نمايش هندسي حرکت شناسي اينشتين

پيش از آنکه به دنبال تشريح معنا و محتواي اين عنوان برويم، مي خواهيم به طرز مينکوفسکي در جهان چهاربعدي x،y،z،t (يا x،y،z،ct) به توضيح هندسي ارتباطها بپردازيم که وجودشان را حرکتشناسي اينشتين بين دستگاههاي لخت عنوان مي کند. در اين جريان نيز مختصات y، z را همچنان مي توانيم ناديده بگيريم و خود را فقط در سطح x، ct محدود سازيم. آنگاه کليه قوانين حرکت شناسي (سينماتيکي) به صورت حقايق هندسي واقع بر سطح x، ct ظاهر خواهند شد. ولي به خواننده اکيداً توصيه مي شود که ارتباطهاي عايدشده به شکل هندسي را پي در پي به زبان معمول در حرکت شناسي برگرداند. پس استنباط خواننده از خط جهاني واقعاً بايستي حرکت يک نقطه باشد. همچنين از تقاطع دو خط جهاني تلاقي دو نقطه متحرک و به همين ترتيب تا آخر. منظره فرايندهاي نمايش داده شده در تصوير را مي توان به شکلي ساده تر به تصور آورد، به اين ترتيب که خط کشي را به موازات محور x در دست گرفته آن را در امتداد محور ct امتداد دهند و به نقاط تقاطع لبه خط کش با خطوط جهاني توجه کنند. آنگاه اين نقطه هاي تقاطع بر لبه خط کش به اين سو و آن سو جابه جا مي شوند و منظره جريان حرکت فضايي را نمايان مي کنند.
هر دستگاه لخت S به وسيله يک تقاطع محوري مايل در سطح x، ct نمايش داده مي شود؛ و اينکه تقاطع محوري متعامد نيز در همين شمار قرار مي گيرد، بايد به عنوان وضع تصادفي تلقي شود و طبعاً از هيچ امتيازي برخوردار نگردد.
هر نقطه فضا مي تواند نقطه خروجي يک موج نور باشد که به صورت کروي و به حالت يکنواخت در کليه جهان انتشار مي يابد. در امتداد تنها محور x که در اين جا منظور شده است، فقط دو علامت نوري وجود دارند، يکي از آنها به سمت چپ حرکت مي کند، ديگري به سمت راست. پس اين علامتها به صورت دو خط راست متقاطع نمايان شده اند، با اين توجه که دو خط مزبور را انتخاب دستگاه مرجع کاملا مستقل اند؛ زيرا که اين دو رويدادهاي واقعي يعني خطوط جهاني را به يکديگر مي پيوندند، در واقع مکانهاي فضا را که پي در پي محل برخورد علامت نور واقع مي شوند.
اين خطهاي نور را براي يک نقطه جهاني که درعين حال بايستي نقطه صفر کليه دستگاههاي مختصات x، ct باشد، به صورت دو خط راست عمود بر يکديگر ترسيم مي کنيم و آنها را به عنوان محورهاي يک دستگاه مختصات X و Y منظور مي داريم (ش.1).
بدين نحو يکي از وجوه اصلي تمايز نظريه اينشتين را در مد نظر گرفته ايم: دستگاه X، Y بروشني مشخص و در «جهان» پابرجاست، گرچه محورهاي آن خطهاي راست فضايي نيستند، بلکه تشکيل مي شوند از يک رشته نقطه هاي جهاني که در محل برخورد علامتهاي نور فرستاده شده از نقطه صفر، واقع مي شوند. پس اين دستگاه مختصات ناوردا(تغييرناپذير) يا «مطلق» بالاترين نوع تجريدي است. در واقع بايستي عادت شود که چنين مجرداتي جاي تصور اتر مادي رادر نظريه جديد پر کنند. نيرومندي اين مجردات در اين جاست که هيچ چيزي را با خود نمي آورند که از حوزه مفهومهاي ضروري براي توضيح تجربيات فراتر رود.
اينک منحنيهاي معيار که يکاهاي طول و زمان را روي يک دستگاه لخت اختياري x، ct قطع مي کنند، بايد با اين دستگاه مرجع مطلق X، Y سخت بسته شوند. اين منحنيهاي معيار بايد به وسيله قانون ناوردا به دست آمده باشند، و مسئله براي يافتن چنين قانوني است.
خطهاي نور خود ناوردايند. محور X (y = 0) در يک دستگاه مرجع که به وسيله معادله x = ct نمايش داده مي شود، در يک دستگاه مرجع ديگر 'S به وسيله معادله 'x' = ct، چون اين معادله ها تصريح مي کنند که سرعت نور در هر دو دستگاه به يک اندازه است. اينک مي خواهيم تفاضل 'x' - ct را که براي نقطه هاي محور Y برابر با صفر است، با کمک تبديل لورنتز x' = x - vt ,y' = y ,z' = z ,t' = t بر حسب مختصات x، ct محاسبه کنيم، به اين ترتيب که:

