انرژي و اندازه حرکت نزد اينشتين

استخراج قانون بقاي جرم يا انرژي تنها به اتکاي قانون بقاي اندازه حرکت يک نشانه آشکار بر وجود ارتباط نزديک بين اندازه حرکت و انرژي که مانند ارتباط بين فضا و زمان به عنوان مختصات جديد واقعيت در نظريه نسبيت ظاهر مي شود.
در بخش سوم همين فصل، ناورداي بنيادي را از تبديل لورنتز استخراج کرديم، به طوري که x و t دو گانه مختصات يک نقطه جهاني اختياري P را در دو دستگاه S و 'S داراي مبدأ واحد به وسيله مختصات (x, t) و ('x', t) آن نماش دهيم، تساوي

مستقل از دستگاه مختصات صادق است.
از اندازه حرکت p = m (u) × u و انرژي متعلق به يک نقطه مادي، مي توانيم بارتي به دست آوريم و آن را بر اساس دستور خلاصه کرده به صورت زير بنويسيم:
[1]

مي بينيم که اين صورت يک ناورداست، يعني از دستگاه مختصات خاصي که در آن اندازه حرکت و انرژي را اندازه بگيريم، مستقل است. در اين جا اين نکته به ذهن مي رسد که خارج قسمت اندازه حرکت p و E به c^2 (يا به عبارت ديگر، اندازه حرکت p و جرم m) از يک دستگاه S در يک دستگاه ديگر 'S به طرزي مشابه x و t، تبديل مي شوند، در واقع به وسيله تبديل لورنتز.
اين قضيه را مي توانيم اثبات کنيم. فرض مي کنيم که 'S از ديدگاه S داراي سرعت v باشد (همه سرعتها به منظور سهولت در جهت v قرارمي گيرند)، آنگاه خواهيم داشت:
در S اندازه حرکت: pm (u) × u، انرژي: ؛
در 'S اندازه حرکت: 'p'm(u')u، انرژي:
سرعتهاي u و 'u به وسيله قضيه جمع سرعتها با هم مربوطند

اينک محاسبات زير را انجام مي دهيم:

[1b]

و
[2b]

پس مي بينيم که اين دو دستور به ترتيب با نخستين و چهارمين معادله دستور مطابقت دارند.
هرگاه اندازه حرکت به موازات محور x نباشد، به طوري که مؤلفه هاي اين اندازه را به ترتيب در S و 'S نمايش دهند، در معادله هاي [2 a] و [2b] جاي p به p_x و جاي 'p به 'p بايد داده شود و نيز در جمع معادلات قرار گيرند. حال اگر دستورها را برگردانيم، تساويهاي زير را به دست مي آوريم:

يعني مطابق با
دستور [1] بسيار با اهميت است. اين رابطه امکان مي دهد که p بر اساس انرژي معلوم E محاسبه شود، و به عکس:
[1a]

[1b]

در ضمن بيان توضيحات اينشتين در خصوص قانون پايه ساز لختي انرژي، از ارتباطي که بين انرژي و اندازه حرکت يک قطار موج نور برقرار است، استفاده کرديم: p =E / c. اينک نور يک جريان انرژي با سرعت c است؛ پس جرم ساکن آن طبق نظريه نسبيت بايد صفر باشد: m_0=0 . بدين نحو تساوي [1a] عملاً به p = E / c تبديل مي گردد.
يکي از کاربردهاي بسيار جالب توجه دستورهاي p و E در نظريه کوانتومي پيش مي آيد، و ما مي خواهيم به اختصار در اين مورد صحبت کنيم. فهم اتمها و صفاتشان برپايه نظريه کوانتومي استوار است. اين نظريه به کوشش پلانک (1900) پي ريزي شد، و يکي از دستاوردهاي اصلي آن در حقيقت «کوانتومي نمودن» انرژي نور است که مي گويد: انرژي پرتو نور داراي بسامد v نمي تواند هر اندازه اي را دارا باشد، اين انرژي از کوانتومهاي داراي مقادير متناهي تشکيل شده است.
[3]

به طوري h ثابت اصلي پلانک را نمايش مي دهد و ناظر بر کليه فرايندهاي اتمي است، از [3] مي توان جرم و اندازه حرکت کوانتومي نوري را محاسبه کرد
[4]

