بررسی کتاب «استخراج الأوتار» اثر ابوریحان بیرونی

آثار بیرونی درباره ی محاسبه ی وترها

ابوریحان در فهرستی که در 427 ق از آثار خود فراهم آورده به دو کتاب درباره ی محاسبه ی وترهای دایره اشاره کرده است: یکی اِسْتخراجُ الاَوْتار فی الدائِره بِخواصَّ الخَطَّ المُنْحَنی [الواقِع] فیها؛ یعنی یافتن اندازه ی وترهای دایره، از روی ویژگی های خط منحنی (در واقع: خط شکسته) که در آن است؛ و دیگری جَمْعُ الطُّرُقِ السّائِرَه فی مَعْرِفَه اَوتارَ الدائِرَه یعنی «گردآوری روش های رایج در شناخت (= یافتن اندازه ی) وترهای دایره». بیرونی اثر نخست را جزو آثار کامل شده و دومی را جزو آثار در دست تکمیل و اصلاح ثبت کرده است. در نتیجه باید گفت که تألیف اثر نخست پیش از 427 ق (سال تنظیم فهرست آثار بیرونی) و اثر دوم پس از این تاریخ به پایان رسیده است. امروزه دو روایت بسیار متفاوت، یکی مفصل و دیگری مختصر، از آثار بیرونی درباره ی وترها در دست است که با کمال تعجب هر دو استخراج الأوتار... نامیده شده اند. از روایت مختصر تنها یک نسخه ی خطی در کتابخانه ی شهر لیدِن (در هلند) می شناسیم. اما از روایت مفصل ظاهراً 3 نسخه ی خطی در کتابخانه های بانکیپور (هند)، قاهره (مصر) و استانبول (ترکیه) در دست است و چنان که خواهیم گفت با وضعی اسفناک در هند و مصر به چاپ رسیده است. در پایان نسخه ی خطی بانکیپور (مجموعه ی شماره ی 2468، رساله ی 42) این عبارت آمده است: «ابوریحان در رجب سال 418 ق از نگارش این کتاب آسوده شد». شادروان ابوالقاسم قربانی گویا با تکیه بر همین تاریخ چنین نتیجه گرفت که در این جا ظاهراً با دو کتاب از ابوریحان سر و کار داریم: یکی استخراج الاوتار... که به چاپ رسیده و دیگری جمع الطرق السائره... که نسخه ی یگانه ی آن در کتابخانه ی لیدن است. اما به نظر نگارنده باید در پذیرش این نظر احتیاط کرد. زیرا همان گونه که خود قربانی نیز تأکید کرده، شواهد بسیاری وجود دارد که روایت چاپی پس از نسخه ی خطی لایدن نوشته شده است. از این رو به نظر می رسد که بیرونی پس از اعمال تصحیحات و تغییرات اساسی در متن کتاب استخراج الاوتار آن را جمع الطرق السائره... نامیده و این کتاب همان است که در هند و مصر اشتباهاً با عنوان استخراج الاوتار... به چاپ رسیده است، و اگر این فرض را درست انگاریم، نسخه ی خطی لایدن نیز می تواند نسخه ای از کتاب اول ابوریحان، یعنی استخراج الاوتار باشد.