در اين جا نيز بر طبق معمول مي رسيم به
[1]

ديده مي شود که اگر x - ct = 0 باشد، همچنين x' - ct' = 0 خواهد شد.
براي محور (Y (X = 0 نتيجه مي شود x = - ct و 'x' = - ct. اگر بخواهيم همين محاسبه تبديلي مربوط به 'x' + ct را بر حسب x، ct انجام دهيم، فقط بايد c را در حاصل قبلي به c - تبديل کنيم، پس به همين نحو B را به B - ، در حالي که

تغيیر نخواهد کرد، و در نهايت به دست مي آوريم.

ولي در اين دو دستور ساختمان يک ناوردا به آساني ديده مي شود، در واقع به صورت
از اين رو، اگر دو طرف در هم ضرب شوند، عامل ضرب به صورت عدد 1 در مي آيد و نتيجه مي شود:
(x' – ct') (x'+ ct')(x – ct)(x+ct)
یا

یعنی عبارت
[2]

يک ناوردا است. اين عبارت را به علت خصوصيت پايه اي آن، ناورداي بنيادي مي خوانيم. مي بينيم که F داراي بعد [l^2 ] است.
از اين ناوردا ابتدا به منظور تعيين يکاي طول و زمان در يک دستگاه مرجع اختياري s استفاده مي کنيم، اين يکاها به وسيله خط کشهاي و ساعتهايي که همگي داراي اندازه و ساختمان يکسانند، در دستگاه هاي مختلف s وارد مي شوند. با آنکه اين يکاها به ترتيب بعد طول و زمان را دارند، و ناورداي بنيادي داراي بعد سطح است، يکاهاي مقياس را به هنگام معرفي مقادير تصريح نمي کنيم. پس مثلا F=1 يعني F=1〖cm〗^2، البته به شرطي که cm به عنوان يکاي طول انتخاب شده باشد.
بنابراين به دنبال همه آن نقطه هاي جهاني مي رويم که F براي آنها اندازه 1+ يا 1- را داشته باشد.
براي نقطه جهاني t = 0 , x = 1 محققاً F = 1 است. ولي اين همان نقطه انتهاي مقياس يکاست که در لحظه t = 0 از نقطه صفر دستگاه مرجع S درجه شده است. از آن جا که اين وضع براي کليه دستگاهاي مرجع s به طرز يکسان وجود دارد، نتيجه مي گيريم که نقطه هاي جهاني اي که براي آنها F = 1 است، به طوري که هم اکنون به تفصيل ملاحظه خواهيم کرد، يکاي طول ساکن در يک دستگاه مرجع اختياري S را معرفي مي کنند.
براي نقطه جهاني ct = 1 , x = 0 نيز به همين ترتيب F = - 1 است. پس اين نقطه جهاني به طرزي مشابه با يکاي زمان دستگاه ساعت ساکن در دستگاه S، وابستگي دارد.
اينک نقطه هاي F = +1 و F = -1 را به آساني مي توان به صورت هندسي ترسيم کرد. بدين نحو که عمل ترسيم از دستگاه مختصات ناورداي XY آغاز مي شود. محور X از مجموع نقطه هايي تشکيل خواهد شکه براي آنها Y = 0 است؛ از سوي ديگر، همين نقطه هاي جهاني در يک دستگاه لخت اختياري S بدين وسيله مشخص مي شوند که x = ct است. از اين رو Y بايد با x - ct تناسب مستقيم داشته باشد. پس در ضمن اينکه يک يکاي مناسب براي Y انتخاب کنيم، مي توانيم بنويسيم:
y=x-ct
و مشابه همين رابطه را نيز مشاهده محور Y به دست مي آوريم، بهاين صورت که:
x=x+ct
سپس مي توان نوشت:
[3]