[ λ=c⁄v طول موج نور است؛]. به همين ملاحظه موج نور را مي توان در حکم جريان ذراتي تلقي کرد که داراي جرم ساکن صفر، اندازه حرکت و انرژي باشند.
اين کوانتومهاي نوري با فوتونها مي توانند به ذرات نوع ديگر تبديل شوند، البته به شرطي که بقاي انرژي و اندازه حرکت در عين حال تضمين شده باشد. اينک به مورد خاصي توجه مي کنيم که در آن يک قانون بقاي ديگر نيز صدق مي کند، و اين در مورد بار الکتريکي است. قانون مزبور يکسان ماندن مجموع بار ذرات واکنش کننده را به هنگام قبل و بعد از واکنش الزامي مي داند. حال اندرسن (1) (1932) به اين نتيجه رسيد که کوانتومهاي نوري در ضمن برخورد با ديگر ذرات (هسته هاي اتمي)، مي توانند به يک جفت ذره نوع ديگر تبديل شوند، به طوري که يکي از آن دو يک الکترون است، و ديگري پاره مثبت متضاد آن که پوزيترون خوانده مي شود. اندرسن پوزيترون را در حين اين موقعيت کشف کرده است. پوزيترون - صرفنظر از بارش که برابر با بار الکترون ولي با علامت مثبت - درست همان صفات الکترون را داراست. شرط بقاي بار در ضمن ايجاد اين جفت ذره برقرار است. قانون بقاي انرژي حکم مي کند که انرژي کوانتوم نوري ε از که انرژي جرم ساکن يک جفت ذره است، بزرگتر باشد. اما اين هنوز کافي نيست. شرط قانون اندازه حرکت هم بايد جمع باشد .
اينک به آساني مي توان ملاحظه کرد که کوانتومهاي نوري امکان توليد ذرات جفت در فضاي آزاد را ندارند، زيرا که هر دو شرط بقا همزمان فراهم نيست. بدون وارد شدن به جزئيات، در واقع مي توان چنين استدلال کرد: هرگاه چنين تبديلي ميسر باشد، اين تبديل را مي توان در هر دستگاه مرجعي توصيف کرد. براي ناظري که در يک دستگاه 'S قرار دارد و سرعت v در جهت حرکت کوانتومهاي نور حرکت مي کند، انرژي اين کوانتومها بنابر [1b] با توجه به تساوي و نيز حل معادله به حسب ε') عبارت است از:
[5]

از اين رو اگر سرعت به اندازه کافي کوچک انتخاب شود، را مي توان تا حد دلخواه کوچک کرد، از اين کيفيت پي برده مي شود که انرژي نمي تواند بقاي خود را در 'S حفظ کند، چون اين انرژي همان طور که ملاحظه کرده ايم، در هر دستگاه بايد از بيشتر باشد.
از اين رو براي آنکه توليد جفت تحقق يابد، حضور يک ذره ديگر الزامي است، و اين ذره انرژي و اندازه حرکت را به نحوي بايد حذب کند تا شرط قواين بقا به وجود آيد. به همين سبب است که توليد جفت به وسيله پرتوهاي γ فقط درحول و حوش هسته هاي اتمي روي مي دهد. هسته در ضمن اين فرايند تغيير نمي کند و فقط وظيفه اجراي قوانين بقا را به عهده دارد. اينک اين ايراد که انرژي فوتونهاي در دستگاه متحرک 'S به اندازه اي جزئي است که شرط ديگر نمي تواند برقرار باشد، از اين رو پس وارد نيست، زيرا که هسته اتم در 'S داراي يک مقدار بسيار زياد انرژي است و کمبود انرژي را مي تواند جبران کند.
در نظريه نسبيت رابطه اي بين جريان و بار وجود دارد که مشابه است با رابطه بين فضا و زمان يا بين اندازه حرکت و انرژي که راجع به آن قبلاً صحبت شد. اينک مي خواهيم به اختصار راجع به رابطه مزبور صحبت کنيم و در ضمن بر آموزش الکتريسيته نسبيتي نگاهي افکنيم.
فرض مي کنيم، N الکترون با بار Ne در مکعبي به يال l_0قرار گرفته باشند. پس چگالي بار ρ_0 در مکعب بالغ است بر

اگر بارها ساکن باشند، شدت جريان j_0 صفر است.
ناظري که نسبت به او بارها با سرعت v در امتداد يک يال در حرکتند، يک انقباض حجم در حد ملاحظه خواهد کرد، زيرا که يال موازي با امتداد سرعت به اندازه منقبض مي شود. اما تعداد الکترونها که البته به دستگاه مرجع بستگي ندارد. از اين رو ناظر مزبور يک چگالي بار
[6]

