداد نقطه معینی داشته باشد، زیرا بر اساس این هندسه هر پاره خطی را، هر قدر هم که کوچک باشد، می توان نصف کرد؛ اما این هندسه چیزی راجع به تعداد نقطه بر یک پاره خط نمی گوید. بر اساس نظریه کانتور این شناخت را پیدا می کنیم که « تعداد نقاط هر دو پاره خطی، صرف نظر از طولشان، با هم برابر است». این نتیجه گیری نه تنها منطقاً درست است، بلکه امکان پاسخ دادن به پرسش هایی گیج کننده در رابطه با ماهیت فضا (مکان)، زمان و حرکت را به ما می دهد که دو هزار سال فلاسفه را درمانده کرده بود.
شهود ما از زمان و مکان این فکر را القا می کند که هر طول و هر فاصله زمانی را، هر قدر هم کوچک باشد، باز هم می توان تقسیم کرد. فرمول بندی ریاضی مفاهیم این ویژگی را به حساب می آورد. مثلاً هر پاره خط را می توان با روش ترسیمی دقیق اقلیدس به دو قسمت کاملاً مساوی تقسیم کرد. خط ریاضی ویژگی های دیگری نیز دارد: هر طول- یعنی خط- از نقطه ها تشکیل شده است و نقطه هیچ بُعدی ندارد. از این گذشته، ارتباط این نقطه ها با یکدیگر مانند ارتباط عددها در نظام اعداد است. توجه کنید که بین هر دو عددی بی نهایت عدد دیگر وجود دارد؛ مثلا، بین 1 و 2 اعداد
و همین طور تا آخر. به همین نحو، بین هر دو عدد بر یک خط، تعداد نامحدودی نقطه دیگر هست. به همین ترتیب، زمان به مفهوم ریاضی از لحظه ها (آن ها) تشکیل شده است که هیچ کدام از آن ها دیرند یا تداوم (10) ندارد و همچون عددها در نظام اعداد از پی یکدیگر می آیند. پس ساعت دوازده یک لحظه است و هر شمار از ثانیه های پس از ساعت دوازده لحظه ای متناظر با خود دارد که می توانیم آن را درک کنیم. بنابراین، این نکته که شمار نامحدودی بین هر دو لحظه ای وجود دارد، در مورد لحظه ها نیز همچون نقطه های روی یک خط درست است.در این مفهوم های ریاضی از طول (مکان) و زمان مشکلاتی وجود دارد که نخستین بار فیلسوف یونانی، زنون (11)، آن ها را یادآور شد و ما اینک می توانیم این مشکلات را با استفاده از نظریه مجموعه های بی نهایت (نامحدود) حل کنیم. اجازه دهید پارادوکس آشیل (اخیلس) و لاک پشت زنون را به صورتی که برتراند راسل مطرح کرده است در نظر بگیریم.
قرار است آشیل و لاک پشت مسابقه دویی برگزار کنند که در آن لاک پشت کندپا اجازه دارد از مسافتی جلوتر از نقطه شروع آشیل حرکت را آغاز کند. پایان مسابقه وقتی است که آشیل از لاک پشت جلو بیفتد. در هر لحظه از مسابقه، آشیل و لاک پشت در نقطه ای از مسیر خود هستند و هیچ یک از آن ها دو بار در یک نقطه نخواهد بود. به این ترتیب، چون تعداد لحظه های مسابقه برای هر دو آن ها برابر است، لاک پشت از همان تعداد نقاطی می گذرد که آشیل. از طرف دیگر، آشیل به شرطی برنده خواهد شد که از تعداد نقاط بیشتری نسبت به لاک پشت بگذرد، زیرا باید مسافت بیشتری را طی کند. پس، آشیل هرگز نمی تواند از لاک پشت جلو بیفتد.