F = XY به طور معلوم سطح يک متوازي الاضلاع با ضلعهاي X و Y را معرفي مي کند. چنانچه بخواهد نقطه جهاني را بيابند که براي آن F = XY = 1 بوده باشد، فقط بايد توجه شود که متوازي الاضلاع تشکيل شده از مختصات X ،Y به مساحت1 باشد، همگي اين متوازي الاضلاعها رامي توان به تصور آورد. از جمله اين اشکال، يکي هم مربع است با ضلع 1؛ ما بقي هر قدر باريکتر شوند، ارتفاع آنها بيشتر خواهد شد، و هر قدر پهنتر، همان قدر نيز کم ارتفاع تر، درست بر طبق رابطه Y = 1 / x (ش. 2). نقاط Y ،X طبعاً منحني اي را تشکيل مي دهند که به محور X و به محورY پي در پي بيشتر و باز هم بيشتر نزديک مي شود. اين منحني را هذلولي متقارن مي نامند. هرگاه X و Y هر دو منفي باشند، X × Y مثبت است؛ از اين رو در ساختمان تصوير يک شاخه هذلولي دوم که قرينه شاخه نخستين است، در ربع مساحت متقابل پديد مي آيد.
نظير همين صورت ترسيمي در دو ربع مساحت ديگر براي F = - 1 پيش مي آيد، به طوري که مختصه هاي X و Y با علامتهاي مخالف خواهند بود.
اين چهار هذلولي اينک منحني معيار مورد نظر را تشکيل مي دهند، به طوري که به وسيله ی آنها يکاهاي لازم براي طولها و زمانها در مورد کليه دستگاه هاي مرجع x، ct تثبيت خواهند شد.
محور x شاخه هاي هذلولي F = + 1 را در دو نقطه p و 'p قطع مي کند؛ محور t شاخه هاي هذلولي F = - 1 را درQ و 'Q (ش. 3).
اينک خطي را از P به موازات محور ct مي گذرانيم و ادعا مي کنيم که اين خط با يک نقطه دوم شاخه راست منحني معيار F = + 1 برخورد نمي کند، مگر در نقطه P که درست مماس بر منحني است. به عبارت ديگر مي گوييم، هيچ نقطه اي از اين منحني معيار در سمت چپ خط راست مزبور واقع نمي شود، يعني سراسر شاخه منحني در سمت راست اين خط سير مي کند، پس مختصات کليه نقاطش از طول OP بزرگتر است.
عملا هم همين طور است. چون براي هر نقطه منحني معيار ، خواهيم داشت ؛ پس براي يک نقطه p متعلق به منحني معيار که در عين حال روي محور (x (t = 0) قرار گرفته است، خواهد بود، حال آنکه براي هر نقطه ديگر متعلق به منحني معيار به مقدار مثبت برعدد 1 اضافه مي شود. بنابراين، OP = 1 و x براي هر نقطه اي از شاخه راست منحني معيار بزرگتر است از عدد 1.
کاملاً به همين وضع خواهد بود که خط عبوري از 'p به موازات محورct با شاخه سمت چپ هذلولي F = 1 در 'p مماس مي شود، ونيز اين که دو خط عبوري از دو نقطه Q و 'Q به موازات محورx با شاخه هاي هذلولي F = - 1 در نقطه هاي Q و 'Q مماس خواهند شد. در ضمن روشن است که فاصله OQ = 1 خواهد بود. چون نقطه Q بر منحني معيار و در عين حال بر محور ct داراي مختصات x = 0 قرار مي گيرد. پس براي نقطه مزبور =1 يا ct = 1 خواهد بود.
دو خط موازي با محور ct که از P و 'P مي گذرند، خطهاي نور را که در نقاط R و 'R تلاقي مي کنند، ولي دو خط عبوري از Q و Q و به موازات محور x نيز از همين دو نقطه R و 'R مي گذرند. چون مثلا براي نقطه R، تساوي x = ct برقرار است، زيرا که اين نقطه روي محور X واقع مي شود، و 1 = x است، زيرا که همين نقطه در عين حال خط عبوري از p و موازي با محور ct واقع مي شود. از اين جا نتيجه مي شود ct = 1، يعني اين نقطه روي يک خط موازي با محور x که از Q مي گذرد، واقع شده است.