را اندازه مي گيرد.
ولي بارهاي متحرک يک جريان الکتريکي درون حجم را نمايش مي دهند. شدت اين جريان به تحقيق بالغ است بر
[7]

اينک نيز، مانند مورد گذشته که از x و t يا از p و m به يک ناوردا رسيديم، از [6] و [7] مي توانيم ناورداي زير را استخراج کنيم:
[8]

تساويهاي [6] و [7] را همچنين مي توان به صورت زير نوشت:

به طوري که m و p به ترتيب جرم و اندازه حرکت را نمايش مي دهند. در نتيجه، j و p مانند p و m تحت قاعده يکسان تبديل مي شوند (تبديل لورنتز):

و بعکس

در انطباق با
نتيجه اخير ما را به يک اثر جالب توجه هدايت مي کند. يک رشته سيم راست و بلند که ساکن باشد و جرياني را بگذراند، از حيث الکتريکي خنثي است، چون اين سيم به تعداد الکترونهاي متحرک خود، داراي يونهاي مثبت ساکن است. فرض مي کنيم که سرعت الکترونها بالغ بر u باشد. از اين رو چگالي بار و شدت جريان را مي توان به صورت زير نوشت:
براي الکترونها

براي يونها
حال آنکه يک ناظر داراي سرعت v در امتداد سيم، اين سيم را از لحاظ الکتريکي باردار تلقي مي کند، چون اين ناظر چگالي بارهاي زير را اندازه مي گيرد

پس از جمع زدن اين دو چگالي، باقي مي ماند چگالي

مي بينيم که سيم مثبت بار شده است.
اين کيفيت را مي توانيم در يک نمودار ترسيمي x, ct به روشني نمايش دهيم (ش. 1b) به منظور سهولت، الگوي خطي سيم را در نظر مي گيريم و يونها و الکترونها را يکسان فاصله دار و به فاصله a فرض مي کنيم (ش. 1a). همچنين فرض مي کنيم که يونها و الکترونها در لحظه زماني يکسان t = 0 قرار گرفته باشند. خطهاي جهاني يونها به موازات محور ct قرار دارند، خطهاي جهاني الکترونها نيز بين خود متوازي، ولي به مقتضاي سرعت u در مجموع مايل. هرگاه اين سيم را از يک دستگاه ('ct و 'x) که با سرعت v نسبت به دستگاه (x, ct) حرکت مي کند، نظاره کنم، ملاحظه خواهيم کرد که فاصله يونها بر محور 'x با فاصله الکترونها تفاوت دارد. در شکل 1b، از کوچکتر است، از اين رو چگالي يونها الکترونها بزرگتر و سيم مثبت بار شده است.
اينک ميدانهاي جريانها و بارها را در دستگاه ها مورد توجه قرار مي دهيم. مي دانيم که يک رشته سيم از لحاظ الکتريکي خنثي، در دستگاه ct، x فقط به وسيله يک ميدان مغناطيسي محصور است، حال آنکه سيم از لحاظ الکتريکي مثبت بار شده است. به همين ملاحظه تصور ميدان الکتريکي و مغناطيسي در نظريه نسبيت به صورت طرح يک ميدان الکترومغناطيسي (E و H) منظور مي شود. ميدانهاي مزبور جدا جدا هيچ گونه معناي مستقلي ندارند. مؤلفه هاي ميدان الکترومغناطيسي (H ، E) بستگي به دستگاه مرجع دارند. به اين معنا که مثلاً، اگر در يک دستگاه S فقط ميدان مغناطيسي وجود داشته باشد ناظر در دستگاه 'S مضافاً يک ميدان الکتريکي هم مشاهده مي کند يا بعکس. به اين ترتيب، در مورد پديده هاي الکترومغناطيسي در ماده هاي متحرک (فصل پنجم، بند 11). به يک توضيح فوق العاده ساده مي رسيم: در شکل 103 و 105، يک تکه ماده در يک ميدان مغناطيسي حرکت مي کند. ناظر متحرک همراه اين ماده، مضافاً وجود يک ميدان الکتريکي را نيز محقق مي داند. اين ميدان الکتريکي در يک رشته رسانا موجب ايجاد جريان مي شود، حال آنکه در ماده نارسانا (عايق) بارهاي سطحي القا خواهد کرد.
با فاصله ی بین الکترونها متفاوت خواهد بود.

پي‌نوشت‌ها:

1. Anderson

منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (1371)، نظريه ي نسبيت اينشتين، ترجمه ي هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ چهارم.