ترجمه: حمید وثیق زاده انصاری
منبع:راسخون
منبع:راسخون
علوم تجربی و هندسه همیشه دوشادوش یک‌دیگر پیش رفته‌اند. در قرن هفدهم میلادی یوهانس کپلر کشف کرد که مدار سیارات به دور خورشید بیضی شکل است. این موجب شد که آیزاک نیوتون ثابت کند علت بیضی بودن این مدارها، وجود قانون گرانش (جاذبه) است. به همین ترتیب، حرکت رفت و برگشتی آونگ کامل نیز به وسیله‌ی موج سینوسی بیان می‌شود. می‌بینیم که عمل‌کرد نیروهای ساده منجر به پیدایش شکل‌های هندسی ساده می‌شود. این توصیف ریاضی حاکی از وجود رابطه‌ی نزدیکی بین شکل یک چیز و نیروهای مؤثر بر آن چیز است. به علاوه، این توصیف در مثال‌های مربوط به سیارات و آونگ نشان می‌دهد که دستگاه‌های فیزیکی تعیین‌پذیرند، یعنی آینده‌ی آن‌ها را می‌توان به کمک وضعیت گذشته‌شان پیش‌بینی کرد.
اما در سالیان اخیر، دو یافته‌ی نسبتاً جدید، رابطه‌ی بین هندسه و فیزیک را به کلی دگرگون کرده است. اولین آن‌ها مربوط می‌شود به درک این نکته که در سراسر طبیعت، پدیده‌ای به نام آشوبِ تعیین‌پذیر وجود دارد. در جهان پیرامون ما بسیاری از دستگاه‌های فیزیکی ساده وجود دارند که از قانون‌های تعیین‌پذیر پیروی می‌کنند، با این حال رفتارشان غیر قابل پیش‌بینی است مثلاً آونگی که تحت تأثیر دو نیرو نوسان می‌کند. مفهوم حرکتی که تعیین‌پذیر و در عین حال غیر قابل پیش‌بینی باشد برای بیشتر افراد تازگی دارد.
دومین یافته، مرتبط است با کوشش‌هایی برای یافتن توصیف ریاضی برخی از پدیده‌های جهان پیرامون ما که بسیار نامنظم و پیچیده هستند، مثل شکل کوه‌ها و ابرها، چگونگی توزیع کهکشان‌ها در عالم، و در همین زندگی روزمره نحوه‌ی نوسان قیمت‌ها در بازار. یکی از راه‌های دست‌یابی به توصیف مورد نظر آن است که به جستجوی الگویی برای آن‌ها بپردازیم. ممکن است در این راه ناگزیر شویم قوانینی ریاضی ابداع یا مشخص کنیم که می‌توانند «شکل دهنده»ی تصویر بخشی از جهان خارج باشند: تصویر یک کوه یا ابر، نقشهای از اعماق فضا، یا جدول نرخ‌های بازرگانی در روزنامه.
هرچند گالیله گفته است «کتاب عظیم طبیعت را به زبان ریاضی نوشته‌اند» و افزوده است که «الفبای این زبان، مثلث‌ها، دایره‌ها، و سایر شکل‌های هندسی‌اند که بدون آن‌ها انسان در هزارتوی ظلمانی سردرگم می‌شود»، اما این شکل‌های هندسه‌ی اقلیدسی در الگوسازی آشوب‌های تعیین‌پذیر و دستگاه‌های نامنظم به هیچ کار نمی‌آیند. این پدیده‌ها به هندسه‌هایی نیاز دارند که از مثلث‌ها و دایره‌ها بسیار دورند. در مورد آن‌ها باید از ساختارهای نااقلیدسی و به خصوص از هندسه‌ی نوینی به نام هندسه‌ی برخال‌ها استفاده کرد. واژه‌ی برخال یا فراکتال (fractal) در سال 1975 میلادی از کلمه‌ی یونانی فراکتوس، به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته و خرد شده است، ساخته شد. (واژه‌ی فارسی برخال که از کلمه‌ی برخه به معنی کسر گرفته شده است در زبان فارسی به عنوان معادل فراکتال وضع شده است.) برخال‌ها شکل‌هایی هستند که برعکسِ شکل‌های هندسه‌ی اقلیدسی، به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل‌ها اولاً سراسر نامنظم‌اند، ثانیاً میزان بی‌نظمی آن‌ها در همه‌ی مقیاس‌ها یک‌سان است. جسم برخالی از دور و از نزدیک یک‌سان دیده می‌شود، و به تعبیر دیگر «خود-مانا»ست. وقتی به یک جسم نزدیک شویم می‌بینیم که تکه‌های کوچکی از آن که از دور هم‌چون دانه‌های بی‌شکلی به نظر می‌رسید به صورت جسم مشخصی درمی‌آید که شکلش کم‌وبیش شبیه همان شکل کلی است که از دور دیده می‌شد در طبیعت نمونه‌های فراوانی از برخال‌ها دیده می‌شوند، مثل سرخس‌ها و انواع گوناگون گل کلم و بسیاری از گیاهان دیگر، زیرا هر شاخه و هر ساقه در آن‌ها بسیار شبیه به کل گیاه است. قانون‌های حاکم بر رشد این گیاهان موجب می‌شود که خصوصیتی که در مقیاس کوچک وجود دارد به مقیاس‌های بزرگ‌تر نیز منتقل شود.
یک الگوی ریاضی جالب برای چگونگی پیدایش برخال‌ها، مثلث سرپینسکی است. مثلثی رنگی اختیار کنید و آن را چنان که در شکل دیده می‌شود به چهار مثلث کوچک‌تر تقسیم کنید و مثلث میانی را حذف کنید به طوری که جایش به صورت مثلث سفیدی خالی بماند. ضلع هر مثلث رنگی جدید نصف ضلع مثلث اولیه خواهد بود. همین کار را با یکایک مثلث‌های جدید تکرار کنید که درنتیجه همان ساختار در مقیاس کوچک‌تر و کوچک‌تری به دست می‌آید و هر بار نقش‌هایی ایجاد می‌شود که دوبرابر ریزتر از نقش قبلی است. وقتی اجزای جسمی کاملاً مشابه با کل آن باشند، آن جسم «خودمانای خطی» نامیده می‌شود.