اينک ديده مي شود که اين محور ترسيمي x با آن نقطه هاي جهاني همزمان داده شده، مطابقت دارد. چون محورct که بر OQ قرار گرفته است، و دو خط متوازي PR و 'P'R سه نقطه جهاني را نمايش مي دهند که يکي از آنها که O باشد، در ميانه راه بين دو نقطه ديگر 'P , P واقع مي شود. چنانچه يک علامت نوري از مبداء O به دو سمت فرستاده شود، اين علامت دو طرفي نوري به توسط خطهاي نورX ,Y نمايش داده خواهد شد، از اين رو با هر دو نقطه جهاني طرفيني در R و 'R برخورد مي کند. نتيجه اينکه، درست مانند آنچه که از ترسيم اخير به دست مي آيد، اين دو نقطه جهاني همزمانند، و خط اتصال آنها به موازات محور x قرار مي گيرد.
نتيجه مطالب مذکور را به صورتي کوتاه خلاصه مي کنيم.
محورهاي x , ct متعلق به يک دستگاه مرجع S به صورتي قرار مي گيرند که هر يکي از آنها به موازات آن خطي است که منحني معيار را در نقطه تقاطع با محور ديگر لمس مي کند.
يکاي طول به صورت پاره خط OP نمايش داده مي شود؛ يکاي زمان به صورت پاره خط OQ تعين مي گردد که البته باز يکاي طول را بيان مي کند، براي آنکه آن را در مقياس ct وارد کرده ايم.
هر خط جهاني راست که از مبداء مي گذرد و شاخه هاي منحني معيار F = 1 را تلاقي ميکند، مي توان به عنوان محور x پذيرفت؛ آنگاه محور ct در حکم خط موازي با خط مماس در نقطه P تثبيت خواهد شد. به همين نحو همچنين مي توان محور ct را به عنوان يک خط جهاني اختياري منظور کرد، به طوري که شاخه هاي منحني معيار F = - 1 را قطع کند؛ سپس محور x مربوطه به طريق مشابه به وضوح معين است.
اين قاعده هاي به جاي عبارتها مکانيک سنتي به کار مي روند. در آنجا محور x براي کليه دستگاه هاي لخت يکسان بود، يکاي طول بر اين محور تثبيت مي شد و يکاي زمان برابر بود با فاصله بين نقطه اي که از تقاطع يک خط معين و متوازي محورx با محور عمومي مايل ct پديد مي آمد.
اينک چگونه است که تفاوت اين ترکيبهاي ظاهراً چنين مختلف، واقعاً به زحمت قابل تشخيص است؟
اين به علت بزرگي اندازه سرعت نور c است در قياس با سرعتهاي عادي جسمهاي محيط زمين. به عنوان نمونه، يکاي 1cm بر محور ct مطابق است با زمان بسيار اندک . مثلا اگر بخواهند 1sec و 1cm را با دو پاره خط به طول يکسان نمايش دهند، طبعاً بايستي صورت ترسميي را در امتداد t فشرده کنند، به طوري که همه پاره خطهاي متوازي به نسبتc : 1cm / sec برهم فشرده شوند. اگر c = 10cm / sec بوده باشد، صورتي به دست مي آيد مانند شکل 4. بدين نحو که دو خط نور زاويه حادي را تشکيل خواهند داد که حوزه جابه جايي محور x را مي سازد. ولي زاويه جابه جايي محور t در عوض بسيار بزرگ مي شود و منحني معيار t بسيار تخت. از اين رو براي دستگاه هايي که سرعت نسبي آنها در قياس با c بسيار کوچک است، اختلاف قابل ملاحظه اي بين يکاهاي زمان پديد نخواهد آمد. اما هر قدر c بزرگتر گردد، اختلاف کمي بيشتري در تفاوت امتداد x و t ايجاد خواهد شد. براي اندازه واقعي c، يعني براي c = 3 × 〖10〗^10 cm / sec عمل ترسيم را بر صفحه کاغذ به هيچ وجه نمي توان انجام داد: دو خط نور عملاً بر هم قرار خواهند گرفت، پس امتداد x هماره بين اين دو خط واقع مي شود، در همه حال ثابت است. اين درست همان فرض حرکت شناسي معمولي است. پس مي بينيم که اين يک حالت خاص، يا به عبارت بهتر، يک حالت حد حرکت شناسي اينشتين است، يعني حالت حد سرعت نور بينهايت بزرگ.