بخشی از این استدلال درست است. باید قبول کنیم که لاک پشت از لحظه شروع مسابقه تا پایان از نقاط بسیاری، همچون آشیل گذشته است، زیرا در هر لحظه از مدت زمانی که در طی آن مسابقه داده اند هر کدام دقیقاً یک جایگاه را اشغال می کند. پس تناظری یک به یک بین مجموعه نامحدود نقاطی که لاک پشت و مجموعه نامحدود نقاطی که آشیل پیموده است وجود دارد. اما، حکم به این که چون آشیل باید مسافت بیشتری را طی کند تا از لاک پشت مسابقه را ببرد، درست نیست؛ زیرا، همان طور که می دانیم، تعداد نقاط روی پاره خطی که آشیل باید برای برنده شدن بپیماید، به اندازه تعداد نقاط پاره خطی است که لاک پشت باید بپیماید. باز هم، باید توجه داشته باشیم که نقطه های روی پاره خط ربطی به طول آن ندارد. نظریه مجموعه های نامتناهی کانتور، در این جا هم، مسئله را حل می کند و نظریه ریاضی ما را از زمان و مکان نجات می دهد. زنون در نبرد علیه تقسیم پذیری نامحدود زمان و مکان، با مطرح کردن پارادوکس های دیگر، مخالفانش را مغلوب کرد و تنها امروزه است که می توان، بنا بر برداشت های جدید از زمان و مکان و نظریه مجموعه های نامتناهی، پاسخی قانع کننده به آن ها داد. به پیکانی ضمن پرتاب به طرف هدفی دقت کنید. این تیر در هر لحظه جایگاه مشخص و معینی دارد. زنون می گوید « درست در لحظه بعد» پیکان در جایی دیگر است. چه هنگام پیکان از یک جایگاه به جایگاه دیگر می رود؟
چگونه تیر درست لحظه بعدی به جایگاه جدید می رسد؟ پاسخ این است که لحظه بعدی وجود ندارد؛ در حالی که مسئله فرض می کند وجود دارد. لحظه ها از پی هم همچنان می آیند که اعداد نظام اعداد و، درست همان طور که عدد بزرگ تر بلافاصله بعد از 2 تا
وجود ندارد، از هر لحظه ای که در نظر بگیریم، لحظه بعدی ای وجود ندارد. بین هر دو لحظه ای شماری نامحدود از لحظات حدواسط وجود دارد.اما، این تبیین تنها کاری که می کند این است که مشکلی را به جای مشکلی دیگر می نشاند. پیش از آن که پیکانی از یک جا جدا شده و به جایی در مجاورت آن برسد، باید از تعداد نامحدودی جا در فاصله بین دو جا بگذرد که هر جا متناظر با هر یک از بی نهایت لحظه حدواسط است. چگونه تیر می تواند به آن جای مجاور برسد، وقتی که باید از شمار نامحدودی جای واقع بین دو جا بگذرد؟ پاسخ به این پرسش نیز مشکلی به حساب نمی آید. یک جسم برای پیمودن یک واحد طول باید از تعداد نامحدودی جا بگذرد، اما زمان پیمودن این تعداد می تواند بیش از یک ثانیه نباشد؛ چرا که حتی در یک ثانیه هم تعداد نامحدودی لحظه وجود دارد.
هر چند در مورد حرکت تیر مشکل بزرگ تری وجود دارد. نوک پیکان در هر لحظه از حرکت خود جای معینی را اشغال می کند. درست در آن لحظه که این جا اشغال می شود، پیکان نمی تواند حرکت کند؛ زیرا لحظه هیچ دیرند یا تداومی ندارد. پس، در هر لحظه، پیکان در حال سکون است. از آن جا که این نکته در رابطه با هر لحظه از حرکت پیکان صحت دارد؛ پیکان متحرک همواره در حال سکون است. این پارادوکس اصولاً تکان دهنده است؛ تا حدی که به نظر می رسد به خود منطق نیز اعتنایی ندارد.
نظریه جدید مجموعه های نامحدود راه حلی به همین اندازه تکان دهنده را امکان پذیر می کند. حرکت، تسلسلی از سکون هاست. حرکت چیزی نیست جر تناظر بین جاها و لحظه ها که هر کدام مجموعه ای نامحدود تشکیل می دهند. در هر لحظه ای که طی آن جسم در حال « حرکت» است، جای معینی را اشغال می کند و می توان گفت که جسم در حال سکون است.