اما برخال‌های خیلی مهم، خودمانای خطی نیستند. بعضی از آن‌ها برخال‌های توصیف کننده‌ی وضعیت کلی پدیده‌های تصادفی هستند و برخی دیگر برخال‌های هستند که می‌توانند دستگاه‌های آشوبناک یا غیرخطی را توصیف کنند. (در این دستگاه‌ها عوامل مؤثر بر رفتار دستگاه با تأثیر ناشی از این عوامل متناسب نیست.) بد نیست در هر یک از این دو مورد، مثالی بیاوریم.
برخال‌های تصادفی عموماً در بررسی شکل خطوط ساحلی، کوه‌ها، و ابرها مطرح شده‌اند. یکی از این شکل‌ها را بنوا مندلبرات به اتفاق همکارانش از سال 1975 به این سو با ترسیم کامپیوتری پدید آوردند. بعضی نمونه‌های دیگر از این مجموعه، در تهیه‌ی صحنه‌هایی برای فیلم‌های تخیلی به کار می‌رود. پژوهش آن‌ها در زمینه‌ی این‌گونه الگوسازی برخالی، متکی بر اندکی معلومات عادی و مطالب زیادی از تاریخ طبیعی بود. اولین مطلب از معلومات عادی نکته‌ای بود که حتی یک نقاش سبک کوبیسم هم از آن آگاه است. ابرها کروی نیستند، کوه‌ها مخروطی نیستند، خطوط ساحلی به شکل دایره نیستند، پوسته‌ی بیرونی درختان هموار نیست، و بالاخره صاعقه به شکل یک خط راست دیده نمی‌شود. همه‌ی این ساختارهای طبیعی شکل‌های نامنظم و خودمانایی دارند. به عبارت دیگر، در این موارد اگر بخشی از کل را پیاپی بزرگ کنیم، شکل‌هایی به دست می‌آید که تقریباً کپی همان شکل اولیه است.
در تاریخ طبیعی مطالبی درباره‌ی ساختارهای طبیعی گردآوری و دسته‌بندی می‌شود. مثلاً اگر بخواهیم خط ساحلی کشوری را با دقت بیشتر و بیش‌تری اندازه بگیریم، هربار طول بزرگ‌تری به دست می‌آید، زیرا باید (چین‌ها یا) بی‌نظمی‌های کوچک‌تری را که در این طول وجود دارند به حساب بیاوریم. لویس فرای ریچاردسن برای توصیف مقدار این افزایش، قانونی تجربی یافت.
برای درک هندسه‌ی برخالی باید راهی بیابیم که بتوانیم شکل و پیچیدگی را در قالب اعداد نشان دهیم، درست همان‌طور که در هندسه‌ی اقلیدسی، مفهوم‌های زاویه، طول، مساحت، یا انحنا، و مفهوم‌های فضای یک بعدی، دو بعدی، یا سه بعدی به کار می‌رود. در شکل‌های هندسی پیچیده، مفهوم معمولی بُعد ممکن است با توجه به مقیاس، تغییر کند. مثلاً توپی به قطر ده سانتیمتر را در نظر بگیرید که از نخی به قطر یک میلیمتر ساخته شده باشد. از دوردست، این توپ هم‌چون یک نقطه دیده می‌شود. از فاصله‌ی ده سانتیمتری، این توپ، نخ سه بعدی است. از فاصله‌ی ده میلیمتری، کلافی از نخ‌های یک بعدی است. در فاصله‌ی یک میلیمتری، هر نخ به صورت ستونی در می‌آید و کل آن دوباره به جسمی سه بعدی تبدیل می‌شود. در فاصله‌ی یک دهم میلیمتری، هر ستون به الیافی تجزیه می‌شود و توپ دوباره یک بعدی می‌شود. با ادامه‌ی این روند، بُعد توپ پی‌درپی از مقداری به مقداری دیگر تغییر می‌کند. وقتی توپ به صورت تعداد محدودی ذره‌های اتمی نشان داده شود، دوباره صفربُعدی می‌شود.
در برخال‌ها، با نقطه‌ی مقابل بُعدهای معمولی (0، 1، 2، 3) روبه‌رو می‌شویم که بعدهای برخالی خوانده می‌شوند. مقدار این بعدها معمولاً عدد صحیح نیست. ساده‌ترین نوع بعد برخالی، بعد تشابهی (Ds) است. معنی Ds در مورد نقطه، خط، مربع، یا مکعب، همان بُعدهای معمولی لازم برای توصیف این شکل‌ها، یعنی به ترتیب 0، 1، 2، و 3 است. اما در مورد منحنی‌ای که یک برخال خودمانای خطی باشد چه می‌توان گفت؟ چنین منحنی‌ای می‌تواند از حالت خط یک بُعدی نسبتاً هموار به تدریج تغییر کند تا به حالتی برسد که تقریباً صفحه‌پرکن باشد، یعنی به صورت خطی که آن‌قدر می‌پیچد و دور می‌زند که تقریباً از همه‌ی نقاط ناحیه‌ای از صفحه می‌گذرد و تقریباً دوبعدی می‌شود. طی این تغییرات، مقدار Ds از اندکی بیش از یک تا اندکی کم‌تر از دو تغییر خواهد کرد. پس Ds را می‌توان معیاری برای پیچیدگی این منحنی دانست. کُلی‌تر بگوییم، Ds بیانگر اندازه‌ی پیچیدگی یا میزان ناهمواری هر شکل برخالی است.
یک نوع دیگر بعد برخالی ساده، بُعد جِرمی است. در میله‌ی راست یک بعدی، جرم متناسب با طول، مثلاً به نسبت 2πR، زیاد می‌شود. در یک دیسک دو بعدی به شعاع R، جرم متناسب با πR2 که مساحت دایره است زیاد می‌شود. و بالاخره در کُره، جرم به نسبت 4/3πR3 که حجم کُره است افزایش می‌یابد. پس با زیاد شدن بُعد، جرم هم متناسب با R به توان عددی که بیانگر بُعد است افزایش می‌یابد.
در برخال‌ها جرم متناسب با R به توان Dm که عدد صحیحی نیست زیاد می‌شود. یعنی Dm یکی از نقشهای عادی مفهوم بُعد را ایفا می‌کند، بنابراین طبیعی است که بُعد برخالی خوانده شود. خوش‌بختانه در همه‌ی حالات ساده، Ds و Dm (و سایر تعریف‌های بُعد برخالی) دقیقاً یک مقدار می‌شوند. اما در موارد پیچیده‌تر مقدار این بعدها می‌تواند متفاوت باشد.