خطکشها و ساعتهاي متحرک

اکنون مي خواهيم به ساده ترين پرسشهاي حرکت شناسي (سينماتيکي) پاسخ گوييم، يعني به قضاوتي که يک مقياس طول و تنها همين مقياس طول را و نيز به يک مدت زمان و تنها همين مدت زمان را براي دستگاههاي مرجع مختلف قائل است.
يک خطکش يکا از نقطه صفر دستگاه S در امتداد محور x قرار داده مي شود؛ اينک مي پرسيم، طول اين خطکش در دستگاه 'S چقدر است. اينکه طول اين خطکش در 'S به همان اندازه نخواهد بود، کاملاً روشن است. چون يک ناظر متحرک با دستگاه 'S، موقعيت هر دو انتهاي خط کش را همزمان اندازه مي گيرد، يعني همزمان در دستگاه مرجع 'S. اما به معناي همزماني در دستگاه S نيست. به اين ترتيب، اگر موقعيت يک انتهاي خط کشي در S و نيز در 'S همزمان قرائت شود،م وقعيت انتهاي ديگر خطکش به توسط ناظران متعلق به دستگاه هاي S و 'S بر حسب زمان S قرائت نمي شود؛ ولي دستگاه 'S در اين فاصله زماني حرکت کرده است، پس قرائت افراد ساکن در 'S با يک جابه جايي موقعيت انتهاي دوم خط کش مرتبط خواهد شد.
اين کيفيت در بادي امر مأيوس کننده به نظر مي رسد. بسياري از مخالفان اصل نسبيت هستند که طول خطکشي را اندازه گرفته بر اين معضل تکيه مي کنند و بانگ برمي دارند که: «آري، با ساعتهاي تقلبي البته مي توان همه چيز را استخراج کرد؛ اينک مي بينيم که اعتقاد کورکورانه به نيروي سحرانگيز دستورهاي رياضي به چه فکرهاي ساده لوحانه اي منتهي مي شود». سپس نظريه نسبيت را سرتا پا هيجان دشنام مي دهند. اميدواريم که خوانندگان اين سطور دريافته باشند که دستورهاي رياضي به هيچ وجه اساس قضيه را تشکيل نمي دهند، يک مسئله بر سر ارتباطهاي صرفاً مفهومي است که فهم آنها بدون رياضيت هم مسلماً ممکن است؛ بدون ترديد امکان مي داشت که از اين دستورها و حتي از تصويرهاي هندسي به کلي صرف نظر شود و همه مطالب با عبارتهاي زبان عادي بيان گردد، منتها آن مطالب به حدي انبوه و کتاب به اندازه اي قطور مي شد که هيچ ناشري آن را چاپ نمي کرد و مورد استفاده خواننده اي قرار نمي گرفت.
به منظور حل مسئله تعيين طول خط کش در دو دستگاه S و 'S، ابتدا از تصوير مربوط به x، ct استفاده مي کنيم (ش. 5).