آیا این مفهوم ریاضی از حرکت درک ما را از پدیده فیزیکی حرکت برآورده می کند؟ آیا شهود ما دال بر آن نیست که حرکت چیزی بیشتر از قرار یک جسم در لحظه های مختلف در جایگاه های متفاوت است؟ در این جا نیز درک شهودی ما نمی تواند زیاد مطمئن باشد. یک فیلم سینمایی چیزی بیش از یک رشته تصاویر ثابت بر یک پرده نیست که با میزان شانزده تصویر در هر ثانیه از مقابل چشم می گذرد؛ یعنی فیلم سینمایی تشکیل شده است از تصاویر بی حرکتی که با آن قدر سرعتی به چشم نموده می شود که خیال کاذب حرکت را ایجاد می کنند. پس، این حرکت چیزی بیش از تسلسلی از سکون ها نیست. نظریه ریاضی حرکت از لحاظ شهودی برای ما قانع کننده تر است، چون به وقوع تعداد محدودی « سکون» در هر فاصله زمانی امکان می دهد. از آن جا که این مفهوم حرکت پارادوکس ها را نیز پاسخ می گوید، باید کاملاً پذیرفتنی باشد.
جبر اعداد ترامتناهی نیز ویژگی های جالبی دارد که در حل مشکلات دیگری از ایده مان راجع به زمان و مکان به ما کمک می کند. به دو مجموعه زیر توجه کنید:
......... 7 6 5 4 3 2 1 (الف)
........ 12 11 10 9 8 7 6 (ب)
به وضوح معلوم است که این دو مجموعه تناظر یک به یک دارند، زیرا به ازای هر عدد در مجموعه (الف) عددی در مجموعه (ب) وجود دارد و برعکس. پس، تعداد شیء های این دو مجموعه با هم برابرند. این تعداد
است، زیرا این عدد تعداد عددهای صحیح مثبت است، هر چند از طرف دیگر بدیهی است که مجموعه دوم تعداد 5 تا کمتر از مجموعه اول شیء در بردارد، یعنی:
نکته کنجکاوی برانگیزی را که معادله (1) نشان می دهد (یعنی این که اگر ما عددی متناهی را از کمیتی نامتناهی کم کنیم، همچنان کمیتی نامحدود در اختیار داریم)، لوکریتوسِ (12) رومی به نحوی که، هر چند به این ایجاز نیست، گویاتر است، بیان کرده است:هر قدر که می خواهید زاد و ولد کنید. با تمام این ها مرگ جاودانه در انتظار شماست، و نه چندان زمان درازی طول بکشد که آن ها امروز را با پایان دادن به زندگی خود آغاز کند، بیش از آن کس وجود نخواهد داشت که ماه ها و سال ها پیش مرده است.