قدم بعدی در الگوسازی، درنظر گرفتن ساده‌ترین شکل هندسی است که بتواند ویژگی‌های مناسب برای پدید آوردن ساختار مطلوب را داشته باشد. مندلبرات عملاً مجموعه‌ای از این شکل‌ها گردآوری کرد که به درد هندسه‌ی برخالی می‌خورد و مرتباً هم این مجموعه را کامل‌تر کرد. برای تشخیص ابزار ریاضی مناسب در هر مورد خاص، مشخصه‌های عددی الگو را با شیء واقعی مثلاً با بعدهای برخالی یک کوه مقایسه می‌کنیم. البته این کافی نیست و همراه با آن از ترسیم کامپیوتری برای آزمودن میزان کارایی ابزار انتخاب شده استفاده می‌کنیم. معمولاً با یک روز وقت صرف کردن، امید آن هست که بتوانیم با الگوسازی برخالی کوه‌ها، نظریه‌ای پدید آوریم که بتواند برجستگی‌های زمین را توصیف کند.
از آن‌جا که برخال‌ها در توصیف شکل‌های طبیعی پیچیده کارایی زیادی دارند، تعجبی ندارد که همین برخال‌ها در توصیف چگونگی رفتار دستگاه‌های دینامیکی پیچیده نیز کارآمد باشند. شاید بدانید که معادلات بیان کننده‌ی اغتشاس در مایعات و هوا، یا نحوه‌ی تغییرات جوامع حشرات، غیرخطی هستند و رفتاری همانند آشوب‌های تعیین‌پذیر دارند. با تکرار کردن این معادلات – یعنی بررسی جواب‌ها ضمن تغییرات آن‌ها در طول زمان – معلوم می‌شود که بسیاری از خاصیت‌های ریاضی، به خصوص وقتی که با ترسیم کامپیوتری به نمایش درآیند، به صورت خودمانا پدیدار می‌شوند.
معروف‌ترین کار بنوا مندلبرایت در زمینه‌ی این برخال‌های غیرخطی، مجموعه‌ی مندلبرایت نام دارد. این مجموعه، از تکرار معادله‌ی نسبتاً ساده‌ای به دست می‌آید، اما منجر به پیدایش نقش فوق‌العاده پیچیده و شگفت‌انگیزی می‌شود. بعضی‌ها این نقش را مظهر هندسه‌ی برخالی غیرخطی دانسته‌اند. اهمیت مجموعه‌ی مندلبرایت به ایجاد تصویرهای زیبا محدود نمی‌شود. با بررسی دقیق بسیاری از این تصویرها، حکم‌های تجربی بی‌شماری یافته می‌شود که آن‌ها را می‌توان در قالب حدس‌های ریاضی بیان کرد. تاکنون بسیاری از این موارد منجر به پیدایش قضایا و برهان‌هایی شده است. ضمناً از این طریق، برخورد تازه‌ای به ریاضیات، با استفاده از صفحه‌ی نمایشگر کامپیوتر پدید آمده است. حدس‌های ریاضی معمولاً از قضایای یافته شده ناشی می‌شوند. در چند دهه‌ی اخیر، هیچ مطلبی از قلمرو فیزیک یا مبحث ترسیم اشکال در برخی از حوزه‌های ریاضیات محض، مثل نظریه‌ی تکرار (که مجموعه‌ی مندلبرایت هم به این حوزه تعلق دارد) مطرح نشده و این امر حکایت از آن داشته که این حوزه‌ها به پایان خود رسیده‌اند. نقشهای برخالی که بر صفحه‌ی نمایشگر کامپیوتر ایجاد می‌شوند به تجدید حیات این حوزه انجامیده‌اند. فراهم آمدن امکان بازی با نقشهای برخالی و دست‌کاری کردن آن‌ها، گنجینه‌ی پرباری برای کشفیات ریاضی به وجود آورده است. بررسی مجموعه‌ی مندلبرات حدس‌های پرشماری به دنبال آورده است که بیان آن‌ها آسان ولی اثباتشان دشوار است. مطالعه‌ی این حدس‌ها، انبوهی از نتایج فرعی در پی داشته است.
برخال‌های دیگری از این قبیل نیز هستند که تصویرهایی دیدنی پدید می‌آورند. البته خیلی از شکل‌هایی که امروزه به عنوان برخال شناخته می‌شوند، سال‌ها قبل کشف شده بودند. برخی از این عناصر ریاضی در آثار گروه ریاضی‌دانان فرانسوی، یعنی هانری پوانکاره، پییر فاتو، و گاتسون ژولیا در فاصله‌ی سال‌های 1875 تا 1925 میلادی مطرح شده بودند. اما در آن زمان هیچ‌کس به اهمیت آن‌ها به عنوان ابزارهایی برای توصیف تصویری و ارتباط آن‌ها با تبیین فیزیکی جهان واقعی پی نبرده بود. یکی از موارد توصیف جهان واقع به وسیله‌ی الگوی برخال تصادفی، نوعی رشد تصادفی است که «پیش‌روی با نفوذ محدود» خوانده می‌شود. از این الگو شکل درخت مانندِ پیچیده‌ای به دست می‌آید. پیش‌روی با نفوذ محدود، الگوی مناسبی است برای نمایش چگونگی شکل درخت زبان گنجشک، نحوه‌ی رخنه‌ی آب به درون صخره‌ها، طرز گسترش ترک‌ها در یک جسم، و نحوه‌ی تخلیه‌ی بار الکتریکی در صاعقه.
برای آشنا شدن با کارکرد این الگو، صفحه‌ی شطرنجی خیلی بزرگی اختیار کنید و در مربع میانی آن وزیری بگذارید که مجاز به حرکت نباشد. پیاده‌ها که مجازند در هر چهار جهت روی صفحه حرکت کنند از یک نقطه‌ی شروعِ تصادفی روی لبه‌ی صفحه وارد میدان می‌شوند و به طور تصادفی گام برمی‌دارند. جهت هر گام به کمک چهار احتمال یک‌سان تعیین می‌شود. وقتی پیاده‌ای به خانه‌ی مجاور وزیر اولیه می‌رسد، خودش هم به یک وزیر جدید تبدیل می‌شود و دیگر نمی‌تواند حرکت کند. سرانجام مجموعه‌ای از وزیرها به دست می‌آید که نقشی خوشه‌مانند و کم و بیش عنکبوتی می‌سازند.