فرض مي کنيم که خط کش در دستگاه(S(x، ct ساکن بوده باشد؛ از اين رو خط جهاني نقطه آغاز اين خط کش عبارت است از محور ct، و خط جهاني نقطه پايان آن نيز خطي است که در فاصله 1 به موازات همين محور قرار مي گيرد؛ خط اخير نيز در نقطه P با منحني معيار مماس است. به اين ترتيب، سراسر خطکش براي همه زمانها با نور پردازشده بين اين دو خط نمايش داده مي شود.
اينک بايستي درازاي اين خط کش در دستگاه ('S'(x',ct معين شود، با اين فرض که 'S نسبت به S حرکت مي کند؛ پس محور 'ct اين دستگاه نسبت به محور ct دستگاه S مايل قرار مي گيرد. به منظور يافتن محور مربوطه 'x، خط مماس بر منحني معيار را از نقطه تلاقي ب محور 'ct با اين منحني (از نقطه Q) ترسيم مي کند و آنگاه خط را به موازات اين خط مماس از نقطه O خارج مي کنيم. اينک فاصله يکاي طول بر محور x را نمايش مي دهند. ولي طول خط کش يکاي ساکن در S، که در دستگاه S اندازه گرفته شده است، با فاصله تعيين مي شود، و اين فاصله اي است است که نوار پرداز شده و نمايش دهنده خط کش از محور 'x قطع مي کند؛ طبعاً از کوتاهتر است، پس از 1 کوچکتر است: خطکش در دستگاه متحرک 'S کوتاه شده به نظر مي رسد.
اين درست همان توضيحي است که به توسط فتيز جرالد و لورنتز در خصوص آزمايش مايکلسون و مربوط به فکر انقباض داده شده و در اين جا به صورت يک نتيجه طبيعي از حرکت شناسي اينشتين ظاره مي گردد.
چنانچه قضيه برعکس باشد و يک خطکش ساکن در دستگاه 'S از ديدگاه دستگاه S اندازه گرفته
شود، باز اين خط کش به همين نحو کوتاه شده به چشم خواهد خورد، و نه درازتر شده؛ چون چنين خط کشي به وسيله نواري نمايش داده مي شود که بين دو مرز محور 'ct و خط جهاني موازي و عبوري از 'P قرار گرفته باشد، با توجه به اينکه خط موازي اخير فاصله يکاي 'OP متعلق به دستگاه S را در يک نقطه دروني 'R تلاقي مي کند، به طوري که OR از 1 کوچکتر خواهد بود.
پس همان طور که نظريه نسبيت انتظار دارد، انقباض يک پديده متقابل و دوطرفه است. اندازه کوتاه شدن را به بهترين وجه با کمک تبديل لورنتز به دست مي آوريم( t )
فرض مي کنيم که l_0طول خط کش به حالت سکون در دستگاه مرجع 'S بوده باشد؛ l_0 گاهي همچنين طول سکون باطول ويژه خط کش ناميده مي شود. و نيز فرض مي شود که دو انتهاي خط کش را در دو نقطه و نمايش دهند، پس
هرگاه خط کش از موضع S مشاهده شود، از نخستين دستور