اهمیت کتاب

عبارتی که از آغاز این فصل از کتاب استخراج الاوتار نقل شد، به خوبی هدف ابوریحان از تألیف این کتاب را آشکار می سازد. ناگفته پیداست که بهترین روش آموزش هندسه ارائه ی روش های متفاوت حل یک مسأله یا اثبات قضیه است، تا دانش آموز بتواند با مقایسه ی این روش ها ذهن خود را تمرین دهد. ابوریحان نیز در استخراج الأوتار نخست 4 قضیه مطرح می کند. وی برای این چهار قضیه به ترتیب 22، 10، 3 و 3 برهان می آورد و در ضمن ارائه هر یک از این روش ها، به شباهت ها و تفاوت های میان روش های مختلف اشاره می کند. او تأکید می کند که می توان قضیه ی دوم را از روی قضیه ی نخست، و نیز قضیه ی نخست را از روی قضیه ی دوم اثبات کرد. اما نمی توان هر دو کار را با هم انجام داد. یعنی دست کم باید یکی از این دو قضیه را مستقل و بدون استفاده از دیگری ثابت کرد و سپس این قضیه ی اثبات شده را در اثبات قضیه ی دیگر به کار برد. همه ی 22 برهانی که برای قضیه ی نخست آمده، مستقل از قضیه ی دوم است، پس یک دانش آموز می تواند پس از اثبات قضیه ی نخست با یکی از این 22 روش، در اثبات قضیه ی دوم از قضیه ی نخست استفاده کند. در روش های سوم، پنجم، ششم، و هشتم قضیه ی دوم نیز از قضیه ی نخست استفاده نشده است. پس ابوریحان تأکید می کند که اگر از این روش ها قضیه ی دوم را ثابت کنیم، می توان در اثبات قضیه ی نخست از قضیه ی دوم نیز استفاده کرد. این نکات که ابوریحان به تفصیل به شرح آنها می پردازد در آموزش فلسفه، ریاضیات و بویژه هندسه از اهمیتی بسزا برخوردار است. برای آن که اهمیت موضوع روشن شود مثالی در این جا یاد می کنیم.
فرض می کنیم که دو قضیه ی A و B را این گونه ثابت کرده باشیم:
با توجه به درستی B، ثابت می شود که A درست است.
با توجه به درستی A، ثابت می شود که B درست است.
این روش اثبات اصطلاحاً «مصادره به مطلوب» یعنی «بازگشت به همان چیزی که می خواسته ایم» نامیده می شود. زیرا اثبات بالا مانند آن است که بگوییم: با توجه به درستی A، ثابت می شود که A درست است! گاهی اوقات مصادره به مطلوب پیچیده تر و دریافتن آن مشکل تر از این است. مثلاً ممکن است در اثبات قضیه ی B، از قضیه ی A استفاده کنیم و در اثبات قضیه ی C از قضیه ی B. در این صورت اگر برای اثبات قضیه ی A از قضیه ی C استفاده کنیم، مصادره به مطلوب کرده ایم. پس باید نخست قضیه ی A را مستقل از قضیه ی B و C ثابت کنیم و سپس از قضیه ی A در اثبات قضیه ی B و... استفاده کنیم. شاید مسأله به وجهی که مطرح شد خیلی ابتدایی به نظر برسد. اما تردیدی نیست که بسیاری از دانش آموزان هنگام اثبات مسائل هندسه به این نکته توجه ندارند. شاید همه ی دانش آموزان هندسه درباره ی اصل پنجم اقلیدس، و کوشش های دانشمندان یونانی، مسلمان (همچون خیام، و خواجه نصیر طوسی)، و نیز دانشمندان اروپایی سده ی 16 تا 18 م برای اثبات، چیزهایی شنیده باشند. مثلاً دانشمندان مشهوری همچون آدریان ماری لژاندر (که توابع لژاندر به او منسوب است) حدوداً 25 بار کوشید اصل پنجم را ثابت کند، اما هر بار معلوم شد که وی در اثبات اصل پنجم، از قضیه ای استفاده کرده که بدون قبول اصل پنجم قابل اثبات نیست. یعنی لژاندر برای استفاده از این قضیه نخست می باید اصل پنجم را می پذیرفت و طبیعی است که با این کار چیزی برای اثبات باقی نمی ماند! پس دانش آموزان هندسه به هنگام استفاده از یک قضیه در قضیه ی دیگر باید به خاطر داشته باشند که قضیه ی نخست باید مستقل از قضیه ی دوم قابل اثبات باشد. متأسفانه در سیستم آموزشی کنونی هندسه، معمولاً به این نکته بسیار مهم، که اساس استدلال در هندسه و دیگر شاخه های ریاضیات و فلسفه به شمار می رود، توجه نمی شود. نگارنده به جرأت می تواند اظهار کند که به رغم پیشرفت های غیر قابل انکار فن آوری آموزش ریاضیات، حتی امروزه نیز کتابی که از لحاظ جنبه ی آموزشی هندسه با استخراج الاوتار قابل مقایسه باشد، به ندرت یافت می شود.
استخراج الاوتار، همچون دیگر آثار بیرونی، از نظر تاریخ علم، و بویژه تاریخ ریاضیات، نیز اهمیتی بسزا دارد. زیرا بیرونی در این کتاب مانند همیشه، صاحبان روش های مختلف اثبات قضایا را یاد کرده است. بسیاری از آثار مورد استفاده ی بیرونی امروزه از بین رفته اند و ما تنها از طریق نقل قول های بیرونی در استخراج الاوتار از وجود چنین آثاری آگاه شده ایم.

موضوع کتاب

موضوع کتاب اثبات چهار قضیه و سپس به کار بردن آنها در 30 مسأله است. بیرونی برای هر یک از قضایای چهارگانه استدلال هایی از خود و دانشمندان دیگر ارائه کرده است. بدین شرح: ارشمیدس (3 استدلال)، ابوسعید محمد بن علی ضریر جرجانی [2]، آذرخور بن استاد جشنس [2]، ابوعلی حبوبی [2]، ابوسعید سجزی [5]، ابونصر عراق [5]، ابوعبدالله محمد بن احمد شنّی (3 استدلال کامل و یک استدلال ناقص)، ابن هیثم (1 استدلال کامل و 1 برهان مفصل و نارسا)، ابوالحسن بن بامشاد قاینی [2]، ابوجعفر خازن [2] و خود بیرونی (13 استدلال)، بیرونی تنها برای قضیه ی سوم از خود برهانی ارائه نداده است.
مسائل کتاب استخراج الاوتار را می توان به دو دسته متمایز تقسیم کرد. دسته ی اول (مشتمل بر 15 مسأله) عبارتند از: 1 تا 5. درباره ی ترسیم مثلث به وسیله ی ستاره و پرگار؛ 6. مربوطه به محاسبه ی پاره خط هایی است که پای یک ارتفاع مثلث روی قاعده ی نظیر آن پدید می آورد؛ 7. درستی دستور محاسبه ی مساحت مثلث بر حسب اضلاع آن (رابطه ی هرون)؛ 8. درستی همان مطلب درباره ی 4 ضلعی؛ 9 و 10. 2 مسأله از مسائل جبر قدیم؛ و 11 تا 15. مسائلی که در هیئت و نجوم کاربرد دارند. 15 مسأله ی دسته ی دوم نیز همگی به محاسبه ی اوتار دایره است.