شبیه‌سازی‌های عظیم کامپیوتری نشان داده است که برخلاف آن‌چه که انتظار می‌رود، این نقشهای خوشه‌ای برخالند و تقریباً خودمانا هستند. تکه‌های کوچک آن‌ها خیلی شبیه تکه‌های بزرگی هستند که به نسبتی کوچک شده باشند. اما این خوشه‌ها از معیار خودمانایی خطی تصادفی پیروی نمی‌کنند و همین می‌تواند انگیزه‌ای برای یک رشته پژوهش‌های دیگر باشد. آن‌چه در مورد این نوع برخال تازگی دارد این است که در این‌جا به روشنی دیده می‌شود که چگونه پارامترهایی که تغییرات همواری دارند رفتار ناهمواری ایجاد می‌کنند. برای روشن‌تر شدن مطلب، شکل اصلی مطرح شده را در قالب نظریه‌ی الکتریسیته‌ی ساکن بیان می‌کنیم. فرض کنید جعبه‌ی بزرگی که می‌خواهیم الگوی پیش‌روی با نفوذ محدود را در آن ایجاد کنیم به قطب مثبت برق وصل شده باشد و شیء هدف که در حکم همان وزیر اولیه است، در مرکز جعبه به پتانسیل صفر وصل می‌شود. مقدار پتانسیل در سایر نقاط درون جعبه چه خواهد بود؟
در مواردی که مرز شیءِ مرکزی منحنی همواری است یا تعداد خمش‌های کمی دارد، مثل مثلث یا مربع، دانشمندان از دیرباز راه محاسبه‌ی پتانسیل را یافته‌اند. این محاسبات تحلیلی معمولی، منحنی‌هایی را که روی آن‌ها پتانسیل ثابت است معلوم می‌کند. همه‌ی این منحنی‌ها هموارند و با تغییر شکل تدریجی، از جعبه‌ی ثابت به مرز شیء مرکزی می‌رسند. اکنون، تصور کنید که این مرز شامل ناحیه‌ی سوزنی شکلی باشد. منحنی‌های هم‌پتانسیلِ حول این سوزن خیلی فشرده و پرتراکم خواهند بود. به این ترتیب، افت پتانسیل خیلی سریع خواهد بود و منجر به تخلیه‌ی الکتریکی خواهد شد. در این‌جا سوزن عملاً مثل یک برق‌گیر عمل می‌کند. وقتی شیء مرکزی، خوشه‌ای با الگوی پیش‌روی با نفوذ محدود باشد، سراسر مرزش پوشیده از این سوزن‌ها خواهد بود ، و صاعقه بیشتر روی سوزن‌هایی فرود می‌آید که بیرونی‌ترند.
در این‌جا پای یک نکته‌ی حساس به میان می‌آید: اساس کار پیش‌روی با الگوی محدود، معادل آن است که بگوییم پس از اصابت صاعقه به هر سوزن، آن سوزن گسترده یا شاخه‌دار می‌شود. آزمایش‌های انجام شده در مورد این الگو نشان می‌دهند که وقتی بپذیریم که مرز شکل در اثر وجود پتانسیل حرکت کند، خوشه‌ی موجود به ساختار فوق‌العاده بزرگی با الگوی مذکور تبدیل می‌شود. به عبارت دیگر می‌توانیم برخال‌های ناهموار را از مشخصه‌های هموار معادله‌ی مولد خطوط هم‌پتانسیل به دست آوریم. پس در این مورد، هندسه‌ی برخالی مسأله‌ی تازه و زمینه‌ی جدیدی برای پژوهش ایجاد کرده است.
هندسه‌ی برخالی برای توصیف بسیاری از پدیده‌های پیچیده‌ی دیگر در طبیعت نیز به کار می‌رود. یکی از پربارترین آن‌ها مطالعه‌ی حرکت اغتشاشی است که نه فقط نحوه‌ی پیدایش آن بلکه هم‌چنین شکل‌های پیچیده‌ی ساختارهای اغتشاشی نشان داده می‌شود. به این ترتیب، موج‌های ناگهانی و افشانه‌های آب و هم‌چنین ابرها پدیده‌های برخالی شناخته می‌شوند. علت این وضع قاعدتاً باید عمل‌کرد معادلات حرکت سیالات باشد. اما مسأله‌ی ارتباط بین شکل‌های پدید آمده و عمل‌کرد نیروهای پدید آورنده‌ی این شکل‌ها، هنوز جای بررسی‌های فراوانی دارد. ردیابی این رابطه، گام بزرگی در درک ماهیت پدیده‌ی اغتشاش خواهد بود.
از دیگر قلمروهایی که برخال‌ها در آن‌ها توصیف مناسبی عرضه می‌کنند، موجودات زنده و جهان در مقیاس بزرگ است، هر چند که در هر مورد، توصیف برخالی در مقیاس خیلی کوچک یا مقیاس خیلی بزرگ کارایی خود را از دست می‌دهد. مثلاً شاخه شاخه شدن درخت‌ها یا انشعاب سرخ‌رگ‌ها بی‌پایان نیست و تمامیت هر درخت، بخشی از یک «فرادرخت» نیست. برای توزیع کهکشان‌ها در عالم، عکس این حالت می‌تواند صادق باشد. شمارش کهکشان‌ها به طور قطعی نشان می‌دهد که در مقیاس‌های نسبتاً کوچک توزیع آن‌ها به صورت برخال است. این مقیاس‌های کوچک مسافت‌هایی دست‌کم به فاصله‌ی پنج تا ده مگاپارسک را در بر می‌گیرند. (مگاپارسک یعنی یک میلیون پارسک، و هر پارسک سه و بیست و شش صدم سال نوری یا سه ضرب در ده به توان سیزده کیلومتر است.) شواهد محکمی هم هست که نشان می‌دهد که در ابعاد بالاتر از صد مگاپارسک، نواحی خالی عظیمی وجود دارد. این نواحی خالی، درست همان چیزهایی هستند که در توزیع برخالی می‌توان انتظار داشت.