چنين برخواهد آمد که

به طوري که ، و ، مختصات و را در دستگاه S نمايش مي دهند. اينک اندازه گيري طول بايستي در S انجام شود، يعني مختصه هاي x_1 و x_2 را بايد در S همزمان قرائت کنيم! پس مي نويسيمt_1=t_2. دو معادله را از يکديگر تفريق مي کنيم، نتيجه مي شود:

اينک اگر را برابر با l اختيار کنيم، مي توانيم بنويسيم:
[4]
معناي تساوي اخير اين است که طول خطکش در دستگاه S به نسبت کوتاه به نظر مي رسد، درست مطابق با فرضيه انقباض فيتز جرالد و لورنتز.
مشابه همين حالت براي تعيين يک فاصله زماني در دستگاه هاي مختلف S و 'S معتبر است.
فرض مي کنيم که تعداد بيشمار دستگاه ساعت را که همگي دقيقاً مطابق يکديگر کار کنند، به کليه نقاط فضاي دستگاه S منتقل کرده باشند. عقربه اين ساعتها بر حسب مواضع معيني در دستگاه S يکسان و همزمان ميزان شده اند؛ موضع به وسيله نقطه هاي جهاني محور x نمايش داده مي شود، وموضع به وسيله نقطه هاي جهاني خط موازي با محور x و گذرنده از نقطه Q (ش. 6).
فرض مي کنيم که ساعتي را در نقطه صفر دستگاه 'S قرار داده باشند که براي t = 0، زمان 't را نيز برابر نشان دهد (t' = 0). اينک مي پرسيم، چنانچi ساعت دستگاه 'S که در همين نقطه قرار گرفته است، 〖ct'〗_2 را دقيقاً برابر با 1 نشان دهد ، عقربه هاي ساعت دستگاه S در چه موضعي قرار خواهند گرفت. اندازه 〖ct'〗_2 مورد نظر محققاً نقطه 'Q است که از نقاطع محور 'ct با منحني معيار F = - 1 به دست مي آيد. نقطه R، که در محل آن محور 'ct خط موازي با محور x و عبوري از نقطه 'Q را قطع مي کند، همزمان است با 'Q در S؛ پس 〖ct〗_2 به وسيله ی خط (OR) ̅ مشخص خواهد شد. تصوير نشان مي دهد که بنابراين، 〖ct〗_2 بزرگتر است از〖ct〗_1=1. و اين بدان معناست که يک ف اصله زماني در دستگاه 's، اگر در دستگاه S در نظر گرفته شود، طولانيتر به نظر خواهد رسيد.
به اين ترتيب، يکاي زمان در دستگاه S اگر در دستگاه 'S اندازه گرفته شود، بعکس بزرگتر به چشم خواهد خورد؛ چون 'R و Q در دستگاه s همزمانند و
به منظور تعيين اندازه اين کشيدگي، يک فاصله زماني T_0 را در نظر مي گيريم که در لحظه آغاز نمايد، در لحظه پايان يابد و به توسط ساعتي که در 'S بي حرکت است اعلام گردد، سپس از دومين دستور خواهيم داشت.

سراسر زمان T_0 را در محل ساعت ساکن در ( = )s' اندازه مي گيريم. براي مختصات اين ساعت در دستگاه S، مستقيم يا به توسط نخستين دستور به دست مي آوريم: ( ) = v ( - )، زيرا که اين ساعت نسبت به دستگاه S داراي سرعت v است. اينک را از کم مي کنيم:

با T_0 در S پيوند دارد. پس کشيدگي زمان قضيه معکوس فشردگي دراز است.
پس يکاي زمان ساعتي هم که در دستگاه S ساکن است، طبعاً در دستگاه 'S کشيده شده به نظر خواهد آمد.
مي توان گفت، به نظر ساکنان يک دستگاه غير مشخص، ساعتهاي هر دستگاهي که در خلاف جهت دستگاه آنها در حرکت باشند، کند کار مي کنند. جريانهاي زماني در دستگاه با حرکت نسبي کندترند، همه فرايندها در اين دستگاه نسبت به فرايندهاي نظير خود در دستگاه ساکن منظور شده، تأخير دارند. بعداً به آنچه که از اين وضع غالباً به صورت غيرعادي تجلي مي کند، بازخواهيم گشت.
اعلام زمان ساعت در دستگاه مرجعي که در آن ساعت مزبور ساکن است، زمان ويژه دستگاه نامند. اين زمان نظير «زمان محل» لورنتز است. پيشرفتگي نظريه اينشتين بيشتر به برداشت اصولي اين نظريه مربوط مي شود، نه به جنبه صوري قوانين. زمان محل در نزد لورنتز، برخلاف زمان حقيقي يا مطلق، به عنوان کميت رياضي ظاهر مي گردد. اينشتين به اين نتيجه رسيد که هيچ وسيله اي وجود ندارد براي آنکه اين زمان مطلق را از زمانهاي محلي داراي حق متساوي، که تعدادشان بينهايت زياد است و به دستگاه هاي مرجع متحرک مختلف اختصاص دارند، متمايز کند. و اين بدان معناست که زمان مطلق هيچگونه حقيقت فيزيکي ندارد. اعلامهاي زمان فقط در ارتباط با دستگاه هاي معين داري معنا خواهند بود. بدين نحو نسبي سازي مفهوم زمان انجام شده است.
منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (1371)، نظريه ي نسبيت اينشتين، ترجمه ي هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ چهارم.