از آن جا که مجموعه اعداد صحیح مثبت را می توان در تناظر یک به یک با مجموعه اعداد صحیح زوج مثبت قرار داد و نیز از آنجا که تعداد اعداد صحیح زوج مثبت برابر با اعداد صحیح فرد مثبت است، شمار این اعداد صحیح فرد درست مثل شمار آن اعداد صحیح زوج
خواهد بود. اما مجموعه اعداد صحیح مثبت دقیقاً به اندازه مجموعه اعداد صحیح زوج و اعداد صحیح فرد است. این مجموعه های دوم
شیء (عضو) دارند؛ در حالی که مجموعه اعداد صحیح مثبت
عضو دارد. پس: 
برای حل مشکل ترایسترام شندی، اگر جداً مشکلی ایجاد شده باشد، می توانیم از معادله (2) استفاده کنیم. مشکل تریسترام این بود که در طول یک رو تنها می توانست نصف روز از زندگی اش را بنگارد؛ به طوری که ظاهراً حتی اگر تا سالیانی به شمار نامعین زندگی می کرد، نمی توانست بیش از نیمی از زندگی خود را ثبت می کرد. از طرف دیگر، این نکته را به وضوح می دانست که اگر تا ابد زندگی کند، سرانجام روزی تمام زندگی اش را ثبت می کرد. نظریه ریاضی کمیت های نامحدود مدافع این استدلال اخیر است. اگر او به اندازه
و، از این رو، ترایسترام می تواند این نیک بختی را داشته باشد که شرح حال خود را کامل کند.معادلاتی چون (1) و (2) که شامل
هستند از آن رو به نظر ما درست نمی آیند که عادت کرده ایم بر حسب آنچه در رابطه با اعداد متناهی معتبر است، بیندیشیم. با این حال، این چیزی غیر منطقی نیست. لزومی ندارد ویژگی هایی که اعداد متناهی دارند اعداد ترامتناهی نیز داشته باشند و برعکس. منطق این جمله با منطق این گفته تفاوتی ندارد که چون گربه و سگ هر دو حیواناتی چهار پا هستند، حکمی وجود ندارد که درباره گربه ها درست باشد و درباره سگ ها درست نباشد.طرح مختصری که از نقش کانتور در مطالعه کمیت های نامحدود ارائه کردیم پاره ای از نتایج پرارزشی را که نظریه او به آن منجر شده است، نشان می دهد. اما مبحث سر دیگری نیز دارد که شایسته توجه است.
مفهوم بنیادی در مطالعه کمیتهای نامحدود، مفهوم یک گروه یا رده، یا مجموعه همچون مجموعه ای از اعداد، مجموعه ای نقطه های یک خط و مجموعه ای از لحظات زمان است. متأسفانه این مفهوم اساسی و ظاهراً ساده مشکلات بسیاری در خود دارد که تاکنون به آن توجه نکرده ایم. بهتر است برای این ادعای خود مثال هایی بیاوریم.
مثال نخست ما موردی کلاسیک است. این مثال در متون کهن از جمله « عهد جدید» به شکل های مختلف ظاهر شده است. در رساله قدیس بولس حواری، خطاب به تیتوس، در مورد کرتی ها آمده است: « یکی از خود آنان، حتی پیامبری از خودشان، گفته است که اهل کرت همیشه دروغ گو، شیطان صفت، و موذی اند. این گواه بر حق است». توهینی که در این جا به اهالی کرت شده، به طور کلی، در چنین قالبی ابراز شده است که « اپیمنیدس (13) کرتی می گوید که مردم کرت همیشه دروغ می گویند.» ولی اگر اپیمنیدس درست بگوید، او یک حقیقت را گزارش کرده است و بنابر این حقیقت ندارد که مردم کرت همیشه دروغ می گویند. از طرف دیگر، طبق اظهار خود اپیمنیدس او یک کرتی است و بنا به اظهار خودش، چون کرتی است، دروغ گوست؛ پس این گفته اش هم که کرتی ها دروغ می گویند، نیز یک دروغ است. در هر حال، اپیمنیدس به تناقص دچار شده است. ظاهراً، او نمی تواند منطقاً اظهار کند که همه کرتی ها دروغ گویند؛ حتی اگر مطلب از همین قرار باشد، منطق دهان او را می بندد.
حالا به داستان ریش تراش شریف روستا گوش کنید که در آگهی اش با کمال غرور ادعاکرده که گرچه ریش کسانی که خود ریش خودشان را می تراشند نمی تراشد، ریش تمام کسانی را که خود ریش خودشان را نمی تراشند می تراشد. روزی، در حالی که داشت صورتش را صابون می زد، ناگهان به این فکر افتاد که آیا او خودش ریش خودش را می تراشد یا نه. اگر چنین باشد او از جمله کسانی خواهد بود که خودشان ریش خود را می تراشند؛ پس، او طبق آگهی خودش نباید ریش خودش را بتراشد. از طرف دیگر، اگر او خود ریش خودش را نتراشد، آگهی خود او اعلام می کند که او چنین می کند. خلاصه این که، اگر او ریش خود را بتراشد، نباید چنین کند و اگر ریش خودش را نتراشد، او این کار را می کند. بیچاره ریش تراش گروهی از مردم را تعیین کرده بود که خود او را هم شامل می شود و هم نمی شود. متأسفانه ما باید ریش تراشمان را به صورت صابون زده و تیغ حیرانی به دست رها کنیم تا خود راهی برای گریز از مخمصه ای بیابد که آفریده است.