چاپ ها و ترجمه های مختلف این اثر

هاینریش زوتر، پژوهشگر شهیر سوئیسی، در 1910 میلادی نسخه ی خطی کتابخانه ی لایدن را به آلمانی ترجمه، و به همراه شرحی گرانبها در مجله ی بیبلیوتِکا متمتیکا (1) (= کتابخانه ی ریاضی) منتشر ساخت. در سال 1948 میلادی نیز متن عربی استخراج الاوتار (یا به عبارت دقیق تر: جمع الطرق السائره...) در حیدرآباد، مرکز ایالت دکن هند، با وضعی بسیار آشفته و در حالی که آثار دیگری از بیرونی و ابراهیم بن سَنان بن ثابت بن قره با آن مخلوط شده بود، به عنوان نخستین رساله از مجموعه ی رسائل بیرونی به چاپ رسیده؛ در حالی که تنها از آغاز متن چاپی حیدرآباد تا پایان سطر 8 صفحه ی صفحه ی 108 و سپس از پایین کل 117 در صفحه ی 224 تا پایان کتاب مربوط به متن این کتاب است و سایر صفحات مربوط به دو اثر دیگر بیرونی و دو اثر از ابراهیم بن سَنان با نام های فی حرکات الشمس و المسائل الختاره فی الهندسه است. به طور مثال در صفحه ی 153 استخراج الأوتار چاپ حیدرآباد این عبارت آمده است: «پدربزرگم، ابوالحسن ثابت بن قُرّه، در این باره سخنی دارد...» و ناگفته پیداست که این عبارت از آن نوه ی ثابت بن قره، یعنی ابراهیم بن سنان بن ثابت بن قره است و نه از آن بیرونی! در 1965 م نیز احمد سعید الدمرداش این کتاب را یک بار دیگر در قاهره (مصر) به چاپ رساند و مدعی شد که این چاپ براساس متن چاپی حیدرآباد و مقایسه ی آن با دو نسخه ی خطی دیگر است. اما در این چاپ جز در یک مورد به تفاوت های میان نسخه های خطی و چاپ حیدرآباد اشاره نشده و اشتباهات چاپ حیدرآباد، در آن تکرار شده است. به طور مثال همان اشاره ی ابراهیم بن سنان به پدربزرگش در صفحه ی 268 چاپ مصر نیز دیده می شود! علت این آشفتگی جابجایی اوراق نسخه ی شماره ی 2468 بانکیپور (حاوی آثار بیرونی و ابراهیم بن سنان) است. در 1960 م احمد سلیم سعیدان در 2 مقاله، یکی به زبان عربی و دیگری به زبان انگلیسی، برای نخستین بار به این آشفتگی ها اشاره کرد، و متن تقریباً کامل یک اثر بیرونی به نام مقاله فی التحلیل و التقطیع للتعدیل را، که تا آن زمان از بین رفته تصور می شد، در میان صفحات متن چاپی حیدرآباد شناسایی کرد. در سال 1353 ش / 1974 م نیز شادروان ابوالقاسم قربانی در کتاب بیرونی نامه بدون آگاهی از کار سعیدان، افزون بر کشف دوباره ی اثر اخیر، برای نخستین بار بخش هایی از مقاله فی انَّ لوازم تجزیء المقادیر الی لانهایه قریبه من امر الخطین الذین یقربان و لا یلتقیان فی الاستبعاد بیرونی را، که این نیز تا آن زمان از بین رفته تلقی می شد، در صفحات 181 تا 184 متن چاپی دکن شناسایی کرد. در 1982 م نیز یان پیتر هو خِندایک در مقاله ای که درباره ی آشفتگی این مجموعه ی آثار ریاضی نوشت، آثار یاد شده ی ابوریحان بیرونی و نیز کتاب اِفراد المَقال او را از آثار ابراهیم بن سنان و دیگران تفکیک کرد.
گفتنی است که شادروان استاد ابوالقاسم قربانی در 1355 ش در کتاب ارزشمند تحریر استخراج الأوتار همه ی مسائل این کتاب را به زبان ریاضی امروز بازنویسی و همراه با شرح فارسی منتشر کرده است. مطالعه ی این کتاب (که بخش عمده ی آن در کتاب دیگر ایشان تحقیقی در آثار ریاضی ابوریحان بیرونی به چاپ رسیده) به همه ی علاقه مندان هندسه توصیه می شود.

پی نوشت ها :

1. Bibliotheca Mathematica.

منبع مقاله :
آقامیرزا، آذر؛ (1388)، نادره ی دوران (مروری بر زندگی و آثار ابوریحان بیرونی)، تهران: همشهری، اول بهار 1389