توجیه کلاسیکی اثر کامپتون

هنگامی که موجی الکترومغناطیسی بر یک هدف فرود می‌آید، الکترون‌های مقیدِ هدف به نوسان با همان فرکانسِ موج فرودی واداشته می‌شوند. این الکترون‌های نوسان کننده امواجی الکترومغناطیسی در هر جهت با همان فرکانسِ نوسانِ خود تابش می‌کنند.
علاوه بر این تابش‌ها، در عمل مشاهده می‌شود که موج الکترومغناطیسیِ پراکنده‌ی دیگری با طولِ موجی بزرگتر از طول موجِ موجِ فرودی وجود دارد. اختلاف بین طول موج‌های این موج و موج فرودی در جهات مختلف متفاوت است و متناسب با فاکتور 1-cosθ می‌باشد که در آن θ زاویه‌ی پراکندگی (یعنی زاویه نسبت به خطِ انتشارِ موجِ فرودی که در آن آشکارساز، هدف را می‌بیند) می‌باشد.
تناسبِ خطیِ تجربیِ اختلافِ فوق‌الذکرِ طولِ موج‌ها با فاکتور 1-cosθ به‌وسیله ی استدلالِ کامپتون به شکلِ
Δλ=λ'-λ=(h/(m0c))(1-cosθ)
توجیه می‌شود که در آن فرض می‌شود که موج الکترومغناطیسی به‌شکل فوتون به الکترون برخورد می‌کند و باعثِ پس‌زده شدنِ خود می‌شود.
این مقاله برآن است که تناسب خطیِ تجربیِ فوق‌الذکر را به‌روشِ کلاسیکیِ ساده‌ای به‌دست آوَرَد. فایده‌ی این عمل این است که اولاً با این‌کار تقریبی کلاسیکی بر پدیده‌ای که تاکنون کوانتمی (و نسبیتی) قلمداد می‌شده است ارائه می‌شود، و ثانیاً تناسبِ Δλ با λ که غیبتِ آن در استدلال کامپتون مایه‌ی تعجب بوده است [1 و 2 و 3] ظاهر خواهد شد.

استدلال
 

از آنجا که یک پرتوی الکترومغناطیسیِ درحالِ فرود بر یک هدف، دارای انرژی است باعث می‌شود که الکترون‌های آزادِ هدف شروع به حرکت به داخلِ هدف در جهتِ انتشارِ موج نمایند. درحقیقت می‌توان گفت که پرتو به مولکول‌های گازِ مجاورِ هدف انرژی می‌دهد و باعثِ گرمی یا درواقع افزایشِ موضعیِ تحرک آنها می‌گردد که به‌نوبه‌ی خود باعث ضَرَباتِ زیادِ آنها بر هدف می‌گردد. قسمتی از این ضربات به الکترون‌های آزادِ هدف منتقل شده و باعث حرکتِ آنها به‌سمتِ داخل هدف در جهت انتشار موج می‌گردد. واضح است که هنگامی که پرتوی فرودی عمود بر سطح هدف باشد، چون این ضربه‌ها در تمامِ جهاتِ ممکن است، اثرِ متوسطِ آنها حرکتِ الکترون‌های آزادِ هدف در جهتِ پرتوی فرودی خواهد بود. درواقع، حرکتِ الکترون‌ها به این روش تولیدِ نوعی جریانِ الکتریکی بسته‌ی موضعی می‌نماید که در اینجا مورد بحث ما نیست. (در استدلال کامپتون نیز باید به چنین جریانی که با حرکتِ الکترون‌های درحالِ پس‌زده شدن به‌سمت داخل به‌وجود می‌آید باور داشته باشیم.)
موجِ فرود آمده بر هدف نه‌تنها الکترون‌های مقیدِ هدف را به نوسان و تولید امواج پراکنده با همان طول موج پرتو وادار می‌نماید، بلکه همچنین الکترون‌های آزادِ درحالِ حرکت به‌سمت داخلِ هدف را مجبور به نوسان می‌کند. شکلِ زیر را درنظر گرفته و مکانیسمِ نوسانِ الکترون‌های آزاد و طول‌موج‌های تولید شده توسط آنها در جهات مختلف را مطالعه می‌کنیم.

موجِ i با طولِ موجِ λ بر الکترونِ e که درحالِ حرکت در همان جهتِ انتشارِ موج i با سرعتِ v می‌باشد فرود می‌آید. می‌خواهیم فرکانسِ نوسانی را که الکترون از موجِ i فرود آمده بر آن به‌دست می‌آورد به‌دست آوریم. سرعتِ انتشارِ موجِ i عبارت است از c. پس برای به‌دست آوردنِ فرکانس نوسانِ فوق‌الذکر می‌توانیم فرض کنیم که الکترون ساکن است اما موج i با سرعت c-v بر آن فرود می‌آید. بنابراین فرکانسِ دریافت شده توسطِ الکترون (c-v)/λ خواهد بود.
حال الکترونی درحالِ حرکت با سرعتِ v و درحال نوسان با فرکانسِ (c-v)/λ داریم. واضح است که چنین الکترونِ درحالِ نوسانی، موجِ الکترومغناطیسی تابش می‌کند. می‌خواهیم طولِ موجِ این موجِ تابش شده را در جهتِ مربوط به زاویه‌ی θ به‌دست آوریم.
از آنجا که الکترون دارای سرعت v در جهتِ انتشارِ موجِ i می‌باشد وضعیت چنان است که گویا الکترون دارای سرعتِ vcosθ در جهت مربوط به زاویه‌ی θ می‌باشد. حال کافی است ببینیم چه طولِ موجی توسط الکترونی درحالِ حرکت با سرعتِ vcosθ و درحالِ نوسان با فرکانسِ (c-v)/λ در جهت حرکت (یعنی جهت θ) تابش خواهد شد. چون سرعتِ این موجِ تابش شده نیز c می‌باشد وضعیت مثل این است که الکترون ساکن است و درحالی‌که درحالِ نوسان با فرکانس (c-v)/λ است موجی با سرعت c-vcosθ در جهتِ θ تابش می‌کند. واضح است که طول موجِ چنین موجی عبارت است از:
λ'=(c-vcosθ)/((c-v)/λ)=((c-vcosθ)/(c-v))•λ
حال می‌توانیم Δλ=λ'-λ را محاسبه کنیم. نتیجه عبارت خواهد بود از:
Δλ=(vλ/(c-v))(1-cosθ)
چنان‌که می‌بینیم Δλ همچنین مستقیماً متناسب با طول موجِ موجِ فرودی (λ) می‌باشد.

پی نوشت ها :
 

[1] مبانی فیزیک نوین، ریچارد وایدنر و رابرت سلز، ترجمه‌ی بابایی و صفا، مرکز نشر دانشگاهی
[2] فیزیک کوانتمی (اتمها، مولکولها، جامدات، هسته‌ها، و ذرات بنیادی)، رابرت آیزبرگ و رابرت رزنیک، ترجمه‌ی ناصر نفری، مرکز نشر دانشگاهی
[3] فیزیک نوین و مکانیک کوانتمی، آلمر ای. اندرسون، ترجمه‌ی کیاست‌پور و پرورش و عمیقیان، مرکز نشر دانشگاهی
 

منبع: https://sites.google.com/site/essaysforrasekhoon/home/compton.pdf
/ن