حرکت شناسي و تبديلات لورنتز

مفروضات حرکت شناسي اينشتيني عبارتند از:

1- اصل نسبيت:

تعداد دستگاههاي مرجع (دستگاه هاي لخت) در حال حرکت نسبي مستقيم الخط يکنواخت، که در آن ها کليه قوانين طبيعت به ساده ترين صورت (در اصل براي فضاي مطلق يا اتر ساکن استخراج شده) ظاهر مي شوند، بينهايت زياد است.

2- اصل ثبات سرعت نور:

سرعت نور، اندازه گرفته شده با مقياسها و ساعتهاي يکسان، در کليه دستگاه هاي لخت داراي اندازه ثابت است.
اينک مسئله عبارت است از استخراج ارتباطهاي بين طولها و زمانها در دستگاههاي لخت مختلف بر اساس دو فرضيه اخير. در اين مورد باز خود را به حرکتهايي محدود مي سازيم که به موازات يک راستاي ثابت فضا، راستاي x، روي مي دهند.
دو شيوه را به کار مي بنديم، اولي مبتني بر نمودارهاي ترسيمي اي است که در پايان بند گذشته مورد استفاده قرار داديم. دومي بيشتر صورت استخراج جبري و ارتباطهاي بين دو دستگاه S و 'S است که با سرعت v نسبت به يکديگر حرکت مي کنند. چنانچه اولي بسيار مفصل و وقت گير به نظر برسد، به شيوه فشرده دوم که به همين حد مستدل است، مي توان قناعت کرد. ارتباطهاي محاسباتي بين مختصات فضا و زمان را در صورتي مي توانيم انجام دهيم که يکاها و ارتباطشان در S و 'S براي ما معلوم باشد. پس روي دو محور 'x و 'ct دستگاه 'S در شکل 2b از مقاله ی مفهوم همزمانی در نسبیت خاص يکاهايي را که با يکاهاي انتخاب شده دستگاه S مطابقت دارند، بايد به دست آوريم. در شکل 1a، فاصله OE از O تا E مقياس آن يکاي طولي را بايستي معرفي کند که در دستگاه S ساکن است. محور ct و خط ترسيم شده از E به موازات اين محور خطوط جهاني دو انتهاي اين مقياس را نشان مي دهند. خط متوازي اخير محور 'x را در 'e قطع مي کند. خطوط جهاني نقاط انتهايي همين مقياس که در 'S ساکن است، عبارتند از محور 'ct و خطي که به موازات آن از 'E واقع بر محور 'x ترسيم مي شود. فاصله يکاي طول را در دستگاه 'S نمايش مي دهد. خط جهاني از 'E محور x را در e قطع مي کند.
از اين پس فاصله هاي و غيره را به اختصار E ، e و غيره مي ناميم.
معناي 'e اين است که: ناظري که در 'S ساکن است و مي خواهد طول مقياس يکا را از 'S اندازه بگيرد، در ضمن همزمان نگريستن به دو انتهاي مقياس، O و 'e را در حکم نقاط انتهايي تلقي مي کند. نکته اساسي همان مشاهده همزمان در دستگاه 'S است، زيرا که يکاي متعلق به S در برابر 'S داراي حرکت نسبي است. از آن جا که يکا در 'S به توسط 'E معلوم است، حاصل اندازه گيري طول عبارت خواهد بود از 'e' / E بخش از يکاي در 'S. پس اگر E يک فاصله منطبق بر 1cm بوده باشد، ناظر واقع در 'S يک طول برابر با e' / E' cm را مشاهده مي کند. چنانچه 'E در دستگاه S اندازه گرفته شود، e به عنوان طول به دست مي آيد و e / E ضريب مربوطه خواهد بود براي اندازه گيري يکاي متعلق به 'S از موضع S.
اينک اين هر دو دستگاه بر اصل نسبيت در مقامهاي متساوي قرار مي گيرند، به اين معنا که کسرهاي 'e' / E و e / E مي بايد متساوي باشند:
(α)
Ee' = E'e يا
دو رابطه ديگر را نيز از ش. 1a به دست مي آوريم: (1)
(β)
b) به منظور محاسبه نسبت
c) تبدیل لورنتز در مورد مختصات یک نقطه جهانی P.
اين سه رابطه ترسيم نقطه 'E را ممکن مي سازد.
يکاي زمان 'Ect در 'S را بر اساس يکاي زمان Ect در S مي توان منطبقاً ترسيم کرد.
به اين ترتيب، مي توانيم مختصات x و t هر نقطه جهاني P متعلق به دستگاه S را به مختصات 'x و 't نقطه P متعلق به دستگاه 'S تبديل کنيم.
در شکل 1c دو دستگاه S و 'S و يکاي طول در آنها E و 'E و نيز پاره خط e، که از شکل 1a شناخته شده، نمايش داده شده است. نقطه P با مختصات 'x، ct' در S، داراي مختصات 'x'، ct در دستگاه 'S است. مختصات در S با يکاي E، و در 'S با يکاي 'E تعريف مي شود به اين معنا که:

به طوري که و 'E پاره خطهايي را به همان صورت که در شکل اندازه گرفته مي شوند معرفي مي کنند، و 'x مختصات را نشان مي دهد، و به همين منوال براي