اهمیت برخال‌ها چقدر است؟ در این مورد هم مثل نظریه‌ی آشوب‌ها هنوز نمی‌توان نظر قطعی ابراز کرد، ولی چشم‌انداز آینده‌ی آن روشن است. بسیاری از برخال‌ها تاکنون تأثیر فرهنگی مهمی داشته‌اند و به عنوان جلوه‌های یک نوع هنر جدید پذیرفته شده‌اند. بعضی از آن‌ها جنبه‌ی نمایشی دارند و برخی دیگر به کلی غیر واقعی و انتزاعی هستند. این نوع تأثیرگذاری دوجانبه باید هم برای ریاضی‌دانان و هم برای هنرمندان شوق انگیز باشد.
برای افراد عامی، نقشهای برخالی مانند نوعی طلسم جلوه می‌کنند. اما هیچ ریاضی‌دانی نمی‌تواند لزوم تلاش برای درک ساختار و معنی آن‌ها را نادیده بگیرد. بسیاری از معادله‌های به کار رفته در برخال‌ها، چنان‌چه ماهیت تصویری‌شان دیده نمی‌شد، هم‌چنان متعلق به قلمرو ریاضیات محض و فاقد هرگونه کاربرد واقعی تلقی می‌شدند. مهم‌تر از همه این که، چنان‌که گفتیم، بسیاری از کاربردهای مؤثر برخال‌ها در فیزیک است که در حل بسیاری از مسائل قدیمی و هم‌چنین بعضی مسائل جدید و مشکل گشایشی ایجاد کرده‌اند. یکی از آخرین دستاوردهای مثبت تصویرهای برخالی این است که ظاهراً جذابیت آن‌ها توجه نسل جوان را به خود جذب کرده و موجب احیای علاقه‌ی آن‌ها به علم شده است. بسیاری امیدوارند که مجموعه‌ی مندلبرات و سایر تصویرهای برخالی که اکنون روی پیراهن‌ها و پوسترها دیده می‌شود باعث شود که جوانان، زیبایی و شیوایی بیان ریاضیات و پیوند عمیق آن را با جهان پیرامون دریابند.
اما در سالیان اخیر، دو یافته‌ی نسبتاً جدید، رابطه‌ی بین هندسه و فیزیک را به کلی دگرگون کرده است. اولین آن‌ها مربوط می‌شود به درک این نکته که در سراسر طبیعت، پدیده‌ای به نام آشوبِ تعیین‌پذیر وجود دارد. در جهان پیرامون ما بسیاری از دستگاه‌های فیزیکی ساده وجود دارند که از قانون‌های تعیین‌پذیر پیروی می‌کنند، با این حال رفتارشان غیر قابل پیش‌بینی است مثلاً آونگی که تحت تأثیر دو نیرو نوسان می‌کند. مفهوم حرکتی که تعیین‌پذیر و در عین حال غیر قابل پیش‌بینی باشد برای بیشتر افراد تازگی دارد.
هرچند گالیله گفته است «کتاب عظیم طبیعت را به زبان ریاضی نوشته‌اند» و افزوده است که «الفبای این زبان، مثلث‌ها، دایره‌ها، و سایر شکل‌های هندسی‌اند که بدون آن‌ها انسان در هزارتوی ظلمانی سردرگم می‌شود»، اما این شکل‌های هندسه‌ی اقلیدسی در الگوسازی آشوب‌های تعیین‌پذیر و دستگاه‌های نامنظم به هیچ کار نمی‌آیند. این پدیده‌ها به هندسه‌هایی نیاز دارند که از مثلث‌ها و دایره‌ها بسیار دورند. در مورد آن‌ها باید از ساختارهای نااقلیدسی و به خصوص از هندسه‌ی نوینی به نام هندسه‌ی برخال‌ها استفاده کرد. واژه‌ی برخال یا فراکتال (fractal) در سال 1975 میلادی از کلمه‌ی یونانی فراکتوس، به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته و خرد شده است، ساخته شد. (واژه‌ی فارسی برخال که از کلمه‌ی برخه به معنی کسر گرفته شده است در زبان فارسی به عنوان معادل فراکتال وضع شده است.) برخال‌ها شکل‌هایی هستند که برعکسِ شکل‌های هندسه‌ی اقلیدسی، به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل‌ها اولاً سراسر نامنظم‌اند، ثانیاً میزان بی‌نظمی آن‌ها در همه‌ی مقیاس‌ها یک‌سان است. جسم برخالی از دور و از نزدیک یک‌سان دیده می‌شود، و به تعبیر دیگر «خود-مانا»ست. وقتی به یک جسم نزدیک شویم می‌بینیم که تکه‌های کوچکی از آن که از دور هم‌چون دانه‌های بی‌شکلی به نظر می‌رسید به صورت جسم مشخصی درمی‌آید که شکلش کم‌وبیش شبیه همان شکل کلی است که از دور دیده می‌شد در طبیعت نمونه‌های فراوانی از برخال‌ها دیده می‌شوند، مثل سرخس‌ها و انواع گوناگون گل کلم و بسیاری از گیاهان دیگر، زیرا هر شاخه و هر ساقه در آن‌ها بسیار شبیه به کل گیاه است. قانون‌های حاکم بر رشد این گیاهان موجب می‌شود که خصوصیتی که در مقیاس کوچک وجود دارد به مقیاس‌های بزرگ‌تر نیز منتقل شود.
یک الگوی ریاضی جالب برای چگونگی پیدایش برخال‌ها، مثلث سرپینسکی است. مثلثی رنگی اختیار کنید و آن را چنان که در شکل دیده می‌شود به چهار مثلث کوچک‌تر تقسیم کنید و مثلث میانی را حذف کنید به طوری که جایش به صورت مثلث سفیدی خالی بماند. ضلع هر مثلث رنگی جدید نصف ضلع مثلث اولیه خواهد بود. همین کار را با یکایک مثلث‌های جدید تکرار کنید که درنتیجه همان ساختار در مقیاس کوچک‌تر و کوچک‌تری به دست می‌آید و هر بار نقش‌هایی ایجاد می‌شود که دوبرابر ریزتر از نقش قبلی است. وقتی اجزای جسمی کاملاً مشابه با کل آن باشند، آن جسم «خودمانای خطی» نامیده می‌شود.