مشکلی از این قبیل را می توان در مثال نسبتاً جالب زیر یافت. واژه « تک سیلابی» تک سیلابی نیست؛ در حالی که کلمه « چند سیلابی» چند سیلابی است. کلمه « تک سیلابی» خودش را توصیف نمی کند؛ حال آن که کلمه « چند سیلابی» چنین نیست. بد نیست توافق کنیم تمامی کلماتی را که مثل کلمه « تک سیلابی» نمی توانند خودشان را توصیف کنند، نامتجانس بنامیم. به این ترتیب، می توانیم بگوییم که هر واژه همچون X نامتجانس است؛ در صورتی که X خودش X نباشد. اما فرض کنید که x نامتجانس است. در این صورت ما داریم چنین می گوییم که واژه « نامتجانس»، نامتجانس است اگر خودِ «نامتجانس» نامتجانس نباشد. به عبارت دیگر، داریم می گوییم که چیزی، چیزی است، اگر خود آن، آن چیز نباشد. تقریباً تمام مطلبی که در این حال می توان گفت این است که نکته ای در این جا غلط است.
در تمامی این پارادوکس ها، رده (یا مجموعه) متمایزی از چیزها وجود دارد: مجموعه کرتی ها، مجموعه کسانی که بناست ریش آنها تراشیده شود و مجموعه کلمات نامتجانس. تحلیل این مثال ها نشان می دهد که جمله هایی که درباره این مجموعه ها هستند در خود تناقض دارند. ولی این دقیقاً همان مشکلاتی است که کانتور با به کار گرفتن مفهوم مجموعه به قلمرو ریاضیات وارد کرده است. پس عجیب نیست که کار او توفانی از نقد و خرده گیری برانگیخت و موضوع مباحثات خشمگینانه ای شد.
ابراز این مطلب دردناک است که مشکلات کاملاً برطرف نشده اند. از آن جا که این مشکلات مسائلی را شامل می شوند که در مرز منطق و ریاضیات قرار دارند، هر یک از چند رهیافت متفاوتی که نسبت به این دو مبحث وجود دارد مدعی درستیِ نحوه برخورد خود هستند؛ هر چند هیچ یک از این رهیافت ها تاکنون خرسند کننده از آب در نیامده است. ریاضی دانان امروزه به مکاتب فکری مختلف تقسیم شده اند و هر یک از فلسفه ای که از بنیادهای ریاضیات ساخته و پرداخته است دفاع می کند.
این نکته را باید افزود که همه ریاضی دانان به تردید ننشسته اند. از این گذشته، لزومی نیست که حتی آن بخش هایی که موضوع مناقشه و جدل اند، حتی به صورتی موقت کنار گذاشته شوند. خوشبختانه برای این بخش ها مجوزهای پراگماتیستی ای در اختیار داریم. درست همان طور که درستی حساب دیفرانسیل و انتگرال در تمام آن دورانی که برای تولید قوانین با عظمت از آن استفاده می شود مورد تردید بود، امروزه نیز این قضایای مشکوک عملاً به کار می روند و بسیار مفید از کار در آمده اند. تاریخ حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز پشتوانه ای دلگرم کننده است؛ زیرا، درست همان طور که مشکلات آن سرانجام حل شدند، می توان انتظار حل مشکلات نظریه مورد بحث را نیز داشت.