دو تناسب زيرا را از شکل 1c استنباط مي کنيم:

چنانچه دومي را در اولي قرار دهيم و در ضمن از تساوي (γ) استفاده کنيم، نتيجه زير را به دست مي آوريم:

معادله مشابه براي مختصات زمان عبارت است از:

هر دو تساوي اخير به اضافه مکملهاي y' = y و z' = z (با توجه به اينکه y و z در راستاي قائم بر امتداد حرکت قرار مي گيرند و تغيير نمي کنند) صورت مصطلح تبديل لورنتز را نمايش مي دهند. اين معادلات تبديل امکان مي دهند که مختصات يک نقطه جهاني متعلق به 'S در دستگاه S محاسبه شود. ما اين دستگاه تبديل را به صورت متداول مي نويسيم:
(1a)

اينها درست همان دستورهايي را نمايش مي دهند که لورنتز به راههاي فکري پيچيده از معادلات ماکسول به دست آورد.
اينک به منظور استخراج همين دستگاه تبديل، از شيوه خبري استفاده مي کنيم. فرض مي کنيم يک نقطه جهاني p (با مختصات x، ct در S و با 'ct و 'x در 'S) بر يک خط جهاني معادله 'x' = C قرار گرفته، و اين خط جهاني موضع نقطه اي را ترسيم کند که در مختصات فضايي 'C در 'S بي حرکت بوده باشد. معادله خط جهاني مزبور در S عبارت است از x - vt = c (ش. 1c). اين هر دو معادله خط جهاني واحدي را نمايش مي دهند از تقسيم اين دو معادله بر يکديگر، نتيجه مي شود:

که α مانند C و 'C يک مقدار ثابت واقع بر خط جهاني است. پس تساوي زير برقرار خواهد بود.

اما مي دانيم که دستگاهها همگي بنابر اصل نسبيت کاملاً هم ارزند. از اين رو عين همين استدلال را همچنين براي خط جهاني مي توانيم به کار بنديم که موضع يک نقطه حرکت در S را ترسيم مي کند، ولي تنها با يک تفاوت که سرعت نسبي داراي علامت معکوس خواهد شد. از اين رو x’+vt’ هم بايد با x متناسب باشد، در واقع به علت هم ارز بودن دستگاه با ضريب تناسب يکسان α :

اينک از اين معادله و با کمک معادله قبلي، 't را بر حسب x و t مي توان معرفي کرد؛ به اين صورت که

و در نهايت

هرگاه x و t مشخص باشند، 'x و 't را با کمک معادله اخير به اضافه نخستين معادله مي توان محاسبه کرد. ولي ضريب تناسب α هنوز در اين ميان نامعين است؛ اين ضريب بايد به طوري انتخاب شود که اصل ثبات سرعت نور محفوظ بماند.
براي آنکه از فايده اين اصل بهره مند شويم، فرض مي کنيم که يک پرتو نور از منشاء اصلي دستگاهها صادر شود. اينک خط جهاني نور، به علت ثبات سرعت نور، در دو دستگاه داراي معادله x = ct و 'x' = ct خواهد بود. چنانچه اين معادله ها را در (δ) و (ε) منظور کنيم، نتيجه مي شود

طرفين دو تساوي اخير را در هم ضرب مي کنيم، به دست مي آيد:

يا

پس دستورهاي تبديل به صورت زير به دست مي آيند.

و اين همان نتيجه اي است که قبلاً با روش بيشتر هندسي به دست آورده ايم.
چنانچه بخواهند x,y,z,t را بر حسب x',y',z',t نمايش دهند، معادله ها را بايد حل کنند. بدون محاسبه مي توان از هم ارزي دو دستگاه S و 'S نتيجه گرفت که هر دو دستور را بايد درست يکسان باشند، که در ضمن فقط v به v- تبديل شده است. در واقع نيز نتيجه محاسبه به صورت زير خواهد بود:
(1b)

قضيه در حالت حد بخصوص قابل توجه است، يعني در حالتي که سرعت v متعلق به دو دستگاه نسبت به سرعت نور c بسيار کوچک باشد. آنگاه درست به تبديل گاليله [دستور z' = z و y' = y ، x' = x – vt ] باز مي گردند. چون اگر v/c را در برابر عدد 1بتوان ناديده گرفت، از (دستور 1) به دست مي آيد:
x' = x - vt , y' = y , z' = z , t' = t
به اين ترتيب مي توان گفت که به علت جزئي بودن اندازه v/c در کليه موارد عملي، حرکت شناسي کاليله در طول قرنهاي متمادي تا حد کافي رفع ضرورت مي کرده است.

پي‌نوشت‌ها:

نخستين رابطه قضيه فيثاغورث است براي مثلث دومين رابطه را مي توان از تصوير 1b اثبات کرد؛ باز با کمک قضيه فيثاغورث، به اين شرح که . اينک تساوي برقرار است. نتيجه مي شود:

چنانچه از تساوي اخير تساوي (β) جذر گرفته شود:

و نتيجه در (α) قرار داده شود، پس از حذف عامل ، حاصل عمليات به صورت (γ) به دست خواهد آمد.

منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (1371)، نظريه ي نسبيت اينشتين، ترجمه ي هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ چهارم.