برخال‌های تصادفی عموماً در بررسی شکل خطوط ساحلی، کوه‌ها، و ابرها مطرح شده‌اند. یکی از این شکل‌ها را بنوا مندلبرات به اتفاق همکارانش از سال 1975 به این سو با ترسیم کامپیوتری پدید آوردند. بعضی نمونه‌های دیگر از این مجموعه، در تهیه‌ی صحنه‌هایی برای فیلم‌های تخیلی به کار می‌رود. پژوهش آن‌ها در زمینه‌ی این‌گونه الگوسازی برخالی، متکی بر اندکی معلومات عادی و مطالب زیادی از تاریخ طبیعی بود. اولین مطلب از معلومات عادی نکته‌ای بود که حتی یک نقاش سبک کوبیسم هم از آن آگاه است. ابرها کروی نیستند، کوه‌ها مخروطی نیستند، خطوط ساحلی به شکل دایره نیستند، پوسته‌ی بیرونی درختان هموار نیست، و بالاخره صاعقه به شکل یک خط راست دیده نمی‌شود. همه‌ی این ساختارهای طبیعی شکل‌های نامنظم و خودمانایی دارند. به عبارت دیگر، در این موارد اگر بخشی از کل را پیاپی بزرگ کنیم، شکل‌هایی به دست می‌آید که تقریباً کپی همان شکل اولیه است.
در تاریخ طبیعی مطالبی درباره‌ی ساختارهای طبیعی گردآوری و دسته‌بندی می‌شود. مثلاً اگر بخواهیم خط ساحلی کشوری را با دقت بیشتر و بیش‌تری اندازه بگیریم، هربار طول بزرگ‌تری به دست می‌آید، زیرا باید (چین‌ها یا) بی‌نظمی‌های کوچک‌تری را که در این طول وجود دارند به حساب بیاوریم. لویس فرای ریچاردسن برای توصیف مقدار این افزایش، قانونی تجربی یافت.
برای درک هندسه‌ی برخالی باید راهی بیابیم که بتوانیم شکل و پیچیدگی را در قالب اعداد نشان دهیم، درست همان‌طور که در هندسه‌ی اقلیدسی، مفهوم‌های زاویه، طول، مساحت، یا انحنا، و مفهوم‌های فضای یک بعدی، دو بعدی، یا سه بعدی به کار می‌رود. در شکل‌های هندسی پیچیده، مفهوم معمولی بُعد ممکن است با توجه به مقیاس، تغییر کند. مثلاً توپی به قطر ده سانتیمتر را در نظر بگیرید که از نخی به قطر یک میلیمتر ساخته شده باشد. از دوردست، این توپ هم‌چون یک نقطه دیده می‌شود. از فاصله‌ی ده سانتیمتری، این توپ، نخ سه بعدی است. از فاصله‌ی ده میلیمتری، کلافی از نخ‌های یک بعدی است. در فاصله‌ی یک میلیمتری، هر نخ به صورت ستونی در می‌آید و کل آن دوباره به جسمی سه بعدی تبدیل می‌شود. در فاصله‌ی یک دهم میلیمتری، هر ستون به الیافی تجزیه می‌شود و توپ دوباره یک بعدی می‌شود. با ادامه‌ی این روند، بُعد توپ پی‌درپی از مقداری به مقداری دیگر تغییر می‌کند. وقتی توپ به صورت تعداد محدودی ذره‌های اتمی نشان داده شود، دوباره صفربُعدی می‌شود.
در برخال‌ها، با نقطه‌ی مقابل بُعدهای معمولی (0، 1، 2، 3) روبه‌رو می‌شویم که بعدهای برخالی خوانده می‌شوند. مقدار این بعدها معمولاً عدد صحیح نیست. ساده‌ترین نوع بعد برخالی، بعد تشابهی (Ds) است. معنی Ds در مورد نقطه، خط، مربع، یا مکعب، همان بُعدهای معمولی لازم برای توصیف این شکل‌ها، یعنی به ترتیب 0، 1، 2، و 3 است. اما در مورد منحنی‌ای که یک برخال خودمانای خطی باشد چه می‌توان گفت؟ چنین منحنی‌ای می‌تواند از حالت خط یک بُعدی نسبتاً هموار به تدریج تغییر کند تا به حالتی برسد که تقریباً صفحه‌پرکن باشد، یعنی به صورت خطی که آن‌قدر می‌پیچد و دور می‌زند که تقریباً از همه‌ی نقاط ناحیه‌ای از صفحه می‌گذرد و تقریباً دوبعدی می‌شود. طی این تغییرات، مقدار Ds از اندکی بیش از یک تا اندکی کم‌تر از دو تغییر خواهد کرد. پس Ds را می‌توان معیاری برای پیچیدگی این منحنی دانست. کُلی‌تر بگوییم، Ds بیانگر اندازه‌ی پیچیدگی یا میزان ناهمواری هر شکل برخالی است.
یک نوع دیگر بعد برخالی ساده، بُعد جِرمی است. در میله‌ی راست یک بعدی، جرم متناسب با طول، مثلاً به نسبت 2πR، زیاد می‌شود. در یک دیسک دو بعدی به شعاع R، جرم متناسب با πR2 که مساحت دایره است زیاد می‌شود. و بالاخره در کُره، جرم به نسبت 4/3πR3 که حجم کُره است افزایش می‌یابد. پس با زیاد شدن بُعد، جرم هم متناسب با R به توان عددی که بیانگر بُعد است افزایش می‌یابد.
در برخال‌ها جرم متناسب با R به توان Dm که عدد صحیحی نیست زیاد می‌شود. یعنی Dm یکی از نقشهای عادی مفهوم بُعد را ایفا می‌کند، بنابراین طبیعی است که بُعد برخالی خوانده شود. خوش‌بختانه در همه‌ی حالات ساده، Ds و Dm (و سایر تعریف‌های بُعد برخالی) دقیقاً یک مقدار می‌شوند. اما در موارد پیچیده‌تر مقدار این بعدها می‌تواند متفاوت باشد.