این تردیدها حداقل به ریاضیدانان فرصت داده است که در کار خود مروری کنند. مور (14)، ریاضی دانِ برجسته امریکایی، با درک این واقعیت که هر عصر مسائل آزارنده ای دارد که آفریده هایش بدان منجر می شوند، گفته است: « به سختی آنچه زمانی آرامش بخش بود، رسیده ایم». دیگر ریاضی دانان بدبینی بیشتری ابراز کرده اند. یک برهان، وقتی به ابهامی می کشد، به ما می گوید که تردید خود را بر کجا متمرکز کنیم؛ در حالی که منطق چیز دیگری می گوید- منطق فن رفتن به راه خطاست، آن هم با کمال اطمینان.
با وجود پارادوکس هایی که کار کانتور به آن ها منجر شد و هنوز باید در انتظار روشن شدن تام و تمام آن ها بود، بسیاری از ریاضی دانان به این باور رسیده اند که وی تنها راه پیشرفت واقعی ممکن را هموار ساخته است. ریاضی دان به کمک بصیرت ها و شهود خود می آفریند و این منطق است که در مرحله بعد پیروزی های شهود را تأیید می کند. این آن پاکیزگی ای است که ریاضیات می کوشد تا به یُمن آن ایده هایش را سالم و سلامت نگه دارد. از این گذشته، کل این ساختار بر زمینه غیر قطعی که درک شهودی انسان است، تکیه دارد. گهگاه این جا و آن جای یک شهود کنده می شود تا ستونی محکم از تفکر در آن جای گیرد؛ هر چند خود این ستون بر شهودی عمیق تر، و شاید نه به این وضوح تعریف شده، تکیه دارد. اگر چه روند جانشین کردن اندیشه های دقیق به جای شهودها آن ماهیت بنیادی را که ریاضیات در نهایت بر آن تکیه دارد تغییر نمی دهد، این روند به بنای ریاضیات استحکام می بخشد.
پارادوکس ها در آنچه شرحش گذشت آن چنان بسیار بوده و هستند که خواننده می تواند نظریه اعداد نامتناهی را نوعی «تفرج» ریاضی محسوب کند. این چیزی است کاملاً متمایز از ارزش داوری بی غرض. آنچه بیشتر به چشم می خورد، این است که چگونه تفکر دقیق در رابطه با محاق یکی از مبهم ترین و لمس ناپذیرترین شهودها به کار رفته است. کانتور، با دقیق کردن تصور کمیت، بدان گونه که در مورد مجموعه های نامحدود به کار رفت، بندهای مشکلات فلسفی ای را گشود که از روزگار ارسطو تا عصر ما ناگشوده باقی مانده بودند.
نظریه اعداد نامتناهی تنها یکی از آفرینش های متفکران نکته سنج قرن نوزدهم است.
مضامین این نظریه کمابیش عجیب و غیر عادی است، اما، به هر حال، هم منطقی است و هم مفید. آفرینش ریاضی، برای مبتدیان شاید از این هم عجیب و غریب تر به نظر رسد. با این حال، آن قدر اعتبار و قدرت داشته که توانسته تفکر ریاضی علمی و فلسفی را زیرورو کند. چنین به نظر می رسد که انگار ریاضی دانان قرن نوزدهم ناچار شدند به مرور هر چه بیشتر از مسیرهای بهنجار تفکر دور شوند تا به ریاضیات آن قدرت و دقتی را ببخشند که نخست یونانیان به آن داده بودند، اما ریاضی دانان قرن هفدهم به خاطر شتاب در همگامی با فعالیت علمی توانایی دیدن آن را از دست دادند.
پی نوشت ها :
1- Tristram Shandy
2- Georg Cantor، ریاضی دان آلمانی (1845- 1918)
3- Leopold Kronecker
4- Mengenlehre
5- objects
6- transfinite number
7- knoweledge
8- numberical equality
9- B. Bolzano، فیلسوف چک (1781- 1848)
10- duration
11- Zeno، زنون الئائی، فیلسوف یونانی (ح 490- ح 430)
12- Lucretius، شاعر و فیلسوف رومی (99- 55؟ ق م)
13- Epimenides، فیلسوف کرتی در قرن هفتم قبل از میلاد
14- Eliakim Hasting Moore، ریاضی دان امریکایی (1862- 1932)