قدم بعدی در الگوسازی، درنظر گرفتن ساده‌ترین شکل هندسی است که بتواند ویژگی‌های مناسب برای پدید آوردن ساختار مطلوب را داشته باشد. مندلبرات عملاً مجموعه‌ای از این شکل‌ها گردآوری کرد که به درد هندسه‌ی برخالی می‌خورد و مرتباً هم این مجموعه را کامل‌تر کرد. برای تشخیص ابزار ریاضی مناسب در هر مورد خاص، مشخصه‌های عددی الگو را با شیء واقعی مثلاً با بعدهای برخالی یک کوه مقایسه می‌کنیم. البته این کافی نیست و همراه با آن از ترسیم کامپیوتری برای آزمودن میزان کارایی ابزار انتخاب شده استفاده می‌کنیم. معمولاً با یک روز وقت صرف کردن، امید آن هست که بتوانیم با الگوسازی برخالی کوه‌ها، نظریه‌ای پدید آوریم که بتواند برجستگی‌های زمین را توصیف کند.
از آن‌جا که برخال‌ها در توصیف شکل‌های طبیعی پیچیده کارایی زیادی دارند، تعجبی ندارد که همین برخال‌ها در توصیف چگونگی رفتار دستگاه‌های دینامیکی پیچیده نیز کارآمد باشند. شاید بدانید که معادلات بیان کننده‌ی اغتشاس در مایعات و هوا، یا نحوه‌ی تغییرات جوامع حشرات، غیرخطی هستند و رفتاری همانند آشوب‌های تعیین‌پذیر دارند. با تکرار کردن این معادلات – یعنی بررسی جواب‌ها ضمن تغییرات آن‌ها در طول زمان – معلوم می‌شود که بسیاری از خاصیت‌های ریاضی، به خصوص وقتی که با ترسیم کامپیوتری به نمایش درآیند، به صورت خودمانا پدیدار می‌شوند.
معروف‌ترین کار بنوا مندلبرایت در زمینه‌ی این برخال‌های غیرخطی، مجموعه‌ی مندلبرایت نام دارد. این مجموعه، از تکرار معادله‌ی نسبتاً ساده‌ای به دست می‌آید، اما منجر به پیدایش نقش فوق‌العاده پیچیده و شگفت‌انگیزی می‌شود. بعضی‌ها این نقش را مظهر هندسه‌ی برخالی غیرخطی دانسته‌اند. اهمیت مجموعه‌ی مندلبرایت به ایجاد تصویرهای زیبا محدود نمی‌شود. با بررسی دقیق بسیاری از این تصویرها، حکم‌های تجربی بی‌شماری یافته می‌شود که آن‌ها را می‌توان در قالب حدس‌های ریاضی بیان کرد. تاکنون بسیاری از این موارد منجر به پیدایش قضایا و برهان‌هایی شده است. ضمناً از این طریق، برخورد تازه‌ای به ریاضیات، با استفاده از صفحه‌ی نمایشگر کامپیوتر پدید آمده است. حدس‌های ریاضی معمولاً از قضایای یافته شده ناشی می‌شوند. در چند دهه‌ی اخیر، هیچ مطلبی از قلمرو فیزیک یا مبحث ترسیم اشکال در برخی از حوزه‌های ریاضیات محض، مثل نظریه‌ی تکرار (که مجموعه‌ی مندلبرایت هم به این حوزه تعلق دارد) مطرح نشده و این امر حکایت از آن داشته که این حوزه‌ها به پایان خود رسیده‌اند. نقشهای برخالی که بر صفحه‌ی نمایشگر کامپیوتر ایجاد می‌شوند به تجدید حیات این حوزه انجامیده‌اند. فراهم آمدن امکان بازی با نقشهای برخالی و دست‌کاری کردن آن‌ها، گنجینه‌ی پرباری برای کشفیات ریاضی به وجود آورده است. بررسی مجموعه‌ی مندلبرات حدس‌های پرشماری به دنبال آورده است که بیان آن‌ها آسان ولی اثباتشان دشوار است. مطالعه‌ی این حدس‌ها، انبوهی از نتایج فرعی در پی داشته است.
برخال‌های دیگری از این قبیل نیز هستند که تصویرهایی دیدنی پدید می‌آورند. البته خیلی از شکل‌هایی که امروزه به عنوان برخال شناخته می‌شوند، سال‌ها قبل کشف شده بودند. برخی از این عناصر ریاضی در آثار گروه ریاضی‌دانان فرانسوی، یعنی هانری پوانکاره، پییر فاتو، و گاتسون ژولیا در فاصله‌ی سال‌های 1875 تا 1925 میلادی مطرح شده بودند. اما در آن زمان هیچ‌کس به اهمیت آن‌ها به عنوان ابزارهایی برای توصیف تصویری و ارتباط آن‌ها با تبیین فیزیکی جهان واقعی پی نبرده بود. یکی از موارد توصیف جهان واقع به وسیله‌ی الگوی برخال تصادفی، نوعی رشد تصادفی است که «پیش‌روی با نفوذ محدود» خوانده می‌شود. از این الگو شکل درخت مانندِ پیچیده‌ای به دست می‌آید. پیش‌روی با نفوذ محدود، الگوی مناسبی است برای نمایش چگونگی شکل درخت زبان گنجشک، نحوه‌ی رخنه‌ی آب به درون صخره‌ها، طرز گسترش ترک‌ها در یک جسم، و نحوه‌ی تخلیه‌ی بار الکتریکی در صاعقه.
شبیه‌سازی‌های عظیم کامپیوتری نشان داده است که برخلاف آن‌چه که انتظار می‌رود، این نقشهای خوشه‌ای برخالند و تقریباً خودمانا هستند. تکه‌های کوچک آن‌ها خیلی شبیه تکه‌های بزرگی هستند که به نسبتی کوچک شده باشند. اما این خوشه‌ها از معیار خودمانایی خطی تصادفی پیروی نمی‌کنند و همین می‌تواند انگیزه‌ای برای یک رشته پژوهش‌های دیگر باشد. آن‌چه در مورد این نوع برخال تازگی دارد این است که در این‌جا به روشنی دیده می‌شود که چگونه پارامترهایی که تغییرات همواری دارند رفتار ناهمواری ایجاد می‌کنند. برای روشن‌تر شدن مطلب، شکل اصلی مطرح شده را در قالب نظریه‌ی الکتریسیته‌ی ساکن بیان می‌کنیم. فرض کنید جعبه‌ی بزرگی که می‌خواهیم الگوی پیش‌روی با نفوذ محدود را در آن ایجاد کنیم به قطب مثبت برق وصل شده باشد و شیء هدف که در حکم همان وزیر اولیه است، در مرکز جعبه به پتانسیل صفر وصل می‌شود. مقدار پتانسیل در سایر نقاط درون جعبه چه خواهد بود؟
در مواردی که مرز شیءِ مرکزی منحنی همواری است یا تعداد خمش‌های کمی دارد، مثل مثلث یا مربع، دانشمندان از دیرباز راه محاسبه‌ی پتانسیل را یافته‌اند. این محاسبات تحلیلی معمولی، منحنی‌هایی را که روی آن‌ها پتانسیل ثابت است معلوم می‌کند. همه‌ی این منحنی‌ها هموارند و با تغییر شکل تدریجی، از جعبه‌ی ثابت به مرز شیء مرکزی می‌رسند. اکنون، تصور کنید که این مرز شامل ناحیه‌ی سوزنی شکلی باشد. منحنی‌های هم‌پتانسیلِ حول این سوزن خیلی فشرده و پرتراکم خواهند بود. به این ترتیب، افت پتانسیل خیلی سریع خواهد بود و منجر به تخلیه‌ی الکتریکی خواهد شد. در این‌جا سوزن عملاً مثل یک برق‌گیر عمل می‌کند. وقتی شیء مرکزی، خوشه‌ای با الگوی پیش‌روی با نفوذ محدود باشد، سراسر مرزش پوشیده از این سوزن‌ها خواهد بود ، و صاعقه بیشتر روی سوزن‌هایی فرود می‌آید که بیرونی‌ترند.
در این‌جا پای یک نکته‌ی حساس به میان می‌آید: اساس کار پیش‌روی با الگوی محدود، معادل آن است که بگوییم پس از اصابت صاعقه به هر سوزن، آن سوزن گسترده یا شاخه‌دار می‌شود. آزمایش‌های انجام شده در مورد این الگو نشان می‌دهند که وقتی بپذیریم که مرز شکل در اثر وجود پتانسیل حرکت کند، خوشه‌ی موجود به ساختار فوق‌العاده بزرگی با الگوی مذکور تبدیل می‌شود. به عبارت دیگر می‌توانیم برخال‌های ناهموار را از مشخصه‌های هموار معادله‌ی مولد خطوط هم‌پتانسیل به دست آوریم. پس در این مورد، هندسه‌ی برخالی مسأله‌ی تازه و زمینه‌ی جدیدی برای پژوهش ایجاد کرده است.
هندسه‌ی برخالی برای توصیف بسیاری از پدیده‌های پیچیده‌ی دیگر در طبیعت نیز به کار می‌رود. یکی از پربارترین آن‌ها مطالعه‌ی حرکت اغتشاشی است که نه فقط نحوه‌ی پیدایش آن بلکه هم‌چنین شکل‌های پیچیده‌ی ساختارهای اغتشاشی نشان داده می‌شود. به این ترتیب، موج‌های ناگهانی و افشانه‌های آب و هم‌چنین ابرها پدیده‌های برخالی شناخته می‌شوند. علت این وضع قاعدتاً باید عمل‌کرد معادلات حرکت سیالات باشد. اما مسأله‌ی ارتباط بین شکل‌های پدید آمده و عمل‌کرد نیروهای پدید آورنده‌ی این شکل‌ها، هنوز جای بررسی‌های فراوانی دارد. ردیابی این رابطه، گام بزرگی در درک ماهیت پدیده‌ی اغتشاش خواهد بود.
از دیگر قلمروهایی که برخال‌ها در آن‌ها توصیف مناسبی عرضه می‌کنند، موجودات زنده و جهان در مقیاس بزرگ است، هر چند که در هر مورد، توصیف برخالی در مقیاس خیلی کوچک یا مقیاس خیلی بزرگ کارایی خود را از دست می‌دهد. مثلاً شاخه شاخه شدن درخت‌ها یا انشعاب سرخ‌رگ‌ها بی‌پایان نیست و تمامیت هر درخت، بخشی از یک «فرادرخت» نیست. برای توزیع کهکشان‌ها در عالم، عکس این حالت می‌تواند صادق باشد. شمارش کهکشان‌ها به طور قطعی نشان می‌دهد که در مقیاس‌های نسبتاً کوچک توزیع آن‌ها به صورت برخال است. این مقیاس‌های کوچک مسافت‌هایی دست‌کم به فاصله‌ی پنج تا ده مگاپارسک را در بر می‌گیرند. (مگاپارسک یعنی یک میلیون پارسک، و هر پارسک سه و بیست و شش صدم سال نوری یا سه ضرب در ده به توان سیزده کیلومتر است.) شواهد محکمی هم هست که نشان می‌دهد که در ابعاد بالاتر از صد مگاپارسک، نواحی خالی عظیمی وجود دارد. این نواحی خالی، درست همان چیزهایی هستند که در توزیع برخالی می‌توان انتظار داشت.
برای افراد عامی، نقشهای برخالی مانند نوعی طلسم جلوه می‌کنند. اما هیچ ریاضی‌دانی نمی‌تواند لزوم تلاش برای درک ساختار و معنی آن‌ها را نادیده بگیرد. بسیاری از معادله‌های به کار رفته در برخال‌ها، چنان‌چه ماهیت تصویری‌شان دیده نمی‌شد، هم‌چنان متعلق به قلمرو ریاضیات محض و فاقد هرگونه کاربرد واقعی تلقی می‌شدند. مهم‌تر از همه این که، چنان‌که گفتیم، بسیاری از کاربردهای مؤثر برخال‌ها در فیزیک است که در حل بسیاری از مسائل قدیمی و هم‌چنین بعضی مسائل جدید و مشکل گشایشی ایجاد کرده‌اند. یکی از آخرین دستاوردهای مثبت تصویرهای برخالی این است که ظاهراً جذابیت آن‌ها توجه نسل جوان را به خود جذب کرده و موجب احیای علاقه‌ی آن‌ها به علم شده است. بسیاری امیدوارند که مجموعه‌ی مندلبرات و سایر تصویرهای برخالی که اکنون روی پیراهن‌ها و پوسترها دیده می‌شود باعث شود که جوانان، زیبایی و شیوایی بیان ریاضیات و پیوند عمیق آن را با جهان پیرامون دریابند.
/ج
